2021年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2021年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（合成と、係数 p による場合分け）
y ＝ sinθ ＋ p cosθ の最大値を、p を具体的な数から一般の文字へと広げながら求める設問です。p ＞ 0 のときは合成が使えますが、p ＜ 0 になると合成した角 α が定義域の外に出てしまいます。誘導が sin の合成から cos の合成に切り替わるのも、そこに理由があります。
sin(π／ア)：正解 sin(π／3)（配点2）
＜問題要旨＞
sin(π/ア) ＝ √3/2 かつ cos(π/ア) ＝ 1/2 を満たす値を求めます。
＜考え方＞
sin と cos が同時に条件を満たす角は π/3 です。ここで作った角が、次の合成でそのまま使われます。
イ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ sinθ ＋ √3 cosθ を イ sin(θ ＋ π/3) の形に合成します。
＜考え方＞
合成の係数は √(1² ＋ (√3)²) ＝ 2 です。展開して元の式に戻ることを確かめておくと安心です。
2 sin(θ + π/3) = 2( sinθ cos(π/3) + cosθ sin(π/3) ) = 2( sinθ·(1/2) + cosθ·(√3/2) ) = sinθ + √3 cosθ ○
π／ウ，エ：正解 π／6，2（配点2）
＜問題要旨＞
問題A の最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
0 ≦ θ ≦ π/2 なので θ ＋ π/3 は π/3 以上 5π/6 以下を動きます。この中に π/2 が入っているので、sin は 1 まで到達できます。
θ + π/3 = π/2 → θ = π/6 このとき y = 2·1 = 2
π／オ，カ：正解 π／2，1（配点1）
＜問題要旨＞
問題B で p ＝ 0 のときの最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
y ＝ sinθ そのものです。0 ≦ θ ≦ π/2 では単調に増加するので、右端で最大になります。
θ = π/2 のとき y = sin(π/2) = 1
キ：正解 ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
p ＞ 0 のとき、y ＝ sinθ ＋ p cosθ を √キ cos(θ − α) の形に表します。
＜考え方＞
与えられた加法定理 cos(θ−α) ＝ cosθ cosα ＋ sinθ sinα と係数を比べます。sinθ の係数が 1、cosθ の係数が p になればよい、という２本の式が立ちます。
√K cos(θ − α) = (√K cosα) cosθ + (√K sinα) sinθ √K sinα = 1 √K cosα = p 両辺を2乗して足すと K(sin²α + cos²α) = 1 + p² → K = 1 + p²
ク：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
sinα の分子を求めます。
＜考え方＞
上の連立から √(1+p²)·sinα ＝ 1、つまり sinα ＝ 1/√(1+p²) です。分子は 1 になります。
ケ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
cosα の分子を求めます。
＜考え方＞
同じく √(1+p²)·cosα ＝ p なので cosα ＝ p/√(1+p²)。分子は p です。p ＞ 0 なので sinα も cosα も正、確かに 0 ＜ α ＜ π/2 に収まります。
コ，サ：正解 ①，⑨（配点2）
＜問題要旨＞
p ＞ 0 のときの最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
y ＝ √(1+p²) cos(θ−α) なので、θ − α ＝ 0、つまり θ ＝ α のとき cos が 1 になり最大です。0 ＜ α ＜ π/2 なので、この θ は定義域 0 ≦ θ ≦ π/2 の中にちゃんとあります。
θ = α のとき最大値 √(1 + p²)
シ，ス：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
p ＜ 0 のときの最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
p ＜ 0 だと cosα ＝ p/√(1+p²) が負になり、α は 0 ＜ α ＜ π/2 の外に出てしまうので、上の議論は使えません。素直に、0 ≦ θ ≦ π/2 で sinθ と p cosθ のそれぞれがどこで最大になるかを見ます。
sinθ は θ = π/2 で最大（値 1）
p cosθ は p < 0 なので cosθ が最小のとき最大
cosθ の最小は θ = π/2（値 0）→ p cosθ = 0
両方が同時に θ = π/2 で最大 → y の最大値は 1
第１問 〔２〕 指数関数（2ˣ の和と差でつくる二つの関数）
f(x) ＝ (2ˣ ＋ 2⁻ˣ)/2、g(x) ＝ (2ˣ − 2⁻ˣ)/2 という、双曲線関数と呼ばれる関数を題材にした設問です。f が偶関数・g が奇関数で、f² − g² ＝ 1 が成り立つ——三角関数と似た性質が並ぶのが面白いところで、最後は「加法定理に似た式のうち、本当に成り立つのはどれか」を問われます。
セ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
f(0) を求めます。
＜考え方＞
2⁰ ＝ 1 を代入するだけです。f(0) ＝ (1＋1)/2 ＝ 1。
ソ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
g(0) を求めます。
＜考え方＞
同じく g(0) ＝ (1−1)/2 ＝ 0 です。三角関数でいう cos0 ＝ 1、sin0 ＝ 0 に対応しています。
タ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が最小になる x を求めます。
＜考え方＞
2ˣ ＞ 0、2⁻ˣ ＞ 0 なので相加平均・相乗平均の関係が使えます。等号は 2ˣ ＝ 2⁻ˣ のときで、これは x ＝ 0 のときです。
f(x) = (2ˣ + 2⁻ˣ)/2 ≧ √(2ˣ · 2⁻ˣ) = √1 = 1 等号成立は 2ˣ = 2⁻ˣ → x = −x → x = 0
チ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの最小値を求めます。
＜考え方＞
上の不等式から最小値は 1 です。f(0) ＝ 1 と一致しています。
log₂(√ツ−テ)：正解 log₂(√5−2)（配点2）
＜問題要旨＞
g(x) ＝ −2 となる x を求めます。
＜考え方＞
t ＝ 2ˣ とおくと t の分数方程式になり、整理すると t の 2 次方程式です。t ＞ 0 で絞ります。
(2ˣ − 2⁻ˣ)/2 = −2 → t − 1/t = −4 両辺 t 倍して t² + 4t − 1 = 0 t = (−4 ± √(16+4))/2 = −2 ± √5 t = 2ˣ > 0 より t = √5 − 2 x = log₂(√5 − 2)
ト：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
f(−x) を f(x), g(x) で表します。
＜考え方＞
x を −x に置きかえると 2ˣ と 2⁻ˣ が入れ替わりますが、f は和なので変わりません。f(−x) ＝ f(x)、すなわち偶関数です。
ナ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
g(−x) を f(x), g(x) で表します。
＜考え方＞
g は差なので、入れ替えると符号が反転します。g(−x) ＝ −g(x)、すなわち奇関数です。
ニ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
{f(x)}² − {g(x)}² を求めます。
＜考え方＞
和の 2 乗と差の 2 乗の差なので、展開すると交差項だけが 4 倍で残ります。
{f}² − {g}² = [ (2ˣ + 2⁻ˣ)² − (2ˣ − 2⁻ˣ)² ] / 4
= [ 4 · 2ˣ · 2⁻ˣ ] / 4
= 2ˣ⁻ˣ = 1
（三角関数の cos²θ + sin²θ = 1 に対応する関係）
ヌ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
g(2x) を f(x), g(x) で表します。
＜考え方＞
2 乗の差は和と差の積に分けられます。三角関数の 2 倍角 sin2θ ＝ 2 sinθ cosθ と同じ形になります。
g(2x) = (2²ˣ − 2⁻²ˣ)/2
= (2ˣ − 2⁻ˣ)(2ˣ + 2⁻ˣ) / 2
= 2 · (2ˣ − 2⁻ˣ)/2 · (2ˣ + 2⁻ˣ)/2
= 2 f(x) g(x)
ネ：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
(A)〜(D) のうち、つねに成り立つ式を選びます。
＜考え方＞
花子さんの助言どおり、β に 0 を入れてみるのが最短です。f(0) ＝ 1, g(0) ＝ 0 なので、右辺がすっきり潰れて反例がすぐ見つかります。
β = 0 を代入して調べる（f(0)=1, g(0)=0） (A) f(α) = f(α)·0 + g(α)·1 = g(α) … α=0 で 1 = 0 となり不成立 (C) g(α) = f(α)·1 + g(α)·0 = f(α) … α=0 で 0 = 1 となり不成立 (D) g(α) = f(α)·0 − g(α)·1 = −g(α) … g(α) ≡ 0 となり不成立 (B) f(α) = f(α)·1 + g(α)·0 = f(α) … 反例が出ない
残った (B) は、実際に右辺を計算すると左辺に一致します。
f(α)f(β) + g(α)g(β) = [ (2^α+2^−α)(2^β+2^−β) + (2^α−2^−α)(2^β−2^−β) ] / 4 = [ 2·2^(α+β) + 2·2^−(α+β) ] / 4 = (2^(α+β) + 2^−(α+β)) / 2 = f(α + β) ○
第２問 (1) 微分・積分（２次関数の接線と、囲まれた面積）
「y 軸との交点における接線」は、y ＝ ax² ＋ bx ＋ c なら y ＝ bx ＋ c——つまり 1 次以下の項をそのまま残したもの、という一点に尽きます。これに気づくと (1) は暗算で終わり、後半の面積計算に時間を回せます。
ア：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
① y ＝ 3x² ＋ 2x ＋ 3 と ② y ＝ 2x² ＋ 2x ＋ 3 の、y 軸との交点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入すると、どちらも定数項の 3 が残ります。
イx＋ウ：正解 2x＋3（配点2）
＜問題要旨＞
その交点における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
微分して x ＝ 0 を代入すると、どちらも傾きは 1 次の係数 2 になります。接点が (0, 3) なので接線は y ＝ 2x ＋ 3 です。
① y′ = 6x + 2 → y′(0) = 2 ② y′ = 4x + 2 → y′(0) = 2 接線 : y = 2x + 3
エ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
選択肢のうち、y 軸との交点における接線が y ＝ 2x ＋ 3 になるものを選びます。
＜考え方＞
y ＝ ax² ＋ bx ＋ c の接線は y ＝ bx ＋ c なので、b ＝ 2 かつ c ＝ 3 であるものを探すだけです。x² の係数は何でも構いません。
⓪ b=−2, c=−3 × ① b= 2, c=−3 × ② b= 2, c=−3 × ③ b=−2, c= 3 × ④ b= 2, c= 3 ○ ⑤ b=−2, c= 3 ×
オ：正解 c（配点1）
＜問題要旨＞
曲線 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 上の、x ＝ 0 に対応する点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入して c です。
カx＋キ：正解 bx＋c（配点2）
＜問題要旨＞
その点における接線 ℓ の方程式を求めます。
＜考え方＞
y′ ＝ 2ax ＋ b なので x ＝ 0 での傾きは b。点 (0, c) を通るので y ＝ bx ＋ c です。「2 次の項を落としたものが接線になる」と覚えておくと速く済みます。
クケ／コ：正解 −c／b（配点1）
＜問題要旨＞
接線 ℓ と x 軸との交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
bx ＋ c ＝ 0 を解くだけです。x ＝ −c/b。
ac^サ／(シ b^ス)：正解 ac³／(3b³)（配点4）
＜問題要旨＞
a, b, c が正の実数のとき、曲線と接線 ℓ、および直線 x ＝ −c/b で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
（曲線）−（接線）を作ると 2 次の項だけが残り、ax² というきわめて簡単な形になります。これを x ＝ −c/b から x ＝ 0 まで積分します。
(ax² + bx + c) − (bx + c) = ax² S = ∫[−c/b → 0] ax² dx = a [ x³/3 ]（−c/b から 0 まで） = a ( 0 − (−c/b)³/3 ) = a c³ / (3b³)
セ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
③ で a ＝ 1 とし、S を一定に保ちながら正の実数 b, c を変えるときの、b と c の関係を表すグラフを選びます。
＜考え方＞
S ＝ c³/(3b³) が一定ということは、c³/b³ が一定、つまり c/b が一定です。c は b の定数倍になるので、原点を通る右上がりの直線になります。
c³ / (3b³) = S（一定） (c/b)³ = 3S c/b = (3S)^(1/3)（正の定数） c = （正の定数）× b → 原点を通る直線
第２問 (2) 微分（３次関数と接線の差を調べる）
後半は 3 次関数です。同じく「y 軸との交点における接線は 1 次以下の項をそのまま残したもの」なので、f(x) − g(x) は ax³ ＋ bx² という 2 項だけになります。ここまで簡単になれば、共有点も最大値もすぐ求まります。
ソ：正解 5（配点1）
＜問題要旨＞
④⑤⑥ の 3 次関数のグラフの、y 軸との交点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入すると、３つとも定数項の 5 が残ります。
タx＋チ：正解 3x＋5（配点2）
＜問題要旨＞
その交点における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
微分して x ＝ 0 を代入すると、３つとも傾きは 1 次の係数 3 になります。
④ y′ = 12x² + 4x + 3 → y′(0) = 3 ⑤ y′ = −6x² + 14x + 3 → y′(0) = 3 ⑥ y′ = 15x² − 2x + 3 → y′(0) = 3 接線 : y = 3x + 5
ツ：正解 d（配点1）
＜問題要旨＞
曲線 y ＝ ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ d 上の、x ＝ 0 に対応する点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入して d です。
テx＋ト：正解 cx＋d（配点2）
＜問題要旨＞
その点における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
y′ ＝ 3ax² ＋ 2bx ＋ c より x ＝ 0 での傾きは c。点 (0, d) を通るので y ＝ cx ＋ d です。2 次関数のときと同じく、2 次以上の項を落としたものが接線になります。
ナ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
h(x) ＝ f(x) − g(x) について、a, b, c, d が正の実数であるときの y ＝ h(x) のグラフの概形を選びます。
＜考え方＞
差を取ると cx と d が消えて、たった 2 項になります。因数分解すると x ＝ 0 が重解であることがすぐ見えます。
h(x) = (ax³ + bx² + cx + d) − (cx + d)
= ax³ + bx²
= x²(ax + b)
零点 : x = 0（重解・接する）, x = −b/a（< 0 で交わる）
h′(x) = 3ax² + 2bx = x(3ax + 2b)
極値をとるのは x = −2b/(3a)（極大）と x = 0（極小、値 0）
左から上がってきて x ＝ −b/a で x 軸を横切り、極大を作ったあと下がって原点で x 軸に接し、再び上がる形です。
ニヌ／ネ，ノ：正解 −b／a，0（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ f(x) と y ＝ g(x) のグラフの共有点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
h(x) ＝ 0 を解くだけです。x²(ax ＋ b) ＝ 0 より x ＝ 0（重解）と x ＝ −b/a。
ハヒフ／ヘホ：正解 −2b／(3a)（配点3）
＜問題要旨＞
x が −b/a と 0 の間を動くとき、|f(x) − g(x)| が最大になる x を求めます。
＜考え方＞
この区間では h(x) ＞ 0 なので、|h| の最大は h の極大値そのものです。区間の両端では h ＝ 0 なので、内部の極大点が答えになります。
h′(x) = x(3ax + 2b) = 0 → x = 0, −2b/(3a) −b/a < −2b/(3a) < 0 なので、この点は区間の内部にある 両端は h = 0、内部で h > 0 だから、ここが最大 x = −2b/(3a)
第３問 確率分布と統計的な推測（高校生の読書時間の調査）
二項分布の正規近似と、母平均の信頼区間を扱う設問です。(4)(5) は計算ではなく「信頼区間とは何か」を問うています。標本が変われば区間も動く、けれども区間の幅は標本の大きさと母標準偏差だけで決まる——この二点を押さえていれば、計算せずに答えが出ます。
ア：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
母比率 0.5 のとき、100 人中で全く読書をしなかった生徒の数 X が従う分布を選びます。
＜考え方＞
「同じ確率で起こる試行を独立に 100 回」なので二項分布です。試行回数 100、確率 0.5 の B(100, 0.5) になります。
イウ：正解 50（配点2）
＜問題要旨＞
X の平均（期待値）を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の平均は np です。
E(X) = 100 × 0.5 = 50
エ：正解 5（配点2）
＜問題要旨＞
X の標準偏差を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の分散は np(1−p) です。
V(X) = 100 × 0.5 × 0.5 = 25 σ(X) = √25 = 5
オ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
母比率 0.5 のとき、全く読書をしなかった生徒が 36 人以下となる確率 p₅ の近似値を求めます。
＜考え方＞
X を正規分布 N(50, 5²) で近似し、標準化して正規分布表を引きます。
z = (36 − 50) / 5 = −2.8
P(X ≦ 36) ≒ P(Z ≦ −2.8)
= 0.5 − P(0 ≦ Z ≦ 2.8)
= 0.5 − 0.4974
= 0.0026 ≒ 0.003
カ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
母比率を 0.4 としたときの確率 p₄ と、p₅ の大小を比べます。
＜考え方＞
母比率が 0.4 なら平均は 40 まで下がるので、36 はぐっと平均に近づきます。標準化した値を比べるだけで大小がわかります。
平均 = 100 × 0.4 = 40 標準偏差 = √(100 × 0.4 × 0.6) = √24 ≒ 4.9 z = (36 − 40) / 4.9 ≒ −0.82 P(Z ≦ −0.82) ≒ 0.21 p₄ ≒ 0.21 、p₅ ≒ 0.003 なので p₄ > p₅
キクケ：正解 408（配点2）
＜問題要旨＞
母平均 m に対する信頼度 95% の信頼区間 C₁ ≦ m ≦ C₂ について、C₁ ＋ C₂ を求めます。
＜考え方＞
信頼区間は標本平均を中心に左右対称なので、両端の和は標本平均の 2 倍です。幅を計算する必要すらありません。
C₁ + C₂ = 2 × 204 = 408
コサ．シ：正解 58．8（配点2）
＜問題要旨＞
C₂ − C₁ を求めます。
＜考え方＞
信頼区間の幅は 2 × 1.96 ×（標準誤差）です。標準誤差は母標準偏差を √n で割ったものです。
標準誤差 = 150 / √100 = 150 / 10 = 15 C₂ − C₁ = 2 × 1.96 × 15 = 58.8
ス：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
母平均 m と C₁, C₂ の関係を選びます。
＜考え方＞
信頼度 95% とは「同じ手順を繰り返せば、そのうち約 95% の区間が母平均を含む」という意味です。いま手元にある 1 本の区間が母平均を含むかどうかは分かりません。したがって C₁ ≦ m も m ≦ C₂ も、必ず成り立つとは限りません。
セ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
図書委員会が別に行った調査で全く読書をしなかった生徒の数 n と、校長先生の調査結果 36 の大小を答えます。
＜考え方＞
同じ母集団から取った別の無作為標本なので、結果はばらつきます。36 より大きいことも小さいことも等しいこともあり得るため、大小は決まりません。
ソ，タ：正解 ②，④（配点4・各2）
＜問題要旨＞
図書委員会の調査による信頼区間 D₁ ≦ m ≦ D₂ と、校長先生の調査による C₁ ≦ m ≦ C₂ について、正しいものを二つ選びます。
＜考え方＞
「幅」と「位置」を分けて考えるのがこつです。幅は標本の大きさ 100 と母標準偏差 150 だけで決まるので必ず等しくなります。一方、位置は標本平均しだいなので自由に動き、まったく重ならないこともあり得ます。
幅 : どちらも 2 × 1.96 × 150/√100 = 58.8 → C₂ − C₁ = D₂ − D₁ が必ず成り立つ … ④ 正しい 位置 : 標本平均が離れれば区間も離れる → D₂ < C₁ や C₂ < D₁ となる場合もある … ② 正しい （⓪ 標本平均が一致するとは限らない ／ ① 二つの区間が必ず一部重なるとは限らない ③ ⑤ 幅は等しいので、大小がつくことはない）
第４問 数列（等差数列と等比数列を結ぶ漸化式）
等差数列 {aₙ} と等比数列 {bₙ} を一本の関係式で結び、そこから公差 p と公比 r を逆算する設問です。「① の両辺を bₙ で割る」という誘導に素直に乗ると、bₙ₊₁/bₙ ＝ r だけが残ってきれいに片づきます。後半は同じ形の漸化式を２回繰り返す構成なので、前半の型がそのまま使えます。
ア＋(n−1)p：正解 3＋(n−1)p（配点1）
＜問題要旨＞
初項 3、公差 p の等差数列 {aₙ} の一般項を書きます。
＜考え方＞
等差数列の一般項は（初項）＋（項番号 − 1）×（公差）です。aₙ ＝ 3 ＋ (n−1)p。
イ rⁿ⁻¹：正解 3rⁿ⁻¹（配点1）
＜問題要旨＞
初項 3、公比 r の等比数列 {bₙ} の一般項を書きます。
＜考え方＞
等比数列の一般項は（初項）×（公比）^(項番号 − 1) です。bₙ ＝ 3rⁿ⁻¹。
ウ aₙ₊₁＝r(aₙ＋エ)：正解 2aₙ₊₁＝r(aₙ＋3)（配点2）
＜問題要旨＞
① の両辺を bₙ で割って整理します。
＜考え方＞
r ≠ 0 なのですべての n で bₙ ≠ 0。割ると bₙ₊₁/bₙ が現れ、これが公比 r です。
aₙbₙ₊₁ − 2aₙ₊₁bₙ + 3bₙ₊₁ = 0 両辺を bₙ で割る aₙ·(bₙ₊₁/bₙ) − 2aₙ₊₁ + 3·(bₙ₊₁/bₙ) = 0 aₙ r − 2aₙ₊₁ + 3r = 0 2aₙ₊₁ = r(aₙ + 3)
オ，カ，キ：正解 2，6，6（配点2）
＜問題要旨＞
④ に ② と ③ を代入して整理します。
＜考え方＞
左辺・右辺とも n の 1 次式になるので、n を含む項と定数項に分けて整理します。
2(3 + np) = r( 3 + (n−1)p + 3 ) 6 + 2np = r( 6 + np − p ) 6 + 2np = 6r + rnp − rp 2np − rnp = 6r − rp − 6 (2 − r)np = r(6 − p) − 6 両辺に −1 を掛けて (r − 2)pn = r(p − 6) + 6
ク：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
⑤ がすべての n で成り立つことから r と p を求めます。
＜考え方＞
n についての恒等式なので、n の係数と定数項がそれぞれ 0 でなければなりません。p ≠ 0 が効いてきます。
n の係数 : (r − 2)p = 0、p ≠ 0 より r = 2
定数項 : r(p − 6) + 6 = 0
2(p − 6) + 6 = 0
2p − 6 = 0 → p = 3
（このとき aₙ = 3n > 0、bₙ = 3·2ⁿ⁻¹ > 0 で確かに正）
(ケ／コ)n(n＋サ)：正解 (3／2)n(n＋1)（配点2）
＜問題要旨＞
{aₙ} の初項から第 n 項までの和を求めます。
＜考え方＞
p ＝ 3 なので aₙ ＝ 3 ＋ 3(n−1) ＝ 3n。3 の倍数の和なので、1 から n までの和を 3 倍するだけです。
Σ aₖ = Σ 3k = 3 · n(n+1)/2 = (3/2) n(n + 1)
シ，ス：正解 3，1（配点2）
＜問題要旨＞
{bₙ} の初項から第 n 項までの和を求めます。
＜考え方＞
r ＝ 2 なので初項 3、公比 2 の等比数列です。公比が 1 でないときの和の公式に当てはめます。
Σ bₖ = 3(2ⁿ − 1) / (2 − 1) = 3(2ⁿ − 1)
(セ aₙ₊₁)／(aₙ＋ソ)：正解 (4aₙ₊₁)／(aₙ＋3)（配点2）
＜問題要旨＞
⑥ を cₙ₊₁ について解きます。
＜考え方＞
⑥ を cₙ₊₁ でくくると、aₙ ＋ 3 が現れます。aₙ ＞ 0 なので 0 で割る心配はありません。
aₙcₙ₊₁ − 4aₙ₊₁cₙ + 3cₙ₊₁ = 0 cₙ₊₁(aₙ + 3) = 4aₙ₊₁cₙ cₙ₊₁ = 4aₙ₊₁ / (aₙ + 3) · cₙ
タ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
数列 {cₙ} がどのような数列かを選びます。
＜考え方＞
p ＝ 3 のとき aₙ ＝ 3n なので、係数 4aₙ₊₁/(aₙ ＋ 3) の中身が約分できて、n によらない定数になります。
aₙ = 3n, aₙ₊₁ = 3(n + 1)
4aₙ₊₁ / (aₙ + 3) = 4·3(n+1) / (3n + 3)
= 12(n+1) / (3(n+1))
= 4
cₙ₊₁ = 4cₙ → 公比 4 の等比数列（1 より大きい）
(チ／q)(dₙ＋u)：正解 (2／q)(dₙ＋u)（配点2）
＜問題要旨＞
⑦ を dₙ₊₁ について解きます。
＜考え方＞
⑥ のときと同じく、両辺を bₙ で割って bₙ₊₁/bₙ ＝ r ＝ 2 を使います。
dₙbₙ₊₁ − q dₙ₊₁ bₙ + u bₙ₊₁ = 0 両辺を bₙ で割る dₙ r − q dₙ₊₁ + u r = 0 q dₙ₊₁ = r(dₙ + u) = 2(dₙ + u) dₙ₊₁ = (2/q)(dₙ + u)
q＞ツ：正解 q＞2（配点1）
＜問題要旨＞
{dₙ} が公比 0 より大きく 1 より小さい等比数列となるための、q についての条件を求めます。
＜考え方＞
展開すると dₙ₊₁ ＝ (2/q)dₙ ＋ (2/q)u。等比数列になるには定数項が 0 でなければならず、そのとき公比は 2/q です。
公比 = 2/q 0 < 2/q < 1 2/q > 0 より q > 0、そのうえで 2 < q → q > 2
u＝テ：正解 u＝0（配点1）
＜問題要旨＞
同じ条件のうち、u についての条件を求めます。
＜考え方＞
dₙ₊₁ ＝ (2/q)dₙ ＋ (2/q)u が等比数列の漸化式になるのは、定数項 (2/q)u が 0 のときだけです。q ≠ 0 なので u ＝ 0 です。
第５問 ベクトル（正十二面体と、正五角形の対角線）
正五角形の対角線の長さ a が黄金比 (1＋√5)/2 になることを前半で導き、それを正十二面体に持ち込む設問です。図形は立体ですが、実際に使うのは「対角線は辺の a 倍」という一つの事実と、OA₁, OA₂, OA₃ という 3 本のベクトルの内積がすべて等しいことだけです。最後は内積 0 から直角、長さが等しいことから正方形、と２段階で結論します。
アイ：正解 36（配点2）
＜問題要旨＞
正五角形 OA₁B₁C₁A₂ で ∠A₁C₁B₁ と ∠C₁A₁A₂ の大きさを求めます。
＜考え方＞
正五角形の内角は 108° です。1 辺と 1 辺ではさまれた二等辺三角形を取り出すと、底角が求まります。
正五角形の内角 = 180° × (5 − 2) / 5 = 108° △A₁B₁C₁ は A₁B₁ = B₁C₁ = 1 の二等辺三角形で、頂角は内角の 108° 底角 = (180° − 108°) / 2 = 36° ∠A₁C₁B₁ = 36°（∠C₁A₁A₂ も同様に 36°）
ウ：正解 a（配点2）
＜問題要旨＞
A₁A₂ を B₁C₁ で表します。
＜考え方＞
∠A₁C₁B₁ ＝ ∠C₁A₁A₂ ＝ 36° が等しいので錯角が等しく、A₁A₂ と B₁C₁ は平行です。A₁A₂ は対角線で長さ a、B₁C₁ は辺で長さ 1、向きも同じなので a 倍になります。
エ−オ：正解 a−1（配点3）
＜問題要旨＞
B₁C₁ を OA₁ と OA₂ で表し、a の満たす方程式を導きます。
＜考え方＞
B₁ から C₁ まで、B₁ → A₂ → O → A₁ → C₁ と遠回りして足していきます。A₂B₁ と A₁C₁ はどちらも対角線なので、辺のベクトルの a 倍として書けます。
A₂B₁ = a OA₁ , A₁C₁ = a OA₂ に注意して
B₁C₁ = B₁A₂ + A₂O + OA₁ + A₁C₁
= −a OA₁ − OA₂ + OA₁ + a OA₂
= (a − 1)(OA₂ − OA₁)
一方 B₁C₁ = (1/a)(OA₂ − OA₁) だったので
1/a = a − 1
a² − a − 1 = 0
a > 0 より a = (1 + √5)/2
(カ＋√キ)／ク：正解 (3＋√5)／2（配点2）
＜問題要旨＞
|OA₂ − OA₁|² を求めます。
＜考え方＞
これは対角線 A₁A₂ の長さの 2 乗、すなわち a² です。a² ＝ a ＋ 1 を使うと計算が速く済みます。
|OA₂ − OA₁|² = |A₁A₂|² = a² a² = a + 1（a² − a − 1 = 0 より） = (1 + √5)/2 + 1 = (3 + √5)/2
(ケ−√コ)／サ：正解 (1−√5)／4（配点3）
＜問題要旨＞
OA₁ · OA₂ を求めます。
＜考え方＞
|OA₂ − OA₁|² を内積で展開します。OA₁, OA₂ はどちらも長さ 1 の辺ベクトルです。
|OA₂ − OA₁|² = |OA₂|² − 2 OA₁·OA₂ + |OA₁|²
= 1 − 2 OA₁·OA₂ + 1
2 − 2 OA₁·OA₂ = (3 + √5)/2
2 OA₁·OA₂ = 2 − (3 + √5)/2 = (1 − √5)/2
OA₁·OA₂ = (1 − √5)/4
シ：正解 ⑨（配点3）
＜問題要旨＞
OA₁ · OB₂ を求めます。
＜考え方＞
OB₂ ＝ OA₃ ＋ a OA₂ を代入して展開します。OA₁·OA₂ も OA₁·OA₃ も同じ値になる（どの 2 本も対称な位置にある）ことがかなめです。
k = OA₁·OA₂ = OA₁·OA₃ = (1 − √5)/4 とおく
OA₁·OB₂ = OA₁·(OA₃ + a OA₂)
= k + a k = (1 + a)k
1 + a = 1 + (1+√5)/2 = (3 + √5)/2
(1 + a)k = (3+√5)/2 × (1−√5)/4
= (3 − 3√5 + √5 − 5) / 8
= (−2 − 2√5)/8
= (−1 − √5)/4
ス：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
OB₁ · OB₂ を求めます。
＜考え方＞
OB₁ ＝ OA₂ ＋ a OA₁、OB₂ ＝ OA₃ ＋ a OA₂ を代入して展開します。a² ＝ a ＋ 1 を使うと項がまとまり、最後にきれいに 0 になります。
OB₁·OB₂ = (OA₂ + a OA₁)·(OA₃ + a OA₂)
= OA₂·OA₃ + a|OA₂|² + a OA₁·OA₃ + a² OA₁·OA₂
= k + a + a k + a² k
= a + k(1 + a + a²)
1 + a + a² = 1 + a + (a + 1) = 2a + 2 = 3 + √5
= (1+√5)/2 + (1−√5)/4 × (3+√5)
= (1+√5)/2 + (−2 − 2√5)/4
= (1+√5)/2 − (1+√5)/2
= 0
内積が 0 なので、OB₁ と OB₂ は垂直です。
セ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
四角形 OB₁DB₂ がどのような四角形かを答えます。
＜考え方＞
B₂D ＝ OB₁ ということは、O から B₁ へのベクトルと B₂ から D へのベクトルが等しいということです。これだけで平行四辺形が確定します。あとは直角かどうか、辺の長さが等しいかどうかを確かめます。
① B₂D = OB₁（ベクトルとして等しい）→ 平行四辺形
② OB₁·OB₂ = 0 → 隣り合う辺が垂直 → 長方形
③ 長さを比べる
|OB₁|² = |OA₂ + a OA₁|² = 1 + 2ak + a²
2ak = 2 × (1+√5)/2 × (1−√5)/4 = (1−5)/4 = −1
a² = a + 1
→ |OB₁|² = 1 − 1 + a + 1 = a + 1 = (3 + √5)/2
|OB₂|² も同じ形なので同じ値
→ 隣り合う辺の長さが等しい
長方形かつ隣辺が等しい → 正方形
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。