2023年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2023年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 複素数と方程式（実数係数の方程式は虚数解を共役の組でもつ）
「実数係数の方程式が 1＋√2 i を解にもつなら 1−√2 i も解である」という定理を、割り算の余りを使って証明する流れを追う設問です。定理を暗記していても、誘導のどこで何を使うかを見失わないことが大事です。
ア，イ：正解 2，3（配点2）
＜問題要旨＞
1 ± √2 i を解とする、x² の係数が 1 の２次方程式を求めます。
＜考え方＞
解と係数の関係で、和と積を計算します。
和 ＝ (1 ＋ √2 i) ＋ (1 − √2 i) ＝ 2 積 ＝ (1 ＋ √2 i)(1 − √2 i) ＝ 1² − (√2 i)² ＝ 1 − (−2) ＝ 3 x² − (和)x ＋ (積) ＝ 0 より x² − 2x ＋ 3 ＝ 0
よって ア＝2、イ＝3。
ウ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
P(x) を S(x) で割った商を Q(x)、余りを R(x) としたときに成り立つ式を選びます。
＜考え方＞
「割られる式 ＝ 割る式 × 商 ＋ 余り」の形です。
P(x) ＝ S(x)Q(x) ＋ R(x)
よって ウ＝③。
エ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
R(1 ＋ √2 i) の値を求めます。
＜考え方＞
1 ＋ √2 i が P(x) ＝ 0 と S(x) ＝ 0 の両方の解であることを使います。
R(x) ＝ P(x) − S(x)Q(x) なので R(1＋√2 i) ＝ P(1＋√2 i) − S(1＋√2 i)Q(1＋√2 i) ＝ 0 − 0 × Q(1＋√2 i) ＝ 0
よって エ＝0。
オ，カ：正解 0，0（配点1）
＜問題要旨＞
R(x) ＝ mx ＋ n としたときの m, n を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 1 ＋ √2 i を代入し、実部と虚部をそれぞれ 0 とおきます（m, n は実数）。
m(1 ＋ √2 i) ＋ n ＝ 0 (m ＋ n) ＋ √2 m i ＝ 0 m, n は実数なので 実部： m ＋ n ＝ 0 虚部： √2 m ＝ 0 m ＝ 0、n ＝ 0
よって オ＝0、カ＝0。
キ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
m ＝ n ＝ 0 から言えることを選びます。
＜考え方＞
R(x) ＝ mx ＋ n に m ＝ n ＝ 0 を入れます。
R(x) ＝ 0・x ＋ 0 ＝ 0 よって P(x) ＝ S(x)Q(x) S(1 − √2 i) ＝ 0 なので P(1 − √2 i) ＝ 0 × Q(1 − √2 i) ＝ 0
よって キ＝③（R(x) ＝ 0）。
ク，ケ，コ：正解 3，8，7（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 3x⁴ ＋ 2x³ ＋ kx ＋ ℓ を S(x) ＝ x² − 2x ＋ 3 で割った商 Q(x) を求めます。
＜考え方＞
x³ の項が抜けている（係数 0）ことに注意して筆算します。
3x⁴ ＋ 2x³ ＋ 0x² ＋ kx ＋ ℓ ÷ (x² − 2x ＋ 3) 3x² を立てる → 3x⁴ − 6x³ ＋ 9x² 残り： 8x³ − 9x² ＋ kx ＋ ℓ 8x を立てる → 8x³ − 16x² ＋ 24x 残り： 7x² ＋ (k − 24)x ＋ ℓ 7 を立てる → 7x² − 14x ＋ 21 残り： (k − 10)x ＋ (ℓ − 21) Q(x) ＝ 3x² ＋ 8x ＋ 7
よって ク＝3、ケ＝8、コ＝7。
サシ，スセ：正解 10，21（配点2）
＜問題要旨＞
同じ割り算の余り R(x) を求めます。
＜考え方＞
上の筆算の最後に残った式です。
R(x) ＝ (k − 10)x ＋ ℓ − 21
よって サシ＝10、スセ＝21。
ソタ，チツ：正解 10，21（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 0 が 1 ＋ √2 i を解にもつときの k, ℓ を求めます。
＜考え方＞
(1)より、このとき R(x) ＝ 0 になります。
R(x) ＝ (k − 10)x ＋ (ℓ − 21) ＝ 0 x についての恒等式なので k − 10 ＝ 0 → k ＝ 10 ℓ − 21 ＝ 0 → ℓ ＝ 21
よって ソタ＝10、チツ＝21。
テ−√ト i：正解 1−√2 i（配点1）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 0 の 1 ＋ √2 i 以外の解のうち、S(x) ＝ 0 から出るものを求めます。
＜考え方＞
R(x) ＝ 0 なので P(x) ＝ S(x)Q(x) と因数分解できています。
P(x) ＝ (x² − 2x ＋ 3)(3x² ＋ 8x ＋ 7) x² − 2x ＋ 3 ＝ 0 の解は x ＝ 1 ± √2 i 1 ＋ √2 i 以外は 1 − √2 i
よって テ＝1、ト＝2。
(−ナ±√ニ i)／ヌ：正解 (−4±√5 i)／3（配点2）
＜問題要旨＞
残りの２解を求めます。
＜考え方＞
3x² ＋ 8x ＋ 7 ＝ 0 を解の公式で解きます。
x ＝ (−8 ± √(64 − 4・3・7))/(2・3) ＝ (−8 ± √(64 − 84))/6 ＝ (−8 ± √(−20))/6 ＝ (−8 ± 2√5 i)/6 ＝ (−4 ± √5 i)/3
よって ナ＝4、ニ＝5、ヌ＝3。
第１問 〔２〕 対数（常用対数表とスポーツドリンクの売り上げ予測）
売り上げ本数そのものは直線に乗らないが、対数をとると直線に乗る——という現象を扱う設問です。常用対数表の引き方と、log の式を N ＝ … の形に戻す操作が要になります。
ネ：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
log₁₀285 を log₁₀2.85 ＝ 0.4548 を使って求めます。
＜考え方＞
285 を 2.85 × 100 に分けます。
log₁₀285 ＝ log₁₀(2.85 × 100)
＝ log₁₀2.85 ＋ log₁₀10²
＝ 0.4548 ＋ 2
＝ 2.4548
小数第4位を四捨五入して p₁ ＝ 2.455
よって ネ＝2。
ノ．ハヒフ：正解 2．566（配点3）
＜問題要旨＞
log₁₀368 の小数第4位を四捨五入した p₂ を求めます。
＜考え方＞
同じく 3.68 × 100 に分け、常用対数表から log₁₀3.68 を読みます。
常用対数表より log₁₀3.68 ＝ 0.5658 log₁₀368 ＝ 0.5658 ＋ 2 ＝ 2.5658 小数第4位を四捨五入して p₂ ＝ 2.566
よって ノ＝2、ハヒフ＝566。
ヘ：正解 ②（配点4）
＜問題要旨＞
点 (x, log₁₀N) が直線 y ＝ k(x − 22) ＋ p₁ 上にあるときの、x と N の関係式を選びます。
＜考え方＞
log の式を「N ＝ …」の形に戻すだけです。
log₁₀N ＝ k(x − 22) ＋ p₁
対数の定義（log₁₀N ＝ a ⟺ N ＝ 10ᵃ）より
N ＝ 10^{k(x−22)＋p₁}
よって ヘ＝②。
ホ：正解 ⑤（配点4）
＜問題要旨＞
最高気温 32 ℃ の日の売り上げ本数の範囲を選びます。
＜考え方＞
まず k を求め、x ＝ 32 を代入して log₁₀N を出し、常用対数表を逆に引きます。
k ＝ (p₂ − p₁)/(25 − 22)
＝ (2.566 − 2.455)/3
＝ 0.111/3 ＝ 0.037
x ＝ 32 のとき
log₁₀N ＝ 0.037 × (32 − 22) ＋ 2.455
＝ 0.37 ＋ 2.455
＝ 2.825
N ＝ 10^2.825 ＝ 10² × 10^0.825
常用対数表で 0.825 に近いのは
log₁₀6.68 ＝ 0.8248
N ≒ 100 × 6.68 ＝ 668
→ 660 以上 670 未満
よって ホ＝⑤。
第２問 〔１〕 微分（厚紙から作る箱の容積の最大）
ふたのない箱とふたのある箱で容積の最大値を比べます。(2)は同じ計算を繰り返すのではなく、W ＝ V ÷ 2 という関係に気づけば計算がゼロで済むという設計になっています。
ア／イ：正解 9／2（配点2）
＜問題要旨＞
四隅から一辺 x cm の正方形を切り取ってふたのない箱を作るとき、x のとり得る範囲の右端を求めます。
＜考え方＞
短い辺 9 cm 側が残る条件がいちばん厳しくなります。
縦（9 cm 側）に残る長さ： 9 − 2x ＞ 0 → x ＜ 9/2 横（24 cm 側）： 24 − 2x ＞ 0 → x ＜ 12 高さ： x ＞ 0 共通部分は 0 ＜ x ＜ 9/2
よって ア＝9、イ＝2。
ウ，エオ，カキク：正解 4，66，216（配点2）
＜問題要旨＞
容積 V を x の式で表します。
＜考え方＞
(縦)×(横)×(高さ) を展開します。
V ＝ x(9 − 2x)(24 − 2x) (9 − 2x)(24 − 2x) ＝ 216 − 18x − 48x ＋ 4x² ＝ 4x² − 66x ＋ 216 V ＝ 4x³ − 66x² ＋ 216x
よって ウ＝4、エオ＝66、カキク＝216。
ケ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
V が最大となる x を求めます。
＜考え方＞
V′ ＝ 0 を解き、範囲 0 ＜ x ＜ 9/2 に入る解を選びます。
V′ ＝ 12x² − 132x ＋ 216 ＝ 12(x² − 11x ＋ 18) ＝ 12(x − 2)(x − 9) 0 ＜ x ＜ 9/2 では 0 ＜ x ＜ 2 … V′ ＞ 0（増加） 2 ＜ x ＜ 9/2 … V′ ＜ 0（減少） x ＝ 2 で最大
よって ケ＝2。
コサシ：正解 200（配点2）
＜問題要旨＞
V の最大値を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 2 を代入します。
V(2) ＝ 2 × (9 − 4) × (24 − 4) ＝ 2 × 5 × 20 ＝ 200
よって コサシ＝200。
ス：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
ふたのある箱を作るとき、右側二つの切り取る長方形の横の長さを選びます。
＜考え方＞
ふたが底面をぴったり覆うには、横 24 cm をちょうど半分に使う必要があります。
左端の x cm は側面に折り上げる 底面の横の長さを a とすると ふた（＋端の側面 x）に必要な長さも a ＋ x x ＋ a ＋ (a ＋ x) ＝ 24 切り取る右側の横の長さは a ＋ x ＝ 12 （このとき底面の横は a ＝ 12 − x）
よって ス＝③（12）。
セ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
ふたのある箱の容積 W の最大値が、V の最大値の何倍かを選びます。
＜考え方＞
W を x の式で書いて V と見比べます。
W ＝ x(9 − 2x)(12 − x) ここで 24 − 2x ＝ 2(12 − x) なので V ＝ x(9 − 2x)・2(12 − x) ＝ 2W すなわち W ＝ V/2 定義域も 0 ＜ x ＜ 9/2 で同じなので W の最大値 ＝ V の最大値 ÷ 2 ＝ 100
よって セ＝④（の 1/2 倍である）。
ソ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
W が最大となる x について正しいものを選びます。
＜考え方＞
W ＝ V/2 はすべての x で成り立つので、最大を与える x も同じです。
W ＝ (1/2)V（定義域も同じ）
正の定数倍しても増減は変わらない
→ W が最大になる x は
V が最大になる x₀ ＝ 2 と一致し、ただ一つ
よって ソ＝②（ただ一つあり、その値は x₀ と等しい）。
タ：正解 ④（配点4）
＜問題要旨＞
セの関係が成り立つための、長方形についての条件を選びます。
＜考え方＞
縦 p、横 q の一般の長方形で同じ計算をしてみます。
縦 p、横 q とすると
ふたなし： V ＝ x(p − 2x)(q − 2x)
ふたあり： 切り取る横は q/2 なので
W ＝ x(p − 2x)(q/2 − x)
q − 2x ＝ 2(q/2 − x) より
V ＝ 2W すなわち W ＝ V/2
p, q の値によらず成り立つ
よって タ＝④（縦と横の長さに関係なくどのような長方形のときでも成り立つ）。
第２問 〔２〕 積分（平方数の和を定積分で表す）
1² ＋ 2² ＋ … ＋ 10² を定積分で書く、という一風変わった設問です。∫ₜ^{t+1} f(x)dx ＝ t² となる f を作り、区間をつなげるという二段構えになっています。
チ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
∫ₜ^{t+1} 1 dx の値を求めます。
＜考え方＞
幅 1 の区間で高さ 1 なので面積は 1 です。
∫ₜ^{t+1} 1 dx ＝ [x]ₜ^{t+1} ＝ (t ＋ 1) − t ＝ 1
よって チ＝1。
ツ／テ：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
∫ₜ^{t+1} x dx を t の式で表します。
＜考え方＞
原始関数 x²/2 を代入します。
[x²/2]ₜ^{t+1} ＝ ((t＋1)² − t²)/2
＝ (2t ＋ 1)/2
＝ t ＋ 1/2
よって ツ＝1、テ＝2。
ト／ナ：正解 1／3（配点1）
＜問題要旨＞
∫ₜ^{t+1} x² dx を t の式で表します。
＜考え方＞
原始関数 x³/3 を代入して展開します。
[x³/3]ₜ^{t+1} ＝ ((t＋1)³ − t³)/3
(t＋1)³ ＝ t³ ＋ 3t² ＋ 3t ＋ 1 より
＝ (3t² ＋ 3t ＋ 1)/3
＝ t² ＋ t ＋ 1/3
よって ト＝1、ナ＝3。
ニ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ ℓx² ＋ mx ＋ n としたときの ℓ を求めます。
＜考え方＞
恒等式の t² の係数を比べます。
∫ₜ^{t+1} f(x)dx
＝ ℓ(t² ＋ t ＋ 1/3) ＋ m(t ＋ 1/2) ＋ n
＝ ℓt² ＋ (ℓ ＋ m)t ＋ (1/3)ℓ ＋ (1/2)m ＋ n
これが t² と一致するので
t² の係数： ℓ ＝ 1
よって ニ＝1。
ヌネ：正解 −1（配点2）
＜問題要旨＞
同じく m を求めます。
＜考え方＞
t の係数を比べます。
t の係数： ℓ ＋ m ＝ 0 ℓ ＝ 1 より m ＝ −1
よって ヌネ＝−1。
ノ／ハ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
同じく n を求めます。
＜考え方＞
定数項を比べます。
定数項： (1/3)ℓ ＋ (1/2)m ＋ n ＝ 0 (1/3)(1) ＋ (1/2)(−1) ＋ n ＝ 0 1/3 − 1/2 ＋ n ＝ 0 n ＝ 1/2 − 1/3 ＝ 1/6
よって ノ＝1、ハ＝6。
ヒフ：正解 11（配点2）
＜問題要旨＞
1² ＋ 2² ＋ … ＋ 10² を ∫₁^□ f(x)dx と表したときの上端を求めます。
＜考え方＞
∫ₜ^{t+1} f ＝ t² を t ＝ 1, 2, …, 10 について足すと、隣り合う区間がつながります。
1² ＝ ∫₁² f(x)dx 2² ＝ ∫₂³ f(x)dx ⋮ 10² ＝ ∫₁₀¹¹ f(x)dx 辺々足すと区間が [1, 11] につながって 1² ＋ 2² ＋ … ＋ 10² ＝ ∫₁¹¹ f(x)dx
よって ヒフ＝11。
第３問 確率分布と統計的な推測（最小値・最大値の確率変数と信頼区間）
２枚のカードの小さい方を X、大きい方を Y とします。Y ＝ 5 − X という関係に気づけば、Y の平均も標準偏差も X から即座に出ます。最後は信頼区間で「太郎さんの記憶」を判定します。
ア：正解 7（配点1）
＜問題要旨＞
X ＝ 1 となる場合の数を求めます。
＜考え方＞
全16通りから「両方とも2以上」を引くのが速いです。
全部で 4 × 4 ＝ 16 通り X ＝ 1（＝ 最小値が1）でない ⟺ 白も赤も 2 以上 → 3 × 3 ＝ 9 通り X ＝ 1 は 16 − 9 ＝ 7 通り
よって ア＝7。
イ，ウ，エ：正解 5，3，1（配点2）
＜問題要旨＞
X ＝ 2, 3, 4 となる場合の数を求めます。
＜考え方＞
「両方 k 以上」の個数の差で数えます。
両方 k 以上の個数 ＝ (5 − k)² X ＝ 2： 3² − 2² ＝ 9 − 4 ＝ 5 X ＝ 3： 2² − 1² ＝ 4 − 1 ＝ 3 X ＝ 4： 1² − 0² ＝ 1 検算： 7 ＋ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 16 ✓
よって イ＝5、ウ＝3、エ＝1。
オ，カ，キ：正解 3，5，7（配点1）
＜問題要旨＞
Y ＝ 2, 3, 4 となる場合の数を求めます。
＜考え方＞
こんどは「両方 k 以下」の個数の差です。
両方 k 以下の個数 ＝ k² Y ＝ 2： 2² − 1² ＝ 3 Y ＝ 3： 3² − 2² ＝ 5 Y ＝ 4： 4² − 3² ＝ 7 検算： 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16 ✓
よって オ＝3、カ＝5、キ＝7。
ク：正解 5（配点1）
＜問題要旨＞
Z ＝ □ − X が Y と同じ確率分布になるような定数を求めます。
＜考え方＞
X と Y の確率分布は左右が入れ替わった形なので、対称の中心を見ます。
X：1,2,3,4 に対し確率 7,5,3,1 (/16) Y：1,2,3,4 に対し確率 1,3,5,7 (/16) X ＝ 4 の確率 1/16 ＝ Y ＝ 1 の確率 Z ＝ c − X で Z ＝ 1 ⟺ X ＝ 4 とするには c − 4 ＝ 1 → c ＝ 5 実際 Z ＝ 5 − X は X＝4→Z＝1、X＝3→Z＝2、X＝2→Z＝3、X＝1→Z＝4 確率は 1,3,5,7 (/16) で Y と一致 ✓
よって ク＝5。
ケコ／8：正解 15／8（配点2）
＜問題要旨＞
X の平均（期待値）を求めます。
＜考え方＞
値 × 確率 を足します。
E(X) ＝ (1・7 ＋ 2・5 ＋ 3・3 ＋ 4・1)/16 ＝ (7 ＋ 10 ＋ 9 ＋ 4)/16 ＝ 30/16 ＝ 15/8
よって ケコ＝15。
サシ／8：正解 25／8（配点1）
＜問題要旨＞
Y の平均を求めます。
＜考え方＞
Y ＝ 5 − X の関係を使えば計算不要です。
E(Y) ＝ E(5 − X) ＝ 5 − E(X) ＝ 5 − 15/8 ＝ 40/8 − 15/8 ＝ 25/8
よって サシ＝25。
ス：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
Y の標準偏差を選びます。
＜考え方＞
標準偏差は「定数を引く」「符号を変える」では変わりません。
σ(aX ＋ b) ＝ |a|σ(X) より σ(Y) ＝ σ(5 − X) ＝ |−1|σ(X) ＝ σ(X)
よって ス＝③（σ(X)）。
セソ／64：正解 11／64（配点1）
＜問題要旨＞
n ＝ 2 のとき X̄ ＝ 2.50 となる確率を求めます。
＜考え方＞
X₁ ＋ X₂ ＝ 5 となる場合を、確率の積の和で求めます。
X の確率は 1,2,3,4 に対し 7,5,3,1 (/16) 和が 5 になる組は (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) P ＝ (7・1 ＋ 5・3 ＋ 3・5 ＋ 1・7)/16² ＝ (7 ＋ 15 ＋ 15 ＋ 7)/256 ＝ 44/256 ＝ 11/64
よって セソ＝11。
タ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
P(Ȳ ＝ 2.50) と P(X̄ ＝ 2.50) の大小を判定します。
＜考え方＞
Y の確率分布は X を左右反転したものなので、和が 5 になる組み合わせも対称です。
Y の確率は 1,2,3,4 に対し 1,3,5,7 (/16) 和が 5 になる組は (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) P ＝ (1・7 ＋ 3・5 ＋ 5・3 ＋ 7・1)/256 ＝ 44/256 X のときと同じ値
よって タ＝①（＝）。
チ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
標本平均 X̄ の標準偏差を選びます。
＜考え方＞
標本の大きさ n の平方根で割ります。
σ(X̄) ＝ σ(X)/√n
よって チ＝②。
ツ，テ：正解 ④，⑦（配点2）
＜問題要旨＞
n ＝ 100、X̄ ＝ 2.95 のときの m_X の信頼度95%の信頼区間を選びます。
＜考え方＞
X̄ ± 1.96 × σ(X)/√n に代入します。√55 ＝ 7.4 を使います。
σ(X̄) ＝ (√55/8)/√100 ＝ 7.4/(8 × 10) ＝ 7.4/80 ＝ 0.0925 1.96 × 0.0925 ＝ 0.1813 2.95 − 0.1813 ＝ 2.7687 ≒ 2.769 2.95 ＋ 0.1813 ＝ 3.1313 ≒ 3.131
よって ツ＝④（2.769）、テ＝⑦（3.131）。
ト，ナ：正解 ④，⑦（配点2）
＜問題要旨＞
同じく Ȳ ＝ 2.95 のときの m_Y の信頼区間を選びます。
＜考え方＞
σ(Y) ＝ σ(X) なので、区間の幅はまったく同じです。
σ(Ȳ) ＝ σ(Y)/√100 ＝ σ(X)/10 ＝ 0.0925 中心も 2.95 で同じなので 区間は 2.769 ≦ m_Y ≦ 3.131
よって ト＝④、ナ＝⑦。
ニ，ヌ，ネ：正解 ①，⓪，①（配点3）
＜問題要旨＞
E(X)、E(Y) がそれぞれの信頼区間に含まれるかを判定し、太郎さんの記憶が正しいかを結論します。
＜考え方＞
E(X) ＝ 15/8、E(Y) ＝ 25/8 を小数に直して区間と比べます。
E(X) ＝ 15/8 ＝ 1.875 区間① [2.769, 3.131] に含まれない E(Y) ＝ 25/8 ＝ 3.125 区間② [2.769, 3.131] に含まれる 基準：「①に E(X) が含まれず、②に E(Y) が 含まれているならば記憶は正しくない」 → 太郎さんの記憶は正しくない → メモの t₂, t₁₀₀ は「確率変数 Y」の平均値
よって ニ＝①、ヌ＝⓪、ネ＝①。
第４問 数列（数列の増減と、分数形の漸化式）
「つねに増加する／つねに減少する／どちらもある」を判定させる設問です。後半は c_{n+1} が分数の形をした漸化式で、d_n ＝ 1/(c_n − 20) と置きかえる誘導に素直に乗るのが最短です。
アイ，ウエ：正解 −3，26（配点2）
＜問題要旨＞
a₁ ＝ 23、a_{n+1} ＝ a_n − 3 の一般項を求めます。
＜考え方＞
公差 −3 の等差数列です。
a_n ＝ 23 ＋ (n − 1)(−3) ＝ 23 − 3n ＋ 3 ＝ −3n ＋ 26
よって アイ＝−3、ウエ＝26。
オ：正解 9（配点2）
＜問題要旨＞
a_n ＜ 0 を満たす最小の自然数 n を求めます。
＜考え方＞
不等式を解いて、それより大きい最小の整数をとります。
−3n ＋ 26 ＜ 0 3n ＞ 26 n ＞ 26/3 ＝ 8.66… 最小の自然数は n ＝ 9 （確認： a₈ ＝ 2 ＞ 0、a₉ ＝ −1 ＜ 0）
よって オ＝9。
カ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
数列 {a_n} の増減を選びます。
＜考え方＞
公差の符号を見ます。
a_{n+1} − a_n ＝ −3 ＜ 0
すべての n で成り立つので つねに減少する
よって カ＝①（つねに減少する）。
キ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
S_n ＝ Σa_k としたときの数列 {S_n} の増減を選びます。
＜考え方＞
S_{n+1} − S_n ＝ a_{n+1} なので、a の符号がそのまま増減になります。
S_{n+1} − S_n ＝ a_{n+1}
n ≦ 7 のとき a_{n+1} ＞ 0 → 増加
（例： S₁ ＜ S₂）
n ≧ 8 のとき a_{n+1} ＜ 0 → 減少
（例： S₉ ＞ S₁₀）
増加することも減少することもある
よって キ＝②。
ク，ケ：正解 ⓪，⓪（配点2）
＜問題要旨＞
n ≧ 9 のとき a_n について成り立つことと、b_n ＝ 1/a_n の増減を選びます。
＜考え方＞
a_n の符号を確かめてから、負の数の逆数の動きを具体的な値で確認します。
【ク】
{a_n} はつねに減少し、a₉ ＝ −1 ＜ 0
よって n ≧ 9 では a_n ≦ a₉ ＜ 0
【ケ】
n ≧ 9 では a_n ＜ 0 かつ a_n ＞ a_{n+1}
a₉ ＝ −1、a₁₀ ＝ −4、a₁₁ ＝ −7、…
b₉ ＝ −1
b₁₀ ＝ −1/4 ＝ −0.25
b₁₁ ＝ −1/7 ≒ −0.14
負の数どうしなので、絶対値が小さくなるほど大きい
−1 ＜ −0.25 ＜ −0.14 なので b_n ＜ b_{n+1}
よって ク＝⓪（a_n ＜ 0 である）、ケ＝⓪（b_n ＜ b_{n+1} である）。
コサ：正解 10（配点1）
＜問題要旨＞
c₁ ＝ 30 のときの d₁ ＝ 1/(c₁ − 20) を求めます。
＜考え方＞
代入するだけです。
d₁ ＝ 1/(30 − 20) ＝ 1/10
よって コサ＝10。
シス：正解 20（配点2）
＜問題要旨＞
c_n を d_n で表します。
＜考え方＞
d_n の定義式を c_n について解きます。
d_n ＝ 1/(c_n − 20) c_n − 20 ＝ 1/d_n c_n ＝ 1/d_n ＋ 20
よって シス＝20。
セ，ソタ：正解 3，30（配点2）
＜問題要旨＞
d_{n+1} を d_n で表します。
＜考え方＞
1/d_{n+1} ＝ c_{n+1} − 20 を計算し、c_n を 1/d_n ＋ 20 に置きかえます。
1/d_{n+1} ＝ c_{n+1} − 20
＝ (50c_n − 800)/(c_n − 10) − 20
＝ (50c_n − 800 − 20c_n ＋ 200)/(c_n − 10)
＝ (30c_n − 600)/(c_n − 10)
＝ 30(c_n − 20)/(c_n − 10)
c_n − 20 ＝ 1/d_n、c_n − 10 ＝ 1/d_n ＋ 10 より
＝ 30・(1/d_n)/(1/d_n ＋ 10)
分母分子に d_n を掛けて
＝ 30/(1 ＋ 10d_n)
よって d_{n+1} ＝ (1 ＋ 10d_n)/30
＝ d_n/3 ＋ 1/30
よって セ＝3、ソタ＝30。
チツ，テ，トナ：正解 20，3，20（配点2）
＜問題要旨＞
数列 {d_n} の一般項を求めます。
＜考え方＞
特性方程式 x ＝ x/3 ＋ 1/30 を解いて等比型に直します。
x ＝ x/3 ＋ 1/30
(2/3)x ＝ 1/30 → x ＝ 1/20
d_{n+1} − 1/20 ＝ (1/3)(d_n − 1/20)
{d_n − 1/20} は公比 1/3 の等比数列で
初項 d₁ − 1/20 ＝ 1/10 − 1/20 ＝ 1/20
d_n − 1/20 ＝ (1/20)(1/3)^{n−1}
d_n ＝ (1/20)(1/3)^{n−1} ＋ 1/20
よって チツ＝20、テ＝3、トナ＝20。
ニ，ヌ：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
d_n と 1/20 の大小、および {d_n} の増減を答えます。
＜考え方＞
一般項の第1項が正であることと、公比が 0 ＜ 1/3 ＜ 1 であることを見ます。
(1/20)(1/3)^{n−1} ＞ 0 なので
d_n ＞ 1/20
(1/3)^{n−1} は n が増えると減少するので
d_n はつねに減少する
よって ニ＝②（>）、ヌ＝①（つねに減少する）。
ネ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
n ＝ 1 から 10 まで点 (n, c_n) を図示したグラフを選びます。
＜考え方＞
c_n ＝ 1/d_n ＋ 20 に、d_n の性質を持ち込みます。
d_n は 1/20 より大きい値から減少して 1/20 に近づく → 1/d_n は 20 より小さい値から増加して 20 に近づく → c_n ＝ 1/d_n ＋ 20 は増加して 40 に近づく 実際 c₁ ＝ 30、c₂ ＝ 35、c₃ ＝ 38、… 30 から増加し 40 を超えない（50 には届かない）
よって ネ＝④。
第５問 空間ベクトル（直線と xy 平面の交点、120°をなす点）
直線 AB 上の点をパラメータ t で表し、条件を t の方程式に落とす設問です。(2)は２乗して出た解の一方が 60° になるため、符号で選び分ける必要があります。
ア，イ，ウ，エ：正解 2，3，3，5（配点2）
＜問題要旨＞
直線 AB 上の点 P の座標を t で表します。
＜考え方＞
OP ＝ OA ＋ tAB を成分で計算します。
A(0, −3, 5)、B(2, 0, 4) AB ＝ (2 − 0, 0 − (−3), 4 − 5) ＝ (2, 3, −1) OP ＝ (0, −3, 5) ＋ t(2, 3, −1) P(2t, 3t − 3, −t ＋ 5)
よって ア＝2、イ＝3、ウ＝3、エ＝5。
(オカ，キク，0)：正解 (10，12，0)（配点1）
＜問題要旨＞
直線 AB と xy 平面の交点 C の座標を求めます。
＜考え方＞
xy 平面上の点は z 座標が 0 です。
−t ＋ 5 ＝ 0 → t ＝ 5 x ＝ 2・5 ＝ 10 y ＝ 3・5 − 3 ＝ 12 C(10, 12, 0)
よって オカ＝10、キク＝12。
ケ：コ：正解 5：4（配点2）
＜問題要旨＞
C が線分 AB を外分する比を求めます。
＜考え方＞
AC と CB をそれぞれ AB の何倍かで測ります。
C − A ＝ 5・AB（t ＝ 5 だから）
C − B ＝ (C − A) − (B − A)
＝ 5AB − AB ＝ 4AB
AC : CB ＝ 5 : 4
C は B より外側にあるので外分
よって ケ：コ＝5：4。
サシ／ス：正解 −1／2（配点2）
＜問題要旨＞
∠CPD ＝ 120° のときの内積の式の係数を求めます。
＜考え方＞
内積の定義 PC・PD ＝ |PC||PD|cos∠CPD です。
cos120° ＝ −1/2 PC・PD ＝ (−1/2)|PC||PD|
よって サシ＝−1、ス＝2。
−7(セt−ソ)：正解 −7(2t−5)（配点2）
＜問題要旨＞
AB・PD を t の式で表します。
＜考え方＞
PD ＝ D − P を成分で出してから内積を計算します。
D(7, 4, 5)、P(2t, 3t − 3, −t ＋ 5)
PD ＝ (7 − 2t, 4 − (3t − 3), 5 − (−t ＋ 5))
＝ (7 − 2t, 7 − 3t, t)
AB・PD ＝ 2(7 − 2t) ＋ 3(7 − 3t) ＋ (−1)(t)
＝ 14 − 4t ＋ 21 − 9t − t
＝ 35 − 14t
＝ −7(2t − 5)
よって セ＝2、ソ＝5。
14(t²−タt+チ)：正解 14(t²−5t+7)（配点2）
＜問題要旨＞
|PD|² を t の式で表します。
＜考え方＞
各成分の2乗を足します。
|PD|² ＝ (7 − 2t)² ＋ (7 − 3t)² ＋ t² ＝ (49 − 28t ＋ 4t²) ＋ (49 − 42t ＋ 9t²) ＋ t² ＝ 14t² − 70t ＋ 98 ＝ 14(t² − 5t ＋ 7)
よって タ＝5、チ＝7。
ツ，テ：正解 2，3（配点2）
＜問題要旨＞
②の両辺の2乗が等しくなる t を求めます。
＜考え方＞
|AB|² ＝ 14 を使って両辺を2乗し、整理します。
|AB|² ＝ 2² ＋ 3² ＋ (−1)² ＝ 14 ②： k(AB・PD) ＝ (−1/2)|k||AB||PD| 両辺を2乗して k²(35 − 14t)² ＝ (1/4)k²・14・|PD|² k ≠ 0 なので k² で割り、|PD|² を代入 49(2t − 5)² ＝ (1/4)・14・14(t² − 5t ＋ 7) 49(2t − 5)² ＝ 49(t² − 5t ＋ 7) (2t − 5)² ＝ t² − 5t ＋ 7 4t² − 20t ＋ 25 ＝ t² − 5t ＋ 7 3t² − 15t ＋ 18 ＝ 0 t² − 5t ＋ 6 ＝ 0 (t − 2)(t − 3) ＝ 0 t ＝ 2, 3
よって ツ＝2、テ＝3。
(ト，ナ，ニ)：正解 (6，6，2)（配点2）
＜問題要旨＞
∠CPD ＝ 120° となる点 P の座標を求めます。
＜考え方＞
２乗したことで 60° の場合が混ざっています。内積が負になる方を選びます。
PC ＝ C − P
＝ (10 − 2t, 15 − 3t, t − 5)
＝ (5 − t)(2, 3, −1)
よって k ＝ 5 − t
k(AB・PD) ＝ (5 − t)(35 − 14t) の符号を調べる
t ＝ 2： 3 × 7 ＝ 21 ＞ 0
→ cos ＞ 0 なので 60°（不適）
t ＝ 3： 2 × (−7) ＝ −14 ＜ 0
→ cos ＜ 0 なので 120°（適）
t ＝ 3 のとき
P(2・3, 3・3 − 3, −3 ＋ 5) ＝ (6, 6, 2)
よって ト＝6、ナ＝6、ニ＝2。
ヌネ，ノハ，ヒフ：正解 17，19，35（配点3）
＜問題要旨＞
直線 DP と xy 平面の交点 Q の位置ベクトルを t で表します。
＜考え方＞
OQ ＝ OD ＋ sDP とおき、z 座標が 0 になる条件から s を t で表します。
DP ＝ P − D ＝ (2t − 7, 3t − 7, −t) OQ ＝ (7, 4, 5) ＋ s(2t − 7, 3t − 7, −t) z 座標： 5 − st ＝ 0 → s ＝ 5/t （P ≠ A より t ≠ 0） x ＝ 7 ＋ (5/t)(2t − 7) ＝ 7 ＋ 10 − 35/t ＝ 17 − 35/t y ＝ 4 ＋ (5/t)(3t − 7) ＝ 4 ＋ 15 − 35/t ＝ 19 − 35/t OQ ＝ (17, 19, 0) − (35/t)(1, 1, 0)
よって ヌネ＝17、ノハ＝19、ヒフ＝35。
ヘ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
点 Q が描く図形から除かれる点を R とするとき、DR がどのベクトルと平行かを選びます。
＜考え方＞
35/t は 0 以外のすべての実数値をとるので、除かれるのは 35/t ＝ 0 に対応する点です。
R ＝ (17, 19, 0) DR ＝ R − D ＝ (17 − 7, 19 − 4, 0 − 5) ＝ (10, 15, −5) ＝ 5(2, 3, −1) ＝ 5・AB よって DR は AB と平行
よって ヘ＝④（AB）。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。