2017年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2017年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。当サイトでは選択問題の３題すべてを解説しています。第１問・第２問は同年の数学Ⅱと共通の問題です。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（２倍角の公式と連立方程式）
cos2α ＋ cos2β と cosα cosβ の値から、cosα と cosβ を決める設問です。2倍角の公式で cos² の式に直すと、cos²α と cos²β が「和と積が分かっている2数」になります。最後に符号を決めるところで、0 ≦ θ ≦ π では cos が減少することを使います。
アイ／ウエ：正解 17／15（配点3）
＜問題要旨＞
①の cos2α ＋ cos2β ＝ 4/15 から、cos²α ＋ cos²β の値を求めます。
＜考え方＞
2倍角の公式 cos2θ ＝ 2cos²θ − 1 を両方に当てはめて、cos² の式に直します。
cos2α ＝ 2cos²α − 1, cos2β ＝ 2cos²β − 1 ① より (2cos²α − 1) + (2cos²β − 1) ＝ 4/15 2(cos²α + cos²β) ＝ 4/15 + 2 ＝ 34/15 cos²α + cos²β ＝ 17/15 よって アイ/ウエ ＝ 17/15
オ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
②の cosα cosβ ＝ −2√15/15 から、cos²α cos²β の値を求めます。
＜考え方＞
②の両辺を2乗するだけです。分母の 15 が 15² ＝ 225 になることに注意します。
② の両辺を2乗して
cos²α cos²β ＝ (2√15/15)²
＝ 4 × 15/225
＝ 4/15
よって オ ＝ 4
カ／キ，ク／ケ：正解 4／5，1／3（配点6）
＜問題要旨＞
条件③ |cosα| ≧ |cosβ| を用いて、cos²α と cos²β の値をそれぞれ求めます。
＜考え方＞
cos²α と cos²β は、和が 17/15、積が 4/15 と分かっています。つまりこの2数を解にもつ2次方程式を作れば求まります。どちらがどちらかは③で決まります。
cos²α + cos²β ＝ 17/15, cos²α cos²β ＝ 4/15 cos²α と cos²β は次の2次方程式の2解 t² − (17/15)t + 4/15 ＝ 0 15t² − 17t + 4 ＝ 0 (5t − 4)(3t − 1) ＝ 0 t ＝ 4/5, 1/3 ③ |cosα| ≧ |cosβ| より cos²α ≧ cos²β だから cos²α ＝ 4/5, cos²β ＝ 1/3 よって カ/キ ＝ 4/5, ク/ケ ＝ 1/3
コ√サ／シ，ス√セ／ソ：正解 2√5／5，−√3／3（配点4）
＜問題要旨＞
cosα と cosβ の値を求めます。
＜考え方＞
②より cosα cosβ は負なので、2つの cos は異符号です。0 ≦ θ ≦ π の範囲で cos は減少するので、α < β なら cosα のほうが大きい、つまり cosα が正で cosβ が負と決まります。
② より cosα cosβ ＝ −2√15/15 < 0 よって cosα と cosβ は異符号 0 ≦ α ≦ π, 0 ≦ β ≦ π でこの範囲の cos は減少するから α < β ⟹ cosα > cosβ したがって cosα > 0 > cosβ cos²α ＝ 4/5 より cosα ＝ 2/√5 ＝ 2√5/5 cos²β ＝ 1/3 より cosβ ＝ −1/√3 ＝ −√3/3 よって コ√サ/シ ＝ 2√5/5, ス√セ/ソ ＝ −√3/3
第１問 〔２〕 対数（内分点と y ＝ log₂x のグラフ）
y ＝ log₂x のグラフ上の2点 B、C と定点 A について、C が線分 AB を 1：2 に内分するという条件から p、q を決めます。内分点の座標を p で表して C の座標と比べると、p と q を結ぶ2つの式ができます。最後は常用対数を使った数値計算です。
タ：正解 0（配点2）
＜問題要旨＞
真数の条件から p と q の範囲を答えます。
＜考え方＞
log₂p、log₂q が定義されるためには、真数 p、q が正でなければなりません。
対数 log_a b では真数 b は正でなければならない B(p, log₂p), C(q, log₂q) が定義されるので p > 0, q > 0 よって タ ＝ 0
チ／ツ，(テ／ト)log₂p＋ナ：正解 1／3，(1／3)log₂p＋1（配点4）
＜問題要旨＞
線分 AB を 1：2 に内分する点の座標を、p を用いて表します。
＜考え方＞
A(0, 3/2)、B(p, log₂p) です。1：2 に内分する点は (2A ＋ 1B)/3 で計算します。y 座標では 3/2 が 2 倍されて 3 になり、3 で割ると 1 になります。
A(0, 3/2), B(p, log₂p)
線分 AB を 1：2 に内分する点は
x 座標 ＝ (2 × 0 + 1 × p)/3 ＝ p/3
y 座標 ＝ (2 × 3/2 + 1 × log₂p)/3
＝ (3 + log₂p)/3
＝ (1/3)log₂p + 1
よって チ/ツ ＝ 1/3
(テ/ト)log₂p + ナ ＝ (1/3)log₂p + 1
(ニ／ヌ)q^ネ：正解 (1／8)q³（配点3）
＜問題要旨＞
⑤の式 (1/3)log₂p ＋ 1 ＝ log₂q を、p ＝ … の形に変形します。
＜考え方＞
両辺を3倍して log₂p だけを残し、右辺を1つの対数にまとめます。3log₂q ＝ log₂q³、3 ＝ log₂8 を使います。
(1/3)log₂p + 1 ＝ log₂q
両辺を3倍して
log₂p + 3 ＝ 3log₂q
log₂p ＝ 3log₂q − 3
＝ log₂q³ − log₂8
＝ log₂(q³/8)
よって p ＝ q³/8 ＝ (1/8)q³
（ニ/ヌ）q^ネ ＝ (1/8)q³
ノ√ハ，ヒ√フ：正解 6√6，2√6（配点4）
＜問題要旨＞
④と⑥を連立させて、p と q の値を求めます。
＜考え方＞
④は p ＝ 3q、⑥は p ＝ q³/8 です。2つを等しいとおくと q の3次方程式になりますが、q > 0 なので q で割れて2次方程式になります。
④ (1/3)p ＝ q より p ＝ 3q ⑥ p ＝ q³/8 よって 3q ＝ q³/8 24q ＝ q³ q(q² − 24) ＝ 0 q > 0 だから q² ＝ 24 q ＝ 2√6 p ＝ 3q ＝ 6√6 よって ノ√ハ ＝ 6√6, ヒ√フ ＝ 2√6
ヘ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
C の y 座標 log₂(2√6) の値を、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めます。
＜考え方＞
log₂(2√6) を log₂2 と log₂6 に分け、log₂3 を常用対数の比 log₁₀3 ÷ log₁₀2 で計算します。与えられた値 log₁₀2 ＝ 0.3010、log₁₀3 ＝ 0.4771 を使います（log₁₀7 は使いません）。
log₂(2√6) ＝ log₂2 + log₂√6
＝ 1 + (1/2)log₂6
＝ 1 + (1/2)(log₂2 + log₂3)
＝ 1 + (1/2)(1 + log₂3)
log₂3 ＝ log₁₀3 ÷ log₁₀2
＝ 0.4771 ÷ 0.3010
＝ 1.585…
log₂(2√6) ＝ 1 + (1/2)(1 + 1.585)
＝ 1 + 1.2925…
＝ 2.2925…
小数第2位を四捨五入して 2.3
よって ヘ ＝ ⑥
第２問 微分・積分（放物線の接線と、囲まれた図形の面積）
放物線 y ＝ x² ＋ 1 と、その外の点 P(a, 2a) から引いた接線が舞台です。接点を t とおいて「P を通る」条件を式にすると、t の2次方程式がきれいに因数分解できます。後半は三角形の面積の最大値と、接線と放物線が囲む部分の面積の増減を調べます。
ア，イ：正解 2，1（配点3）
＜問題要旨＞
放物線 C：y ＝ x² ＋ 1 上の点 (t, t² ＋ 1) における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
y′ ＝ 2x なので接線の傾きは 2t です。点と傾きから直線の式を作り、整理します。
y′ ＝ 2x より、点 (t, t² + 1) での接線の傾きは 2t y − (t² + 1) ＝ 2t(x − t) y ＝ 2tx − 2t² + t² + 1 y ＝ 2tx − t² + 1 よって ア ＝ 2, イ ＝ 1
ウ，エ，オ：正解 2，2，1（配点2）
＜問題要旨＞
接線が点 P(a, 2a) を通るとき、t が満たす方程式を求めます。
＜考え方＞
接線の式に x ＝ a、y ＝ 2a を代入して、t について整理します。
y ＝ 2tx − t² + 1 に (a, 2a) を代入して 2a ＝ 2ta − t² + 1 t について整理すると t² − 2at + 2a − 1 ＝ 0 よって ウ ＝ 2, エ ＝ 2, オ ＝ 1
カa−キ，ク：正解 2a−1，1（配点2）
＜問題要旨＞
上の2次方程式を解いて t を求めます。
＜考え方＞
判別式を計算すると (a − 1)² という完全平方になるので、平方根がきれいに外れます。
t² − 2at + (2a − 1) ＝ 0 判別式/4 ＝ a² − (2a − 1) ＝ a² − 2a + 1 ＝ (a − 1)² t ＝ a ± (a − 1) t ＝ 2a − 1 または t ＝ 1 よって カa − キ ＝ 2a − 1, ク ＝ 1
ケ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
P を通る C の接線が2本あるための a の条件を求めます。
＜考え方＞
2つの解 t ＝ 2a − 1 と t ＝ 1 が異なるとき、接点が2つあるので接線も2本になります。
接線が2本 ⟺ 2つの t が異なる 2a − 1 ≠ 1 2a ≠ 2 a ≠ 1 よって ケ ＝ 1
(コa−サ)x−シa²＋スa：正解 (4a−2)x−4a²＋4a（配点2）
＜問題要旨＞
t ＝ 2a − 1 に対応する接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
接線の式 y ＝ 2tx − t² ＋ 1 に t ＝ 2a − 1 を代入して展開します。定数項で 1 が打ち消し合います。
y ＝ 2tx − t² + 1 に t ＝ 2a − 1 を代入 y ＝ 2(2a − 1)x − (2a − 1)² + 1 ＝ (4a − 2)x − (4a² − 4a + 1) + 1 ＝ (4a − 2)x − 4a² + 4a よって (コa − サ)x − シa² + スa ＝ (4a − 2)x − 4a² + 4a
セ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
t ＝ 1 に対応する接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
同じ式に t ＝ 1 を代入します。定数項が消えて、原点を通る直線になります。
y ＝ 2tx − t² + 1 に t ＝ 1 を代入 y ＝ 2x − 1 + 1 ＝ 2x よって セ ＝ 2
ソ＜a＜タ：正解 0＜a＜1（配点2）
＜問題要旨＞
直線 ℓ と y 軸の交点を R(0, r) とするとき、r > 0 となる a の範囲を求めます。
＜考え方＞
ℓ の式で x ＝ 0 とおくと r ＝ −4a² ＋ 4a です。これが正になる範囲を、因数分解して求めます。
ℓ : y ＝ (4a − 2)x − 4a² + 4a
x ＝ 0 とおいて
r ＝ −4a² + 4a
r > 0 ⟺ −4a² + 4a > 0
⟺ 4a(1 − a) > 0
⟺ 0 < a < 1
よって ソ < a < タ は 0 < a < 1
チ(a^ツ−a^テ)：正解 2(a²−a³)（配点3）
＜問題要旨＞
三角形 OPR の面積 S を a の式で表します。
＜考え方＞
O と R はどちらも y 軸上にあるので、OR を底辺とみると高さは P の x 座標 a です。0 < a < 1 なので絶対値を外せます。
O(0, 0), R(0, r), P(a, 2a) OR ＝ r ＝ −4a² + 4a を底辺とみると 高さは P の x 座標 a（0 < a < 1 より正） S ＝ (1/2) × (−4a² + 4a) × a ＝ (1/2)(−4a³ + 4a²) ＝ −2a³ + 2a² ＝ 2(a² − a³) よって チ(a^ツ − a^テ) ＝ 2(a² − a³)
ト／ナ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
0 < a < 1 の範囲で S が最大になる a の値を求めます。
＜考え方＞
S を a で微分して増減を調べます。S′ ＝ 0 となる a のうち、範囲の中にあるものが答えです。
S ＝ −2a³ + 2a² S′ ＝ −6a² + 4a ＝ −2a(3a − 2) S′ ＝ 0 となるのは a ＝ 0, 2/3 0 < a < 1 で 0 < a < 2/3 のとき S′ > 0（増加） 2/3 < a < 1 のとき S′ < 0（減少） よって a ＝ 2/3 で最大 ト/ナ ＝ 2/3
ニ／ヌネ：正解 8／27（配点3）
＜問題要旨＞
そのときの S の最大値を求めます。
＜考え方＞
a ＝ 2/3 を S の式に代入します。分母が 27 になるので通分に注意します。
S ＝ 2(a² − a³) に a ＝ 2/3 を代入 a² ＝ 4/9 ＝ 12/27, a³ ＝ 8/27 S ＝ 2(12/27 − 8/27) ＝ 2 × 4/27 ＝ 8/27 よって ニ/ヌネ ＝ 8/27
(ノ／ハ)a³−ヒa²＋フ：正解 (7／3)a³−3a²＋a（配点4）
＜問題要旨＞
放物線 C と直線 ℓ、2直線 x ＝ 0、x ＝ a で囲まれた図形の面積 T を求めます。
＜考え方＞
ℓ は C の接線（接点は x ＝ 2a − 1）なので、C − ℓ は完全平方 (x − (2a − 1))² になります。この形のまま積分するのが最短です。
C − ℓ ＝ (x² + 1) − {(4a − 2)x − 4a² + 4a}
＝ x² − 2(2a − 1)x + (2a − 1)²
＝ (x − (2a − 1))²
T ＝ ∫₀^a (x − (2a − 1))² dx
＝ [ (x − (2a − 1))³/3 ]₀^a
＝ {(1 − a)³ + (2a − 1)³}/3
(1 − a)³ ＝ 1 − 3a + 3a² − a³
(2a − 1)³ ＝ 8a³ − 12a² + 6a − 1
和 ＝ 7a³ − 9a² + 3a
T ＝ (7a³ − 9a² + 3a)/3
＝ (7/3)a³ − 3a² + a
よって (ノ/ハ)a³ − ヒa² + フ ＝ (7/3)a³ − 3a² + a
ヘ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
2/3 ≦ a < 1 の範囲で T がどう変化するかを選びます。
＜考え方＞
T を微分して T′ の符号を調べます。T′ ＝ 0 の解と 2/3 の大小を比べるのがポイントで、√2 ＝ 1.41… を使えば範囲の外にあることが分かります。
T ＝ (7/3)a³ − 3a² + a T′ ＝ 7a² − 6a + 1 T′ ＝ 0 の解は a ＝ (3 ± √2)/7 √2 ＝ 1.41… だから (3 + √2)/7 ＝ 4.41…/7 ＝ 0.63… 2/3 ＝ 0.666… > 0.63… だから 2/3 ≦ a < 1 では T′ > 0 よって T は増加する ヘ ＝ ②
第３問 〔選択問題〕 数列（等比数列と、対数を含む数列の和）
等比数列の最初の3項について「積」と「和」が与えられ、公比が実数として存在する条件を導きます。後半は等比数列に対数を掛けた数列の和で、Uₙ − rUₙ を計算する定番の手法を使います。
ア，イ：正解 8，7（配点4）
＜問題要旨＞
初項1、公比2の等比数列 {sₙ} について、s₁s₂s₃ と s₁＋s₂＋s₃ を求めます。
＜考え方＞
最初の3項を書き出すだけです。あとの設問の意味を確かめるための導入になっています。
s₁ ＝ 1, s₂ ＝ 2, s₃ ＝ 4 s₁s₂s₃ ＝ 1 × 2 × 4 ＝ 8 s₁ + s₂ + s₃ ＝ 1 + 2 + 4 ＝ 7 よって ア ＝ 8, イ ＝ 7
ウ：正解 a（配点2）
＜問題要旨＞
初項 x、公比 r の等比数列で s₁s₂s₃ ＝ a³ のとき、xr の値を求めます。
＜考え方＞
3項の積は x · xr · xr² ＝ x³r³ ＝ (xr)³ とまとめられます。3乗どうしが等しいので、実数の範囲では中身も等しくなります。
s₁s₂s₃ ＝ x × xr × xr²
＝ x³r³
＝ (xr)³
① より (xr)³ ＝ a³
xr, a は実数だから xr ＝ a
よって ウ ＝ a
エr²＋(オ−カ)r＋キ：正解 ar²＋(a−b)r＋a（配点3）
＜問題要旨＞
②と③から、r、a、b の満たす関係式を求めます。
＜考え方＞
②は x(1 ＋ r ＋ r²) ＝ b です。③より x ＝ a/r なので、これを代入して分母を払います。
② s₁ + s₂ + s₃ ＝ x + xr + xr² ＝ x(1 + r + r²) ＝ b ③ xr ＝ a より x ＝ a/r（r ≠ 0） 代入して (a/r)(1 + r + r²) ＝ b a(1 + r + r²) ＝ br a + ar + ar² ＝ br ar² + (a − b)r + a ＝ 0 よって エ ＝ a, オ ＝ a, カ ＝ b, キ ＝ a
クa²＋ケab−b²：正解 3a²＋2ab−b²（配点2）
＜問題要旨＞
④を満たす実数 r が存在するための、a と b の条件を求めます。
＜考え方＞
a ≠ 0 なので④は r の2次方程式です。実数解をもつ条件は判別式が 0 以上。最後に符号をそろえるため両辺に −1 を掛けます（不等号の向きが変わります）。
a ≠ 0 だから ④ は r の2次方程式 実数解をもつ ⟺ 判別式 ≧ 0 (a − b)² − 4 × a × a ≧ 0 a² − 2ab + b² − 4a² ≧ 0 −3a² − 2ab + b² ≧ 0 両辺に −1 を掛けて（不等号の向きが変わる） 3a² + 2ab − b² ≦ 0 よって ク ＝ 3, ケ ＝ 2
コ，サシ：正解 4，16（配点4）
＜問題要旨＞
a ＝ 64、b ＝ 336 のとき、公比が1より大きい等比数列の公比 r と初項 x を求めます。
＜考え方＞
④に値を代入して2次方程式を解きます。64 で割ると係数が小さくなり、因数分解しやすくなります。
④ に a ＝ 64, b ＝ 336 を代入 64r² + (64 − 336)r + 64 ＝ 0 64r² − 272r + 64 ＝ 0 16 で割って 4r² − 17r + 4 ＝ 0 (4r − 1)(r − 4) ＝ 0 r ＝ 1/4, 4 公比は1より大きいので r ＝ 4 ③ xr ＝ a より x ＝ 64/4 ＝ 16 よって コ ＝ 4, サシ ＝ 16
ス，セ：正解 1，1（配点2）
＜問題要旨＞
tₙ ＝ sₙ log₄ sₙ の一般項を求めます。
＜考え方＞
sₙ ＝ 16 · 4ⁿ⁻¹ を 4 の累乗の形に直すと、log₄ sₙ が指数そのものになります。
sₙ ＝ 16 × 4ⁿ⁻¹ ＝ 4² × 4ⁿ⁻¹ ＝ 4ⁿ⁺¹ log₄ sₙ ＝ log₄ 4ⁿ⁺¹ ＝ n + 1 tₙ ＝ sₙ log₄ sₙ ＝ (n + 1) × 4ⁿ⁺¹ よって ス ＝ 1, セ ＝ 1
(ソn＋タ)／チ，ツ：正解 (3n＋2)／9，2（配点2）
＜問題要旨＞
{tₙ} の初項から第 n 項までの和 Uₙ を求めます。
＜考え方＞
Uₙ − 4Uₙ を計算すると、途中の項が「係数の差 1」の等比数列になって整理できます。誘導どおりに1つずつずらして引くのがポイントです。
Uₙ ＝ 2·4² + 3·4³ + … + (n+1)·4ⁿ⁺¹
4Uₙ ＝ 2·4³ + … + n·4ⁿ⁺¹ + (n+1)·4ⁿ⁺²
Uₙ − 4Uₙ ＝ 2·4² + 4³ + 4⁴ + … + 4ⁿ⁺¹ − (n+1)·4ⁿ⁺²
−3Uₙ ＝ 32 + (4³ + … + 4ⁿ⁺¹) − (n+1)·4ⁿ⁺²
4³ + … + 4ⁿ⁺¹ ＝ 64(4ⁿ⁻¹ − 1)/3
整理すると
Uₙ ＝ {(3n + 2)/9} × 4ⁿ⁺² − 32/9
よって (ソn + タ)/チ ＝ (3n + 2)/9, ツ ＝ 2
テト／ナ：正解 32／9（配点1）
＜問題要旨＞
Uₙ の式の最後の定数部分を求めます。
＜考え方＞
上の計算で出てきた定数項です。n ＝ 1 を代入して検算しておくと安心です。
Uₙ ＝ {(3n + 2)/9} × 4ⁿ⁺² − 32/9
【検算】n ＝ 1 のとき
U₁ ＝ t₁ ＝ (1 + 1) × 4² ＝ 32
公式では (5/9) × 4³ − 32/9
＝ 320/9 − 32/9 ＝ 288/9 ＝ 32 ✓
よって テト/ナ ＝ 32/9
第４問 〔選択問題〕 ベクトル（正六角形と、垂線の交点）
原点を中心とする半径2の円に内接する正六角形が舞台です。頂点の座標がすべて具体的に決まるので、成分計算で押し切れます。(2) は交点を2通りに表して係数を比べる定石、(3) は垂直条件（内積が0）で点の座標を求めます。
(ア，√イ)，−ウ：正解 (1，√3)，−2（配点2）
＜問題要旨＞
点 B と点 D の座標を求めます。
＜考え方＞
A(2, 0) から60°ずつ回った位置に頂点が並びます。半径2なので、B は (2cos60°, 2sin60°)、D は A の正反対です。
正六角形の頂点は中心角60°ずつ B ＝ (2cos60°, 2sin60°) ＝ (1, √3) C ＝ (2cos120°, 2sin120°) ＝ (−1, √3) D ＝ (2cos180°, 2sin180°) ＝ (−2, 0) B は第1象限にあり、条件に合う よって ア ＝ 1, イ ＝ 3, ウ ＝ 2
−エ／オ，√カ／キ：正解 −5／2，√3／2（配点2）
＜問題要旨＞
線分 BD の中点を M とするとき、ベクトル AM の成分を求めます。
＜考え方＞
まず M の座標を出し、A から M へのベクトルとして引き算します。
B(1, √3), D(−2, 0) より M ＝ ((1 − 2)/2, (√3 + 0)/2) ＝ (−1/2, √3/2) AM ＝ M − A ＝ (−1/2 − 2, √3/2 − 0) ＝ (−5/2, √3/2) よって −エ/オ ＝ −5/2, √カ/キ ＝ √3/2
ク，√ケ：正解 1，√3（配点2）
＜問題要旨＞
ベクトル DC の成分を求めます。
＜考え方＞
C の座標から D の座標を引きます。
C(−1, √3), D(−2, 0) より DC ＝ C − D ＝ (−1 − (−2), √3 − 0) ＝ (1, √3) よって ク ＝ 1, ケ ＝ 3
コ／サ，シ／ス：正解 4／3，2／3（配点4）
＜問題要旨＞
ON ＝ OA ＋ r AM ＝ OD ＋ s DC となる r と s を求めます。
＜考え方＞
同じ点 N を2通りに表しているので、x 成分どうし・y 成分どうしが等しくなります。y 成分の式から r と s の関係が先に分かります。
ON ＝ OA + r AM ＝ (2 − 5r/2, √3 r/2) ON ＝ OD + s DC ＝ (−2 + s, √3 s) y 成分：√3 r/2 ＝ √3 s → r ＝ 2s x 成分：2 − 5r/2 ＝ −2 + s r ＝ 2s を代入して 2 − 5s ＝ −2 + s 4 ＝ 6s s ＝ 2/3, r ＝ 4/3 よって コ/サ ＝ 4/3, シ/ス ＝ 2/3
−セ／ソ，タ√チ／ツ：正解 −4／3，2√3／3（配点2）
＜問題要旨＞
ベクトル ON の成分を求めます。
＜考え方＞
求めた s を ON ＝ OD ＋ s DC に代入します（r を使って OA 側から計算しても同じです）。
ON ＝ OD + s DC に s ＝ 2/3 を代入 ＝ (−2, 0) + (2/3)(1, √3) ＝ (−2 + 2/3, 2√3/3) ＝ (−4/3, 2√3/3) よって −セ/ソ ＝ −4/3, タ√チ/ツ ＝ 2√3/3
テ，ト＋√ナ：正解 2，a＋√3（配点2）
＜問題要旨＞
線分 BF 上の点 P（y 座標が a）について、ベクトル EP の成分を求めます。
＜考え方＞
B(1, √3)、F(1, −√3) なので線分 BF は x ＝ 1 上にあり、P ＝ (1, a) です。E(−1, −√3) から引きます。
B(1, √3), F(1, −√3) より線分 BF は x ＝ 1 上 よって P ＝ (1, a) E ＝ (2cos240°, 2sin240°) ＝ (−1, −√3) EP ＝ P − E ＝ (1 − (−1), a − (−√3)) ＝ (2, a + √3) よって テ ＝ 2, ト + √ナ ＝ a + √3
(ニa^ヌ＋ネ)／ノ，ハ：正解 (−a²＋1)／2，a（配点3）
＜問題要旨＞
点 P から直線 CE に引いた垂線と、点 C から直線 EP に引いた垂線の交点 H の座標を、a を用いて表します。
＜考え方＞
C(−1, √3)、E(−1, −√3) なので直線 CE は x ＝ −1 の縦線です。P からこれに引いた垂線は横線 y ＝ a なので、H の y 座標は a と決まります。x 座標は「CH と EP が垂直」＝内積が0 から求めます。
直線 CE は x ＝ −1（縦線） P から引いた垂線は横線 y ＝ a よって H の y 座標は a → ハ ＝ a H ＝ (h, a) とおくと CH ＝ (h + 1, a − √3) CH ⊥ EP より内積が 0 2(h + 1) + (a + √3)(a − √3) ＝ 0 2h + 2 + a² − 3 ＝ 0 2h ＝ 1 − a² h ＝ (−a² + 1)/2 よって (ニa^ヌ + ネ)/ノ ＝ (−a² + 1)/2
±ヒ／フヘ：正解 ±5／12（配点3）
＜問題要旨＞
OP と OH のなす角を θ とするとき、cosθ ＝ 12/13 となる a の値を求めます。
＜考え方＞
内積と大きさを a で表します。|OH| を計算すると (a² ＋ 1)/2 ときれいにまとまり、cosθ が 1/√(1 ＋ a²) という簡単な形になります。
OP ＝ (1, a), OH ＝ ((1 − a²)/2, a)
内積 ＝ (1 − a²)/2 + a² ＝ (1 + a²)/2
|OP| ＝ √(1 + a²)
|OH| ＝ √{(1 − a²)²/4 + a²}
＝ √{(a⁴ + 2a² + 1)/4}
＝ (a² + 1)/2
cosθ ＝ 内積 ÷ (|OP||OH|)
＝ {(1 + a²)/2} ÷ {√(1 + a²) × (a² + 1)/2}
＝ 1/√(1 + a²)
1/√(1 + a²) ＝ 12/13
√(1 + a²) ＝ 13/12
1 + a² ＝ 169/144
a² ＝ 25/144
よって a ＝ ±5/12
第５問 〔選択問題〕 確率分布と統計的な推測（二項分布と確率密度関数）
前半は二項分布の平均と標準偏差から n と p を逆算し、正規分布で近似して確率を求めます。後半は折れ線状の確率密度関数を積分して、確率と平均を計算します。公式を順に当てはめれば完答できる標準的なセットです。
アイウ，エ／オカ：正解 152，8／27（配点6）
＜問題要旨＞
二項分布に従う W について、平均 m ＝ 1216/27、標準偏差 σ ＝ 152/27 から n と p を求めます。
＜考え方＞
m ＝ np、σ² ＝ np(1 − p) です。σ² を m で割ると 1 − p だけが残るので、先に p が求まります。
m ＝ np ＝ 1216/27
σ² ＝ np(1 − p) ＝ (152/27)² ＝ 23104/729
σ²/m ＝ 1 − p だから
1 − p ＝ (23104/729) ÷ (1216/27)
＝ 23104/(729) × 27/1216
＝ 23104/(27 × 1216)
＝ 19/27
p ＝ 1 − 19/27 ＝ 8/27
n ＝ m/p ＝ (1216/27) ÷ (8/27) ＝ 152
よって アイウ ＝ 152, エ/オカ ＝ 8/27
キ.クケ：正解 1.25（配点3）
＜問題要旨＞
P(W ≧ 38) を標準化した形に直したときの値を求めます。
＜考え方＞
(38 − m)/σ を計算します。分母と分子の 27 が約分できます。
(38 − m)/σ ＝ (38 − 1216/27) ÷ (152/27) 分子・分母を27倍して ＝ (38 × 27 − 1216)/152 ＝ (1026 − 1216)/152 ＝ −190/152 ＝ −1.25 よって P(W ≧ 38) ＝ P(Z ≧ −1.25) キ.クケ ＝ 1.25
0.コサ：正解 0.89（配点3）
＜問題要旨＞
正規分布表を用いて P(Z ≧ −1.25) の近似値を求めます。
＜考え方＞
標準正規分布は 0 を中心に左右対称です。P(Z ≧ −1.25) は「0 以上の全体 0.5」と「0 から 1.25 までの分」の和になります。
標準正規分布は左右対称だから P(Z ≧ −1.25) ＝ 0.5 + P(0 ≦ Z ≦ 1.25) 正規分布表より P(0 ≦ Z ≦ 1.25) ＝ 0.3944 P(Z ≧ −1.25) ＝ 0.5 + 0.3944 ＝ 0.8944 小数第3位を四捨五入して 0.89 よって 0.コサ ＝ 0.89
シ／ス：正解 1／8（配点2）
＜問題要旨＞
確率密度関数 f(x) をもつ X について、a ≦ X ≦ (3/2)a となる確率を求めます。
＜考え方＞
区間 a ≦ x ≦ (3/2)a は 0 ≦ x ≦ 2a の側にあるので、f(x) ＝ (1/(3a²))(2a − x) を積分します。
求める確率は ∫[a → 3a/2] (1/(3a²))(2a − x) dx ＝ (1/(3a²)) [ 2ax − x²/2 ][a → 3a/2] x ＝ 3a/2 のとき 3a² − 9a²/8 ＝ 15a²/8 x ＝ a のとき 2a² − a²/2 ＝ 12a²/8 差 ＝ 3a²/8 確率 ＝ (1/(3a²)) × 3a²/8 ＝ 1/8 よって シ/ス ＝ 1/8
セ／ソ：正解 a／3（配点3）
＜問題要旨＞
X の平均 E(X) を求めます。
＜考え方＞
定義 E(X) ＝ ∫ x f(x) dx を、2つの区間に分けて計算します。
E(X) ＝ ∫[−a → 0] x × (2/(3a²))(x + a) dx
+ ∫[0 → 2a] x × (1/(3a²))(2a − x) dx
第1項
(2/(3a²)) ∫[−a → 0] (x² + ax) dx
＝ (2/(3a²)) × (−a³/6) ＝ −a/9
第2項
(1/(3a²)) ∫[0 → 2a] (2ax − x²) dx
＝ (1/(3a²)) × (4a³/3) ＝ 4a/9
E(X) ＝ −a/9 + 4a/9 ＝ a/3
よって セ/ソ ＝ a/3
タチ／ツ＋テ：正解 2a／3＋7（配点3）
＜問題要旨＞
Y ＝ 2X ＋ 7 としたときの Y の平均を求めます。
＜考え方＞
平均の性質 E(aX ＋ b) ＝ aE(X) ＋ b をそのまま使います。
E(Y) ＝ E(2X + 7) ＝ 2E(X) + 7 ＝ 2 × (a/3) + 7 ＝ 2a/3 + 7 よって タチ/ツ ＝ 2a/3, テ ＝ 7
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。