2023年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2023年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（sin x と sin 2x、sin 3x と sin 4x の大小）
２倍角の公式と和積の変形を使って、２つの三角関数の大小を「積の符号」に置き換える設問です。差を因数分解し、それぞれの因数の符号で場合分けするという一本の方針で最後まで通せます。
ア：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
x ＝ π/6 のとき sin x と sin 2x のどちらが大きいかを判定します。
＜考え方＞
実際に値を代入して比べます。
sin(π/6) ＝ 1/2 ＝ 0.5 sin(2・π/6) ＝ sin(π/3) ＝ √3/2 ≒ 0.866 0.5 ＜ 0.866
よって ア＝⓪（<）。
イ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
x ＝ (2/3)π のときの同じ比較です。
＜考え方＞
2x ＝ (4/3)π は第３象限なので sin は負になります。
sin((2/3)π) ＝ √3/2 ≒ 0.866 sin((4/3)π) ＝ −√3/2 ≒ −0.866 0.866 ＞ −0.866
よって イ＝②（>）。
ウ，エ：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
sin 2x − sin x を sin x でくくった形に直します。
＜考え方＞
２倍角の公式 sin 2x ＝ 2 sin x cos x を使います。
sin 2x − sin x ＝ 2 sin x cos x − sin x ＝ sin x(2 cos x − 1)
よって ウ＝2、エ＝1。
オ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 2π で「sin x ＞ 0 かつ 2cos x − 1 ＞ 0」となる範囲を求めます。
＜考え方＞
２つの条件をそれぞれ解いて共通部分をとります。
sin x ＞ 0 → 0 ＜ x ＜ π 2 cos x − 1 ＞ 0 → cos x ＞ 1/2 → 0 ≦ x ＜ π/3 共通部分： 0 ＜ x ＜ π/3
よって オ＝3。
カ／キ：正解 5／3（配点2）
＜問題要旨＞
こんどは「sin x ＜ 0 かつ 2cos x − 1 ＜ 0」となる範囲です。
＜考え方＞
同じ要領で共通部分をとります。
sin x ＜ 0 → π ＜ x ＜ 2π cos x ＜ 1/2 → π/3 ＜ x ＜ (5/3)π 共通部分： π ＜ x ＜ (5/3)π
よって カ＝5、キ＝3。
ク，ケ：正解 ⓐ，⑦（配点2）
＜問題要旨＞
sin 4x − sin 3x ＞ 0 を、和積の形 2 cos α sin β ＞ 0 に直したときの α と β を求めます。
＜考え方＞
α ＋ β ＝ 4x、α − β ＝ 3x を連立します。
2α ＝ 7x → α ＝ (7/2)x 2β ＝ x → β ＝ x/2 sin 4x − sin 3x ＝ 2 cos(7x/2) sin(x/2)
よって ク＝ⓐ（(7/2)x）、ケ＝⑦（x/2）。
コ：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ π で sin 4x ＞ sin 3x となる範囲のうち、原点側の区間の右端を求めます。
＜考え方＞
この範囲では sin(x/2) ＞ 0 が常に成り立つので、cos(7x/2) ＞ 0 だけを考えればよくなります。
0 ＜ x ≦ π のとき x/2 ∈ (0, π/2] なので sin(x/2) ＞ 0
cos(7x/2) ＞ 0 の最初の区間は
0 ＜ 7x/2 ＜ π/2 → 0 ＜ x ＜ π/7
よって コ＝7。
サ／シ，ス／セ：正解 3／7，5／7（配点2）
＜問題要旨＞
cos(7x/2) ＞ 0 となる２つ目の区間を求めます。
＜考え方＞
cos が正になるのは 7x/2 が (3π/2, 5π/2) にあるときです。
3π/2 ＜ 7x/2 ＜ 5π/2 各辺を 2/7 倍して (3/7)π ＜ x ＜ (5/7)π
よって サ＝3、シ＝7、ス＝5、セ＝7。
ソ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ π で sin 3x ＞ sin 4x ＞ sin 2x が成り立つ範囲のうち、最初の区間の右端です。
＜考え方＞
sin 4x ＞ sin 2x の条件を(2)と同じ和積で作り、(3)の結果と重ねます。
sin 4x − sin 2x ＝ 2 cos 3x sin x
0 ＜ x ＜ π では sin x ＞ 0 なので cos 3x ＞ 0
→ 0 ＜ x ＜ π/6 または π/2 ＜ x ＜ (5/6)π
sin 3x ＞ sin 4x は(3)の補集合で
π/7 ＜ x ＜ (3/7)π または (5/7)π ＜ x ＜ π
重なる最初の区間： π/7 ＜ x ＜ π/6
よって ソ＝6。
タ／チ：正解 5／6（配点2）
＜問題要旨＞
同じ条件の２つ目の区間の右端です。
＜考え方＞
上でつくった２組の区間の、もう一方の重なりを見ます。
(5/7)π ＜ x ＜ π と π/2 ＜ x ＜ (5/6)π の共通部分は (5/7)π ＜ x ＜ (5/6)π
よって タ＝5、チ＝6。
第１問 〔２〕 対数（対数の定義と、log の値が無理数であることの証明）
対数の定義 logab ＝ x ⟺ ax ＝ b に立ち返る設問です。後半は「有理数と仮定して矛盾を導く」背理法の流れを、選択肢の形で追いかけます。
ツ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
logab ＝ x とおいたとき、これと同値な式を選びます。
＜考え方＞
対数の定義そのものを問う設問です。
log_a b ＝ x ⟺ a を x 乗すると b になる ⟺ a^x ＝ b
よって ツ＝②。
テ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
log525 の値を求めます。
＜考え方＞
25 ＝ 5² と書き直します。
25 ＝ 5² → log_5 25 ＝ 2
よって テ＝2。
ト／ナ：正解 3／2（配点2）
＜問題要旨＞
log927 の値を求めます。
＜考え方＞
9 も 27 も 3 のべき乗にそろえます。
9 ＝ 3²、27 ＝ 3³
log_9 27 ＝ x とおくと (3²)^x ＝ 3³
→ 2x ＝ 3 → x ＝ 3/2
よって ト＝3、ナ＝2。
ニ：正解 ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
log₂3 ＝ p/q（p, q は自然数）と仮定したとき、これを指数の形に直します。
＜考え方＞
(1)の定義を使って指数の等式に変えます。
log_2 3 ＝ p/q ⟺ 2^(p/q) ＝ 3 両辺を q 乗して 2^p ＝ 3^q
左辺は偶数、右辺は奇数なので、これを満たす自然数 p, q は存在しません。よって ニ＝⑤。
ヌ：正解 ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
a, b が 2 以上の自然数のとき、logab が「つねに無理数」といえるための条件を選びます。
＜考え方＞
(ii)で矛盾が出たのは「一方が偶数、他方が奇数」で偶奇が食い違ったからです。同じ矛盾が起きる条件を探します。
log_a b ＝ p/q とおくと a^p ＝ b^q
a が偶数・b が奇数（またはその逆）なら
左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾
a, b がともに偶数（例：log_2 4 ＝ 2）
a, b がともに奇数（例：log_3 9 ＝ 2）
のときは有理数になる場合がある
よって ヌ＝⑤（a と b のいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数）。
第２問 〔１〕 微分（３次関数の極値と、円錐に内接する円柱の体積の最大）
前半で f(x) ＝ x²(k − x) の極値を一般の k のまま求め、後半でその結果をそのまま流用して立体の体積の最大を求めます。(1)を丁寧にやっておけば(2)は代入するだけです。
ア：正解 ④（配点1）
＜問題要旨＞
y ＝ x²(k − x) のグラフと x 軸との共有点のうち、原点以外の点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
y ＝ 0 とおいて解きます。
x²(k − x) ＝ 0 x ＝ 0（重解） または x ＝ k
よって ア＝④（k）。
イウ，エ：正解 −3，2（配点3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ x²(k − x) の導関数を求めます。
＜考え方＞
展開してから項別に微分します。
f(x) ＝ kx² − x³
f′(x) ＝ 2kx − 3x²
＝ −3x² ＋ 2kx
よって イウ＝−3、エ＝2。
オ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が極小値をとる x を求めます。
＜考え方＞
f′(x) ＝ x(2k − 3x) の符号の変化を調べます。
f′(x) ＝ x(2k − 3x)、k ＞ 0 x ＜ 0 … f′ ＜ 0（減少） 0 ＜ x ＜ 2k/3 … f′ ＞ 0（増加） x ＝ 0 で 減少→増加 に変わる
よって オ＝⓪（0）。
カ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
その極小値を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入します。
f(0) ＝ 0²(k − 0) ＝ 0
よって カ＝⓪（0）。
キ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が極大値をとる x を求めます。
＜考え方＞
f′(x) ＝ 0 のもう一方の解です。
x(2k − 3x) ＝ 0 → x ＝ 0, 2k/3 x ＝ 2k/3 で 増加→減少 に変わる
よって キ＝③（(2/3)k）。
ク：正解 ⑨（配点1）
＜問題要旨＞
その極大値を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 2k/3 を f(x) に代入します。
f(2k/3) ＝ (2k/3)²(k − 2k/3)
＝ (4k²/9)・(k/3)
＝ 4k³/27
よって ク＝⑨（(4/27)k³）。
ケ／コ，サ：正解 5／3，9（配点3）
＜問題要旨＞
底面の半径 9、高さ 15 の円錐に内接する円柱の体積 V を、円柱の底面の半径 x で表します。
＜考え方＞
円錐を軸を含む平面で切った断面で相似を使い、円柱の高さを x で表します。
断面で相似より 高さ ＝ 15・(9 − x)/9 ＝ (5/3)(9 − x) V ＝ πx² × (5/3)(9 − x) ＝ (5/3)πx²(9 − x)
よって ケ＝5、コ＝3、サ＝9。
シ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
V が最大となる x を求めます。
＜考え方＞
(1)で求めた f(x) ＝ x²(k − x) の形に k ＝ 9 を当てはめます。
V ＝ (5/3)π f(x)、k ＝ 9 極大（＝最大）は x ＝ 2k/3 ＝ 2・9/3 ＝ 6
よって シ＝6。
スセソ：正解 180（配点2）
＜問題要旨＞
V の最大値を求めます。
＜考え方＞
(1)の極大値 4k³/27 に k ＝ 9 を代入します。
f(6) ＝ 4・9³/27 ＝ 4・729/27 ＝ 108 V ＝ (5/3)π × 108 ＝ 180π
よって スセソ＝180。
第２問 〔２〕 積分（定積分・不定積分と、桜の開花予想日）
気温を表す関数を積分した値が 400 に達したときに開花する、という設定で定積分を扱います。積分＝面積の足し算とみて、どこまで積み上げれば 400 を超えるかを追うのがポイントです。
タチツ：正解 180（配点3）
＜問題要旨＞
定積分 ∫₀³⁰ (x/5 ＋ 3) dx の値を求めます。
＜考え方＞
原始関数を求めて代入します。
∫ (x/5 ＋ 3) dx ＝ x²/10 ＋ 3x [x²/10 ＋ 3x]₀³⁰ ＝ 900/10 ＋ 90 ＝ 90 ＋ 90 ＝ 180
よって タチツ＝180。
テトナ，ニヌ，ネ：正解 300，12，5（配点3）
＜問題要旨＞
(1/100)x² − (1/6)x ＋ 5 の不定積分を求めます。
＜考え方＞
各項を xn → xn+1/(n+1) で積分します。
∫ (1/100)x² dx ＝ x³/300 ∫ (1/6)x dx ＝ x²/12 ∫ 5 dx ＝ 5x よって (1/300)x³ − (1/12)x² ＋ 5x ＋ C
よって テトナ＝300、ニヌ＝12、ネ＝5。
ノ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ x/5 ＋ 3 としたとき、S(t) ＝ 400 となる t を求めます。
＜考え方＞
S(t) を計算して２次方程式を解きます。
S(t) ＝ ∫₀ᵗ (x/5 ＋ 3) dx ＝ t²/10 ＋ 3t t²/10 ＋ 3t ＝ 400 t² ＋ 30t − 4000 ＝ 0 (t − 50)(t ＋ 80) ＝ 0 t ＞ 0 より t ＝ 50
よって ノ＝④（50日後）。
ハ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
x ≧ 30 で f(x) が増加するとき、∫₃₀⁴⁰ f(x)dx と ∫₄₀⁵⁰ f(x)dx の大小を判定します。
＜考え方＞
幅が同じ 10 の区間どうしの比較なので、高さ（関数の値）の大小だけで決まります。
30 ≦ x ≦ 40 の各点の値 ＜ 40 ≦ x ≦ 50 の対応する点の値 幅はどちらも 10 なので ∫₃₀⁴⁰ f(x)dx ＜ ∫₄₀⁵⁰ f(x)dx
よって ハ＝⓪（<）。
ヒ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
花子さんの設定（0 ≦ x ≦ 30 は１次関数、x ≧ 30 は２次関数）で、S(t) ＝ 400 となるのがいつかを選びます。
＜考え方＞
30日後・40日後・50日後の値を順に積み上げて 400 をまたぐ区間を探します。
S(30) ＝ 180 … 400 未満 S(40) ＝ 180 ＋ 115 ＝ 295 … 400 未満 ∫₄₀⁵⁰ f(x)dx ＝ [x³/300 − x²/12 ＋ 5x]₄₀⁵⁰ ＝ (416.6… − 208.3… ＋ 250) − (213.3… − 133.3… ＋ 200) ＝ 458.3… − 280 ＝ 178.3… S(50) ＝ 295 ＋ 178.3… ＝ 473.3… … 400 を超える
400 に達するのは 40日後より後、50日後より前。よって ヒ＝④。
第３問 確率分布と統計的な推測（ピーマンの重さ・信頼区間・二項分布の正規近似）
正規分布と信頼区間の基本を確認したあと、二項分布を正規分布で近似して確率が 0.95 以上になる条件を不等式で処理します。標準化の式を毎回きちんと書くことが最短ルートです。
ア：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
P(X ≧ m) を標準化したときの境界の値を求めます。
＜考え方＞
X の平均が m なので、X − m ＝ 0 が境目になります。
X ≧ m ⟺ (X − m)/σ ≧ (m − m)/σ ＝ 0
よって ア＝0。
イ／ウ：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
P(X ≧ m) の値を求めます。
＜考え方＞
標準正規分布は 0 に関して左右対称です。
P(Z ≧ 0) ＝ 1/2
よって イ＝1、ウ＝2。
エ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
標本平均 X̄ の平均（期待値）を求めます。
＜考え方＞
標本平均の期待値は母平均に一致します。
E(X̄) ＝ m
よって エ＝④（m）。
オ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
標本平均 X̄ の標準偏差を求めます。
＜考え方＞
標本の大きさ n の平方根で割ります。
σ(X̄) ＝ σ/√n
よって オ＝②（σ/√n）。
カ．キク：正解 1．65（配点2）
＜問題要旨＞
P(−z₀ ≦ Z ≦ z₀) ＝ 0.901 となる z₀ を正規分布表から求めます。
＜考え方＞
対称性から片側の確率に直して表を引きます。
P(0 ≦ Z ≦ z₀) ＝ 0.901 ÷ 2 ＝ 0.4505 正規分布表で 0.4505 に対応する値は 1.65
よって カ＝1、キク＝65。
ケ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
n ＝ 400、標本平均 30.0 g、標本の標準偏差 3.6 g のときの m の信頼度90%の信頼区間を選びます。
＜考え方＞
X̄ ± z₀・σ/√n に代入します。
σ/√n ＝ 3.6/√400 ＝ 3.6/20 ＝ 0.18 1.65 × 0.18 ＝ 0.297 30.0 − 0.297 ＝ 29.703 30.0 ＋ 0.297 ＝ 30.297 → 29.7 ≦ m ≦ 30.3
よって ケ＝④。
コ／サ：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
無作為に抽出した１個のピーマンが S サイズ（30.0 g 以下）である確率を求めます。
＜考え方＞
m ＝ 30.0 なので、(1)(i)の結果がそのまま使えます。
P(X ≦ 30.0) ＝ P(X ≦ m) ＝ 1/2
よって コ＝1、サ＝2。
シス：正解 25（配点2）
＜問題要旨＞
50個から25袋作れる確率 p₀ を二項分布の式で書いたときの、組合せの下の数字を求めます。
＜考え方＞
25袋作るには S サイズがちょうど 25 個必要です。
S が 25 個、L が 50 − 25 ＝ 25 個 p₀ ＝ ₅₀C₂₅ (1/2)²⁵ (1 − 1/2)^(50−25)
よって シス＝25。
セ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
U_k が従う二項分布 B(50 ＋ k, 1/2) を正規分布で近似したときの平均を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の平均は np です。
平均 ＝ (50 ＋ k) × 1/2 ＝ (50 ＋ k)/2
よって セ＝③。
ソ：正解 ⑦（配点1）
＜問題要旨＞
同じく分散を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の分散は np(1 − p) です。
分散 ＝ (50 ＋ k) × (1/2) × (1/2) ＝ (50 ＋ k)/4
よって ソ＝⑦。
タ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
p_k ＝ P(25 ≦ U_k ≦ 25 ＋ k) を Y の不等式に直したときの分子を求めます。
＜考え方＞
Y ＝ (U_k − 平均)/√分散 に両端を代入します。
Y ＝ (U_k − (50＋k)/2) ÷ √((50＋k)/4) ＝ 2(U_k − (50＋k)/2)/√(50＋k) U_k ＝ 25 のとき (50 − 50 − k)/√(50＋k) ＝ −k/√(50＋k) U_k ＝ 25 ＋ k のとき (50 ＋ 2k − 50 − k)/√(50＋k) ＝ k/√(50＋k)
よって タ＝⓪（k）。
チツ：正解 17（配点2）
＜問題要旨＞
α/β ≧ 2 すなわち α² ≧ 4β² を満たす最小の自然数 k を求めます。
＜考え方＞
α ＝ k、β ＝ √(50 ＋ k) を代入して２次不等式を解きます。
k² ≧ 4(50 ＋ k)
k² − 4k − 200 ≧ 0
k ≧ (4 ＋ √(16 ＋ 800))/2
＝ (4 ＋ √816)/2
＝ (4 ＋ 4√51)/2 ＝ 2 ＋ 2√51
√51 ＝ 7.14 より
2 ＋ 2×7.14 ＝ 16.28
これ以上の最小の自然数は 17
よって チツ＝17。
第４問 数列（積立預金の漸化式）
毎年 p 万円ずつ積み立てる預金を、漸化式で追う方針1と入金ごとに分けて足す方針2の２通りで扱います。同じ an を２通りで表す流れをつかめば全問つながります。
ア：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
3年目の初めの預金 a₃ を式で表します。
＜考え方＞
「前年の初めの額 × 1.01 ＋ p」を２回くり返します。
a₁ ＝ 10 ＋ p
a₂ ＝ 1.01(10 ＋ p) ＋ p
a₃ ＝ 1.01・a₂ ＋ p
＝ 1.01{1.01(10 ＋ p) ＋ p} ＋ p
よって ア＝②。
イ，ウ：正解 ⓪，③（配点3）
＜問題要旨＞
an+1 と an の関係式を作ります。
＜考え方＞
年の終わりに 1.01 倍され、翌年の初めに p が加わります。
a_(n+1) ＝ 1.01 a_n ＋ p
よって イ＝⓪（1.01）、ウ＝③（p）。
エ，オ：正解 ④，⓪（配点3）
＜問題要旨＞
an+1 ＋ □ ＝ ○(an ＋ □) の形に変形します。
＜考え方＞
特性方程式 c ＝ 1.01c ＋ p を解いて定数を求めます。
a_(n+1) ＋ E ＝ 1.01(a_n ＋ E) とおくと a_(n+1) ＝ 1.01 a_n ＋ 0.01E 0.01E ＝ p → E ＝ 100p a_(n+1) ＋ 100p ＝ 1.01(a_n ＋ 100p)
よって エ＝④（100p）、オ＝⓪（1.01）。
カ，キ：正解 ②，③（配点2）
＜問題要旨＞
１年目・２年目の初めに入金した p 万円が、n 年目の初めにはいくらになるかの指数を求めます。
＜考え方＞
１年目の入金は n − 1 回、２年目の入金は n − 2 回だけ利息がつきます。
1年目の入金 → n 年目の初めまでに (n − 1) 年 p × 1.01^(n−1) 2年目の入金 → (n − 2) 年 p × 1.01^(n−2)
よって カ＝②（n − 1）、キ＝③（n − 2）。
ク：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
入金分の合計を Σ で書いたときの指数を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 1 のとき 1.01n−1、k ＝ n のとき 1.01⁰ ＝ 1 になるように合わせます。
p×1.01^(n−1) ＋ p×1.01^(n−2) ＋ … ＋ p ＝ p Σ_(k=1)^n 1.01^(k−1)
よって ク＝②（k − 1）。
ケ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
Σk=1n 1.01k−1 を計算します。
＜考え方＞
初項 1、公比 1.01 の等比数列の和です。
Σ ＝ (1.01^n − 1)/(1.01 − 1) ＝ (1.01^n − 1)/0.01 ＝ 100(1.01^n − 1)
よって ケ＝①。
コ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
「10年目の終わりの預金が30万円以上」を式で表したときの左辺を選びます。
＜考え方＞
10年目の初めの預金 a₁₀ に、その年の利息がついた額です。
10年目の終わり ＝ 1.01 × a₁₀
よって コ＝③。
サシ，スセ：正解 30，10（配点2）
＜問題要旨＞
1.01a₁₀ ≧ 30 を p について解いた式を求めます。
＜考え方＞
a₁₀ ＝ 10×1.01⁹ ＋ 100p(1.01¹⁰ − 1) を代入して整理します。
1.01 a₁₀
＝ 10×1.01¹⁰ ＋ 101p(1.01¹⁰ − 1) ≧ 30
101p(1.01¹⁰ − 1) ≧ 30 − 10×1.01¹⁰
p ≧ (30 − 10×1.01¹⁰)/{101(1.01¹⁰ − 1)}
よって サシ＝30、スセ＝10。
ソ：正解 ⑧（配点2）
＜問題要旨＞
もとの預金が 10 万円ではなく 13 万円だった場合、n 年目の初めの預金は an よりいくら多いかを求めます。
＜考え方＞
増えた 3 万円だけが独立に複利で増えます。入金分は変わりません。
増分 3 万円は n 年目の初めまでに (n − 1) 年ぶん利息がつく 3 × 1.01^(n−1)
よって ソ＝⑧。
第５問 ベクトル（三角錐と、PA ⊥ PQ となる条件）
∠PAB ＝ ∠PAC ＝ θ という条件を、内積を |AP| で割った式が cos θ に等しいという形で使い続けます。この①式を毎回はさむことが、後半の選択肢を選ぶ決め手になります。
ア／イ，ウ／エ：正解 1／2，1／2（配点2）
＜問題要旨＞
辺 BC の中点 M について、AM をベクトル AB, AC で表します。
＜考え方＞
中点の位置ベクトルの公式です。
AM ＝ (AB ＋ AC)/2 ＝ (1/2)AB ＋ (1/2)AC
よって ア＝1、イ＝2、ウ＝1、エ＝2。
オ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
AP・AB ÷ (|AP||AB|) の値を求めます。
＜考え方＞
内積の定義そのものです。∠PAB ＝ ∠PAC ＝ θ が効きます。
AP・AB ＝ |AP||AB| cos∠PAB ＝ |AP||AB| cos θ よって AP・AB /(|AP||AB|) ＝ cos θ AC についても同じく cos θ
よって オ＝①（cos θ）。
カ：正解 9（配点2）
＜問題要旨＞
θ ＝ 45°、|AP| ＝ 3√2、|AB| ＝ 3、|AC| ＝ 3 のときの AP・AB を求めます。
＜考え方＞
①の式に数値を代入します。
AP・AB ＝ 3√2 × 3 × cos45°
＝ 3√2 × 3 × (1/√2)
＝ 9
AP・AC も同様に 9
よって カ＝9。
キ：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
直線 AM 上の点 D が ∠APD ＝ 90° を満たすとき、AD ＝ □ AM の □ を求めます。
＜考え方＞
AD ＝ k AM とおき、PA・PD ＝ 0 を計算します。
AD ＝ k AM ＝ (k/2)(AB ＋ AC)
PA・PD ＝ (−AP)・(AD − AP)
＝ −AP・AD ＋ |AP|²
AP・AD ＝ (k/2)(AP・AB ＋ AP・AC)
＝ (k/2)(9 ＋ 9) ＝ 9k
|AP|² ＝ (3√2)² ＝ 18
−9k ＋ 18 ＝ 0 → k ＝ 2
よって キ＝2。
ク：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
AQ ＝ 2AM で定まる点 Q について、PA と PQ が垂直であるときに成り立つ式を選びます。
＜考え方＞
PA・PQ ＝ 0 を AB, AC, AP で書き下します。
AQ ＝ 2AM ＝ AB ＋ AC
PA・PQ ＝ (−AP)・(AB ＋ AC − AP)
＝ −AP・AB − AP・AC ＋ AP・AP ＝ 0
⟺ AP・AB ＋ AP・AC ＝ AP・AP
よって ク＝⓪。
ケ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
その式に①を用いて言いかえます。
＜考え方＞
各内積を |AP| × 長さ × cos θ に書き直し、両辺を |AP| で割ります。
|AP||AB|cosθ ＋ |AP||AC|cosθ ＝ |AP|² 両辺を |AP|（≠0）で割って |AB|cosθ ＋ |AC|cosθ ＝ |AP|
よって ケ＝③。
コ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
k AP・AB ＝ AP・AC が成り立つとき、何が言えるかを選びます。
＜考え方＞
両辺に①を使って cos θ と |AP| を消します。
k|AP||AB|cosθ ＝ |AP||AC|cosθ |AP| ≠ 0、cosθ ≠ 0（0°＜θ＜90°）より k|AB| ＝ |AC|
よって コ＝⓪。
サ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
B, C から直線 AP に下ろした垂線の足を B′, C′ とするとき、PA ⊥ PQ と同値な条件を選びます。
＜考え方＞
AB′ ＝ |AB|cos θ、AC′ ＝ |AC|cos θ であることと、ケの条件を合わせます。
AB′ ＝ |AB|cosθ ＝ u とおくと AC′ ＝ |AC|cosθ ＝ k|AB|cosθ ＝ ku ケより |AP| ＝ u ＋ ku ＝ u(1 ＋ k) AB′ : B′P ＝ u : ku ＝ 1 : k AC′ : C′P ＝ ku : u ＝ k : 1
B′ は AP を 1 : k に、C′ は k : 1 に内分します。よって サ＝④。
シ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
k ＝ 1 のとき、PA ⊥ PQ と同値な条件を選びます。
＜考え方＞
サで k ＝ 1 とすると B′ も C′ も AP の中点になります。
k ＝ 1 のとき B′, C′ はともに線分 AP の中点 B から AP に下ろした垂線の足が AP の中点 ⟺ △PAB は BP ＝ BA の二等辺三角形 同様に △PAC は CP ＝ CA の二等辺三角形
よって シ＝②。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。