2019年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2019年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（２倍角の公式と合成）
f(θ)＝3sin²θ＋4sinθcosθ−cos²θ を、２倍角の公式で sin2θ と cos2θ だけの式に直し、最後に合成する——という一本道の問題です。(3) の「とり得る最大の整数の値」は最大値そのものではないので、そこだけ注意します。
アイ：正解 −1（配点1）
＜問題要旨＞
f(0) の値を求めます。
＜考え方＞
θ＝0 を代入するだけです。
f(0) = 3·0² + 4·0·1 − 1² = −1
ウ＋√エ：正解 2＋√3（配点2）
＜問題要旨＞
f(π/3) の値を求めます。
＜考え方＞
sin(π/3)＝√3/2, cos(π/3)＝1/2 を代入します。
f(π/3) = 3·(√3/2)² + 4·(√3/2)·(1/2) − (1/2)²
= 3·(3/4) + √3 − 1/4
= 9/4 − 1/4 + √3
= 2 + √3
(cos2θ＋オ)／カ：正解 (cos2θ＋1)／2（配点2）
＜問題要旨＞
cos²θ を cos2θ で表します。
＜考え方＞
２倍角の公式 cos2θ＝2cos²θ−1 を cos²θ について解きます。
cos2θ = 2cos²θ − 1 2cos²θ = cos2θ + 1 cos²θ = (cos2θ + 1)/2
キ，ク，ケ：正解 2，2，1（配点3）
＜問題要旨＞
f(θ) を sin2θ と cos2θ を用いて表します。
＜考え方＞
sin²θ＝(1−cos2θ)/2、2sinθcosθ＝sin2θ、cos²θ＝(cos2θ+1)/2 をすべて代入します。
f(θ) = 3·(1 − cos2θ)/2 + 2·(2sinθcosθ) − (cos2θ + 1)/2 = 3/2 − (3/2)cos2θ + 2sin2θ − (1/2)cos2θ − 1/2 = 2sin2θ − 2cos2θ + 1 …①
コ，サ，シ：正解 2，2，4（配点3）
＜問題要旨＞
①を三角関数の合成で書き直します。
＜考え方＞
2sin2θ−2cos2θ の部分だけを合成します。係数が (2, −2) なので振幅は 2√2、位相のずれは π/4 です。
2sin2θ − 2cos2θ = √(2² + (−2)²) sin(2θ − α) ただし cosα = 2/(2√2) = 1/√2, sinα = 2/(2√2) = 1/√2 よって α = π/4 f(θ) = 2√2 sin(2θ − π/4) + 1
ス：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ θ ≦ π における f(θ) のとり得る最大の整数の値 m を求めます。
＜考え方＞
2θ−π/4 の動く範囲に π/2 が含まれるので sin の最大値 1 が実現し、f の最大値は 2√2＋1。これを超えない最大の整数が m です。「最大値」ではなく「とり得る最大の整数」であることに注意します。
0 ≦ θ ≦ π のとき −π/4 ≦ 2θ − π/4 ≦ 7π/4 この範囲に π/2 が含まれるので sin(2θ − π/4) は 1 をとる f(θ) の最大値 = 2√2 + 1 = 3.828… f(θ) は連続なので 3 という値もとる とり得る最大の整数の値は m = 3
π／セ，π／ソ：正解 π／4，π／2（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ θ ≦ π で f(θ)＝3 となる θ を小さい順に求めます。
＜考え方＞
合成した式を使って sin(2θ−π/4)＝1/√2 の解を、2θ−π/4 の動く範囲の中で拾います。
2√2 sin(2θ − π/4) + 1 = 3 sin(2θ − π/4) = 1/√2 = √2/2 u = 2θ − π/4 とおくと −π/4 ≦ u ≦ 7π/4 sin u = √2/2 となるのは u = π/4, 3π/4 u = π/4 → 2θ = π/2 → θ = π/4 u = 3π/4 → 2θ = π → θ = π/2
第１問 〔２〕 指数・対数（連立方程式）
対数の連立方程式です。まず真数条件で範囲を押さえ、底の変換で②を y＝2x＋1 に直し、t＝(1/3)^x とおいて③を２次方程式にします。最後に t の範囲で解を選別するところが山場です。
タ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
真数の条件から x, y のとり得る値の範囲を選びます。
＜考え方＞
②に現れる対数の真数は x＋2 と y＋3。どちらも正でなければなりません。
log₂(x + 2) の真数条件： x + 2 > 0 → x > −2 log₄(y + 3) の真数条件： y + 3 > 0 → y > −3 → ②
チ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
底の変換公式で log₄(y＋3) を log₂ で表したときの分母を求めます。
＜考え方＞
底の変換公式 log_a b ＝ log_c b / log_c a を、底 4 から底 2 へ使います。
log₄(y + 3) = log₂(y + 3) / log₂4 log₂4 = 2 なので log₄(y + 3) = log₂(y + 3)/2
ツx＋テ：正解 2x＋1（配点2）
＜問題要旨＞
②から y を x の式で表します。
＜考え方＞
2log₄(y+3) が log₂(y+3) に化けるので、②は対数の差になります。
log₂(x + 2) − 2·{log₂(y + 3)/2} = −1
log₂(x + 2) − log₂(y + 3) = −1
log₂{(x + 2)/(y + 3)} = −1
(x + 2)/(y + 3) = 2⁻¹ = 1/2
2(x + 2) = y + 3
y = 2x + 1 …④
t²−トナt＋ニヌ：正解 t²−11t＋18（配点2）
＜問題要旨＞
t＝(1/3)^x とおいて③を t の方程式に直します。
＜考え方＞
④を代入してから、指数法則で (1/3)^{2x+1} と (1/3)^{x+1} を t で表します。
④より y = 2x + 1
(1/3)^{2x+1} − 11(1/3)^{x+1} + 6 = 0
(1/3)·{(1/3)^x}² − 11·(1/3)·(1/3)^x + 6 = 0
(1/3)t² − (11/3)t + 6 = 0
両辺を 3 倍して
t² − 11t + 18 = 0 …⑤
ネ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
t のとり得る値の範囲の下限を求めます。
＜考え方＞
指数関数の値はつねに正です。
t = (1/3)^x は指数関数なので t > 0
ノ：正解 9（配点1）
＜問題要旨＞
t のとり得る値の範囲の上限を求めます。
＜考え方＞
t＝(1/3)^x は減少関数なので、x ＞ −2 のとき t は (1/3)^{−2} より小さくなります。
t = (1/3)^x は底が 1 より小さいので減少関数 x > −2 のとき t < (1/3)⁻² = 3² = 9 よって 0 < t < 9 …⑥
ハ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
⑥の範囲で⑤を解きます。
＜考え方＞
因数分解して２解を出し、範囲外のものを落とします。
t² − 11t + 18 = 0 (t − 2)(t − 9) = 0 t = 2, 9 0 < t < 9 より t = 9 は不適 t = 2
log₃(ヒ／フ)：正解 log₃(1／2)（配点2）
＜問題要旨＞
x の値を求めます。
＜考え方＞
t の定義に戻します。底が 1/3 の指数方程式を、底 3 の対数に直して整理します。
(1/3)^x = 2
3^{−x} = 2
−x = log₃2
x = −log₃2 = log₃(1/2)
log₃(ヘ／ホ)：正解 log₃(3／4)（配点2）
＜問題要旨＞
y の値を求めます。
＜考え方＞
④に x を代入し、対数の性質でひとつの log₃ にまとめます。
y = 2x + 1 = 2log₃(1/2) + 1 = log₃(1/2)² + log₃3 = log₃(1/4) + log₃3 = log₃(3/4)
第２問 微分・積分（３次関数と放物線の接線）
３次関数 C：y＝x³＋px²＋qx と放物線 D：y＝−kx² が主役です。(2) で面積 S を a と k で表し、(3) で「A が C 上」「ℓ が C にも接する」の二条件から a² と k を確定させて S の値を出します。(3) の因数分解 (x−b)²(x＋2b) が最大のポイントです。
ア：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が x＝−1 で極値をとることから f′(−1) の値を求めます。
＜考え方＞
微分可能な関数が極値をとる点では導関数が 0 です。
f(x) = x³ + px² + qx が x = −1 で極値をとるので f'(−1) = 0
イ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
p の値を求めます。
＜考え方＞
f'(−1)＝0 と f(−1)＝2 の２式を連立します。
f'(x) = 3x² + 2px + q f'(−1) = 3 − 2p + q = 0 …(i) f(−1) = −1 + p − q = 2 …(ii) (i)より q = 2p − 3 (ii)に代入： −1 + p − (2p − 3) = 2 −p + 2 = 2 p = 0
ウエ：正解 −3（配点1）
＜問題要旨＞
q の値を求めます。
＜考え方＞
p が決まったので (i) に戻すだけです。
q = 2p − 3 = 2·0 − 3 = −3 よって f(x) = x³ − 3x
オ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
f(x) が極小値をとる x の値を求めます。
＜考え方＞
f'(x) を因数分解して増減を調べます。
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) x < −1 : f' > 0（増加） −1 < x < 1 : f' < 0（減少） x > 1 : f' > 0（増加） x = 1 で極小
カキ：正解 −2（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの極小値を求めます。
＜考え方＞
f(1) を計算します。
f(1) = 1³ − 3·1 = −2
クケ：正解 −2（配点2）
＜問題要旨＞
放物線 D 上の点 A(a, −ka²) における接線 ℓ の式の、x の係数を求めます。
＜考え方＞
D：y＝−kx² を微分して x＝a での傾きを出し、点 A を通る直線を書きます。
D: y = −kx², y' = −2kx 点 A における接線の傾きは −2ka ℓ: y = −2ka(x − a) + (−ka²) = −2kax + 2ka² − ka² = −2kax + ka² …①
ka^コ：正解 ka²（配点1）
＜問題要旨＞
接線 ℓ の式の定数項を求めます。
＜考え方＞
上の計算の定数項をそのまま読みます。
ℓ: y = −2kax + ka² 定数項は ka²
サ／シ：正解 a／2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ と x 軸との交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
①で y＝0 とおいて解きます。k ＞ 0, a ＞ 0 なので割ってかまいません。
−2kax + ka² = 0 ka(−2x + a) = 0 k > 0, a > 0 より ka ≠ 0 x = a/2
(k／ス)a^セ：正解 (k／3)a³（配点2）
＜問題要旨＞
D と x 軸および直線 x＝a で囲まれた図形の面積を求めます。
＜考え方＞
D は x 軸の下側にあるので、|−kx²|＝kx² を 0 から a まで積分します。
∫₀^a {0 − (−kx²)} dx = ∫₀^a kx² dx
= [kx³/3]₀^a
= (k/3)a³
ソタ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
D と ℓ および x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
上で求めた面積から、ℓ と x 軸と直線 x＝a が作る三角形の面積を引きます。三角形は底辺 a/2、高さ ka² です。
ℓ, x 軸, 直線 x = a で囲まれる三角形 頂点 (a/2, 0), (a, 0), (a, −ka²) 面積 = (1/2)·(a − a/2)·ka² = (1/2)·(a/2)·ka² = (k/4)a³ S = (k/3)a³ − (k/4)a³ = (4k − 3k)a³/12 = (k/12)a³
チ／ツ−テ：正解 3／a−a（配点3）
＜問題要旨＞
点 A が曲線 C 上にあるときの k を a で表します。
＜考え方＞
A(a, −ka²) を y＝x³−3x に代入します。a ＞ 0 なので a で割れます。
−ka² = a³ − 3a 両辺を a（≠0）で割って −ka = a² − 3 ka = 3 − a² k = (3 − a²)/a = 3/a − a
ト(b²−ナ)x：正解 3(b²−1)x（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ と C の接点の x 座標を b とするとき、ℓ の方程式の x の係数を b で表します。
＜考え方＞
C の x＝b における接線を書きます。
f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3x² − 3 接線: y = (3b² − 3)(x − b) + (b³ − 3b) = (3b² − 3)x − 3b³ + 3b + b³ − 3b = 3(b² − 1)x − 2b³ …②
ニb³：正解 2b³（配点1）
＜問題要旨＞
同じく②の定数項を求めます。
＜考え方＞
上の計算の定数項をそのまま読みます。
②: y = 3(b² − 1)x − 2b³ 引かれている項は 2b³
(x−ヌ)²：正解 (x−b)²（配点1）
＜問題要旨＞
f(x)−g(x) の因数分解のうち、２乗になる因数を求めます。
＜考え方＞
x＝b で接するので (x−b)² を因数にもちます。
f(x) − g(x) = (x³ − 3x) − {3(b² − 1)x − 2b³}
= x³ − 3x − 3b²x + 3x + 2b³
= x³ − 3b²x + 2b³
= (x − b)²(x + 2b)
x＋ネb：正解 x＋2b（配点2）
＜問題要旨＞
同じく残りの１次因数を求めます。
＜考え方＞
展開して確かめます。ここから a と b の関係が出ます。
(x − b)²(x + 2b) = (x² − 2bx + b²)(x + 2b) = x³ + 2bx² − 2bx² − 4b²x + b²x + 2b³ = x³ − 3b²x + 2b³ （一致） f(x) − g(x) = 0 の解は x = b（重解）, x = −2b ℓ は D 上の点 A(a, …) を通るので a = −2b
ノハ／ヒ：正解 12／5（配点3）
＜問題要旨＞
a² の値を求めます。
＜考え方＞
①（−2ka）と②（3(b²−1)）はどちらも ℓ の傾き。等しいとおき、b＝−a/2 と k＝3/a−a を代入します。
①の傾き: −2ka ②の傾き: 3(b² − 1) a = −2b より b = −a/2, b² = a²/4 また k = 3/a − a なので ka = 3 − a² −2ka = 3(a²/4 − 1) −2(3 − a²) = (3/4)a² − 3 −6 + 2a² = (3/4)a² − 3 2a² − (3/4)a² = 3 (5/4)a² = 3 a² = 12/5
フ／ヘホ：正解 3／25（配点3）
＜問題要旨＞
S の値を求めます。
＜考え方＞
S＝(k/12)a³ に k＝(3−a²)/a を代入すると a³ の 1 つが約分され、a² だけの式になります。
k = (3 − a²)/a, a² = 12/5 より k = (3 − 12/5)/a = (3/5)/a S = (k/12)a³ = (1/12)·(3/5)/a·a³ = (1/12)·(3/5)·a² = (1/20)·a² = (1/20)·(12/5) = 12/100 = 3/25
第３問 数列（等比数列の和・階差数列と漸化式）
等比数列の和 Sn を階差数列にもつ数列 Tn を作り、それを使って {an} の漸化式を解く三層構造です。(3) では bn＝(an＋2Tn)/n という置き換えが与えられているので、bn の漸化式を bn+1＝4bn＋6 の形にもっていければ勝ちです。
アイ：正解 15（配点2）
＜問題要旨＞
S₂ の値を求めます。
＜考え方＞
初項3・公比4 の等比数列の第2項までの和です。
数列は 3, 12, 48, … S₂ = 3 + 12 = 15
ウ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
T₂ の値を求めます。
＜考え方＞
{Tn} の階差数列が {Sn} なので T₂ − T₁ ＝ S₁ です。
T₂ − T₁ = S₁ = 3 T₁ = −1 なので T₂ = −1 + 3 = 2
エ，オ，カ：正解 4，①，1（配点2）
＜問題要旨＞
{Sn} の一般項を求めます。
＜考え方＞
初項 3・公比 4 の等比数列の和の公式です。オ には n が入ります。
Sn = 3(4ⁿ − 1)/(4 − 1) = 4ⁿ − 1 よって エ = 4, オ = ①(n), カ = 1
キ，ク，ケ，コ，サ：正解 4，①，3，4，3（配点3）
＜問題要旨＞
{Tn} の一般項を求めます。
＜考え方＞
階差数列の公式 Tn ＝ T₁ ＋ Σ_{k=1}^{n−1} S_k を使います（n ≧ 2 で求めて n＝1 でも成り立つことを確認）。
n ≧ 2 のとき
Tn = T₁ + Σ_{k=1}^{n−1} (4^k − 1)
= −1 + 4(4^{n−1} − 1)/(4 − 1) − (n − 1)
= −1 + (4ⁿ − 4)/3 − n + 1
= 4ⁿ/3 − 4/3 − n
Tn = 4ⁿ/3 − n − 4/3
（n = 1 のとき 4/3 − 1 − 4/3 = −1 で T₁ と一致）
シス：正解 −5（配点1）
＜問題要旨＞
{bn} の初項を求めます。
＜考え方＞
定義式に n＝1 を入れるだけです。
b₁ = (a₁ + 2T₁)/1 = (−3) + 2·(−1) = −5
セTn＋ソn＋タ：正解 4Tn＋3n＋3（配点3）
＜問題要旨＞
{Tn} の漸化式を求めます。
＜考え方＞
Tn の一般項から 4ⁿ ＝ 3Tn ＋ 3n ＋ 4 と読み替えて、T_{n+1} に代入するのが速い方法です。
Tn = 4ⁿ/3 − n − 4/3 より 4ⁿ = 3Tn + 3n + 4
T_{n+1} = 4^{n+1}/3 − (n + 1) − 4/3
= (4/3)·4ⁿ − n − 7/3
= (4/3)(3Tn + 3n + 4) − n − 7/3
= 4Tn + 4n + 16/3 − n − 7/3
= 4Tn + 3n + 3
チbn＋ツ：正解 4bn＋6（配点2）
＜問題要旨＞
{bn} の漸化式を求めます。
＜考え方＞
b_{n+1}＝(a_{n+1}＋2T_{n+1})/(n+1) に、与えられた漸化式と上の T_{n+1} を代入します。分子から (n+1) がきれいにくくり出せます。
na_{n+1} = 4(n+1)a_n + 8T_n より a_{n+1} = {4(n+1)a_n + 8T_n}/n
b_{n+1} = {a_{n+1} + 2T_{n+1}}/(n+1)
= [{4(n+1)a_n + 8T_n}/n + 2(4T_n + 3n + 3)]/(n+1)
= {4(n+1)a_n + 8T_n + 8nT_n + 6n² + 6n}/{n(n+1)}
= {4(n+1)a_n + 8T_n(n+1) + 6n(n+1)}/{n(n+1)}
= (4a_n + 8T_n + 6n)/n
= 4(a_n + 2T_n)/n + 6
= 4b_n + 6
テト，ナ，ニ：正解 −3，⓪，2（配点2）
＜問題要旨＞
{bn} の一般項を求めます。
＜考え方＞
b_{n+1}＋2＝4(b_n＋2) と変形すると、{b_n＋2} は公比4の等比数列です。ナ には n−1 が入ります。
b_{n+1} = 4b_n + 6
b_{n+1} + 2 = 4(b_n + 2)
{b_n + 2} は初項 b₁ + 2 = −3, 公比 4 の等比数列
b_n + 2 = −3·4^{n−1}
b_n = −3·4^{n−1} − 2
（ナ = ⓪(n − 1)）
ヌ，ネ，ノ，ハ，ヒ：正解 −，9，8，8，3（配点3）
＜問題要旨＞
{an} の一般項を求めます。
＜考え方＞
b_n の定義式を a_n について解き、T_n と b_n の一般項を代入します。4^{n−1} でくくると整理できます。
b_n = (a_n + 2T_n)/n より a_n = n·b_n − 2T_n
a_n = n(−3·4^{n−1} − 2) − 2(4ⁿ/3 − n − 4/3)
= −3n·4^{n−1} − 2n − (2/3)·4·4^{n−1} + 2n + 8/3
= −3n·4^{n−1} − (8/3)·4^{n−1} + 8/3
= −{(9n + 8)/3}·4^{n−1} + 8/3
a_n = {−(9n + 8)·4^{n−1} + 8}/3
第４問 ベクトル（四角錐と空間ベクトル）
四角錐 OABCD を、内積の値だけで扱う問題です。底面 ABCD は AD ∥ BC・AB＝CD・∠ABC＝∠BCD の等脚台形。∠ABC が 120° と分かると ∠BAD＝60°、そこから AD＝2BC が出て OD が a, b, c で書けます。(3)(4) は体積を三角錐に分けて計算します。
アイ°：正解 90°（配点1）
＜問題要旨＞
∠AOC を求めます。
＜考え方＞
a と c の内積が 0 であることから直角と分かります。
cos∠AOC = (a·c)/(|a||c|) = 0/(1·√5) = 0 ∠AOC = 90°
√ウ／エ：正解 √5／2（配点1）
＜問題要旨＞
三角形 OAC の面積を求めます。
＜考え方＞
∠AOC が直角なので、OA と OC を直角をはさむ2辺とみます。
△OAC = (1/2)·|a|·|c|·sin90° = (1/2)·1·√5·1 = √5/2
オカ：正解 −1（配点1）
＜問題要旨＞
内積 BA·BC を求めます。
＜考え方＞
BA＝a−b, BC＝c−b と表して展開します。
BA·BC = (a − b)·(c − b) = a·c − a·b − b·c + |b|² = 0 − 1 − 3 + 3 = −1
√キ：正解 √2（配点1）
＜問題要旨＞
|BA| を求めます。
＜考え方＞
|a−b|² を展開します。
|BA|² = |a − b|² = |a|² − 2a·b + |b|² = 1 − 2·1 + 3 = 2 |BA| = √2
√ク：正解 √2（配点1）
＜問題要旨＞
|BC| を求めます。
＜考え方＞
同様に |c−b|² を展開します。
|BC|² = |c − b|² = |c|² − 2b·c + |b|² = 5 − 2·3 + 3 = 2 |BC| = √2
ケコサ°：正解 120°（配点1）
＜問題要旨＞
∠ABC を求めます。
＜考え方＞
内積の定義に上の3つの値を入れます。
cos∠ABC = (BA·BC)/(|BA||BC|) = −1/(√2·√2) = −1/2 ∠ABC = 120°
シス°：正解 60°（配点1）
＜問題要旨＞
∠BAD と ∠ADC を求めます。
＜考え方＞
AD ∥ BC なので、AB を横断線とみて同側内角の和が 180° になります。
AD ∥ BC より ∠BAD + ∠ABC = 180° ∠BAD = 180° − 120° = 60° 同様に ∠ADC = 180° − ∠BCD = 180° − 120° = 60°
セ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
AD が BC の何倍かを求めます。
＜考え方＞
等脚台形の長い方の底辺は、短い方に「斜辺の水平成分×2」を足したもの。∠60° と AB＝CD＝√2, BC＝√2 から計算します。
B(0, 0), C(√2, 0) とおく ∠ABC = 120°, AB = √2 より A = B + √2(cos120°, sin120°) = (−√2/2, √6/2) ∠BCD = 120°, CD = √2 より D = C + √2(cos60°, sin60°) = (3√2/2, √6/2) AD = 3√2/2 − (−√2/2) = 2√2 BC = √2 AD = 2·BC
a−ソb＋タc：正解 a−2b＋2c（配点1）
＜問題要旨＞
OD を a, b, c で表します。
＜考え方＞
OD ＝ OA ＋ AD、AD ＝ 2BC ＝ 2(c−b) を使います。
OD = OA + AD = a + 2·BC = a + 2(c − b) = a − 2b + 2c
チ√ツ／テ：正解 3√3／2（配点2）
＜問題要旨＞
四角形 ABCD の面積を求めます。
＜考え方＞
台形の面積公式（上底＋下底）×高さ÷2。上の座標設定で高さは √6/2 です。
上底 BC = √2, 下底 AD = 2√2, 高さ = √6/2 面積 = (1/2)(√2 + 2√2)·(√6/2) = (1/2)·3√2·(√6/2) = 3√12/4 = 3·2√3/4 = 3√3/2
ト：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
BH·a と BH·c の値を求めます。
＜考え方＞
BH が a にも c にも垂直と与えられているので、内積はどちらも 0 です。
BH ⊥ a より BH·a = 0 BH ⊥ c より BH·c = 0
ナ，ニ／ヌ：正解 1，3／5（配点2）
＜問題要旨＞
OH＝sa＋tc と表したときの s, t を求めます。
＜考え方＞
BH＝OH−OB＝sa＋tc−b。これと a, c の内積をとって連立します。
BH = sa + tc − b BH·a = s|a|² + t(a·c) − a·b = s·1 + 0 − 1 = s − 1 = 0 → s = 1 BH·c = s(a·c) + t|c|² − b·c = 0 + 5t − 3 = 0 → t = 3/5
√ネ／ノ：正解 √5／5（配点2）
＜問題要旨＞
|BH| を求めます。
＜考え方＞
BH ＝ a − b ＋ (3/5)c の大きさを、与えられた内積の値だけで計算します。
BH = a − b + (3/5)c
|BH|² = |a|² + |b|² + (9/25)|c|²
− 2(a·b) + (6/5)(a·c) − (6/5)(b·c)
= 1 + 3 + (9/25)·5 − 2·1 + 0 − (6/5)·3
= 1 + 3 + 9/5 − 2 − 18/5
= 2 − 9/5 = 1/5
|BH| = 1/√5 = √5/5
ハ／ヒ：正解 1／6（配点1）
＜問題要旨＞
三角形 OAC を底面とする三角錐 BOAC の体積 V を求めます。
＜考え方＞
底面積は (1) で求めた √5/2、高さは |BH|。
V = (1/3)·△OAC·|BH| = (1/3)·(√5/2)·(√5/5) = (1/3)·(5/10) = 1/6
フ：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
四角錐 OABCD の体積が V の何倍かを求めます。
＜考え方＞
四角錐を三角錐 OABC と三角錐 OACD に分け、平面 OAC からの距離を b の係数で比べます。
四角錐 OABCD = 三角錐 OABC + 三角錐 OACD 平面 OAC は a と c が張る平面なので、点から平面 OAC までの距離は OP = αa + βb + γc と書いたときの |β| に比例する OB = b → β = 1 OD = a − 2b + 2c → β = −2 距離の比は 1 : 2 なので 三角錐 OACD = 2 × 三角錐 OABC = 2V 四角錐 OABCD = V + 2V = 3V
√ヘ／ホ：正解 √3／3（配点2）
＜問題要旨＞
四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD の高さを求めます。
＜考え方＞
体積 3V と底面積 3√3/2 から逆算します。
四角錐の体積 = 3V = 3·(1/6) = 1/2 (1/3)·(3√3/2)·h = 1/2 (√3/2)h = 1/2 h = 1/√3 = √3/3
第５問 確率分布と統計的な推測（正規分布・二項分布・信頼区間）
血液中の物質量の変化量を題材にした、確率分布の標準的な出題です。V(X)＝E(X²)−{E(X)}²、aX の期待値と分散、標準化、二項分布の平均と標準偏差、母平均の信頼区間——教科書の公式を順に当てはめていけば完答できます。正規分布表は P(0 ≦ Z ≦ z) の値であることに注意します。
アイ：正解 74（配点2）
＜問題要旨＞
E(X²) を求めます。
＜考え方＞
分散の公式 V(X)＝E(X²)−{E(X)}² を E(X²) について解きます。
V(X) = σ(X)² = 5² = 25
V(X) = E(X²) − {E(X)}²
25 = E(X²) − (−7)²
E(X²) = 25 + 49 = 74
−7×10^ウ：正解 −7×10³（配点2）
＜問題要旨＞
W＝1000X の期待値を求めます。
＜考え方＞
E(aX)＝aE(X) です。
E(W) = E(1000X) = 1000·E(X) = 1000 × (−7) = −7000 = −7 × 10³
5^エ×10^オ：正解 5²×10⁶（配点2）
＜問題要旨＞
W の分散を求めます。
＜考え方＞
V(aX)＝a²V(X) です。1000² が 10⁶ になります。
V(W) = V(1000X) = 1000²·V(X) = 10⁶ × 25 = 5² × 10⁶
カ.キ：正解 1.4（配点2）
＜問題要旨＞
P(X ≧ 0) を標準化したときの境界の値を求めます。
＜考え方＞
Z＝(X−E(X))/σ(X)＝(X＋7)/5 が標準正規分布に従います。X＝0 を代入します。
X ≧ 0 ⟺ (X + 7)/5 ≧ (0 + 7)/5 7/5 = 1.4 P(X ≧ 0) = P(Z ≧ 1.4)
0.クケ：正解 0.08（配点2）
＜問題要旨＞
P(Z ≧ 1.4) を正規分布表から求めます。
＜考え方＞
正規分布表は P(0 ≦ Z ≦ z) の値なので、0.5 から引きます。
正規分布表より P(0 ≦ Z ≦ 1.4) = 0.4192 P(Z ≧ 1.4) = 0.5 − 0.4192 = 0.0808 小数第2位までで 0.08
コ.サ：正解 4.0（配点2）
＜問題要旨＞
M が従う二項分布 B(50, 0.08) の期待値を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の期待値は np です。
E(M) = np = 50 × 0.08 = 4.0
√シ.ス：正解 √3.7（配点2）
＜問題要旨＞
M の標準偏差を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の分散は np(1−p)。その平方根です。
V(M) = np(1 − p) = 50 × 0.08 × 0.92 = 4 × 0.92 = 3.68 σ(M) = √3.68 解答欄の形（√シ.ス）に合わせて √3.7
セ.ソ：正解 0.6（配点2）
＜問題要旨＞
標本平均 Ȳ の標準偏差を求めます。
＜考え方＞
母標準偏差 σ、標本の大きさ n のとき、標本平均の標準偏差は σ/√n です。
母標準偏差 6, 標本の大きさ n = 100 σ(Ȳ) = 6/√100 = 6/10 = 0.6
0.タチ：正解 0.90（配点2）
＜問題要旨＞
|Z| ≦ 1.64 となる確率を求めます。
＜考え方＞
標準正規分布は 0 について左右対称なので、表の値を2倍します。
正規分布表より P(0 ≦ Z ≦ 1.64) = 0.4495 P(|Z| ≦ 1.64) = 2 × 0.4495 = 0.899 小数第2位までで 0.90 （信頼度 90%）
ツ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
母平均 m に対する信頼度90%の信頼区間を選びます。
＜考え方＞
Ȳ ± 1.64·σ(Ȳ) を計算します。σ(Ȳ)＝0.6, Ȳ＝−10.2 です。
1.64 × 0.6 = 0.984 −10.2 − 0.984 = −11.184 −10.2 + 0.984 = −9.216 −11.184 ≦ m ≦ −9.216 選択肢のうち最も適当なのは −11.2 ≦ m ≦ −9.2 → ②
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。