2026年度 大学入学共通テスト 追試験 数学Ⅱ・B・C 解答・解説

＜考え方＞
解の公式にあてはめます。判別式が負になるので、√ の中の負の数を i を使って書き直します。

x ＝ ｛4 ± √(16−64)｝/2
　 ＝ ｛4 ± √(−48)｝/2
　 ＝ (4 ± 4√3 i)/2
　 ＝ 2 ± 2√3 i
よって ア＝2、イ＝2、ウ＝3

得られた 2＋2√3 i と 2−2√3 i は、実部が等しく虚部の符号だけが違うので互いに共役な複素数です。

＜考え方＞
x²＋px＋q＝0 に解の公式をそのまま使います。選択肢は −p か p か、＋4q か −4q かの4通りです。

x ＝ ｛−p ± √(p²−4q)｝/2
よって エ＝③

p，q が実数のとき、解が虚数になるのは p²−4q ＜ 0 のときです。このとき √(p²−4q) は純虚数になるので、二つの解は実部 −p/2 が共通で、虚部の符号だけが違う形になります。つまり実数係数であれば、一方が虚数なら他方は必ずその共役になります。この事実が (2) 以降で崩れるところが第１問の見どころです。

＜考え方＞
(2−i)² と 2i(2−i) をそれぞれ展開して足します。i²＝−1 を使います。

(2−i)² ＝ 4 − 4i ＋ i²
　　　　 ＝ 3 − 4i
2i(2−i) ＝ 4i − 2i²
　　　　 ＝ 2 ＋ 4i
和 ＝ (3−4i)＋(2＋4i) ＝ 5
よって オ＝5

一方 z̄＝2＋i を代入すると (2＋i)²＋2i(2＋i) ＝ (3＋4i)＋(4i−2) ＝ 1＋8i となり 5 にはなりません。係数が実数でない2次方程式では、共役な複素数が解になるとは限らないという確認です。

＜考え方＞
② の左辺に i²＝−1 を補って (z＋i)² の形を作ります。② から z²＋2iz＝5 が使えます。

(z＋i)² ＝ z² ＋ 2iz ＋ i²
　　　　 ＝ (z²＋2iz−5) ＋ 4
② より z²＋2iz−5＝0 だから
(z＋i)² ＝ 4
よって カ＝4

z＋i ＝ ±2
z ＝ 2−i，z ＝ −2−i
よって キ＝−、ク＝2

② を満たす z は 2−i と −2−i の二つです。この二つは共役な関係にはなっていません。

＜考え方＞
z の係数 −(2＋4i) の半分は −(1＋2i) です。そこで (z−1−2i)² を作って平方完成します。

(1＋2i)² ＝ 1 ＋ 4i ＋ 4i² ＝ −3 ＋ 4i
z² − (2＋4i)z ＝ (z−1−2i)² − (−3＋4i)
　　　　　　　 ＝ (z−1−2i)² ＋ 3 − 4i

④ は
(z−1−2i)² ＋ 3 − 4i − 9 ＋ 12i ＝ 0
(z−1−2i)² ＝ 6 − 8i
よって ケ＝1、コ＝2、サ＝6、シ＝8

係数が複素数でも、平方完成の手順は実数のときとまったく同じです。

＜考え方＞
w＝a＋bi を2乗して、実部と虚部に分けます。

w² ＝ (a＋bi)²
　　＝ a² ＋ 2abi ＋ b²i²
　　＝ (a²−b²) ＋ 2ab i
よって ス＝③、セ＝⑥

a，b は実数なので、a²−b² が実部、2ab が虚部です。⑥ の右辺 6−8i と ⑦ を見比べれば、a²−b²＝6、2ab＝−8 という実数の連立方程式が得られます。選択肢に (a＋b) や (a−b) が並んでいますが、展開した形をそのまま探せば迷いません。

＜考え方＞
w²＝6−8i と ⑦ を比べて a²−b²＝6、2ab＝−8 を得ます。a を消去して b の4次方程式にします。

a²−b² ＝ 6，ab ＝ −4
a ＝ −4/b を代入して
16/b² − b² ＝ 6
16 − b⁴ ＝ 6b²
b⁴ ＋ 6b² − 16 ＝ 0
(b²＋8)(b²−2) ＝ 0
b は実数だから b² ＝ 2
b ＝ ±√2
よって ソ＝2

b²＝−8 は b が実数という条件に合わないので捨てます。b ≠ 0 は w が虚数であることから保証されています。

＜考え方＞
b の値それぞれに対して a＝−4/b を計算します。二つの w は符号だけが違う形にまとまります。

b ＝ √2 のとき a ＝ −4/√2 ＝ −2√2
b ＝ −√2 のとき a ＝ 2√2
したがって
w ＝ ±(2√2 − √2 i)
よって タ＝2、チ＝2

z ＝ w＋1＋2i なので、④ の解は z＝1＋2√2＋(2−√2)i と z＝1−2√2＋(2＋√2)i の二つです。

＜考え方＞
p＝100＝10² を代入し、10 の何乗かに直します。

p² ＝ (10²)² ＝ 10⁴
log₁₀ p² ＝ log₁₀ 10⁴ ＝ 4
よって ア＝4

log₁₀ 10ⁿ ＝ n をそのまま使うだけの確認問題です。ここで p² や p³/10 を 10 の累乗に直す練習をしておくと、(ⅱ)以降で p，q 一般の場合に log₁₀p² ＝ 2log₁₀p と変形する流れが自然に見えてきます。

＜考え方＞
p³/10 も 10 の累乗に直します。

p³/10 ＝ (10²)³/10 ＝ 10⁶/10 ＝ 10⁵
log₁₀ (p³/10) ＝ 5
よって イ＝5

p³ ＝ 10⁶ を 10 で割るので指数が 1 減って 10⁵ です。ア＝4、イ＝5 なので、p＝100 のときの ① は 4 ≦ log₁₀q ≦ 5、すなわち 10⁴ ≦ q ≦ 10⁵ に対応します。具体的な数で先に確かめさせてから一般化するという、この大問全体の流れの出発点です。

＜考え方＞
底が 10（1より大きい）の対数は単調増加です。大小関係がそのまま保たれます。

底 10 ＞ 1 より y＝log₁₀ x は増加関数だから
M ＜ N ⟺ log₁₀ M ＜ log₁₀ N
よって ウ＝⓪

これと「M＝N ⟺ log₁₀ M＝log₁₀ N」を合わせて
M ≦ N ⟺ log₁₀ M ≦ log₁₀ N
よって エ＝①

底が 1 より小さければ不等号の向きが逆になります。底が 10 であることを確認してから使いましょう。

＜考え方＞
① の各辺の常用対数をとります。x＝log₁₀p、y＝log₁₀q とおくと1次不等式になります。

p² ≦ q ⟺ log₁₀ p² ≦ log₁₀ q
　　　　⟺ 2x ≦ y
よって オ＝①

q ≦ p³/10 ⟺ log₁₀ q ≦ log₁₀ p³ − log₁₀ 10
　　　　　 ⟺ y ≦ 3x − 1
よって カ＝③

p，q が正なので対数がとれ、しかも同値変形になります。「逆に ③ が成り立つとき ① が成り立つ」と問題文が念を押しているのはこのためです。

＜考え方＞
② も同じように両辺の常用対数をとります。分母は引き算になります。

10⁶/(p²q) ≦ q
⟺ 6 − 2x − y ≦ y
⟺ 6 − 2x ≦ 2y
⟺ y ≧ −x ＋ 3
よって キ＝⓪

q ≦ 10⁹/p²
⟺ y ≦ 9 − 2x
よって ク＝④

④ は −x＋3 ≦ y ≦ −2x＋9 という形になります。左端が傾き −1、右端が傾き −2 の直線です。

＜考え方＞
境界は y＝2x、y＝3x−1、y＝−x＋3、y＝−2x＋9 の4直線です。交点を求めて領域の形をつかみます。

y＝2x と y＝3x−1 の交点は (1, 2)
y＝−x＋3 も x＝1 のとき y＝2
→ この3直線は点 (1, 2) で交わる

y＝3x−1 と y＝−2x＋9 の交点は (2, 5)
y＝2x と y＝−2x＋9 の交点は (9/4, 9/2)
よって領域は (1, 2)，(2, 5)，(9/4, 9/2) を頂点とする三角形
よって ケ＝②

3直線が1点 (1, 2) で交わることに気づけば、その点をとがった頂点にもつ細い三角形を探せます。y＝3x−1 の y 切片が −1（負）である点も、選択肢を見分ける手がかりになります。

＜考え方＞
q＝kp の両辺の常用対数をとります。

q ＝ kp より
log₁₀ q ＝ log₁₀ k ＋ log₁₀ p
y ＝ x ＋ log₁₀ k
よって コ＝⑤

y＝x＋log₁₀k は傾き 1 の直線で、log₁₀k はその y 切片です。k を動かすと直線が上下に平行移動するので、「この直線が領域と共有点をもつ k の範囲」を調べれば q/p の範囲が分かる、という仕組みになっています。選択肢の kx や x＋k は、対数をとる前の式と混同させるためのものです。

＜考え方＞
傾き1の直線が三角形と共有点をもつ範囲を調べます。切片 y−x の最小・最大を三角形の頂点で求めます。

各頂点で y−x を計算すると
(1, 2) → 2−1 ＝ 1
(2, 5) → 5−2 ＝ 3
(9/4, 9/2) → 9/2−9/4 ＝ 9/4
よって 1 ≦ log₁₀ k ≦ 3
10 ≦ k ≦ 1000
よって サ＝⑤、シ＝⑦

1次式の最大・最小は頂点で起こるので、3頂点だけ調べれば十分です。求める範囲は q/p そのものの範囲なので、log₁₀k から k に戻すのを忘れないようにしましょう。

＜考え方＞
各項を x で微分します。定数項 1 は消えます。

f(x) ＝ (1/3)x³ − (3/2)x² ＋ 2x ＋ 1
f′(x) ＝ 3・(1/3)x² − 2・(3/2)x ＋ 2
　　　 ＝ x² − 3x ＋ 2
よって ア＝③

選択肢には f(x) を積分した形（④⑤）も混ざっています。微分すると次数は1つ下がるので、まず3次式や4次式を消し、残った2次式の係数を比べれば ③ に決まります。係数 1/3 や 3/2 を落とさずに掛けることが要点です。

＜考え方＞
f′(x) を因数分解し、符号の変化を調べます。下に凸の放物線なので、小さい解で正から負、大きい解で負から正に変わります。

f′(x) ＝ x² − 3x ＋ 2 ＝ (x−1)(x−2)
x ＜ 1 で f′(x) ＞ 0
1 ＜ x ＜ 2 で f′(x) ＜ 0
2 ＜ x で f′(x) ＞ 0
よって x＝1 で極大、x＝2 で極小
よって イ＝1、ウ＝2

3次関数で x³ の係数が正のときは、必ず「小さい方が極大、大きい方が極小」になります。

＜考え方＞
接点は (0, f(0))、傾きは f′(0) です。

f(0) ＝ 1，f′(0) ＝ 0 − 0 ＋ 2 ＝ 2
接線は y − 1 ＝ 2(x − 0)
g(x) ＝ 2x ＋ 1
よって エ＝2、オ＝1

接線は「接点の y 座標」と「接点での微分係数」だけで決まります。ここでは接点の x 座標が 0 なので、f(0)＝1 が切片、f′(0)＝2 が傾きになり、そのまま g(x)＝2x＋1 と書けます。計算量が小さく確実に取りたい設問です。

＜考え方＞
f(x)＝g(x) を解きます。x＝0 が重解になるので x² でくくれます。

(1/3)x³ − (3/2)x² ＋ 2x ＋ 1 ＝ 2x ＋ 1
(1/3)x³ − (3/2)x² ＝ 0
x²｛(1/3)x − 3/2｝ ＝ 0
x ＝ 0（重解），x ＝ 9/2
よって カ＝9、キ＝2

接点では必ず重解になります。x² がくくり出せることを前提にすると計算が速くなります。

＜考え方＞
h(x)＝g(x)−f(x) を作って微分し、x ≧ 0 での最大値を調べます。次に x＝a での接線の傾きと g の傾きを比べます。

h(x) ＝ (2x＋1) − f(x) ＝ −(1/3)x³ ＋ (3/2)x²
h′(x) ＝ −x² ＋ 3x ＝ x(3−x)
0 ＜ x ＜ 3 で h′ ＞ 0、3 ＜ x で h′ ＜ 0
よって x＝3 で最大、ク＝3

a＝3 のとき f′(3) ＝ 9 − 9 ＋ 2 ＝ 2
f(3) ＝ 9 − 27/2 ＋ 6 ＋ 1 ＝ 5/2
接線は y ＝ 2x − 7/2
g(x) ＝ 2x ＋ 1 と傾きが等しく、切片が異なる
よって ケ＝⓪（平行である）

h′(x)＝g′(x)−f′(x) なので、h′(a)＝0 は「x＝a での f の接線が g と平行」と同じことです。切片まで一致しないことを確かめれば「一致」ではなく「平行」と言い切れます。

＜考え方＞
0 ≦ x ≦ 3 では h(x) ≧ 0、つまり g のグラフが上側です。h(x) を 0 から 3 まで積分します。

S ＝ ∫₀³｛g(x)−f(x)｝dx
　 ＝ ∫₀³ ｛−(1/3)x³ ＋ (3/2)x²｝dx
　 ＝ ［−(1/12)x⁴ ＋ (1/2)x³］₀³
　 ＝ −81/12 ＋ 27/2
　 ＝ −27/4 ＋ 54/4
　 ＝ 27/4
よって コ＝2、サ＝7、シ＝4

h(x)＝x²(3/2−x/3) は 0 ≦ x ≦ 3 で 0 以上なので、絶対値を考えずにそのまま積分できます。

＜考え方＞
f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d とおくと g(x)＝cx＋d です。h＝g−f の3次の項と2次の項だけが残ります。

g(x) ＝ f′(0)x ＋ f(0) ＝ cx ＋ d
h(x) ＝ g(x) − f(x) ＝ −x³ − bx²
h′(x) ＝ −3x² − 2bx
x² の係数は −3
よって ス＝−、セ＝3

h′(x) ＝ −3x(x ＋ 2b/3)
h′(x)＝0 の解は x＝0 と x＝−2b/3
x ≧ 0 で最大になるのは x＝−2b/3＝a
よって ソ＝③

h′(x)＝0 の 0 でない方の解が、そのまま最大値を与える x＝a になります。ここで a が b の代わりの文字として使えるようになります。

＜考え方＞
h(0)＝0 なので、h(x) は h′(t) を 0 から x まで積分したものです。

h(x) ＝ ∫₀ˣ h′(t) dt
よって タ＝①（x）、チ＝⓪（0）

h′(t) ＝ −3t(t−a) ＝ −3t² ＋ 3at だから
h(x) ＝ ［−t³ ＋ (3/2)at²］₀ˣ
　　　＝ −x³ ＋ (3/2)ax²
よって ツ＝⑤

積分の上端が x、下端が 0 です。上下を取り違えると符号が逆になります。

＜考え方＞
0 ≦ x ≦ a で h(x) ≧ 0 なので、そのまま積分すれば面積になります。

S ＝ ∫₀ᵃ ｛−x³ ＋ (3/2)ax²｝ dx
　 ＝ ［−(1/4)x⁴ ＋ (1/2)ax³］₀ᵃ
　 ＝ −(1/4)a⁴ ＋ (1/2)a⁴
　 ＝ (1/4)a⁴
よって テ＝④

(1)は x³ の係数が 1/3 だったので S＝27/4 でしたが、ここでは係数が 1 なので S＝a⁴/4 です。a＝3 を入れると 81/4 となり、(1)の答えとは一致しません。

＜考え方＞
g(x) を2次関数 px²＋qx＋r とおきます。2本の接線が一致する条件から q と r が決まり、h＝g−f は (i) とまったく同じ形になります。

f(x) ＝ x³ ＋ bx² ＋ cx ＋ d のとき
f のグラフの (0, f(0)) での接線は y ＝ cx ＋ d
g(x) ＝ px² ＋ qx ＋ r の (0, g(0)) での接線は y ＝ qx ＋ r
一致するから q ＝ c，r ＝ d

h(x) ＝ g(x) − f(x) ＝ −x³ ＋ (p−b)x²
これは (i) の h(x) ＝ −x³ ＋ mx² と同じ形
よって S ＝ (1/4)a⁴
よって ト＝⑤

h が −x³＋（定数）x² の形になった時点で、あとの計算は (i) と1行も変わりません。g を直線から放物線に変えても S は a だけで決まり、値も同じになるというのがこの大問の結論です。

＜考え方＞
漸化式 ① に n＝1、n＝2 を順に代入します。

a₃ ＝ 3a₂ − a₁ ＝ 3・2 − 1 ＝ 5
よって ア＝5

a₄ ＝ 3a₃ − a₂ ＝ 3・5 − 2 ＝ 13
よって イ＝1、ウ＝3

a₃ を求めてから a₄ を求める、という順序どおりに計算します。ちなみに a₁a₃−(a₂)² ＝ 1・5 − 2² ＝ 1、a₂a₄−(a₃)² ＝ 2・13 − 5² ＝ 1 となり、② が n＝1、2 で成り立つことが確かめられます。証明の［Ⅰ］で使うのはこのうち n＝1 の方です。

＜考え方＞
［Ⅱ］の式変形で何を仮定し何を導いたかを読み取ります。出発点と到達点を確かめるのがポイントです。

1行目：a_{k+3}＝3a_{k+2}−a_{k+1}（Ⓑ）を使った
2行目：a_{k+2}＝3a_{k+1}−a_k（Ⓐ）を使った
3行目から4行目：a_k a_{k+2}−(a_{k+1})²＝1（Ⓒ）を使った
結論：a_{k+1}a_{k+3}−(a_{k+2})²＝1（Ⓓ）
よって エ＝⓪

ⒶとⒷは漸化式そのもので、どの k でも無条件に成り立ちます。仮定として使われているのはⒸだけ、示されたのはⒹだけ、という読み取りです。

＜考え方＞
(1)(ⅱ)と同じ手順です。b_{k+3} を漸化式で書き換え、続いて 6b_{k+1}−b_{k+2} を b_k で書き換えます。

b_{k+1}b_{k+3} − (b_{k+2})²
＝ b_{k+1}(6b_{k+2} − 5b_{k+1}) − (b_{k+2})²
よって オ＝6、カ＝5

＝ (6b_{k+1} − b_{k+2})b_{k+2} − 5(b_{k+1})²
b_{k+2}＝6b_{k+1}−5b_k より 6b_{k+1}−b_{k+2}＝5b_k だから
＝ 5b_k b_{k+2} − 5(b_{k+1})²
＝ 5｛b_k b_{k+2} − (b_{k+1})²｝
よって キ＝5

(1)では最後に係数が 1 になったので一定値でしたが、ここでは 5 倍ずつ増えていきます。

＜考え方＞
b_n b_{n+2}−(b_{n+1})² は公比 5 の等比数列です。初項を求めます。

b₃ ＝ 6b₂ − 5b₁ ＝ 12 − 5 ＝ 7
初項は
b₁b₃ − (b₂)² ＝ 1・7 − 2² ＝ 3
公比は 5 だから
b_n b_{n+2} − (b_{n+1})² ＝ 3・5ⁿ⁻¹
よって ク＝3、ケ＝5

初項を n＝1 で計算し忘れて 1 としないように注意しましょう。b₃ の計算が先に必要です。

＜考え方＞
(2)と同じ計算を p，q で行います。d_{k+1} が d_k の定数倍になる形を作ります。

d_{k+1} ＝ c_{k+1}c_{k+3} − (c_{k+2})²
　　　　＝ c_{k+1}(pc_{k+2} ＋ qc_{k+1}) − (c_{k+2})²
　　　　＝ (pc_{k+1} − c_{k+2})c_{k+2} ＋ q(c_{k+1})²
pc_{k+1} − c_{k+2} ＝ −qc_k だから
　　　　＝ −q｛c_k c_{k+2} − (c_{k+1})²｝
　　　　＝ −q d_k
よって ｛dₙ｝は等比数列、公比は −q
よって コ＝①、サ＝①、シ＝③

d₁ ≠ 0 だから dₙ が一定 ⟺ 公比が 1
よって ス＝1

d₁＝2p＋q−4 ≠ 0 という条件がついているのは、初項が 0 だと公比に関係なく全項 0 になってしまうからです。結論として −q＝1、つまり q＝−1 のときに一定値になります。

＜考え方＞
N(400, 4) は平均 400、分散 4 の正規分布です。標準偏差は分散の平方根になります。

平均 m ＝ 400
分散 σ² ＝ 4 より 標準偏差 σ ＝ 2
標準化は
Z ＝ (X − 400)/2
よって ア＝4、イ＝0、ウ＝0、エ＝2

N(m, σ²) の第2成分は分散です。ここを標準偏差と読み違えて 4 で割ってしまうと、以降の標準化がすべてずれます。標準化は「平均を引いて標準偏差で割る」で、こうして作った Z は必ず N(0, 1) に従います。

＜考え方＞
396 と 404 を標準化すると ±2 になります。正規分布表から P(0 ≦ Z ≦ 2) を読み取ります。

(396−400)/2 ＝ −2，(404−400)/2 ＝ 2
P(396 ≦ X ≦ 404) ＝ P(−2 ≦ Z ≦ 2)
　　　　　　　　　 ＝ 2 × 0.4772
　　　　　　　　　 ＝ 0.9544
p₀ ＝ 1 − 0.9544 ＝ 0.0456
よって オ＝①

0.0456 にいちばん近いのは 0.046 です。よく使う「2σ の外側は約5%」という感覚どおりの値になります。

＜考え方＞
平均が 401 にずれた場合を同じように標準化します。区間の中心が 400 なので、平均がずれると中に入る確率は下がります。

(396−401)/2 ＝ −2.5，(404−401)/2 ＝ 1.5
P(396 ≦ X ≦ 404) ＝ P(−2.5 ≦ Z ≦ 1.5)
　　　　　　　　　 ＝ 0.4938 ＋ 0.4332
　　　　　　　　　 ＝ 0.9270
p₁ ＝ 1 − 0.9270 ＝ 0.0730
p₀ ＝ 0.0456 だから p₁ ＞ p₀
よって カ＝①

計算しなくても、区間 396 ≦ X ≦ 404 の中心 400 から平均が離れるほど不良品率は上がる、と考えれば ① と分かります。

＜考え方＞
1 枚ごとに不良かどうかを 0 と 1 で表し、それを 225 枚分足したものが W です。

各 Yᵢ は P(Y＝1)＝p の試行を表す
W ＝ Y₁ ＋ Y₂ ＋ … ＋ Y₂₂₅ は
「確率 p の試行を 225 回行ったときの成功回数」
よって W は二項分布 B(225, p) に従う
よって キ＝②

B(n, p) の n は試行回数（ここでは円板の枚数 225）、p は1回あたりの成功確率（不良品率）です。

＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の平均は np、分散は np(1−p) です。標準偏差は分散の平方根になります。

平均 ＝ 225p
よって ク＝②

分散 ＝ 225p(1−p)
標準偏差 ＝ √｛225p(1−p)｝
　　　　 ＝ 15√｛p(1−p)｝
よって ケ＝③

√225＝15 を外に出す形が選択肢にあります。225 のまま残っている ④ や、分散そのままの ⑦ を選ばないように注意しましょう。

＜考え方＞
「不良品率が p₀ より大きいといえるか」を統計的に検証したいので、それがそのまま対立仮説になります。

検証したい主張：p ＞ p₀
対立仮説は「p ＞ p₀」
（帰無仮説は「p ＝ p₀」）
よって コ＝④

対立仮説は「統計的に検証したい主張」、帰無仮説は「それに反する仮定」です。ここでは「p が p₀ より大きい」を示したいので、対立仮説は p ＞ p₀ になります。二つを逆にすると棄却域を片側にとるか両側にとるかまで変わってしまうので、問題文の「検証したい」がどちらを指すかを丁寧に読みましょう。

＜考え方＞
棄却域を片側にとるので、標準正規分布で右側の確率が 0.05 になる値を探します。

P(Z ＞ z) ＝ 0.05 となる z は
P(0 ≦ Z ≦ z) ＝ 0.45
正規分布表より z ≒ 1.64
c ＝ a ＋ 1.64 × b
よって サ＝①

両側 5％なら 1.96、片側 5％なら 1.64 です。実際 a＝225×0.0456≒10.3、b＝15√(0.0456×0.9544)≒3.13 なので c≒15.4 となり、不良品が 16 枚以上のときに点検する、という問題文と合います。

＜考え方＞
帰無仮説「m＝400」のもとで X̄ は N(400, 4/225) に従います。棄却域は両側にとります。

X̄ の平均 ＝ 400、標準偏差 ＝ √(4/225) ＝ 2/15
よって シ＝③

両側それぞれ 0.025 だから、使う値は 1.96
c₁ ＝ 400 − 1.96 × (2/15)
c₂ ＝ 400 ＋ 1.96 × (2/15)
よって ス＝④

(2)は片側検定で 1.64、(3)は両側検定で 1.96 です。また標準偏差は分散 4/225 の平方根 2/15 であって、4/225 そのものではありません。

＜考え方＞
条件 あ から、X は線分 OZ を 2:1 に内分する点です。

OX ＝ ｛1・(ベクトルOO) ＋ 2・(ベクトルOZ)｝/3
すなわち
ベクトルx ＝ (2/3)ベクトルz
よって ア＝2、イ＝3

始点が O なので、内分点の公式はそのまま「2/3 倍」になります。X が OZ を 2:1 に内分するとき、O から X までの長さは O から Z までの 2/3 です。ここで 1/3 としないように、「2:1 の 2 の側が遠い方」と確認してから書きましょう。

＜考え方＞
Y は線分 AX を 2:1 に内分するので AY:YX ＝ 2:1、Z は線分 BY を 2:1 に内分するので BZ:ZY ＝ 2:1 です。XY や ZY との比を読み取ります。

AY:YX ＝ 2:1 より XY ＝ (1/3)XA
したがって XA ＝ 3 XY
よって ウ＝3

BZ:ZY ＝ 2:1 より ZY ＝ (1/3)BY
ZB ＝ −2 ZY
したがって OB ＝ OZ − 2 ZY
よって エ＝2

ZB は Z から B へ向かうベクトル、ZY は Z から Y へ向かうベクトルで、向きが逆になっています。ここで符号を落とさないことが要点です。

＜考え方＞
上の2式を ベクトルa，b，x，y，z で書き直します。XY＝y−x、ZY＝y−z です。

ベクトルa ＝ ベクトルx ＋ 3(ベクトルy − ベクトルx)
　　　　 ＝ −2ベクトルx ＋ 3ベクトルy
よって オ＝2

ベクトルb ＝ ベクトルz − 2(ベクトルy − ベクトルz)
　　　　 ＝ −2ベクトルy ＋ 3ベクトルz
よって カ＝3

② と ③ は同じ「−2（前）＋3（後）」という形になります。条件が循環しているためです。

＜考え方＞
① の ベクトルx ＝ (2/3)ベクトルz を ② に代入して x を消します。

−2・(2/3)ベクトルz ＋ 3ベクトルy ＝ ベクトルa
3ベクトルy − (4/3)ベクトルz ＝ ベクトルa
よって キ＝4、ク＝3

これで未知のベクトルが ベクトルy と ベクトルz の二つになり、③ と連立できる形になりました。分数のまま進めても構いませんが、両辺を 3 倍して 9ベクトルy − 4ベクトルz ＝ 3ベクトルa としてから ③ と組み合わせても同じ結果が得られます。

＜考え方＞
3y−(4/3)z＝a と −2y＋3z＝b を連立します。z を消せば y、y を消せば z が求まります。

3ベクトルy − (4/3)ベクトルz ＝ ベクトルa …(A)
−2ベクトルy ＋ 3ベクトルz ＝ ベクトルb …(B)

(A)×9 ＋ (B)×4：
27ベクトルy − 12ベクトルz − 8ベクトルy ＋ 12ベクトルz ＝ 9ベクトルa ＋ 4ベクトルb
19ベクトルy ＝ 9ベクトルa ＋ 4ベクトルb

(A)×2 ＋ (B)×3：
(9 − 8/3)ベクトルz ＝ 2ベクトルa ＋ 3ベクトルb
(19/3)ベクトルz ＝ 2ベクトルa ＋ 3ベクトルb
19ベクトルz ＝ 6ベクトルa ＋ 9ベクトルb
よって ケ＝1、コ＝9、サ＝9、シ＝4、ス＝6、セ＝9

分母がそろって 19 になります。さらに ① から ベクトルx ＝ (4ベクトルa ＋ 6ベクトルb)/19 も得られます。

＜考え方＞
XY＝y−x、XZ＝z−x を a，b で表してから内積を計算します。|a|＝1 を最後に使います。

ベクトルx ＝ (4ベクトルa ＋ 6ベクトルb)/19 だから
XY ＝ ベクトルy − ベクトルx ＝ (5ベクトルa − 2ベクトルb)/19
XZ ＝ ベクトルz − ベクトルx ＝ (2ベクトルa ＋ 3ベクトルb)/19

XY・XZ ＝ (1/19²)(5ベクトルa − 2ベクトルb)・(2ベクトルa ＋ 3ベクトルb)
　　　　＝ (1/19²)(10|a|² ＋ 15a・b − 4a・b − 6|b|²)
　　　　＝ (1/19²)(10|a|² ＋ 11a・b − 6|b|²)
|a|＝1 だから
　　　　＝ (1/19²)(10 ＋ 11a・b − 6|b|²)
よって ソ＝1、タ＝0、チ＝1、ツ＝1、テ＝6

15a・b と −4a・b をまとめて 11a・b にします。ここの符号と係数がその後の判定にそのまま効いてきます。

＜考え方＞
∠AOB＝90° なので a・b＝0 です。∠X＝90° は XY・XZ＝0 と同じことです。

a・b ＝ |a||b|cos90° ＝ 0
XY・XZ ＝ 0 より
10 ＋ 0 − 6|b|² ＝ 0
|b|² ＝ 10/6 ＝ 5/3
|b| ＝ √(5/3) ＝ √15/3
よって ト＝1、ナ＝5、ニ＝3

√(5/3) のままでは選択肢の形に合いません。分母を有理化して √15/3 に直します。

＜考え方＞
a・b＝|b|cos100° を代入すると |b| についての2次方程式になります。解の個数と、k との大小を調べます。

|b|＝t（t ＞ 0）とおくと a・b ＝ t cos100°
10 ＋ 11t cos100° − 6t² ＝ 0
6t² − 11(cos100°)t − 10 ＝ 0

F(t) ＝ 6t² − 11(cos100°)t − 10 とおくと
F(0) ＝ −10 ＜ 0
軸は t ＝ 11cos100°/12 ＜ 0
よって t ＞ 0 には解がちょうど一つ

k ＝ √15/3 のとき 6k² ＝ 10 だから
F(k) ＝ 10 − 11k cos100° − 10 ＝ −11k cos100° ＞ 0
よって解は k より小さい
よって ヌ＝⓪

cos100° ＜ 0 であることが決め手です。2次方程式の二解の積が −10/6 ＜ 0 なので正の解は一つしかなく、F(k) ＞ 0 から、その解が k の手前にあると分かります。

＜考え方＞
極座標 (r, θ) と直交座標 (x, y) の関係そのものです。

x ＝ r cosθ
y ＝ r sinθ
よって ア＝⑤、イ＝④

r だけ、cosθ だけといった選択肢が並んでいますが、点 P の位置は「原点からの距離 r」と「x 軸の正の向きからの角 θ」で決まるので、必ず r と三角関数の積になります。x が cos、y が sin と対応している点も取り違えないようにしましょう。

＜考え方＞
θ＝π/6 を ② に代入して r を求め、続いて ① で直交座標に直します。

r ＝ 2|cos(π/6)| ＝ 2 × (√3/2) ＝ √3
よって ウ＝⑧

x ＝ r cos(π/6) ＝ √3 × (√3/2) ＝ 3/2
よって エ＝⑦

y ＝ r sin(π/6) ＝ √3 × (1/2) ＝ √3/2
よって オ＝④

x＝3/2 は、後で出てくる円 (x−1)²＋y²＝1 の上の点です。実際 (3/2−1)²＋(√3/2)² ＝ 1/4＋3/4 ＝ 1 になります。

＜考え方＞
③ の両辺に r を掛けると r² と r cosθ が現れ、① で x，y に直せます。

r ＝ 2cosθ の両辺に r を掛けて
r² ＝ 2r cosθ
x² ＋ y² ＝ 2x
x² − 2x ＋ y² ＝ 0
(x−1)² ＋ y² ＝ 1
よって カ＝⑥

r² ＝ x²＋y²、r cosθ ＝ x を使うために、わざわざ両辺に r を掛けるのがこの変形の要点です。得られるのは中心 (1, 0)、半径 1 の円で、原点を通り x 軸方向に 0 から 2 まで広がります。

＜考え方＞
cosθ ＜ 0 の場合も同じ手順で直交座標の方程式に直し、二つの場合を合わせます。

cosθ ＜ 0 のとき r ＝ −2cosθ
両辺に r を掛けて
r² ＝ −2r cosθ
x² ＋ y² ＝ −2x
(x＋1)² ＋ y² ＝ 1

したがって C は
中心 (1, 0)、半径 1 の円
中心 (−1, 0)、半径 1 の円
を合わせた図形
よって キ＝③

二つの円は原点で接し、x は −2 から 2 まで動きます。原点は θ＝π/2、3π/2 のときの r＝0 として両方に含まれます。

＜考え方＞
|cosθ| は 0 以上 1 以下なので、r＝1＋2|cosθ| が最大になるのは |cosθ|＝1 のときです。

0 ≦ |cosθ| ≦ 1 より
1 ≦ r ≦ 3
r が最大になるのは |cosθ|＝1 のとき
r ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3
このとき cosθ ＝ ±1 だから
θ ＝ 0，θ ＝ π
よって ク＝3、ケ・コ＝⓪，③

ケとコは解答の順序を問いません。0 と π のどちらを先に書いても正解です。

＜考え方＞
最小になるのは |cosθ|＝0 のときです。

|cosθ| ＝ 0 のとき
r ＝ 1 ＋ 0 ＝ 1
cosθ ＝ 0 となる θ は 0 ≦ θ ＜ 2π で
θ ＝ π/2，θ ＝ 3π/2
よって サ＝1、シ・ス＝②，⑤

シとスも解答の順序を問いません。r の最小値が 0 ではなく 1 であることが、この図形 D が原点を通らない理由になります。(2)の図形 C では θ＝π/2、3π/2 のときに r＝0 となって原点を通っていたので、そこが C と D のいちばん大きな違いです。

＜考え方＞
1 ＜ r ＜ 3 のとき |cosθ| は 0 と 1 の間の値になります。cosθ の符号で場合分けして個数を数えます。

r ＝ 1 ＋ 2|cosθ| より
|cosθ| ＝ (r−1)/2
1 ＜ r ＜ 3 のとき 0 ＜ (r−1)/2 ＜ 1

cosθ ＝ (r−1)/2 を満たす θ が 0 ≦ θ ＜ 2π に 2 個
cosθ ＝ −(r−1)/2 を満たす θ が 2 個
合計 4 個
よって セ＝4

y＝cosθ のグラフを 0 ≦ θ ＜ 2π で描くと、0 でも ±1 でもない値に対しては横線が 2 回交わります。正負両方で 2 回ずつなので 4 個です。

＜考え方＞
C 上の点 P が原点になるのは、② の r が 0 になるときです。

② で r ＝ 0 となるのは
2|cosθ| ＝ 0
cosθ ＝ 0
θ ＝ π/2，θ ＝ 3π/2
よって ソ・タ＝②，⑤

この θ を ⑤ に代入すると
r ＝ 1 ＋ 2|cos(π/2)| ＝ 1
よって チ＝1

ソとタは解答の順序を問いません。原点に対応する θ では、D 上の点は原点から距離 1 の位置、すなわち (0, 1) と (0, −1) になります。

＜考え方＞
D は、C の各点を原点から見た向きはそのままに、距離だけを 1 だけ伸ばした図形です。特徴的な点をいくつか押さえます。

θ ＝ 0 のとき r ＝ 3 → 点 (3, 0)
θ ＝ π のとき r ＝ 3 → 点 (−3, 0)
θ ＝ π/2 のとき r ＝ 1 → 点 (0, 1)
θ ＝ 3π/2 のとき r ＝ 1 → 点 (0, −1)
θ ＝ π/4 のとき r ＝ 1＋√2 ≒ 2.41

x 軸、y 軸の両方に関して対称で、
(±3, 0) を通り、y 軸上では (0, ±1) でくびれる閉曲線
よって ツ＝⑤

C は原点で接する2円でしたが、D では原点の代わりに (0, 1) と (0, −1) の2点でくびれます。x の動く範囲が −2 から −3 に、2 から 3 に広がっている点も見分けの手がかりです。