2024年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2024年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 対数関数（底の違う対数の和と積）
log3x を 2 を底とする対数に書き直すところから始まり、和 f(x) と積 g(x) の大小を比べる設問です。X ＝ log2x とおいて２次不等式に持ち込むのが全体を貫く方針です。
ア：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
t ＝ log3x とおいたときに成り立つ式を選ぶ設問です。
＜考え方＞
対数の定義そのままです。「logaM ＝ p ⟺ M ＝ ap」を使います。
t ＝ log₃x ⟺ x ＝ 3ᵗ
ア＝②。
イ，ウ：正解 ②, ④（配点2）
＜問題要旨＞
log2x を t で表し、さらに t を log2 で表す設問です。
＜考え方＞
x ＝ 3t の両辺の 2 を底とする対数をとります。
log₂x ＝ log₂(3ᵗ) ＝ t·log₂3 → イ ＝ ②
この式を t について解くと
t ＝ (log₂x) ／ (log₂3) → ウ ＝ ④
イ＝②、ウ＝④。これが底の変換公式 log3x ＝ (log2x)／(log23) にほかなりません。
エ，オ：正解 ⓐ, ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ log2x ＋ log3x、g(x) ＝ (log2x)(log3x) を、2 を底とする対数だけで表したときの係数 A, B を求める設問です。
＜考え方＞
ウで得た log3x ＝ (log2x)／(log23) を代入して、log2x でくくります。
f(x) ＝ log₂x ＋ (log₂x)／(log₂3)
＝ { 1 ＋ 1／(log₂3) } log₂x
→ A ＝ 1 ＋ 1／log₂3 … ⓐ
g(x) ＝ (log₂x) × (log₂x)／(log₂3)
＝ { 1／(log₂3) } (log₂x)²
→ B ＝ 1／log₂3 … ⑤
エ＝ⓐ、オ＝⑤。
カ，キ：正解 ⓪, ⑧（配点2）
＜問題要旨＞
不等式 AX > BX² を満たす X の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
移項して因数分解します。B > 0 なので不等号の向きはそのままです。
AX > BX² BX² − AX < 0 X(BX − A) < 0 B > 0 なので 0 < X < A／B
A／B を計算する。L ＝ log₂3 とおくと A ＝ 1 ＋ 1／L, B ＝ 1／L A／B ＝ (1 ＋ 1／L) × L ＝ L ＋ 1 ＝ 1 ＋ log₂3
カ＝⓪（0）、キ＝⑧（1 ＋ log23）。
ク，ケ：正解 ①, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
①を満たす x の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
X ＝ log2x を x に戻します。2log₂3 ＝ 3 を使うのがポイントです。
0 < log₂x < 1 ＋ log₂3 各辺を 2 の指数に戻すと 2⁰ < x < 2^(1 ＋ log₂3) 2^(1 ＋ log₂3) ＝ 2 × 2^(log₂3) ＝ 2 × 3 ＝ 6 よって 1 < x < 6
ク＝①、ケ＝⑥。
コ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
log1/2x を 2 を底とする対数で表す設問です。
＜考え方＞
底の変換公式を使い、log2(1／2) ＝ −1 に注意します。
log_{1/2}x ＝ (log₂x) ／ (log₂(1／2))
＝ (log₂x) ／ (−1)
＝ − log₂x
コ＝①。
サ，シ：正解 ①, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
F(x)、G(x) を f(x)、g(x) で表す設問です。
＜考え方＞
コと同じ理由で log1/3x ＝ −log3x です。２つとも符号が反転します。
F(x) ＝ log_{1/2}x ＋ log_{1/3}x
＝ (−log₂x) ＋ (−log₃x)
＝ −(log₂x ＋ log₃x)
＝ −f(x) → サ ＝ ①
G(x) ＝ (log_{1/2}x)(log_{1/3}x)
＝ (−log₂x)(−log₃x)
＝ (log₂x)(log₃x)
＝ g(x) → シ ＝ ⑤
サ＝①、シ＝⑤。積のほうは符号が２回反転して元に戻るのが、この設問のねらいです。
ス，セ，ソ：正解 ①, ⑥, ①（配点2）
＜問題要旨＞
②を満たす x の範囲を求める、〔１〕の結論です。
＜考え方＞
F(x) > G(x) を −f(x) > g(x) に直し、(i) と同じ形の２次不等式にします。符号が変わる分、解の範囲が原点をはさんで反対側に移ります。
−f(x) > g(x) X ＝ log₂x とおくと −AX > BX² BX² ＋ AX < 0 X(BX ＋ A) < 0 B > 0 なので −A／B < X < 0 −(1 ＋ log₂3) < log₂x < 0
x に戻すと
2^{−(1＋log₂3)} < x < 2⁰
2^{−(1＋log₂3)} ＝ 1 ／ (2 × 3) ＝ 1／6
よって 1／6 < x < 1
ス／セ＝1／6、ソ＝①、すなわち ス＝①、セ＝⑥、ソ＝①。
※ (i) の答え 1 < x < 6 と、この 1／6 < x < 1 は、x → 1／x で移り合う関係になっています。底を逆数にしたことがそのまま現れています。
第１問 〔２〕 三角関数（tan の2倍角と tan89.5° の評価）
tan の2倍角の公式を自分で導き、それを使って三角比の表に載っていない tan89.5° の大きさを絞り込む設問です。tan(π／2 − α) ＝ 1／tanα という関係が、90° 近くの値を扱う道具になります。
タ：正解 ⑧（配点2）
＜問題要旨＞
tan2x ＝ sin2x／cos2x の分子を x の式で表す設問です。
＜考え方＞
2倍角の公式そのままです。
sin2x ＝ 2 sinx cosx
タ＝⑧。
チ：正解 ⓑ（配点2）
＜問題要旨＞
分母と分子を cos²x で割って、tan2x を tanx で表す設問です。
＜考え方＞
分子・分母をそれぞれ cos²x で割ります。
分子 ： 2 sinx cosx ／ cos²x ＝ 2 tanx 分母 ： (cos²x − sin²x) ／ cos²x ＝ 1 − tan²x tan2x ＝ 2tanx ／ (1 − tan²x)
チ＝ⓑ。
ツ：正解 ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
tan(π／2 − 2x)／tan(π／2 − x) を tanx で表す設問です。
＜考え方＞
与えられた tan(π／2 − α) ＝ 1／tanα を２か所に使うと、分数の割り算になります。
tan(π／2 − 2x) ＝ 1／tan2x
tan(π／2 − x) ＝ 1／tanx
比 ＝ (1／tan2x) ÷ (1／tanx)
＝ tanx ／ tan2x
チで求めた tan2x を代入すると
＝ tanx ÷ { 2tanx ／ (1 − tan²x) }
＝ tanx × (1 − tan²x) ／ (2tanx)
＝ (1 − tan²x) ／ 2
ツ＝⑥。
テ，ト：正解 ⓪, ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
0 < x < π／4 のとき、①のとり得る値の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
tanx の範囲から順に追いかけます。
0 < x < π／4 → 0 < tanx < 1
→ 0 < tan²x < 1
→ 0 < 1 − tan²x < 1
→ 0 < (1 − tan²x)／2 < 1／2
テ＝⓪（0）、ト＝⑤（1／2）。
ナ，ニ，ヌ：正解 ③, ⑥, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
tan(π／2 − 2x) ＝ tan89° を満たす x を求める設問です。
＜考え方＞
角の部分を等号で結びます。度数法と弧度法をそろえるのを忘れないでください。
π／2 − 2x ＝ 89°
π／2 ＝ 90° なので
90° − 2x ＝ 89°
2x ＝ 1°
x ＝ 0.5° ＝ π／360
ナニヌ＝360、すなわち ナ＝③、ニ＝⑥、ヌ＝⓪。
※ このとき π／2 − x ＝ 90° − 0.5° ＝ 89.5° となり、求めたい角が現れます。
ネ：正解 ⑨（配点3）
＜問題要旨＞
②を使って tan89.5° の大きさを評価する、第１問の結論です。
＜考え方＞
ナニヌで x ＝ 0.5° と決まったので、②の不等式にそのまま当てはめます。
x ＝ 0.5° のとき
π／2 − 2x ＝ 89°, π／2 − x ＝ 89.5°
② より
0 < tan89° ／ tan89.5° < 1／2
右側の不等式を tan89.5° について解くと tan89° ／ tan89.5° < 1／2 tan89.5° > 2 × tan89° tan89° ＝ 57.29 なので tan89.5° > 114.58
110 以上にあたるので ネ＝⑨。
※ 表の 89° までの値だけからは想像しにくいほど大きい値です。実際の tan89.5° は約 114.6 で、この評価はほぼ等号に近い精度になっています。
第２問 微分・積分（３次関数の最大最小と通過領域の面積）
前半は３次関数の増減と、幅 1 の区間を動かしたときの最大・最小の入れかわり、後半は線分が通過する部分の面積です。区間 [t, t＋1] が増減のどの部分に入るかを丁寧に場合分けできるかが分かれ目になります。
ア，イ：正解 ③, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ x³ − 3x² ＋ 6 の導関数を求める設問です。
＜考え方＞
各項を微分します。
f'(x) ＝ 3x² − 6x
ア＝③、イ＝⑥。
ウ，エ：正解 ⓪, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
f(x) が極大となる x と、そのときの極大値を求める設問です。
＜考え方＞
f′(x) ＝ 0 の解を求め、増減表を作ります。
f'(x) ＝ 3x(x − 2) ＝ 0 → x ＝ 0, 2
x … 0 … 2 …
f'(x) ＋ 0 − 0 ＋
f(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗
f(0) ＝ 6
ウ＝⓪、エ＝⑥。
オ，カ：正解 ②, ②（配点2）
＜問題要旨＞
極小となる x と極小値を求める設問です。
＜考え方＞
増減表のもう一方です。
f(2) ＝ 8 − 12 ＋ 6 ＝ 2
オ＝②、カ＝②。
キ，ク：正解 ⑤, ③（配点2）
＜問題要旨＞
3 ≦ x ≦ 5 での最大・最小をとる x を求める設問です。
＜考え方＞
この区間は x ≧ 2 に含まれるので、f は単調増加です。
3 ≦ x ≦ 5 は増加区間の中 f(3) ＝ 27 − 27 ＋ 6 ＝ 6 （最小） f(5) ＝ 125 − 75 ＋ 6 ＝ 56 （最大）
最大は x ＝ 5、最小は x ＝ 3。キ＝⑤、ク＝③。
ケ，コ：正解 ③, ②（配点2）
＜問題要旨＞
1 ≦ x ≦ 3 での最大・最小をとる x を求める設問です。
＜考え方＞
今度は極小点 x ＝ 2 を区間の内部に含みます。両端と極小点の値を比べます。
f(1) ＝ 1 − 3 ＋ 6 ＝ 4 f(2) ＝ 2 （区間内の極小） f(3) ＝ 6 （最大）
最大は x ＝ 3、最小は x ＝ 2。ケ＝③、コ＝②。
サ，シ，ス：正解 −, ①, ②（配点2）
＜問題要旨＞
M(t) ＝ f(t＋1) かつ m(t) ＝ f(t) となる t の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
右端で最大、左端で最小ということは、区間 [t, t＋1] で f が単調増加だということです。
f が単調増加なのは x ≦ 0 と x ≧ 2 [t, t＋1] ⊂ (−∞, 0] → t ＋ 1 ≦ 0 → t ≦ −1 [t, t＋1] ⊂ [2, ∞) → t ≧ 2
t ≦ −1、2 ≦ t、すなわち サ＝−、シ＝①、ス＝②。
セ，ソ：正解 ⓪, ①（配点2）
＜問題要旨＞
M(t) ＝ f(t) かつ m(t) ＝ f(t＋1) となる t の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
今度は区間で f が単調減少ということです。
f が単調減少なのは 0 ≦ x ≦ 2
[t, t＋1] ⊂ [0, 2]
t ≧ 0 かつ t ＋ 1 ≦ 2
0 ≦ t ≦ 1
セ＝⓪、ソ＝①。
タ，チ：正解 ①, ②（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ t ≦ 1 で M(t) − m(t) ＝ f(t) − f(t＋1) が最大になる t を求める設問です。
＜考え方＞
f(t) − f(t＋1) を t の式にすると、３次の項が消えて２次関数になります。
f(t) ＝ t³ − 3t² ＋ 6
f(t＋1) ＝ (t＋1)³ − 3(t＋1)² ＋ 6
＝ t³ ＋ 3t² ＋ 3t ＋ 1 − 3t² − 6t − 3 ＋ 6
＝ t³ − 3t ＋ 4
f(t) − f(t＋1)
＝ (t³ − 3t² ＋ 6) − (t³ − 3t ＋ 4)
＝ −3t² ＋ 3t ＋ 2
＝ −3(t − 1／2)² ＋ 11／4
上に凸で頂点 t ＝ 1／2 は 0 ≦ t ≦ 1 の内部にあるので、ここで最大。タ／チ＝1／2、すなわち タ＝①、チ＝②。
ツ，テ，ト：正解 ②, ①, ④（配点4）
＜問題要旨＞
線分 ℓ1 が通過する部分（図１の灰色部分）の面積を求める設問です。
＜考え方＞
ℓ1 は (t, f(t)) と (t, 0) を結ぶ縦の線分です。t を 0 から 1 まで動かすと、x 軸と曲線 y ＝ f(x) にはさまれた部分をすき間なく塗りつぶします。
0 ≦ x ≦ 1 で f(x) の符号を確認 f(0) ＝ 6, f(1) ＝ 4 この区間で f は減少するが、つねに正 → 灰色部分は 0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ f(x)
面積 ＝ ∫₀¹ (x³ − 3x² ＋ 6) dx
＝ [ x⁴／4 − x³ ＋ 6x ]₀¹
＝ 1／4 − 1 ＋ 6
＝ 21／4
ツテ／ト＝21／4、すなわち ツ＝②、テ＝①、ト＝④。
ナ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
f(x) − g(x) の符号を判定する設問です。
＜考え方＞
引き算すると３次の項が消えて２次式になります。判別式で符号を調べます。
f(x) − g(x) ＝ (x³ − 3x² ＋ 6) − (x³ − 6x² ＋ 6x ＋ 2) ＝ 3x² − 6x ＋ 4 判別式 ＝ 36 − 4×3×4 ＝ 36 − 48 ＝ −12 < 0 x² の係数 3 > 0 → つねに正
ナ＝⓪。
ニ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
線分 ℓ2 が通過する部分の面積 S を積分で表す設問です。
＜考え方＞
ℓ2 も縦の線分です。ナで f(x) > g(x) がつねに成り立つとわかったので、場合分けなしに「上の曲線 − 下の曲線」で書けます。
ℓ₂ は (t, f(t)) と (t, g(t)) を結ぶ縦線分
t が r から r＋1 まで動くとき、
通過するのは y ＝ g(x) と y ＝ f(x) の間
S ＝ ∫_r^{r+1} { f(x) − g(x) } dx
ニ＝④。
ヌ：正解 ③（配点4）
＜問題要旨＞
r が 0 から 1 まで増加するときの S の変化を答える、第２問の結論です。
＜考え方＞
与えられた S ＝ f(r＋1) − f(r) ＋ 4 は、タチで扱った f(t) − f(t＋1) の符号を変えたものです。すでに求めた２次関数がそのまま使えます。
タチより f(r) − f(r＋1) ＝ −3r² ＋ 3r ＋ 2
S ＝ f(r＋1) − f(r) ＋ 4
＝ −(−3r² ＋ 3r ＋ 2) ＋ 4
＝ 3r² − 3r ＋ 2
＝ 3(r − 1／2)² ＋ 5／4
下に凸で頂点 r ＝ 1／2 は 0 ≦ r ≦ 1 の内部 S(0) ＝ 2 S(1／2) ＝ 5／4 ← 最小 S(1) ＝ 2 → 減少してから増加する
ヌ＝③。
※ S ＝ ∫(3x² − 6x ＋ 4)dx を直接計算しても同じ式になります。タチの結果を再利用すると計算量が半分で済みます。
第３問（選択問題） 統計的な推測（三人のうち一人だけが「はい」）
三人組で一人だけが「はい」と答える確率 q を p の関数として扱い、後半は q や p の信頼区間を求める設問です。二項分布・区間推定という定番の道具に、３次関数 q ＝ f(p) の因数分解が組み合わされています。
ア：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
三人のうち一人だけが「はい」と回答する確率 f(p) の形を答える設問です。
＜考え方＞
三人のうち「はい」がちょうど 1 人なので、二項分布の確率です。
f(p) ＝ ₃C₁ · p¹ · (1 − p)^{3−1}
＝ 3p(1 − p)²
ア＝①。
イ，ウ：正解 ④, ⑨（配点3）
＜問題要旨＞
f(1／3) の値を求める設問です。
＜考え方＞
代入するだけです。
f(1／3) ＝ 3 × (1／3) × (1 − 1／3)²
＝ 3 × (1／3) × (2／3)²
＝ 1 × 4／9
＝ 4／9
イ／ウ＝4／9、すなわち イ＝④、ウ＝⑨。
※ 図１のグラフの山の高さがこの 4／9 で、p ＝ 1／3 が最大点であることも確かめられます。
エ，オ：正解 ②, ③（配点3）
＜問題要旨＞
f(p) ＝ 2／9 の方程式を因数分解した形の、括弧の中を求める設問です。
＜考え方＞
分母をはらって３次方程式にし、因数定理で有理数の解を探します。
3p(1 − p)² ＝ 2／9 展開して両辺を9倍すると 27p³ − 54p² ＋ 27p − 2 ＝ 0
p ＝ 2／3 を代入して確かめる
27×(8／27) − 54×(4／9) ＋ 27×(2／3) − 2
＝ 8 − 24 ＋ 18 − 2 ＝ 0 ✓
よって (p − 2／3) を因数にもつ
27p³ − 54p² ＋ 27p − 2
＝ (p − 2／3)(27p² − 36p ＋ 3)
＝ 3(p − 2／3)(9p² − 12p ＋ 1)
エ／オ＝2／3、すなわち エ＝②、オ＝③。
※ 図１から、q ＝ 2／9 となる p は山の左右に１つずつ、合わせて３つあります。9p² − 12p ＋ 1 ＝ 0 の２解が残りの２つです。
カ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
「三人のうち一人だけが『はい』と回答するグループの数」X が従う二項分布の試行回数を答える設問です。
＜考え方＞
グループの数がそのまま試行回数になります。
100 組のグループそれぞれについて、 「一人だけがはい」かどうかを見る → X 〜 B(100, q)
カ＝③（100）。
キ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
「１組のグループで『はい』と回答する人数」Y が従う二項分布の試行回数を答える設問です。
＜考え方＞
今度はグループの中の人数が試行回数です。カとは数えているものが違います。
1組は三人。各人が確率 p で「はい」 → Y 〜 B(3, p)
キ＝⓪（3）。
ク：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
E(Yi) を p で表す設問です。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の期待値は np です。
E(Yᵢ) ＝ 3p
ク＝⓪（3）。以降、標本平均 Ȳ から推定できるのは p ではなく 3p であることに注意します。
ケ：正解 ①（配点5）
＜問題要旨＞
p に対する信頼度 95 ％ の信頼区間を求める、第３問の結論です。
＜考え方＞
まず 3p の信頼区間を作り、最後に 3 で割ります。この「3 で割る」一手を忘れないことが大切です。
標本平均 Ȳ ＝ 1.96, 標本の標準偏差 ＝ 0.90, n ＝ 100
3p の信頼区間
Ȳ ± 1.96 × (標準偏差) ／ √n
＝ 1.96 ± 1.96 × 0.90 ／ 10
＝ 1.96 ± 1.96 × 0.09
＝ 1.96 ± 0.1764
L ＝ 1.7836, U ＝ 2.1364
各辺を 3 で割って p の信頼区間にする 1.7836／3 ≦ p ≦ 2.1364／3 0.5945 ≦ p ≦ 0.7121
選択肢のうち最も近いのは 0.59 ≦ p ≦ 0.71 です。ケ＝①。
※ p ＝ 2／3 ≒ 0.667 はこの区間に入っており、「質問Ⅱ」の設計どおりだったことが確認できます。
第４問（選択問題） 数列（２直線の間を往復してできる点列）
２本の直線の間を「横に動いて縦に動く」を繰り返してできる点列を、漸化式で追う設問です。m ＝ 2 では等差数列、m ＝ −1 では等比型と、同じ手順から違う型の数列が現れるのがこの問題の面白さです。
ア，イ：正解 ②, ④（配点1）
＜問題要旨＞
m ＝ 2 のときの Q1 の座標を求める設問です。
＜考え方＞
P1(0, 4) から x 軸に平行に進み、① y ＝ 2x に当たった点です。y 座標は変わりません。
y ＝ 4 と y ＝ 2x の交点 2x ＝ 4 → x ＝ 2 Q₁(2, 4)
ア＝②、イ＝④。
ウ，エ：正解 ②, ⑧（配点1）
＜問題要旨＞
P2 の座標を求める設問です。
＜考え方＞
Q1(2, 4) から y 軸に平行に進み、② y ＝ 2x ＋ 4 に当たった点です。x 座標は変わりません。
x ＝ 2 と y ＝ 2x ＋ 4 の交点 y ＝ 2×2 ＋ 4 ＝ 8 P₂(2, 8)
ウ＝②、エ＝⑧。
オ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
Qn の x 座標を an（Pn の y 座標）で表す設問です。
＜考え方＞
Pn から横に動くだけなので、y 座標は an のままです。それを ① に代入します。
y ＝ aₙ と y ＝ 2x の交点 2x ＝ aₙ → x ＝ aₙ／2
オ＝②。
カ：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
an+1 を an で表す設問です。
＜考え方＞
Qn から縦に動くので x 座標は an／2 のまま。それを ② に代入します。
x ＝ aₙ／2 を y ＝ 2x ＋ 4 に代入
a_{n+1} ＝ 2 × (aₙ／2) ＋ 4
＝ aₙ ＋ 4
カ＝⑦。公差 4 の等差数列になりました。
キ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
{an} の一般項を求める設問です。
＜考え方＞
初項 a1 ＝ 4（P1 の y 座標）、公差 4 の等差数列です。
aₙ ＝ 4 ＋ 4(n − 1) ＝ 4n 検算： a₁ ＝ 4 ✓, a₂ ＝ 8 ✓（P₂ の y 座標）
キ＝⓪。
ク，ケ，コ，サ，シ：正解 ④, −, ①, ②, ④（配点2）
＜問題要旨＞
m ＝ −1 のときの b1 と、{bn} の漸化式を求める設問です。
＜考え方＞
手順はまったく同じで、② が y ＝ −x ＋ 4 に変わるだけです。
b₁ ＝ P₁ の y 座標 ＝ 4 → ク ＝ ④
Qₙ の x 座標 ＝ bₙ／2
それを y ＝ −x ＋ 4 に代入して
b_{n+1} ＝ −(bₙ／2) ＋ 4
＝ (−1／2)bₙ ＋ 4
ク＝④、ケコ／サ＝−1／2、シ＝④、すなわち ク＝④、ケ＝−、コ＝①、サ＝②、シ＝④。
ス，セ，ソ，タ，チ，ツ，テ：正解 ④, ③, −, ①, ②, ⑧, ③（配点3）
＜問題要旨＞
{bn} の一般項を求める設問です。
＜考え方＞
bn+1 ＝ pbn ＋ q 型なので、特性方程式（不動点）を使います。
特性方程式 x ＝ (−1／2)x ＋ 4
(3／2)x ＝ 4
x ＝ 8／3
両辺から 8／3 を引くと
b_{n+1} − 8／3 ＝ (−1／2)(bₙ − 8／3)
{bₙ − 8／3} は公比 −1／2 の等比数列
bₙ − 8／3 ＝ (b₁ − 8／3)(−1／2)^{n−1}
＝ (4 − 8／3)(−1／2)^{n−1}
＝ (4／3)(−1／2)^{n−1}
bₙ ＝ (4／3)(−1／2)^{n−1} ＋ 8／3
ス／セ＝4／3、ソタ／チ＝−1／2、ツ／テ＝8／3、すなわち ス＝④、セ＝③、ソ＝−、タ＝①、チ＝②、ツ＝⑧、テ＝③。
※ n が大きくなると bn は 8／3 に近づきます。これは２直線 y ＝ 2x と y ＝ −x ＋ 4 の交点 (4／3, 8／3) の y 座標で、点列がその交点に吸い込まれていくことを意味しています。
ト：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
dn を cn で表す設問です。
＜考え方＞
cn は縦の移動、dn は横の移動です。どちらも同じ「y 座標の変化」から生まれます。
Q_{n−1} と Pₙ は x 座標が同じ（縦の線分）
cₙ ＝ |bₙ − b_{n−1}|
Pₙ と Qₙ は y 座標が同じ（横の線分）
Pₙ の x 座標 ＝ b_{n−1}／2
Qₙ の x 座標 ＝ bₙ／2
dₙ ＝ |bₙ／2 − b_{n−1}／2|
＝ (1／2)|bₙ − b_{n−1}|
＝ (1／2)cₙ
ト＝⓪。直線 ① の傾きが 2 であることが、この 1／2 倍の正体です。
ナ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
{cn} の漸化式を求める設問です。
＜考え方＞
bn の一般項から差を計算します。
bₙ − 8／3 ＝ (4／3)(−1／2)^{n−1} より
b_{n+1} − bₙ
＝ (4／3){ (−1／2)ⁿ − (−1／2)^{n−1} }
＝ (4／3)(−1／2)^{n−1}{ (−1／2) − 1 }
＝ (4／3)(−1／2)^{n−1} × (−3／2)
＝ −2(−1／2)^{n−1}
絶対値をとると 2 × (1／2)^{n−1}
よって cₙ ＝ 4 × (1／2)^{n−1}
（c₁ ＝ 4 ✓、c₂ ＝ 2 ✓）
c_{n+1} ＝ (1／2)cₙ
ナ＝⓪。
ニ：正解 ⑦（配点3）
＜問題要旨＞
折れ線の長さ Sn を求める、第４問の結論です。
＜考え方＞
dn ＝ cn／2 なので、Sn は cn だけの和にまとまります。あとは等比数列の和の公式です。
Sₙ ＝ Σ(cₖ ＋ dₖ)
＝ Σ(cₖ ＋ cₖ／2)
＝ (3／2) Σcₖ
Σ_{k=1}^{n} cₖ は初項 4、公比 1／2 の等比数列の和
＝ 4 × { 1 − (1／2)ⁿ } ／ (1 − 1／2)
＝ 8 { 1 − (1／2)ⁿ }
Sₙ ＝ (3／2) × 8 { 1 − (1／2)ⁿ }
＝ 12 { 1 − (1／2)ⁿ }
ニ＝⑦。
※ n → ∞ で Sn → 12 に収束します。折れ線は無限に続きますが、全長は 12 を超えません。
第５問（選択問題） 平面ベクトル（内分点の連鎖と距離の最小）
内分の比を t と 1−t で入れかえながら３回とると、R の位置ベクトルに (1−t)² と t² が現れます。後半は垂直な２ベクトルを新しい基底に取り直して、距離の最小を２次関数の問題に落とします。
ア，イ：正解 ②, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
OP→ と OQ→ を a→, b→ と t で表す設問です。
＜考え方＞
線分 OA を m : n に内分する点は、O から m／(m＋n) の位置にあります。
P は OA を (1−t) : t に内分
OP→ ＝ (1−t)／{(1−t) ＋ t} · a→ ＝ (1−t) a→
Q は OB を t : (1−t) に内分
OQ→ ＝ t／{t ＋ (1−t)} · b→ ＝ t b→
ア＝②（1−t）、イ＝⓪（t）。
ウ，エ：正解 ⑦, ④（配点2）
＜問題要旨＞
OR→ を a→, b→ と t で表す設問です。
＜考え方＞
R は PQ を t : (1−t) に内分する点です。内分点の公式をベクトルで書きます。
OR→ ＝ (1−t)·OP→ ＋ t·OQ→
＝ (1−t)·(1−t)a→ ＋ t·(t b→)
＝ (1−t)² a→ ＋ t² b→
ウ＝⑦（(1−t)²）、エ＝④（t²）。
※ 内分の比を毎回 t と 1−t で入れかえているため、係数がきれいに２乗の形になります。
オ：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
t ＝ 1／3 のときの R が図１のどの点かを選ぶ設問です。
＜考え方＞
係数を計算して、9 等分の格子の何番目かを読み取ります。
t ＝ 1／3 のとき (1−t)² ＝ (2／3)² ＝ 4／9 t² ＝ (1／3)² ＝ 1／9 OR→ ＝ (4／9)a→ ＋ (1／9)b→
これは「OA 方向に 9 等分の 4 目盛り、OB 方向に 1 目盛り」の位置です。図１でその位置にあるのは R1。オ＝①。
※ R0 は (6／9)a→ ＋ (1／9)b→ の位置にありますが、(1−t)² ＝ 2／3 となる t では t² ＝ 1／9 になりません。曲線 R(t) 上の格子点だけが正解になります。
カ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
OD→ を a→, b→ と k で表す設問です。
＜考え方＞
D は直線 BC 上の点です。まず直線 BC の方向ベクトルを押さえます。
C は OC→ ＝ a→ ＋ b→ の点、B は b→ の点 BC→ ＝ (a→ ＋ b→) − b→ ＝ a→ よって直線 BC 上の点は b→ ＋ s a→ と書ける
BD ＝ |s|·|a→| ＝ |s|·OA OA : BD ＝ 1 : k より BD ＝ k·OA → |s| ＝ k 参考図で D は B から見て C と反対側にあるので s ＝ −k OD→ ＝ −k a→ ＋ b→
カ＝②。
キ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
直線 OC と直線 OD が垂直であることから k を求める設問です。
＜考え方＞
垂直 ⟺ 内積が 0 です。展開して k について解きます。
OC→ · OD→ ＝ 0 (a→ ＋ b→)·(−k a→ ＋ b→) ＝ 0 −k|a→|² ＋ a→·b→ − k(a→·b→) ＋ |b→|² ＝ 0 −k( |a→|² ＋ a→·b→ ) ＋ ( |b→|² ＋ a→·b→ ) ＝ 0
k ＝ ( |b→|² ＋ a→·b→ ) ／ ( |a→|² ＋ a→·b→ )
キ＝④。
ク：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
a→ を c→ ＝ OC→, d→ ＝ OD→ と k で表す設問です。
＜考え方＞
c→ ＝ a→ ＋ b→、d→ ＝ −k a→ ＋ b→ を連立して、b→ を消去します。
c→ − d→ ＝ (a→ ＋ b→) − (−k a→ ＋ b→)
＝ (1 ＋ k) a→
よって a→ ＝ (1／(k＋1))(c→ − d→)
ク＝①（c→ − d→）。
ケ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
b→ を c→, d→ と k で表す設問です。
＜考え方＞
今度は a→ が消えるように組み合わせます。
k c→ ＋ d→ ＝ k(a→ ＋ b→) ＋ (−k a→ ＋ b→)
＝ k a→ ＋ k b→ − k a→ ＋ b→
＝ (k ＋ 1) b→
よって b→ ＝ (1／(k＋1))(k c→ ＋ d→)
ケ＝③（k c→ ＋ d→）。
コ，サ，シ，ス，セ：正解 ⑤, ②, ①, ②, ①（配点3）
＜問題要旨＞
OR→ を c→, d→ で表す設問です。
＜考え方＞
ウエの式に、クケで得た a→, b→ を代入して c→ と d→ で整理します。
OR→ ＝ (1−t)² a→ ＋ t² b→
＝ (1−t)² · (c→ − d→)／(k＋1)
＋ t² · (k c→ ＋ d→)／(k＋1)
＝ (1／(k＋1)) [ { (1−t)² ＋ k t² } c→
＋ { t² − (1−t)² } d→ ]
c→ の係数の中身を整理
(1−t)² ＋ k t²
＝ 1 − 2t ＋ t² ＋ k t²
＝ (k＋1)t² − 2t ＋ 1
d→ の係数の中身を整理
t² − (1−t)²
＝ t² − (1 − 2t ＋ t²)
＝ 2t − 1
コ＝⑤（k＋1）、サ＝②、シ＝①、ス＝②、セ＝①。
ソ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
R と直線 ℓ の距離が最小になる t を求める、第５問の結論です。
＜考え方＞
ℓ は O を通り OC に垂直な直線、つまり 直線 OD です。c→ と d→ は垂直なので、R から ℓ までの距離は OR→ の c→ 成分だけで決まります。
ℓ は d→ 方向の直線で、c→ ⊥ d→
→ R と ℓ の距離 ＝ |c→ の係数| × |c→|
c→ の係数 ＝ (1／(k＋1)){ (k＋1)t² − 2t ＋ 1 }
中身の符号を確認する
(k＋1)t² − 2t ＋ 1 の判別式
＝ 4 − 4(k＋1) ＝ −4k < 0 （k > 0）
→ つねに正。絶対値は外れる。
あとは２次関数の最小
(k＋1)t² − 2t ＋ 1
＝ (k＋1){ t − 1／(k＋1) }² ＋ …
頂点 t ＝ 1／(k＋1)
k > 0 より 0 < 1／(k＋1) < 1 なので
0 < t < 1 の範囲内にある
ソ＝⑥。
※ d→ 成分（2t − 1）は距離に関係しません。垂直な２ベクトルを基底に選び直したことで、距離の計算が片方の成分だけで済むようになっています。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。