2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（弧度法と合成）
弧度法の定義から入って、(3) は「2sin(θ＋π/5) − 2cos(θ＋π/30)＝1」という一見ややこしい式。x＝θ＋π/5 と置くと第2項が cos(x−π/6) になり、加法定理でほどけば sin x − √3cos x という素直な形に落ちます。
ア：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
1ラジアンの定義を選びます。
＜考え方＞
弧度法は「弧の長さ ÷ 半径」で角を測る方法。半径1で弧の長さが1のときの中心角が1ラジアンです。
半径 r, 中心角 θ（ラジアン）の扇形の弧の長さ ℓ は ℓ = rθ r = 1, ℓ = 1 のとき θ = 1 → ② 半径が1、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
イ／ウ：正解 4／5（配点2）
＜問題要旨＞
144° を弧度で表します。
＜考え方＞
180° ＝ π ラジアンで換算します。
144° = 144 × (π/180) ラジアン = (144/180)π = (4/5)π
エオカ°：正解 345°（配点2）
＜問題要旨＞
(23/12)π ラジアンを度で表します。
＜考え方＞
今度は π ラジアン ＝ 180° を代入します。
(23/12)π ラジアン = (23/12) × 180° = 23 × 15° = 345°
キ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
x＝θ＋π/5 とおいたとき、cos(θ＋π/30) を cos(x − π/◻) の形に直します。
＜考え方＞
θ ＝ x − π/5 を代入して、分母を30にそろえます。
θ = x − π/5 なので θ + π/30 = x − π/5 + π/30 = x − 6π/30 + π/30 = x − 5π/30 = x − π/6
ク：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
加法定理を使って、①を sin x − √◻ cos x ＝ 1 の形に直します。
＜考え方＞
cos(x − π/6) を展開してから整理します。
cos(x − π/6) = cos x cos(π/6) + sin x sin(π/6) = (√3/2)cos x + (1/2)sin x 2sin x − 2cos(x − π/6) = 2sin x − √3 cos x − sin x = sin x − √3 cos x sin x − √3 cos x = 1
sin(x−π／ケ)＝1／コ：正解 sin(x−π／3)＝1／2（配点3）
＜問題要旨＞
三角関数の合成で さらに変形します。
＜考え方＞
係数が (1, −√3) なので振幅は 2、位相のずれは π/3 です。
sin x − √3 cos x = √(1² + (√3)²) sin(x − α) cosα = 1/2, sinα = √3/2 より α = π/3 2 sin(x − π/3) = 1 sin(x − π/3) = 1/2
サシ／スセ：正解 29／30（配点3）
＜問題要旨＞
π/2 ≦ θ ≦ π の範囲で①を満たす θ を求めます。
＜考え方＞
x − π/3 の動く範囲をきちんと押さえてから、その中で sin が 1/2 になる角を拾います。範囲の端が微妙なので、分母を30にそろえて比べるのが安全です。
π/2 ≦ θ ≦ π, x = θ + π/5 より 7π/10 ≦ x ≦ 6π/5 u = x − π/3 とおくと 7π/10 − π/3 ≦ u ≦ 6π/5 − π/3 11π/30 ≦ u ≦ 26π/30 sin u = 1/2 となるのは u = π/6 (= 5π/30), 5π/6 (= 25π/30) 範囲に入るのは u = 25π/30 = 5π/6 のみ x = 5π/6 + π/3 = 7π/6 θ = x − π/5 = 7π/6 − π/5 = (35π − 6π)/30 = 29π/30
第１問 〔２〕 指数・対数（対数をとって２次不等式に直す）
x の指数に log₃x が乗っている不等式です。3を底とする対数をとり t＝log₃x とおくと、t の２次不等式に化けます。後半は「すべての実数 t で成り立つ」＝判別式 ≦ 0、という定番の言い換えです。
t^ソ−タt：正解 t²−3t（配点3）
＜問題要旨＞
②の両辺の3を底とする対数をとって、t＝log₃x の不等式に直します。
＜考え方＞
log₃(x^(log₃x)) ＝ (log₃x)² ＝ t²、log₃((x/c)³) ＝ 3(log₃x − log₃c) です。
(左辺) log₃(x^{log₃x}) = (log₃x)·(log₃x) = t²
(右辺) log₃((x/c)³) = 3{log₃x − log₃c} = 3t − 3log₃c
t² ≧ 3t − 3log₃c
t² − 3t + 3log₃c ≧ 0 …③
t ≦ チ，t ≧ ツ：正解 t ≦ 1，t ≧ 2（配点2）
＜問題要旨＞
c＝∛9 のとき、③を満たす t の範囲を求めます。
＜考え方＞
∛9 ＝ 3^(2/3) なので log₃c ＝ 2/3。代入すると因数分解できる２次不等式になります。
c = ∛9 = 3^{2/3} より log₃c = 2/3
t² − 3t + 3·(2/3) ≧ 0
t² − 3t + 2 ≧ 0
(t − 1)(t − 2) ≧ 0
t ≦ 1, t ≧ 2
テ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
真数の条件から x の下限を求めます。
＜考え方＞
log₃x が現れるので x ＞ 0 が必要です。
t = log₃x が定義されるためには x > 0 よって x > 0
x ≦ ト，x ≧ ナ：正解 x ≦ 3，x ≧ 9（配点1）
＜問題要旨＞
t の範囲を x の範囲に戻します。
＜考え方＞
t ＝ log₃x は増加関数なので、不等号の向きはそのままです。
t ≦ 1 ⟺ log₃x ≦ 1 ⟺ x ≦ 3 t ≧ 2 ⟺ log₃x ≧ 2 ⟺ x ≧ 9 真数条件 x > 0 とあわせて 0 < x ≦ 3, x ≧ 9
ニ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
x ＞ 0 の範囲を動くとき、t のとり得る値の範囲を選びます。
＜考え方＞
log₃x の値域は実数全体です。
x > 0 のとき t = log₃x は実数全体をとる → ② 実数全体
ヌ／ネ：正解 3／4（配点3）
＜問題要旨＞
③がすべての実数 t で成り立つための log₃c の条件を求めます。
＜考え方＞
下に凸の２次関数がつねに0以上 ⟺ 判別式 ≦ 0 です。
t² − 3t + 3log₃c ≧ 0 がすべての実数 t で成立 ⟺ 判別式 D ≦ 0 D = 9 − 4·3log₃c = 9 − 12log₃c ≦ 0 12log₃c ≧ 9 log₃c ≧ 3/4
ノ√(ハヒ)：正解 ⁴√27（配点3）
＜問題要旨＞
これを c の条件に書き直します。
＜考え方＞
log₃c ≧ 3/4 ⟺ c ≧ 3^(3/4)。累乗根の形に直します。
log₃c ≧ 3/4 ⟺ c ≧ 3^{3/4}
3^{3/4} = (3³)^{1/4} = ⁴√27
c ≧ ⁴√27
第２問 〔１〕 微分・積分（放物線・接線と面積の差の増減）
放物線 C が直線 ℓ に A(1, 1) で接する、という設定です。C−ℓ が p(x−1)² という完全平方になるのが全体の鍵。面積 S, T をそれぞれ v の式にして、U＝S−T の増減を調べます。
ア：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
点 A における C の接線 ℓ の傾きを求めます。
＜考え方＞
ℓ：y＝2x−1 の傾きをそのまま読むだけです。
ℓ: y = 2x − 1 接線 ℓ の傾きは 2
イウp＋エ：正解 −2p＋2（配点2）
＜問題要旨＞
q を p を用いて表します。
＜考え方＞
C を微分して x＝1 での値が 2 になる、とします。
y = px² + qx + r, y' = 2px + q x = 1 での接線の傾きが 2 なので 2p + q = 2 q = −2p + 2
オ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
r を p を用いて表します。
＜考え方＞
C が A(1, 1) を通ることを使います。
p·1² + q·1 + r = 1 p + (−2p + 2) + r = 1 −p + 2 + r = 1 r = p − 1
(p／カ)(v³−キv²＋クv−ケ)：正解 (p／3)(v³−3v²＋3v−1)（配点4）
＜問題要旨＞
C と ℓ および直線 x＝v で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
C の式から ℓ の式を引くと、接するので完全平方 p(x−1)² になります。あとは 1 から v まで積分するだけです。
(C) − (ℓ) = px² + qx + r − (2x − 1) = px² + (−2p + 2)x + (p − 1) − 2x + 1 = px² − 2px + p = p(x − 1)² S = ∫₁^v p(x − 1)² dx = p[(x − 1)³/3]₁^v = (p/3)(v − 1)³ = (p/3)(v³ − 3v² + 3v − 1)
コ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
x 軸と ℓ および2直線 x＝1, x＝v で囲まれた図形の面積 T を求めます。
＜考え方＞
1 ≦ x ≦ v では ℓ の y 座標は正なので、そのまま積分します。
ℓ: y = 2x − 1 は x ≧ 1 で y ≧ 1 > 0 T = ∫₁^v (2x − 1) dx = [x² − x]₁^v = (v² − v) − (1 − 1) = v² − v
サ：正解 3（配点3）
＜問題要旨＞
U＝S−T が v＝2 で極値をとるときの p を求めます。
＜考え方＞
U を微分して v＝2 で 0 とおきます。
U = (p/3)(v − 1)³ − v² + v U' = p(v − 1)² − 2v + 1 U'(2) = p·1 − 4 + 1 = p − 3 = 0 p = 3
(シ＋√ス)／セ：正解 (3＋√5)／2（配点3）
＜問題要旨＞
v ＞ 1 の範囲で U＝0 となる v の値 v₀ を求めます。
＜考え方＞
p＝3 を代入すると U が (v−1) でくくれます。残りの２次式を解き、v ＞ 1 のものを採ります。
p = 3 のとき
U = (v − 1)³ − v² + v
= (v − 1)³ − v(v − 1)
= (v − 1){(v − 1)² − v}
= (v − 1)(v² − 3v + 1)
v > 1 で U = 0 ⟺ v² − 3v + 1 = 0
v = (3 ± √5)/2
(3 − √5)/2 = 0.38… は v > 1 を満たさない
v₀ = (3 + √5)/2
ソ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
1 ＜ v ＜ v₀ の範囲で U がどうなるかを選びます。
＜考え方＞
因数分解した形のまま符号を調べます。
U = (v − 1)(v² − 3v + 1) 1 < v < v₀ = (3 + √5)/2 のとき v − 1 > 0 v² − 3v + 1 < 0（２解 (3±√5)/2 の間にある） よって U < 0、つまり負の値のみをとる → ③
タチ：正解 −1（配点3）
＜問題要旨＞
p＝3 のとき、v ＞ 1 における U の最小値を求めます。
＜考え方＞
U′ を因数分解して増減表を作ります。
U' = 3(v − 1)² − 2v + 1 = 3v² − 6v + 3 − 2v + 1 = 3v² − 8v + 4 = (3v − 2)(v − 2) v > 1 では 1 < v < 2 で U' < 0（減少） v > 2 で U' > 0（増加） v = 2 で最小 U(2) = (2 − 1)³ − 2² + 2 = 1 − 4 + 2 = −1
第２問 〔２〕 積分（面積から被積分関数を復元する）
「面積 W が t の式で与えられているとき、もとの f(x) を求める」という逆向きの問題です。f(x) ≦ 0 なので W ＝ −∫f、つまり W ＝ −F(t)＋F(1)。両辺を t で微分すれば f(t) が出ます。
ツ：正解 ⑦（配点1）
＜問題要旨＞
F(x) を f(x) の不定積分とするとき、F′(x) を選びます。
＜考え方＞
不定積分の定義そのものです。
F(x) が f(x) の不定積分 ⟺ F'(x) = f(x) → ⑦
テ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
W を F を用いて表します。
＜考え方＞
x ≧ 1 で f(x) ≦ 0 なので、曲線は x 軸の下側。面積は −∫f になります。
x ≧ 1 で f(x) ≦ 0 なので
W = ∫₁^t {0 − f(x)} dx
= −[F(x)]₁^t
= −F(t) + F(1)
→ ④
トナt^ニ＋ヌ：正解 −6t²＋2（配点4）
＜問題要旨＞
t ＞ 1 における f(t) を求めます。
＜考え方＞
二等辺三角形の高さを三平方の定理で出して W を t の式にし、W＝−F(t)＋F(1) の両辺を t で微分します。
二等辺三角形は底辺 2t² − 2、等辺 t² + 1
高さ = √{(t² + 1)² − (t² − 1)²}
= √{(t⁴ + 2t² + 1) − (t⁴ − 2t² + 1)}
= √(4t²) = 2t
W = (1/2)(2t² − 2)(2t) = 2t³ − 2t
−F(t) + F(1) = 2t³ − 2t
両辺を t で微分して
−f(t) = 6t² − 2
f(t) = −6t² + 2
第３問 数列（等差数列・等比数列と重み付きの和）
等差数列 {aₙ} と等比数列 {bₙ} を作ったあと、(3) の cₙ ＝ Σ(n−k+1)(a_k − b_k) という「重み付きの和」を扱います。階差 dₙ ＝ c_{n+1} − cₙ を作ると重みが全部 1 になって S_{n+1} − T_{n+1} に化ける、というのが最大の山場です。
アイ：正解 −6（配点2）
＜問題要旨＞
{aₙ} の初項を求めます。
＜考え方＞
第4項が30、初項から第8項までの和が288 の2式を連立します。
a₁ + 3d = 30 …(i) S₈ = 8a₁ + 28d = 288 → 2a₁ + 7d = 72 …(ii) (i)より a₁ = 30 − 3d (ii)に代入： 2(30 − 3d) + 7d = 72 60 + d = 72 → d = 12 a₁ = 30 − 36 = −6
ウエ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
{aₙ} の公差を求めます。
＜考え方＞
上の連立ですでに出ています。
d = 12
オn²−カキn：正解 6n²−12n（配点2）
＜問題要旨＞
Sₙ を求めます。
＜考え方＞
等差数列の和の公式に a₁＝−6, d＝12 を入れます。
Sₙ = (n/2){2a₁ + (n − 1)d}
= (n/2){−12 + 12(n − 1)}
= (n/2)(12n − 24)
= 6n² − 12n
クケ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
{bₙ} の初項を求めます。
＜考え方＞
第2項が36、初項から第3項までの和が156。b₁＝36/r として和の式に代入すると r の２次方程式になります。
b₁r = 36 より b₁ = 36/r b₁(1 + r + r²) = 156 (36/r)(1 + r + r²) = 156 36 + 36r + 36r² = 156r 36r² − 120r + 36 = 0 3r² − 10r + 3 = 0 (3r − 1)(r − 3) = 0 r = 1/3, 3 公比 > 1 より r = 3、b₁ = 36/3 = 12
コ：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
{bₙ} の公比を求めます。
＜考え方＞
上で求めた通りです。
r = 3 （公比 > 1 という条件から r = 1/3 は不適）
サ(シⁿ−ス)：正解 6(3ⁿ−1)（配点2）
＜問題要旨＞
Tₙ を求めます。
＜考え方＞
等比数列の和の公式です。
Tₙ = b₁(rⁿ − 1)/(r − 1) = 12(3ⁿ − 1)/(3 − 1) = 6(3ⁿ − 1)
セ：正解 ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
{cₙ} の階差数列 dₙ ＝ c_{n+1} − cₙ が何になるかを選びます。
＜考え方＞
c_{n+1} と cₙ を書き並べて引くと、各項の係数がちょうど1ずつ減って全部1になり、単なる和になります。
c_{n+1} = Σ_{k=1}^{n+1} (n + 2 − k)(a_k − b_k)
cₙ = Σ_{k=1}^{n} (n + 1 − k)(a_k − b_k)
引くと k ≦ n の各項の係数は
(n + 2 − k) − (n + 1 − k) = 1
k = n + 1 の項は係数 1 でそのまま残る
dₙ = Σ_{k=1}^{n+1}(a_k − b_k) = S_{n+1} − T_{n+1}
→ ⑤
ソn²−2·タ^(n+チ)：正解 6n²−2·3^(n+2)（配点2）
＜問題要旨＞
dₙ を n の式で表します。
＜考え方＞
(1)(2) の Sₙ, Tₙ に n+1 を代入して整理します。指数の形にそろえるところがひと工夫です。
dₙ = S_{n+1} − T_{n+1}
= 6(n + 1)² − 12(n + 1) − 6(3^{n+1} − 1)
= 6n² + 12n + 6 − 12n − 12 − 6·3^{n+1} + 6
= 6n² − 6·3^{n+1}
6·3^{n+1} = 2·3·3^{n+1} = 2·3^{n+2} なので
dₙ = 6n² − 2·3^{n+2}
ツテト：正解 −18（配点1）
＜問題要旨＞
c₁ を求めます。
＜考え方＞
定義より c₁ ＝ a₁ − b₁ です。
c₁ = a₁ − b₁ = −6 − 12 = −18
ナn³−ニn²＋n＋ヌ，ネ：正解 2n³−3n²＋n＋9，2（配点3）
＜問題要旨＞
{cₙ} の一般項を求めます。
＜考え方＞
階差数列の公式 cₙ ＝ c₁ ＋ Σ_{k=1}^{n−1} d_k。Σk² の公式と等比数列の和を使います。
n ≧ 2 のとき
cₙ = c₁ + Σ_{k=1}^{n−1} (6k² − 2·3^{k+2})
Σ_{k=1}^{n−1} 6k² = 6·(n−1)n(2n−1)/6 = (n−1)n(2n−1) = 2n³ − 3n² + n
Σ_{k=1}^{n−1} 2·3^{k+2} = 2·(3³ + 3⁴ + … + 3^{n+1})
= 2·27(3^{n−1} − 1)/(3 − 1)
= 27(3^{n−1} − 1) = 3^{n+2} − 27
cₙ = −18 + (2n³ − 3n² + n) − (3^{n+2} − 27)
= 2n³ − 3n² + n + 9 − 3^{n+2}
（n = 1 のとき 2 − 3 + 1 + 9 − 27 = −18 で c₁ と一致）
第４問 ベクトル（交点 F を始点にとった三角形）
めずらしく、２直線の交点 F を始点にしてベクトルを置く問題です。p, q, r は「F から3頂点へ」のベクトル。FD を2通りに表して係数を比べる、という定石で s, t が決まります。
ア：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
AB を p, q で表します。
＜考え方＞
AB ＝ FB − FA です。
AB = FB − FA = q − p → ②
イ p・q：正解 2 p・q（配点1）
＜問題要旨＞
|AB|² を展開したときの p·q の係数を求めます。
＜考え方＞
|q − p|² を素直に展開します。
|AB|² = |q − p|² = |q|² − 2 p·q + |p|² = |p|² − 2 p·q + |q|² …①
(ウ／エ)p＋(オ／カ)q：正解 (3／4)p＋(1／4)q（配点2）
＜問題要旨＞
FD を p, q で表します。
＜考え方＞
D は AB を 1:3 に内分するので、内分点の公式をそのまま使います。
D は AB を 1 : 3 に内分 FD = (3·FA + 1·FB)/(1 + 3) = (3/4)p + (1/4)q …②
キクp＋ケsr：正解 −3p＋4sr（配点2）
＜問題要旨＞
FD＝s r であることから、q を p と s r で表します。
＜考え方＞
②の左辺を s r に置き換えて q について解きます。
s r = (3/4)p + (1/4)q (1/4)q = s r − (3/4)p q = 4s r − 3p q = −3p + 4s r …③
コ−サ，シ：正解 1−a，a（配点4）
＜問題要旨＞
FE＝t p であることから、q を p と r で表します。
＜考え方＞
E は BC を a:(1−a) に内分するので FE ＝ (1−a)q ＋ a r。これを q について解きます。
E は BC を a : (1 − a) に内分
FE = (1 − a)·FB + a·FC = (1 − a)q + a r
t p = (1 − a)q + a r
(1 − a)q = t p − a r
q = {t/(1 − a)}p − {a/(1 − a)}r …④
スセ，ソ：正解 −a，4（配点2）
＜問題要旨＞
s を a を用いて表します。
＜考え方＞
③と④で r の係数を比べます（p と r は1次独立）。
③: q = −3p + 4s r
④: q = {t/(1 − a)}p − {a/(1 − a)}r
r の係数を比べて
4s = −a/(1 − a)
s = −a/{4(1 − a)}
タチ：正解 −3（配点2）
＜問題要旨＞
t を a を用いて表します。
＜考え方＞
同じく p の係数を比べます。
p の係数を比べて t/(1 − a) = −3 t = −3(1 − a)
ツ，テ：正解 9，6（配点3）
＜問題要旨＞
|BE|² を |p|², p·q, |q|² で表したときの係数を求めます。
＜考え方＞
BE ＝ FE − FB ＝ t p − q に t ＝ −3(1−a) を入れて展開します。
BE = FE − FB = t p − q = −3(1 − a)p − q |BE|² = 9(1 − a)²|p|² + 2·3(1 − a) p·q + |q|² = 9(1 − a)²|p|² + 6(1 − a) p·q + |q|² |p| = 1 なので |BE|² = 9(1 − a)² + 6(1 − a) p·q + |q|²
(トナ−ニ)／ヌ：正解 (3a−2)／2（配点3）
＜問題要旨＞
|AB|＝|BE| のとき、p·q を a で表します。
＜考え方＞
①と上の式を等しいとおきます。|q|² が消えて p·q の１次方程式になり、分子分母に共通因数 (4−3a) が現れて約分できます。
|AB|² = 1 − 2 p·q + |q|²
|BE|² = 9(1 − a)² + 6(1 − a) p·q + |q|²
等しいとおいて |q|² を消すと
1 − 2 p·q = 9(1 − a)² + 6(1 − a) p·q
1 − 9(1 − a)² = {6(1 − a) + 2} p·q
1 − 9(1 − a)² = (8 − 6a) p·q
1 − 9(1 − a)² = {1 − 3(1 − a)}{1 + 3(1 − a)}
= (3a − 2)(4 − 3a)
8 − 6a = 2(4 − 3a)
p·q = (3a − 2)(4 − 3a)/{2(4 − 3a)} = (3a − 2)/2
第５問 確率分布と統計的な推測（カードの数字・二項分布・母比率の推定）
(1) は離散型確率変数の平均・分散と一次変換、(2) は二項分布の正規近似、(3) は母比率の信頼区間です。最後の L₁, L₂, L₃ の大小比較は、幅が 2×1.96×√(R(1−R)/n) であることを使って、R(1−R) と n を見比べるだけで決まります。
ア／イ：正解 1／a（配点2）
＜問題要旨＞
X＝2a となる確率を求めます。
＜考え方＞
a枚のカードから1枚を無作為に取り出すので、どの数字も等しく 1/a です。
カードは 2, 4, 6, …, 2a の a 枚 どれも同様に確からしいので P(X = 2a) = 1/a
ウ：正解 6（配点1）
＜問題要旨＞
a＝5 のときの X の平均を求めます。
＜考え方＞
2, 4, 6, 8, 10 がそれぞれ確率 1/5 です。
E(X) = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5 = 30/5 = 6
エ：正解 8（配点1）
＜問題要旨＞
X の分散を求めます。
＜考え方＞
V(X) ＝ E(X²) − {E(X)}² が速いです。
E(X²) = (2² + 4² + 6² + 8² + 10²)/5 = (4 + 16 + 36 + 64 + 100)/5 = 220/5 = 44 V(X) = 44 − 6² = 44 − 36 = 8
オ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
sX＋t の平均が20、分散が32となる s を求めます。
＜考え方＞
V(sX + t) ＝ s²V(X) なので、まず分散のほうから s が決まります。s ＞ 0 に注意。
V(sX + t) = s²V(X) = 8s² = 32 s² = 4 s > 0 より s = 2
カ：正解 8（配点1）
＜問題要旨＞
同じく t を求めます。
＜考え方＞
E(sX + t) ＝ sE(X) + t です。
E(sX + t) = s·E(X) + t = 2 × 6 + t = 20 t = 8
0.キ：正解 0.6（配点1）
＜問題要旨＞
2X＋8 が20以上である確率を求めます。
＜考え方＞
X の条件に直してから、5つの値のうち何個が該当するかを数えます。
2X + 8 ≧ 20 ⟺ 2X ≧ 12 ⟺ X ≧ 6 X = 6, 8, 10 の3通り 確率 = 3/5 = 0.6
ク／ケ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
3枚のカードを並べたとき、数字が左から小さい順に並んでいる確率を求めます。
＜考え方＞
取り出した3枚の並べ方は 3! 通り。そのうち小さい順は1通りだけです。
取り出した3枚の並べ方は 3! = 6 通り そのうち左から小さい順に並ぶのは 1 通り （どの3枚を取り出しても同じなので、a の値によらない） P(A) = 1/6
コサ：正解 30（配点1）
＜問題要旨＞
180回繰り返したとき、A が起こる回数 Y の平均を求めます。
＜考え方＞
Y は二項分布 B(180, 1/6) に従います。
Y ~ B(180, 1/6) m = E(Y) = np = 180 × (1/6) = 30
シス：正解 25（配点1）
＜問題要旨＞
Y の分散を求めます。
＜考え方＞
二項分布の分散は np(1−p) です。
σ² = np(1 − p) = 180 × (1/6) × (5/6) = 25 （σ = 5）
−セ.ソタ：正解 −2.40（配点1）
＜問題要旨＞
P(18 ≦ Y ≦ 36) を標準化したときの下限を求めます。
＜考え方＞
Z ＝ (Y − m)/σ に Y ＝ 18 を代入します。
Z = (Y − 30)/5 Y = 18 のとき Z = (18 − 30)/5 = −12/5 = −2.40
チ.ツテ：正解 1.20（配点1）
＜問題要旨＞
同じく上限を求めます。
＜考え方＞
Y ＝ 36 を代入します。
Y = 36 のとき Z = (36 − 30)/5 = 6/5 = 1.20
0.トナ：正解 0.88（配点2）
＜問題要旨＞
P(18 ≦ Y ≦ 36) の近似値を求めます。
＜考え方＞
0 をまたぐので、正規分布表の値を2つ足します。
P(−2.40 ≦ Z ≦ 1.20) = P(0 ≦ Z ≦ 2.40) + P(0 ≦ Z ≦ 1.20) = 0.4918 + 0.3849 = 0.8767 小数第2位までで 0.88
0.ニ：正解 0.8（配点1）
＜問題要旨＞
400人中320人が賛成のときの標本比率を求めます。
＜考え方＞
割るだけです。
R = 320/400 = 0.8
0.ヌネ：正解 0.76（配点1）
＜問題要旨＞
母比率 p に対する信頼度95%の信頼区間の下限を求めます。
＜考え方＞
R ± 1.96√(R(1−R)/n)。√の中がきれいに開けます。
√(R(1 − R)/n) = √(0.8 × 0.2/400) = √(0.16/400) = 0.4/20 = 0.02 1.96 × 0.02 = 0.0392 下限 = 0.8 − 0.0392 = 0.7608 小数第2位までで 0.76
0.ノハ：正解 0.84（配点1）
＜問題要旨＞
同じく上限を求めます。
＜考え方＞
同じ幅を足します。
上限 = 0.8 + 0.0392 = 0.8392 小数第2位までで 0.84
ヒ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
L₁, L₂, L₃ の大小関係を選びます。
＜考え方＞
信頼区間の幅は 2×1.96×√(R(1−R)/n)。R(1−R) は R が 0.5 に近いほど大きく、n が大きいほど幅は小さくなります。
幅 L = 2 × 1.96 × √(R(1 − R)/n) L₁: n = 400, R = 0.8 → R(1−R) = 0.16 → √(0.16/400) = 0.0200 L₂: n = 400, R = 0.6 → R(1−R) = 0.24 → √(0.24/400) = 0.02449… L₃: n = 500, R = 0.8 → R(1−R) = 0.16 → √(0.16/500) = 0.01788… 0.01788 < 0.0200 < 0.02449 なので L₃ < L₁ < L₂ → ④
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。