2025年度 大学入学共通テスト 本試験「旧数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2025年度（令和7年度）大学入学共通テスト本試験「旧数学Ⅱ・旧数学B」の全７大問・53設問について、解答と考え方をまとめました。100点満点、試験時間60分。第１問〜第４問は必答、第５問〜第７問のうちから2問を選択して計6問に解答します。旧教育課程履修者のための科目です。
この年度は新旧課程の移行期にあたり、大問の多くが他科目と共通でした。第１問〜第３問は新課程「数学Ⅱ，数学B，数学C」の第１問〜第３問および「旧数学Ⅱ」の第１問〜第３問と、第４問は「旧数学Ⅱ」の第５問と、第６問・第７問は新課程の第４問・第６問と、それぞれ同一問題です（設問文・図表・選択肢・正解・配点のすべてが一致）。
この科目だけの出題は第５問（統計的な推測）です。標本平均の分布から信頼区間を求め、さらに「1円あたりの寿命」という変換後の量へ話を進める構成で、確率変数を定数で割ると分散は定数の2乗で割られるという一点を押さえられるかが勝負になります。
第１問（必答） 三角関数の方程式
sin(θ + π/ア) ＝ sin2θ を、和が π になる場合と差が 2nπ になる場合に分けて解く問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第１問、および旧数学Ⅱ 第１問と同一問題」です。配点15。
ア，イ，ウ：正解 ⑥, ③, ②（配点2）
＜考え方＞
まず α ＝ β となる場合を調べます。
θ ＋ π/6 ＝ 2θ θ ＝ π/6 → ア ＝ ⑥ このとき sin(θ ＋ π/6) ＝ sin(π/3) ＝ √3 / 2
よって ア＝⑥、イ＝③、ウ＝②。
エ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
この設問がこの大問の鍵です。ここを取り違えると以降がすべて崩れます。
＜考え方＞
単位円上で、角 α の動径の先が点P、角 β の動径の先が点Qです。単位円上の点の座標は (cos, sin) なので、
点Pの座標 ＝ (cos α, sin α) 点Qの座標 ＝ (cos β, sin β) sin α ＝ sin β → 点Pと点Qの y座標が等しい
２点が同じ点とは限らず、y軸に関して対称な位置にある場合もあります。よって エ＝②。
オ，カ，キ，ク：正解 ②, ⑤, ①, ⑧（配点3）
＜考え方＞
0 ≦ θ ≦ π/2 のとき β ＝ 2θ は 0 ≦ β ≦ π の範囲にあります。y座標が等しく角が異なる２点は、y軸に関して対称なので α ＋ β ＝ π を満たします。
α ＋ β ＝ π → オ ＝ ②（π） (θ ＋ π/6) ＋ 2θ ＝ π 3θ ＝ π − π/6 ＝ 5π/6 θ ＝ 5π/18
よって オ＝②、カ＝⑤、キ＝①、ク＝⑧。
ケ，コ，サ，シ，ス：正解 ⑥, ①, ⑦, ①, ⑧（配点3）
＜問題要旨＞
β の範囲が変わると、対称の中心となる角も変わります。範囲の確認を怠ると α ＋ β ＝ π のまま計算して誤答します。
＜考え方＞
π/2 ＜ θ ＜ π のとき β ＝ 2θ は π ＜ β ＜ 2π。この範囲で y座標が等しくなる対称の関係は、π ではなく 3π を基準にします。
α ＋ β ＝ 3π → ケ ＝ ⑥（3π） (θ ＋ π/6) ＋ 2θ ＝ 3π 3θ ＝ 3π − π/6 ＝ 17π/6 θ ＝ 17π/18 （π/2 ＜ 17π/18 ＜ π を満たす）
よって ケ＝⑥、コ＝①、サ＝⑦、シ＝①、ス＝⑧。以上より①の解は θ ＝ π/6、5π/18、17π/18 の３つです。
セ：正解 ⑥（配点1）
＜考え方＞
cos の場合は「角が等しい」か「符号だけ違う」かの２通りです。
2θ ＝ (θ ＋ π/6) ＋ 2nπ θ ＝ π/6 ＋ 2nπ → θ ＝ π/6
よって セ＝⑥。
ソ，タ，チ，ツ：正解 ①, ①, ①, ⑧（配点3）
＜考え方＞
もう一方の場合、つまり符号が反対になる場合を調べます。
2θ ＝ −(θ ＋ π/6) ＋ 2nπ 3θ ＝ −π/6 ＋ 2nπ θ ＝ −π/18 ＋ 2nπ/3 n ＝ 1 のとき θ ＝ −π/18 ＋ 12π/18 ＝ 11π/18 （0 ≦ θ ＜ π を満たす） n ＝ 0 は負、n ＝ 2 は π を超えるため不適
よって ソ＝①、タ＝①、チ＝①、ツ＝⑧。
第２問（必答） 常用対数と水草の増殖
水草の量が一定割合で増えていく状況を、常用対数表を使って数値的に追う問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第２問、および旧数学Ⅱ 第２問と同一問題」です。配点15。
ア：正解 ③（配点3）
＜考え方＞
1日ごとに r 倍になるなら、3日で r を3回かけることになります。
3日後 ＝ 元の量 × r × r × r ＝ 元の量 × r³ r³ ＝ 1.32
よって ア＝③。
イ：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
常用対数表で「1.3」の行、「2」の列を読みます。
log₁₀ 1.32 ＝ 0.1206
よって イ＝①。
ウ，エ，オ，カ：正解 ⓪, ④, ⓪, ②（配点2）
＜考え方＞
r³ ＝ 1.32 の両辺の常用対数をとります。
3 log₁₀ r ＝ log₁₀ 1.32 ＝ 0.1206 log₁₀ r ＝ 0.1206 ÷ 3 ＝ 0.0402
よって ウ＝⓪、エ＝④、オ＝⓪、カ＝②。
キ，ク，ケ：正解 ③, ⑥, ⓪（配点2）
＜考え方＞
1日で r 倍なので、14日では r を14回かけます。作業直後が a ％、14日目にちょうど60％です。
a × r¹⁴ ＝ 60 キ ＝ ③（r¹⁴）, クケ ＝ 60
よって キ＝③、ク＝⑥、ケ＝⓪。
コ：正解 ③（配点3）
＜考え方＞
①の両辺の常用対数をとります。log₁₀ 60 は 6×10 と分解して求めます。
log₁₀ 60 ＝ log₁₀ 6 ＋ log₁₀ 10
＝ 0.7782 ＋ 1 ＝ 1.7782
log a ＋ 14 log r ＝ log 60
log a ＝ 1.7782 − 14 × 0.0402
＝ 1.7782 − 0.5628
＝ 1.2154
よって コ＝③。
サ，シ：正解 ①, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
対数の値から元の数を逆に読み取る設問です。常用対数表を逆引きする操作に慣れているかが問われます。
＜考え方＞
log₁₀ a ＝ 1.2154 の整数部分1は「10の1乗の桁」を意味します。
log₁₀ a ＝ 1 ＋ 0.2154 a ＝ 10 × 10^0.2154 常用対数表で 0.2154 に近い値を探すと log 1.64 ＝ 0.2148 log 1.65 ＝ 0.2175 0.2154 は 1.64 のすぐ上なので 10^0.2154 ≒ 1.642 a ≒ 16.42
a 以下で最大の整数は 16。よって サ＝①、シ＝⑥。
第３問（必答） 微分・積分と極値
2次関数 f(x) と、その導関数が f になる関数 F(x)・G(x) の極値を調べる問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第３問、および旧数学Ⅱ 第３問と同一問題」です。配点22。
ア，イ：正解 ⑥, ⑥（配点2）
F(x) ＝ 2x³ ＋ 3x² f(x) ＝ F′(x) ＝ 6x² ＋ 6x
よって ア＝⑥、イ＝⑥。
ウ，エ：正解 −, ①（配点2）
＜考え方＞
f(x) ＝ 6x(x ＋ 1) の符号を調べます。
f(x) ＝ 0 → x ＝ −1, 0 x ＜ −1 ：f ＞ 0（F は増加） −1 ＜ x ＜ 0：f ＜ 0（F は減少） 0 ＜ x ：f ＞ 0（F は増加）
増加から減少に変わる x ＝ −1 で極大となります。よって ウエ＝−1。
オ，カ：正解 ②, ③（配点2）
G′(x) ＝ f(x) ＝ 6x² ＋ 6x を積分します。
G(x) ＝ 2x³ ＋ 3x² ＋ C
よって オ＝②、カ＝③。
キ：正解 ⓪（配点2）
G の導関数も f なので、増減の様子は F とまったく同じです。減少から増加に変わる x ＝ 0 で極小となります。よって キ＝⓪。
ク，ケ：正解 −, ①（配点1）
＜考え方＞
G(x) は x ＝ k で極大値0をとる、という条件を使います。G の極大は x ＝ −1 なので k ＝ −1 です。
G(−1) ＝ 2(−1)³ ＋ 3(−1)² ＋ C
＝ −2 ＋ 3 ＋ C ＝ 1 ＋ C
1 ＋ C ＝ 0 → C ＝ −1
よって クケ＝−1。
コ，サ：正解 ⓪, ⓪（配点1）
F(x) が x ＝ 0 で極小値をとるので、F′(0) ＝ f(0) ＝ 0。また極小なので、f の符号は負から正に変わります。よって コ＝⓪、サ＝⓪。
シ，ス：正解 ⓪, ①（配点1）
G(x) が x ＝ k で極大値をとるので f(k) ＝ 0。極大なので f の符号は正から負に変わります。よって シ＝⓪、ス＝①。
セ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
ここまでの符号の情報だけでグラフの概形を決めます。F(0) ＝ 0 という条件（極小値が0）を見落とすと選べません。
＜考え方＞
f の符号 x ＜ 0：負 / 0 ＜ x ＜ k：正 / k ＜ x：負
F の増減 x ＜ 0：減少
0 ＜ x ＜ k：増加
k ＜ x：減少
・x ＝ 0 で極小、その値は 0（x軸に接する）
・x ＝ k（＞0）で極大、値は正
・その後は減少して x軸を横切る
・左端では F は正の側から下りてくる
この形に合うのは セ＝③ です。
ソ，タ：正解 ③, ⓪（配点2）
＜考え方＞
微分積分の基本定理を使います。F(0) ＝ 0 であることがポイントです。
∫[0→x] f(t)dt ＝ F(x) − F(0) ＝ F(x) − 0 ＝ F(x) 上端が x（③）、下端が 0（⓪）
よって ソ＝③、タ＝⓪。
チ，ツ：正解 ②, ⓪（配点2）
F(x) の極大値は x ＝ k のときの値なので、上端を k にします。
F(k) ＝ ∫[0→k] f(t)dt 上端が k（②）、下端が 0（⓪）
よって チ＝②、ツ＝⓪。
テ，ト：正解 ⓪, ⓪（配点2）
＜考え方＞
0 ≦ x ≦ k で f(x) ≧ 0 なので、この定積分はそのまま面積を表します。
∫[0→k] f(t)dt は y ＝ f(x) のグラフと x軸で囲まれた図形の面積
被積分関数が f なので、囲む曲線は y ＝ f(x) です。F(x) や G(x) ではありません。よって テ＝⓪、ト＝⓪。
ナ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
この大問の締めくくりで、最も差がつきます。導関数が同じ２つの関数は定数だけ違うという関係を、極値の比較に翻訳します。
＜考え方＞
F′ ＝ G′ ＝ f なので、ある定数 C′ を用いて G(x) ＝ F(x) ＋ C′ と書けます。
G は x ＝ k で極大値 0 をとるので G(k) ＝ F(k) ＋ C′ ＝ 0 C′ ＝ −F(k) G の極小値は x ＝ 0 のときなので G(0) ＝ F(0) ＋ C′ ＝ 0 − F(k) ＝ −F(k) したがって F(k) ＝ −G(0) （F の極大値） ＝ −（G の極小値）
よって ナ＝②（極小値の −1倍）。
第４問（必答） 三角形の傍心と軌跡
△ABC の内角∠A の二等分線と、頂点 B・C における外角の二等分線が交わる点 P（∠A に対する傍心）の軌跡を、座標平面上で追う問題。A(−1, 0)、B(1, 0)、C は単位円の上半分を動きます。加法定理で「傾き」を作り、軌跡の方程式に持ち込むのが全体の流れです。配点16。
ア：正解 ②（配点2）
＜考え方＞
AB は x 軸の正の向き、∠BAC ＝ θ なので、半直線 AC は x 軸と角 θ をなします。AP はその∠BAC を二等分する直線です。
直線 AP が x 軸となす角 ＝ θ/2 m ＝ tan(θ/2)
よって ア＝②（tan(θ/2)）。
イ，ウ：正解 ⑤, ⑤（配点3）
＜考え方＞
AB が円の直径なので∠ACB ＝ π/2（タレスの定理）。頂点 B の内角と外角を順に出し、加法定理で m の式に直します。
∠ACB ＝ π/2 ∠ABC ＝ π − θ − π/2 ＝ π/2 − θ 頂点 B の外角 ＝ π − (π/2 − θ) ＝ θ + π/2 … 問題文と一致 BP はこの外角の二等分線なので x 軸となす角 ＝ (θ + π/2)/2 ＝ θ/2 + π/4 傾き ＝ tan(θ/2 + π/4) … イ＝⑤ 与えられた加法定理に α ＝ θ/2、β ＝ π/4 を代入 tan(θ/2 + π/4) ＝ (tan(θ/2) + tan(π/4))/(1 − tan(θ/2)tan(π/4)) ＝ (m + 1)/(1 − m) … ウ＝⑤
よって イ＝⑤、ウ＝⑤で、直線 BP は y ＝ {(m+1)/(1−m)}(x − 1)。
外角の二等分線は「AB を B の側へ延ばした向き」から測ります。図の○印が示しているのがこの角で、tan(π/4) ＝ 1 が使えるおかげで式がきれいにまとまります。
エ，オ，カ，キ：正解 ②, ①, ①, ②（配点3）
＜考え方＞
① から m ＝ y/(x+1) を作り、② に代入して m を消去します。分母を払って整理するのが最短です。
(m+1)/(1−m) に m ＝ y/(x+1) を代入
＝ (y + x + 1)/(x + 1 − y)
y ＝ (x + y + 1)(x − 1)/(x + 1 − y)
y(x + 1 − y) ＝ (x + y + 1)(x − 1)
xy + y − y² ＝ x² + xy − y − 1
y − y² ＝ x² − y − 1
x² + y² − 2y − 1 ＝ 0
平方完成して
x² + (y − 1)² ＝ 2
よって エ＝2、オ＝1、円 E は中心 (0, 1)、半径 √2 で カ＝1、キ＝2。
A(−1, 0) と B(1, 0) がこの円上にあること（1 + 1 ＝ 2）を確かめると検算になります。
ク，ケ：正解 ②, ①（配点2）
＜考え方＞
まず m の範囲を θ の範囲から決め、次に「直線 AP 上の y ＞ 0 の点」が満たす条件に翻訳します。
0 ＜ θ ＜ π/2 ⟹ 0 ＜ θ/2 ＜ π/4 ⟹ 0 ＜ tan(θ/2) ＜ 1 すなわち 0 ＜ m ＜ 1 … ク＝② 点 (x, y) が直線 AP 上で y ＞ 0 m ＝ y/(x+1) で 0 ＜ m ＜ 1 ⟹ x + 1 ＞ 0 かつ y ＜ x + 1 ⟹ 0 ＜ y ＜ x + 1 … ケ＝①
よって ク＝②、ケ＝①。
tan は 0 ＜ θ/2 ＜ π/4 で単調増加、tan 0 ＝ 0、tan(π/4) ＝ 1 ——この二つの端点から範囲が決まります。
コ：正解 ②（配点3）
＜考え方＞
円 E：x² + (y−1)² ＝ 2 のうち、0 ＜ y ＜ x + 1 を満たす部分を図示します。境界との交点を先に求めるのが定石です。
円 E と直線 y ＝ x + 1 の交点 x² + x² ＝ 2 ⟹ x ＝ ±1 ⟹ (1, 2) と (−1, 0) 円 E と x 軸（y ＝ 0）の交点 x² + 1 ＝ 2 ⟹ x ＝ ±1 ⟹ (1, 0) と (−1, 0) 0 ＜ y ＜ x + 1 を満たすのは (1, 0) から右へ回って (√2, 1) を通り (1, 2) に至る弧 （両端は含まない）
よって コ＝②——中心 (0, 1)・最高点 1 + √2 の円に直線 y ＝ x + 1 を重ね、(1, 0) から (1, 2) までの右側の弧が実線で描かれた図です。
①③⑤は円の最高点が 2 + √5 で中心が (0, 2) の別の円。まず円そのものを見分ければ半分に絞れます。
サ，シ：正解 ⑥, ①（配点3）
＜考え方＞
(1) と同じ構図がもう一段入れ子になります。AQ は∠BAP を二等分するので、AQ が x 軸となす角は θ/4 です。
∠BAP ＝ θ/2、AQ はその二等分線
m′ ＝ tan(θ/4)
△ABP の頂点 B の内角
∠ABP ＝ ∠ABC ＋（Bの外角の半分）
＝ (π/2 − θ) + (θ/2 + π/4)
＝ 3π/4 − θ/2
△ABP における頂点 B の外角
＝ π − (3π/4 − θ/2) ＝ π/4 + θ/2
BQ が x 軸となす角 ＝ π/8 + θ/4
傾き ＝ tan(θ/4 + π/8)
＝ (m′ + tan(π/8))/(1 − m′ tan(π/8)) … サ＝⑥
直線 AQ：y ＝ m′(x + 1) ⟹ m′ ＝ y/(x+1) … シ＝①
よって サ＝⑥、シ＝①。
(1) では tan(π/4) ＝ 1 が使えて式が簡単になりましたが、ここは tan(π/8) が値として求まらないためそのまま残ります。形は (1) と完全に同じ——角が半分になっただけだと見抜ければ即答できます。
第５問（選択） 母平均の推定と「単位寿命」
蛍光灯の寿命を題材に、標本平均の分布・信頼区間・そして「1円あたりの寿命」という変換後の量の推定までを扱う問題。確率変数を定数で割ると分布のパラメータがどう変わるかが一貫したテーマです。配点16。
ア：正解 ⑥（配点2）
＜考え方＞
標本平均 X̄ の分布を問う、中心極限定理の基本形です。N( , ) の第2引数は分散であることに注意します。
母平均 m_X、母標準偏差 σ の母集団から大きさ n の無作為標本 E(X̄) ＝ m_X V(X̄) ＝ σ²/n （標準偏差は σ/√n） n が十分大きいとき X̄ ～ N(m_X, σ²/n)
よって ア＝⑥（σ²/n）。
①の σ/√n は標準偏差です。N(μ, σ²) という記法に合わせて分散を選ぶ——ここが最初の関門。
イ，ウ：正解 ⓪, ⑤（配点3）
＜考え方＞
n ＝ 100、標本平均 8900、標本標準偏差 750。母標準偏差の代わりに標本標準偏差を使ってよい、と明記されています。
標準誤差 ＝ 750/√100 ＝ 750/10 ＝ 75 信頼度95% の幅 ＝ 1.96 × 75 ＝ 147 8900 − 147 ＝ 8753 8900 + 147 ＝ 9047 8753 ≦ m_X ≦ 9047
よって イ＝⓪（8753）、ウ＝⑤（9047）。
1.96 × 75 ＝ 147 はちょうど整数になります。選択肢が 8753 / 8782 / 8820 … と近い値で並ぶので、√100 ＝ 10 の約分を落とさないことが大切。
エ：正解 ⑥（配点1）
＜考え方＞
Y_i ＝ X_i/1100 と定数で割った変数の標本平均 Ȳ について、アと同じ議論をします。
Y の母平均 ＝ m₀ ＝ m_X/1100 Y の母標準偏差 ＝ σ/1100 V(Ȳ) ＝ (σ/1100)²/n ＝ σ²/(1100²n) Ȳ ～ N(m₀, σ²/(1100²n))
よって エ＝⑥。
「定数 k で割ると標準偏差も k で割られ、分散は k² で割られる」——この違いを押さえていれば、アと同じ形で答えが出ます。
オ：正解 ③（配点2）
＜考え方＞
(1) の信頼区間を 1100 で割るだけでも求まります。ここでは定義どおり計算してみます。
Ȳ ＝ 8900/1100 ＝ 8.0909… 標本標準偏差 ＝ 750/1100 ＝ 0.68181… 標準誤差 ＝ 0.68181…/10 ＝ 0.068181… 1.96 × 0.068181… ＝ 0.13363… 8.0909… − 0.1336… ＝ 7.9573… 8.0909… + 0.1336… ＝ 8.2245… 【別解】(1) の区間を 1100 で割る 8753/1100 ＝ 7.9573… 9047/1100 ＝ 8.2245…
小数第2位までで表すと 7.96 ≦ m₀ ≦ 8.22 となり、オ＝③。
別解のほうが圧倒的に速いので、本番では (1) の答えを 1100 で割ると割り切ってしまいましょう。
カ：正解 ⑤（配点2）
＜考え方＞
単価を c 円とすると m_Y ＝ m_X/c。(1) の区間の両端をそのまま c で割ったものが a と b です。
a ＝ 8753/c、b ＝ 9047/c c が小さくなる ⟹ 8753/c も 9047/c も大きくなる ⟹ a と b はともに大きくなる
よって カ＝⑤。
分母が小さくなれば分数は大きくなる——考えてみれば当たり前ですが、「単価が安いほど1円あたりの寿命は長い」という意味を掴んでおくと迷いません。
キ：正解 ②（配点2）
＜考え方＞
区間の幅 b − a も c の式で書いてしまいます。
b − a ＝ 9047/c − 8753/c ＝ 294/c c が小さくなる ⟹ 294/c は大きくなる
よって キ＝②（大きくなる）。
幅も両端と同じく 1/c に比例します。カとキをまとめて「区間全体が右へずれながら広がる」と捉えると一息で判断できます。
ク：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
「信頼区間 a ≦ m_Y ≦ b が、A社の単位寿命 8 よりも大きい範囲に含まれる」を式にします。
区間 [a, b] 全体が 8 より大きい ⟺ 区間の左端が 8 を超える ⟺ a ＞ 8
よって ク＝①（a ＞ 8）。
④の b ＜ 8 は「区間全体が 8 より小さい」で逆向き。⑤の b ＞ 8 では区間の一部しか 8 を超えず条件を満たしません。「全体が含まれる」＝左端で決まると読み替えるのが要点です。
ケ，コ，サ，シ：正解 ①, ⓪, ⑨, ④（配点2）
＜考え方＞
a ＞ 8 を c の不等式に直し、それを満たす最大の整数を求めます。
a ＝ 8753/c ＞ 8 8753 ＞ 8c （c ＞ 0） c ＜ 8753/8 ＝ 1094.125 これを満たす最大の整数 c ＝ 1094
よって ケコサシ＝1094。
8753 ÷ 8 ＝ 1094.125 なので、1094 は条件を満たし 1095 は満たしません。等号の向きと「最大の整数」という指定を最後まで確認しましょう。
第６問（選択） 数列と格子点
図形の内部にある格子点の個数を数え、数列として一般化する問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第４問と同一問題」です。配点16。
ア，イ：正解 ⑤, ⑧（配点2）
＜考え方＞
直線 x ＝ n 上で、T の内部にある格子点の y座標は 0 ＜ y ＜ 3n を満たす整数です。境界は含まないことに注意します。
y ＝ 1, 2, …, 3n − 1 の (3n − 1) 個 aₙ ＝ 3n − 1 a₂ ＝ 3·2 − 1 ＝ 5 a₃ ＝ 3·3 − 1 ＝ 8
よって ア＝⑤、イ＝⑧。
ウ，エ，オ：正解 ⓪, ③, ⓪（配点2）
aₙ ＝ 3n − 1 は n の1次式なので等差数列です。
aₙ₊₁ − aₙ ＝ 3(n＋1) − 1 − (3n − 1) ＝ 3 公差 3 の等差数列
よって ウ＝⓪（公差）、エ＝③、オ＝⓪（等差）。
カ，キ，ク：正解 ⑥, ①, ⓪（配点3）
＜考え方＞
1 ≦ n ≦ 20 の範囲で aₙ を足し上げます。等差数列の和の公式を使います。
Σ[n=1→20] (3n − 1) ＝ 3 · Σn − Σ1 ＝ 3 · (20·21/2) − 20 ＝ 3 · 210 − 20 ＝ 630 − 20 ＝ 610
よって カキク＝610。
ケ：正解 ⑦（配点2）
＜考え方＞
今度は上の境界が y ＝ 2ˣ です。直線 x ＝ k 上の内部の格子点は 0 ＜ y ＜ 2ᵏ を満たす整数です。
y ＝ 1, 2, …, 2ᵏ − 1 の (2ᵏ − 1) 個
2ᵏ は整数なので、境界を除いた個数はちょうど 2ᵏ − 1 です。よって ケ＝⑦。
コ：正解 ①（配点2）
内部にある格子点を通る直線 x ＝ k の範囲を確認します。
U の内部は 0 ＜ x ＜ n ＋ 1 整数 k は 1 ≦ k ≦ n
よって和の上端は n。コ＝①。
サ：正解 ⑦（配点2）
＜考え方＞
等比数列の和の公式を使います。
Σ[k=1→n] (2ᵏ − 1) ＝ Σ2ᵏ − Σ1 ＝ (2^(n+1) − 2) − n ＝ 2^(n+1) − n − 2
よって サ＝⑦。
シ，ス，セ，ソ：正解 ③, −, ③, ②（配点3）
＜問題要旨＞
第４問で最も難しい設問です。「すべての自然数 n に対して」成り立つという条件から、n の恒等式として係数を比較します。
＜考え方＞
b² − 4ac ＜ 0 かつ a ＞ 0 なので、放物線は x軸と交わらず常に正の値をとります。したがって直線 x ＝ k 上の内部の格子点は (ak² ＋ bk ＋ c − 1) 個です。
総数 ＝ Σ[k=1→n] (ak² ＋ bk ＋ c − 1)
＝ a·n(n+1)(2n+1)/6 ＋ b·n(n+1)/2 ＋ (c−1)n
展開して n について整理すると
＝ (a/3)n³ ＋ {(a＋b)/2}n² ＋ (a/6 ＋ b/2 ＋ c − 1)n
これが すべての n で n³ に等しいので、各項の係数を比較します。
n³ の係数： a/3 ＝ 1 → a ＝ 3
n² の係数： (a＋b)/2 ＝ 0 → b ＝ −3
n の係数： a/6 ＋ b/2 ＋ c − 1 ＝ 0
1/2 − 3/2 ＋ c − 1 ＝ 0
c ＝ 2
条件の確認も忘れずに行います。a ＝ 3 ＞ 0、b² − 4ac ＝ 9 − 24 ＝ −15 ＜ 0 でどちらも満たします。よって シ＝③、スセ＝−3、ソ＝②。
第７問（選択） 空間ベクトルと球面
原点を中心とする半径1の球面上に三角形をとり、正三角形になる条件を内積で調べる問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第６問と同一問題」です。配点16。
ア：正解 ①（配点1）
点Cが半径1の球面S上にあるので、原点からの距離が1です。
|OC| ＝ 1 なので |OC|² ＝ 1 成分で表すと x² ＋ y² ＋ z² ＝ 1
よって ア＝①。
イ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
この設問が大問全体の鍵です。合同 → 対応する角が等しい → 内積が等しいという流れをつかめるかどうかで決まります。
＜考え方＞
△OAC と △OAB が合同なので ∠AOC ＝ ∠AOB。さらに |OA|＝|OB|＝|OC|＝1（すべて球面上の点）なので、
OA · OC ＝ |OA||OC| cos∠AOC OA · OB ＝ |OA||OB| cos∠AOB 大きさも角も等しいので OA · OC ＝ OA · OB
よって イ＝④。
ウ，エ，オ：正解 ⓪, ⓪, ⑤（配点3）
＜考え方＞
A(1, 0, 0)、B(a, √(1−a²), 0)、C(x, y, z) を成分計算に入れます。
OA · OB ＝ 1·a ＋ 0·√(1−a²) ＋ 0·0 ＝ a OA · OC ＝ 1·x ＋ 0·y ＋ 0·z ＝ x x ＝ a … ② → ウ ＝ ⓪ OB · OC ＝ a·x ＋ √(1−a²)·y ＋ 0·z a x ＋ √(1−a²) y ＝ a … ③
③の左辺の係数が エ、オ、右辺が ウ にあたります。よって ウ＝⓪、エ＝⓪、オ＝⑤。
カ，キ，ク，ケ，コ：正解 ③, ⑤, ③, ①, ⓪（配点2）
＜考え方＞
a ＝ 3/5 を②③に代入します。
x ＝ a ＝ 3/5 1 − a² ＝ 1 − 9/25 ＝ 16/25 √(1−a²) ＝ 4/5 ③より (3/5)(3/5) ＋ (4/5)y ＝ 3/5 9/25 ＋ (4/5)y ＝ 15/25 (4/5)y ＝ 6/25 y ＝ (6/25)(5/4) ＝ 3/10
よって カ／キ＝3/5、ク／ケコ＝3/10、つまり カ＝③、キ＝⑤、ク＝③、ケ＝①、コ＝⓪。
サ：正解 ②（配点2）
①に代入して z を求めます。
z² ＝ 1 − x² − y² ＝ 1 − 9/25 − 9/100 ＝ 100/100 − 36/100 − 9/100 ＝ 55/100 ＝ 11/20 ＞ 0 z ＝ ±√(11/20) の2つ
z が正のときと負のときで、球面の上側と下側に1つずつ点Cがとれます。よって サ＝②（ちょうど二つある）。
シ：正解 ⓪（配点2）
＜考え方＞
a ＝ −3/5 でも同様に計算します。後の(3)の公式を使うと速いです。
z² ＝ (1 ＋ 2a)(1 − a) / (1 ＋ a) a ＝ −3/5 のとき 1 ＋ 2a ＝ 1 − 6/5 ＝ −1/5 （負） 1 − a ＝ 8/5 （正） 1 ＋ a ＝ 2/5 （正） z² ＝ (−1/5)(8/5)/(2/5) ＝ −4/5 ＜ 0
z² が負になるため実数 z は存在しません。よって シ＝⓪（ない）。
ス：正解 ③（配点2）
＜考え方＞
②③から y を a で表し、①に代入します。
x ＝ a
③より √(1−a²) y ＝ a − a² ＝ a(1 − a)
y ＝ a(1−a) / √(1−a²)
y² ＝ a²(1−a)² / (1−a²)
＝ a²(1−a)² / {(1−a)(1＋a)}
＝ a²(1−a) / (1＋a)
z² ＝ 1 − a² − a²(1−a)/(1＋a)
＝ {(1−a²)(1＋a) − a²(1−a)} / (1＋a)
＝ (1−a){(1＋a)² − a²} / (1＋a)
＝ (1−a)(1 ＋ 2a) / (1＋a)
よって ス＝③。
セ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
第６問の締めくくりです。問題文に最初から与えられている −1 ＜ a ＜ 1 の条件を忘れないことが必要です。
＜考え方＞
z² ≧ 0 かつ 1 ＋ a ＞ 0 なので、分子が0以上であればよいことになります。
(1 ＋ 2a)(1 − a) ≧ 0 −1/2 ≦ a ≦ 1 もとの条件 −1 ＜ a ＜ 1 と合わせて −1/2 ≦ a ＜ 1
a ＝ 1 は最初の条件から除かれるため、右端は「未満」になります。よって セ＝④。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。