解答
解説
この試験は、第1問〜第3問が必答、第4問〜第7問から3問を選択して解答する形式です（計6問）。本記事では第4問〜第7問のすべてを解説しています。
第１問（必答） 三角関数の方程式
sin と cos の等式を、単位円上の点の位置関係に読み替えて解く問題です。「角が違ってもサインが等しくなるのはどんなときか」を押さえられるかが全てです。
ア，イ，ウ：正解 ⑥, ③, ②（配点2）
＜考え方＞
まず α ＝ β となる場合を調べます。
θ ＋ π/6 ＝ 2θ θ ＝ π/6 → ア ＝ ⑥ このとき sin(θ ＋ π/6) ＝ sin(π/3) ＝ √3 / 2
よって ア＝⑥、イ＝③、ウ＝②。
エ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
この設問がこの大問の鍵です。ここを取り違えると以降がすべて崩れます。
＜考え方＞
単位円上で、角 α の動径の先が点P、角 β の動径の先が点Qです。単位円上の点の座標は (cos, sin) なので、
点Pの座標 ＝ (cos α, sin α) 点Qの座標 ＝ (cos β, sin β) sin α ＝ sin β → 点Pと点Qの y座標が等しい
２点が同じ点とは限らず、y軸に関して対称な位置にある場合もあります。よって エ＝②。
オ，カ，キ，ク：正解 ②, ⑤, ①, ⑧（配点3）
＜考え方＞
0 ≦ θ ≦ π/2 のとき β ＝ 2θ は 0 ≦ β ≦ π の範囲にあります。y座標が等しく角が異なる２点は、y軸に関して対称なので α ＋ β ＝ π を満たします。
α ＋ β ＝ π → オ ＝ ②（π） (θ ＋ π/6) ＋ 2θ ＝ π 3θ ＝ π − π/6 ＝ 5π/6 θ ＝ 5π/18
よって オ＝②、カ＝⑤、キ＝①、ク＝⑧。
ケ，コ，サ，シ，ス：正解 ⑥, ①, ⑦, ①, ⑧（配点3）
＜問題要旨＞
β の範囲が変わると、対称の中心となる角も変わります。範囲の確認を怠ると α ＋ β ＝ π のまま計算して誤答します。
＜考え方＞
π/2 ＜ θ ＜ π のとき β ＝ 2θ は π ＜ β ＜ 2π。この範囲で y座標が等しくなる対称の関係は、π ではなく 3π を基準にします。
α ＋ β ＝ 3π → ケ ＝ ⑥（3π） (θ ＋ π/6) ＋ 2θ ＝ 3π 3θ ＝ 3π − π/6 ＝ 17π/6 θ ＝ 17π/18 （π/2 ＜ 17π/18 ＜ π を満たす）
よって ケ＝⑥、コ＝①、サ＝⑦、シ＝①、ス＝⑧。以上より①の解は θ ＝ π/6、5π/18、17π/18 の３つです。
セ：正解 ⑥（配点1）
＜考え方＞
cos の場合は「角が等しい」か「符号だけ違う」かの２通りです。
2θ ＝ (θ ＋ π/6) ＋ 2nπ θ ＝ π/6 ＋ 2nπ → θ ＝ π/6
よって セ＝⑥。
ソ，タ，チ，ツ：正解 ①, ①, ①, ⑧（配点3）
＜考え方＞
もう一方の場合、つまり符号が反対になる場合を調べます。
2θ ＝ −(θ ＋ π/6) ＋ 2nπ 3θ ＝ −π/6 ＋ 2nπ θ ＝ −π/18 ＋ 2nπ/3 n ＝ 1 のとき θ ＝ −π/18 ＋ 12π/18 ＝ 11π/18 （0 ≦ θ ＜ π を満たす） n ＝ 0 は負、n ＝ 2 は π を超えるため不適
よって ソ＝①、タ＝①、チ＝①、ツ＝⑧。
第２問（必答） 常用対数と水草の増殖
水草が一定倍率で増える設定を、常用対数を使って処理します。常用対数表の読み方と、桁を合わせる計算が問われます。
ア：正解 ③（配点3）
＜考え方＞
1日ごとに r 倍になるなら、3日で r を3回かけることになります。
3日後 ＝ 元の量 × r × r × r ＝ 元の量 × r³ r³ ＝ 1.32
よって ア＝③。
イ：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
常用対数表で「1.3」の行、「2」の列を読みます。
log₁₀ 1.32 ＝ 0.1206
よって イ＝①。
ウ，エ，オ，カ：正解 ⓪, ④, ⓪, ②（配点2）
＜考え方＞
r³ ＝ 1.32 の両辺の常用対数をとります。
3 log₁₀ r ＝ log₁₀ 1.32 ＝ 0.1206 log₁₀ r ＝ 0.1206 ÷ 3 ＝ 0.0402
よって ウ＝⓪、エ＝④、オ＝⓪、カ＝②。
キ，ク，ケ：正解 ③, ⑥, ⓪（配点2）
＜考え方＞
1日で r 倍なので、14日では r を14回かけます。作業直後が a ％、14日目にちょうど60％です。
a × r¹⁴ ＝ 60 キ ＝ ③（r¹⁴）, クケ ＝ 60
よって キ＝③、ク＝⑥、ケ＝⓪。
コ：正解 ③（配点3）
＜考え方＞
①の両辺の常用対数をとります。log₁₀ 60 は 6×10 と分解して求めます。
log₁₀ 60 ＝ log₁₀ 6 ＋ log₁₀ 10
＝ 0.7782 ＋ 1 ＝ 1.7782
log a ＋ 14 log r ＝ log 60
log a ＝ 1.7782 − 14 × 0.0402
＝ 1.7782 − 0.5628
＝ 1.2154
よって コ＝③。
サ，シ：正解 ①, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
対数の値から元の数を逆に読み取る設問です。常用対数表を逆引きする操作に慣れているかが問われます。
＜考え方＞
log₁₀ a ＝ 1.2154 の整数部分1は「10の1乗の桁」を意味します。
log₁₀ a ＝ 1 ＋ 0.2154 a ＝ 10 × 10^0.2154 常用対数表で 0.2154 に近い値を探すと log 1.64 ＝ 0.2148 log 1.65 ＝ 0.2175 0.2154 は 1.64 のすぐ上なので 10^0.2154 ≒ 1.642 a ≒ 16.42
a 以下で最大の整数は 16。よって サ＝①、シ＝⑥。
第３問（必答） 微分・積分と極値
導関数が同じ２つの関数 F(x)、G(x) の関係を考える問題です。「導関数が同じなら定数だけ違う」という原理と、定積分が面積を表すことを結びつけます。
ア，イ：正解 ⑥, ⑥（配点2）
F(x) ＝ 2x³ ＋ 3x² f(x) ＝ F′(x) ＝ 6x² ＋ 6x
よって ア＝⑥、イ＝⑥。
ウ，エ：正解 −, ①（配点2）
＜考え方＞
f(x) ＝ 6x(x ＋ 1) の符号を調べます。
f(x) ＝ 0 → x ＝ −1, 0 x ＜ −1 ：f ＞ 0（F は増加） −1 ＜ x ＜ 0：f ＜ 0（F は減少） 0 ＜ x ：f ＞ 0（F は増加）
増加から減少に変わる x ＝ −1 で極大となります。よって ウエ＝−1。
オ，カ：正解 ②, ③（配点2）
G′(x) ＝ f(x) ＝ 6x² ＋ 6x を積分します。
G(x) ＝ 2x³ ＋ 3x² ＋ C
よって オ＝②、カ＝③。
キ：正解 ⓪（配点2）
G の導関数も f なので、増減の様子は F とまったく同じです。減少から増加に変わる x ＝ 0 で極小となります。よって キ＝⓪。
ク，ケ：正解 −, ①（配点1）
＜考え方＞
G(x) は x ＝ k で極大値0をとる、という条件を使います。G の極大は x ＝ −1 なので k ＝ −1 です。
G(−1) ＝ 2(−1)³ ＋ 3(−1)² ＋ C
＝ −2 ＋ 3 ＋ C ＝ 1 ＋ C
1 ＋ C ＝ 0 → C ＝ −1
よって クケ＝−1。
コ，サ：正解 ⓪, ⓪（配点1）
F(x) が x ＝ 0 で極小値をとるので、F′(0) ＝ f(0) ＝ 0。また極小なので、f の符号は負から正に変わります。よって コ＝⓪、サ＝⓪。
シ，ス：正解 ⓪, ①（配点1）
G(x) が x ＝ k で極大値をとるので f(k) ＝ 0。極大なので f の符号は正から負に変わります。よって シ＝⓪、ス＝①。
セ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
ここまでの符号の情報だけでグラフの概形を決めます。F(0) ＝ 0 という条件（極小値が0）を見落とすと選べません。
＜考え方＞
f の符号 x ＜ 0：負 / 0 ＜ x ＜ k：正 / k ＜ x：負
F の増減 x ＜ 0：減少
0 ＜ x ＜ k：増加
k ＜ x：減少
・x ＝ 0 で極小、その値は 0（x軸に接する）
・x ＝ k（＞0）で極大、値は正
・その後は減少して x軸を横切る
・左端では F は正の側から下りてくる
この形に合うのは セ＝③ です。
ソ，タ：正解 ③, ⓪（配点2）
＜考え方＞
微分積分の基本定理を使います。F(0) ＝ 0 であることがポイントです。
∫[0→x] f(t)dt ＝ F(x) − F(0) ＝ F(x) − 0 ＝ F(x) 上端が x（③）、下端が 0（⓪）
よって ソ＝③、タ＝⓪。
チ，ツ：正解 ②, ⓪（配点2）
F(x) の極大値は x ＝ k のときの値なので、上端を k にします。
F(k) ＝ ∫[0→k] f(t)dt 上端が k（②）、下端が 0（⓪）
よって チ＝②、ツ＝⓪。
テ，ト：正解 ⓪, ⓪（配点2）
＜考え方＞
0 ≦ x ≦ k で f(x) ≧ 0 なので、この定積分はそのまま面積を表します。
∫[0→k] f(t)dt は y ＝ f(x) のグラフと x軸で囲まれた図形の面積
被積分関数が f なので、囲む曲線は y ＝ f(x) です。F(x) や G(x) ではありません。よって テ＝⓪、ト＝⓪。
ナ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
この大問の締めくくりで、最も差がつきます。導関数が同じ２つの関数は定数だけ違うという関係を、極値の比較に翻訳します。
＜考え方＞
F′ ＝ G′ ＝ f なので、ある定数 C′ を用いて G(x) ＝ F(x) ＋ C′ と書けます。
G は x ＝ k で極大値 0 をとるので G(k) ＝ F(k) ＋ C′ ＝ 0 C′ ＝ −F(k) G の極小値は x ＝ 0 のときなので G(0) ＝ F(0) ＋ C′ ＝ 0 − F(k) ＝ −F(k) したがって F(k) ＝ −G(0) （F の極大値） ＝ −（G の極小値）
よって ナ＝②（極小値の −1倍）。
第４問（選択） 数列と格子点
図形の内部にある格子点の個数を数える問題です。「直線 x ＝ k の上に何個あるか」を数えて足し上げるという方針が最初から最後まで一貫しています。
ア，イ：正解 ⑤, ⑧（配点2）
＜考え方＞
直線 x ＝ n 上で、T の内部にある格子点の y座標は 0 ＜ y ＜ 3n を満たす整数です。境界は含まないことに注意します。
y ＝ 1, 2, …, 3n − 1 の (3n − 1) 個 aₙ ＝ 3n − 1 a₂ ＝ 3·2 − 1 ＝ 5 a₃ ＝ 3·3 − 1 ＝ 8
よって ア＝⑤、イ＝⑧。
ウ，エ，オ：正解 ⓪, ③, ⓪（配点2）
aₙ ＝ 3n − 1 は n の1次式なので等差数列です。
aₙ₊₁ − aₙ ＝ 3(n＋1) − 1 − (3n − 1) ＝ 3 公差 3 の等差数列
よって ウ＝⓪（公差）、エ＝③、オ＝⓪（等差）。
カ，キ，ク：正解 ⑥, ①, ⓪（配点3）
＜考え方＞
1 ≦ n ≦ 20 の範囲で aₙ を足し上げます。等差数列の和の公式を使います。
Σ[n=1→20] (3n − 1) ＝ 3 · Σn − Σ1 ＝ 3 · (20·21/2) − 20 ＝ 3 · 210 − 20 ＝ 630 − 20 ＝ 610
よって カキク＝610。
ケ：正解 ⑦（配点2）
＜考え方＞
今度は上の境界が y ＝ 2ˣ です。直線 x ＝ k 上の内部の格子点は 0 ＜ y ＜ 2ᵏ を満たす整数です。
y ＝ 1, 2, …, 2ᵏ − 1 の (2ᵏ − 1) 個
2ᵏ は整数なので、境界を除いた個数はちょうど 2ᵏ − 1 です。よって ケ＝⑦。
コ：正解 ①（配点2）
内部にある格子点を通る直線 x ＝ k の範囲を確認します。
U の内部は 0 ＜ x ＜ n ＋ 1 整数 k は 1 ≦ k ≦ n
よって和の上端は n。コ＝①。
サ：正解 ⑦（配点2）
＜考え方＞
等比数列の和の公式を使います。
Σ[k=1→n] (2ᵏ − 1) ＝ Σ2ᵏ − Σ1 ＝ (2^(n+1) − 2) − n ＝ 2^(n+1) − n − 2
よって サ＝⑦。
シ，ス，セ，ソ：正解 ③, −, ③, ②（配点3）
＜問題要旨＞
第４問で最も難しい設問です。「すべての自然数 n に対して」成り立つという条件から、n の恒等式として係数を比較します。
＜考え方＞
b² − 4ac ＜ 0 かつ a ＞ 0 なので、放物線は x軸と交わらず常に正の値をとります。したがって直線 x ＝ k 上の内部の格子点は (ak² ＋ bk ＋ c − 1) 個です。
総数 ＝ Σ[k=1→n] (ak² ＋ bk ＋ c − 1)
＝ a·n(n+1)(2n+1)/6 ＋ b·n(n+1)/2 ＋ (c−1)n
展開して n について整理すると
＝ (a/3)n³ ＋ {(a＋b)/2}n² ＋ (a/6 ＋ b/2 ＋ c − 1)n
これが すべての n で n³ に等しいので、各項の係数を比較します。
n³ の係数： a/3 ＝ 1 → a ＝ 3
n² の係数： (a＋b)/2 ＝ 0 → b ＝ −3
n の係数： a/6 ＋ b/2 ＋ c − 1 ＝ 0
1/2 − 3/2 ＋ c − 1 ＝ 0
c ＝ 2
条件の確認も忘れずに行います。a ＝ 3 ＞ 0、b² − 4ac ＝ 9 − 24 ＝ −15 ＜ 0 でどちらも満たします。よって シ＝③、スセ＝−3、ソ＝②。
第５問（選択） 正規分布・区間推定・仮説検定
レモンの重さを題材に、確率分布の3分野（正規分布・信頼区間・仮説検定）を一続きで扱います。正規分布表の読み方が繰り返し問われます。
ア，イ，ウ，エ：正解 ④, ③, ③, ②（配点2）
＜考え方＞
X ～ N(110, 20²) を標準化します。
Z ＝ (X − 110) / 20
X ＝ 110 → Z ＝ 0
X ＝ 140 → Z ＝ (140 − 110)/20 ＝ 1.5
P(110 ≦ X ＜ 140) ＝ P(0 ≦ Z ＜ 1.5)
＝ 0.4332 （正規分布表）
よって 0.4332、つまり ア＝④、イ＝③、ウ＝③、エ＝②。
オ：正解 ④（配点2）
＜考え方＞
Y は「20万個それぞれがLサイズかどうか」を数えるので二項分布に従います。二項分布の平均は (個数)×(確率) です。
E(Y) ＝ 200000 × 0.4332 ＝ 86640
よって オ＝④。
カ：正解 ⑥（配点1）
標本平均の分布は、平均が母平均 m のまま、分散が 1/n 倍になります。
W̄ ～ N(m, σ²/n)
標準偏差ではなく分散を答える点に注意します。よって カ＝⑥。
キ：正解 ⑤（配点2）
＜考え方＞
信頼度95％の信頼区間は「標本平均 ± 1.96 ×（標準偏差）」です。幅はその2倍になります。
信頼区間：W̄ − 1.96·σ/√n ≦ m ≦ W̄ ＋ 1.96·σ/√n
幅 B − A ＝ 2 × 1.96 × σ/√n
＝ 3.92σ / √n
よって キ＝⑤。
ク，ケ，コ：正解 ③, ⑧, ⑤（配点3）
＜考え方＞
σ ＝ 20 を代入して不等式を解きます。
(3.92 × 20)² ≦ 16n 78.4² ≦ 16n 6146.56 ≦ 16n n ≧ 384.16 最小の自然数は 385
384 では条件を満たさないので、クケコ＝385。
サ：正解 ⓪（配点1）
＜考え方＞
検証したいのは「過去の平均110gより軽いか」なので、それが対立仮説になります。
帰無仮説：m ＝ 110 対立仮説：m ＜ 110
よって サ＝⓪。
シ：正解 ⑤（配点1）
帰無仮説が正しいと仮定するので平均は110。分散は σ²/n です。
分散 ＝ 20² / 400 ＝ 400/400 ＝ 1 W̄ ～ N(110, 1)
よって シ＝⑤。
ス，セ，ソ，タ：正解 ⓪, ③, ⑤, ⑨（配点2）
＜考え方＞
N(110, 1) なので標準偏差は 1 です。
Z ＝ (108.2 − 110) / 1 ＝ −1.8
P(W̄ ≦ 108.2) ＝ P(Z ≦ −1.8)
＝ 0.5 − P(0 ≦ Z ≦ 1.8)
＝ 0.5 − 0.4641
＝ 0.0359
正規分布表は0以上の値しか載っていないので、対称性を使って0.5から引きます。よって 0.0359、つまり ス＝⓪、セ＝③、ソ＝⑤、タ＝⑨。
チ，ツ：正解 ①, ⓪（配点2）
＜考え方＞
求めた確率をパーセントに直して有意水準と比べます。
0.0359 → 3.59 ％ 3.59 ％ ＜ 5 ％ → 帰無仮説は棄却される（チ ＝ ①） → 母平均は110gより軽いと判断できる（ツ ＝ ⓪）
よって チ＝①、ツ＝⓪。
第６問（選択） 空間ベクトルと球面
半径1の球面上に正三角形ABCがとれるかを、ベクトルの内積で調べます。「合同だから内積が等しい」という言い換えが出発点です。
ア：正解 ①（配点1）
点Cが半径1の球面S上にあるので、原点からの距離が1です。
|OC| ＝ 1 なので |OC|² ＝ 1 成分で表すと x² ＋ y² ＋ z² ＝ 1
よって ア＝①。
イ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
この設問が大問全体の鍵です。合同 → 対応する角が等しい → 内積が等しいという流れをつかめるかどうかで決まります。
＜考え方＞
△OAC と △OAB が合同なので ∠AOC ＝ ∠AOB。さらに |OA|＝|OB|＝|OC|＝1（すべて球面上の点）なので、
OA · OC ＝ |OA||OC| cos∠AOC OA · OB ＝ |OA||OB| cos∠AOB 大きさも角も等しいので OA · OC ＝ OA · OB
よって イ＝④。
ウ，エ，オ：正解 ⓪, ⓪, ⑤（配点3）
＜考え方＞
A(1, 0, 0)、B(a, √(1−a²), 0)、C(x, y, z) を成分計算に入れます。
OA · OB ＝ 1·a ＋ 0·√(1−a²) ＋ 0·0 ＝ a OA · OC ＝ 1·x ＋ 0·y ＋ 0·z ＝ x x ＝ a … ② → ウ ＝ ⓪ OB · OC ＝ a·x ＋ √(1−a²)·y ＋ 0·z a x ＋ √(1−a²) y ＝ a … ③
③の左辺の係数が エ、オ、右辺が ウ にあたります。よって ウ＝⓪、エ＝⓪、オ＝⑤。
カ，キ，ク，ケ，コ：正解 ③, ⑤, ③, ①, ⓪（配点2）
＜考え方＞
a ＝ 3/5 を②③に代入します。
x ＝ a ＝ 3/5 1 − a² ＝ 1 − 9/25 ＝ 16/25 √(1−a²) ＝ 4/5 ③より (3/5)(3/5) ＋ (4/5)y ＝ 3/5 9/25 ＋ (4/5)y ＝ 15/25 (4/5)y ＝ 6/25 y ＝ (6/25)(5/4) ＝ 3/10
よって カ／キ＝3/5、ク／ケコ＝3/10、つまり カ＝③、キ＝⑤、ク＝③、ケ＝①、コ＝⓪。
サ：正解 ②（配点2）
①に代入して z を求めます。
z² ＝ 1 − x² − y² ＝ 1 − 9/25 − 9/100 ＝ 100/100 − 36/100 − 9/100 ＝ 55/100 ＝ 11/20 ＞ 0 z ＝ ±√(11/20) の2つ
z が正のときと負のときで、球面の上側と下側に1つずつ点Cがとれます。よって サ＝②（ちょうど二つある）。
シ：正解 ⓪（配点2）
＜考え方＞
a ＝ −3/5 でも同様に計算します。後の(3)の公式を使うと速いです。
z² ＝ (1 ＋ 2a)(1 − a) / (1 ＋ a) a ＝ −3/5 のとき 1 ＋ 2a ＝ 1 − 6/5 ＝ −1/5 （負） 1 − a ＝ 8/5 （正） 1 ＋ a ＝ 2/5 （正） z² ＝ (−1/5)(8/5)/(2/5) ＝ −4/5 ＜ 0
z² が負になるため実数 z は存在しません。よって シ＝⓪（ない）。
ス：正解 ③（配点2）
＜考え方＞
②③から y を a で表し、①に代入します。
x ＝ a
③より √(1−a²) y ＝ a − a² ＝ a(1 − a)
y ＝ a(1−a) / √(1−a²)
y² ＝ a²(1−a)² / (1−a²)
＝ a²(1−a)² / {(1−a)(1＋a)}
＝ a²(1−a) / (1＋a)
z² ＝ 1 − a² − a²(1−a)/(1＋a)
＝ {(1−a²)(1＋a) − a²(1−a)} / (1＋a)
＝ (1−a){(1＋a)² − a²} / (1＋a)
＝ (1−a)(1 ＋ 2a) / (1＋a)
よって ス＝③。
セ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
第６問の締めくくりです。問題文に最初から与えられている −1 ＜ a ＜ 1 の条件を忘れないことが必要です。
＜考え方＞
z² ≧ 0 かつ 1 ＋ a ＞ 0 なので、分子が0以上であればよいことになります。
(1 ＋ 2a)(1 − a) ≧ 0 −1/2 ≦ a ≦ 1 もとの条件 −1 ＜ a ＜ 1 と合わせて −1/2 ≦ a ＜ 1
a ＝ 1 は最初の条件から除かれるため、右端は「未満」になります。よって セ＝④。
第７問（選択） 複素数平面と垂直条件
複素数の商の偏角から、２直線の垂直条件を導きます。「垂直 ⟺ w が純虚数 ⟺ w ＋ w̄ ＝ 0」という言い換えの連鎖が主題です。
ア，イ，ウ，エ：正解 ④, ⑧, ④, ②（配点2）
γ − α ＝ (7 ＋ 10i) − (3 ＋ 2i) ＝ 4 ＋ 8i β − α ＝ 7 − (3 ＋ 2i) ＝ 4 − 2i
よって ア＝④、イ＝⑧、ウ＝④、エ＝②。
オ：正解 ③（配点2）
＜考え方＞
分母の共役複素数を分母・分子に掛けて実数化します。
(4 ＋ 8i) / (4 − 2i)
＝ (4 ＋ 8i)(4 ＋ 2i) / {(4 − 2i)(4 ＋ 2i)}
＝ (16 ＋ 8i ＋ 32i ＋ 16i²) / (16 ＋ 4)
＝ (16 ＋ 40i − 16) / 20
＝ 40i / 20 ＝ 2i
よって オ＝③。
カ：正解 ④（配点2）
2i は複素数平面で虚軸の正の部分にある点です。
2i ＝ 2(cos(π/2) ＋ i sin(π/2)) 偏角 ＝ π/2
よって カ＝④。なお偏角が π/2 なので、この場合も直線ABと直線ACは垂直に交わっています。
キ，ク：正解 ②, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
この設問が第７問の要です。ここで得た「w ＋ w̄ ＝ 0」が(3)でそのまま使われます。
＜考え方＞
偏角が π/2 または 3π/2 の複素数は、虚軸上（原点を除く）にあります。
w ＝ ki （k は 0 でない実数） → w は純虚数 → キ ＝ ② w̄ ＝ −ki なので w ＋ w̄ ＝ ki ＋ (−ki) ＝ 0 → ク ＝ ⓪
一般に w ＋ w̄ ＝ 2×(w の実部) なので、これが0であることと実部が0であることは同値です。よって キ＝②、ク＝⓪。
ケ：正解 ⑥（配点2）
＜考え方＞
2 ＋ 2/z ＋ 2/z̄ ＝ 0 の両辺に zz̄ を掛けます。
2zz̄ ＋ 2z̄ ＋ 2z ＝ 0 zz̄ ＋ z ＋ z̄ ＝ 0 z ＝ x ＋ yi とおくと (x² ＋ y²) ＋ 2x ＝ 0 x² ＋ 2x ＋ y² ＝ 0 (x ＋ 1)² ＋ y² ＝ 1 これは中心 −1、半径1の円 → |z ＋ 1| ＝ 1
よって ケ＝⑥。
コ：正解 ⓪（配点2）
＜考え方＞
中心が点(−1, 0)、半径1の円です。ただし除外点の確認を忘れないようにします。
問題文の条件：z は 0, 2, −2 でない この円は原点を通る（|0 ＋ 1| ＝ 1） → 原点は除外される（白丸） 2 と −2 はこの円上にないので影響なし
よって、原点を除いた円を表す コ＝⓪。
サ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨
計算し直す必要はありません。比の形になっていることに気づけば一瞬で終わります。
＜考え方＞
(γ′ − α′)/(β′ − α′)
＝ {(−γ) − (−α)} / {(−β) − (−α)}
＝ −(γ − α) / −(β − α)
＝ (γ − α)/(β − α)
すべてを −1倍しても比は変わらないので、w の値そのものが(i)と同じです。したがって条件も図も(i)とまったく同じになります。よって サ＝⓪。
シ：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
今度は z を −z に置き換えるので、w の形が変わります。
w'' ＝ (γ'' − α'')/(β'' − α'')
＝ (−4/z ＋ z) / (2 ＋ z)
＝ {(z² − 4)/z} / (z ＋ 2)
＝ {(z − 2)(z ＋ 2)/z} / (z ＋ 2)
＝ (z − 2)/z ＝ 1 − 2/z
垂直条件 w'' ＋ w̄'' ＝ 0 より
2 − 2/z − 2/z̄ ＝ 0
zz̄ − z − z̄ ＝ 0
(x − 1)² ＋ y² ＝ 1
|z − 1| ＝ 1
(i)の答え |z ＋ 1| ＝ 1 で z を −z に置き換えた形になっており、虚軸に関して対称に移った円です。原点が除外される点も同じです。よって シ＝①。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。
