2025年度 大学入学共通テスト 追試験 旧数学Ⅱ・B 解答・解説

＜考え方＞
「割られる式 ＝ 割る式 × 商 ＋ 余り」をそのまま式にします。割る式は x−2、商は Q(x)、余りは定数 k です。

xⁿ = (x − 2)·Q(x) + k

ア = ④（(x−2)Q(x)+k）

＜考え方＞
① の両辺に x＝2 を代入すると (x−2) の部分が消えて余りだけが残ります（剰余の定理そのもの）。

2ⁿ = (2 − 2)·Q(2) + k = k → k = 2ⁿ

イ = ⑤（2ⁿ）

＜考え方＞
2x−1 で割るときは、2x−1＝0 すなわち x＝1/2 を代入します。

余り = (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ

ウ = ⑧（1/2ⁿ）

＜考え方＞
X＝x−2 とおくと xⁿ＝(X+2)ⁿ。二項定理で展開したとき、X² 以上の項はすべて X² で割り切れるので、X の1次の項の係数だけを取り出します。

(X+2)ⁿ の X の係数 = ₙC₁·2ⁿ⁻¹ = n·2ⁿ⁻¹

エ = ④（n·2ⁿ⁻¹）

＜考え方＞
同じ展開の定数項は、X を 0 とおいた値です。

(X+2)ⁿ の定数項 = 2ⁿ

オ = ⓪（2ⁿ）

＜考え方＞
X＝x−2 を戻します。A(X)·X² の部分は (x−2)² で割り切れるので、残りが余り R(x) になります。

xⁿ = A(x−2)(x−2)² + n·2ⁿ⁻¹(x−2) + 2ⁿ
R(x) = n·2ⁿ⁻¹(x − 2) + 2ⁿ
    = n·2ⁿ⁻¹·x − n·2ⁿ + 2ⁿ
    = n·2ⁿ⁻¹·x + (−n+1)·2ⁿ

カ = ④（n·2ⁿ⁻¹）、キ = ③（(−n+1)·2ⁿ）

＜考え方＞
同じ方法を Y＝2x−1 に対して使います。x＝(Y+1)/2 なので xⁿ＝(Y+1)ⁿ/2ⁿ。(Y+1)ⁿ の Y の係数は n、定数項は 1 です。

xⁿ = (Y+1)ⁿ / 2ⁿ = [A(Y)Y² + nY + 1] / 2ⁿ
余り = (nY + 1)/2ⁿ = (n(2x−1) + 1)/2ⁿ
   = (2n/2ⁿ)x + (−n+1)/2ⁿ
   = (n/2ⁿ⁻¹)x + (−n+1)/2ⁿ

ク = ⑧（n/2ⁿ⁻¹）、ケ = ⑦（(−n+1)/2ⁿ）

＜考え方＞
① を平方完成して標準形に直します。右辺の s² が効いて、半径が t だけになるのがポイントです。

x² − 2sx + y² − 2ty + s² = 0
(x − s)² + (y − t)² = s² + t² − s² = t²
→ 中心 (s, t)，半径 |t| = t（t > 0）

ア = ③（s）、イ = ⑥（t）、ウ = ⑥（t）

＜考え方＞
中心 (s, t) から x 軸までの距離は t で、これが半径にちょうど等しくなります。s，t の値によらず成り立ちます。

中心と x 軸の距離 = |t| = t = 半径
→ C は常に x 軸に接する

エ = ⓪（x 軸）

＜考え方＞
C は点 (s, 0) で x 軸に接します。−2＜s＜2 なので、この接点は半径2の円 C₀ の内部にあります。C の一部が C₀ の内部にあるのだから、接するとすれば内接です。

C の接点 (s, 0)：s² < 4 なので C₀ の内部
→ C₀ と C は内接
内接のとき 中心間距離 d = r₀ − r

オ = ①（内接）、カ = ②（r₀ − r）

＜考え方＞
d＝√(s²+t²)、r₀＝2、r＝t を d＝r₀−r に代入して整理します。

√(s² + t²) = 2 − t
s² + t² = 4 − 4t + t²
s² = 4 − 4t
t = (4 − s²)/4

キ = ①（(4−s²)/4）

＜考え方＞
中心は (s, (4−s²)/4)。これは s を横軸にとると上に凸の放物線で、頂点 (0, 1)、s＝±2 で 0 になります（端点は含まないので白丸）。

y = (4 − x²)/4 = −x²/4 + 1
頂点 (0, 1)，x = ±2 で y = 0（端点は除く）

ク = ②（なめらかな放物線状のアーチ。折れ線の ⓪④ や円弧に近い ②以外 は不適）

＜考え方＞
C₁ は直線 x＝k に左側から接するので k−s＝t。これと t＝(4−s²)/4 を連立し、半径 t を k の式にして最大値を求めます。

k − s = (4 − s²)/4 → s² − 4s + 4k − 4 = 0
s = 2 − 2√(2−k)（s < k となる方）
r₁ = k − s = k − 2 + 2√(2−k)
u = √(2−k) とおくと k = 2 − u²
r₁ = −u² + 2u = −(u−1)² + 1
最大は u = 1，すなわち k = 1

ケ = 1（このとき C₁ の半径は 1）

＜考え方＞
C₂ は直線 x＝k の右側にあるので s−k＝t。k＝1 を代入して s の2次方程式を解きます。

s − 1 = (4 − s²)/4
4s − 4 = 4 − s²
s² + 4s − 8 = 0
s = −2 ± 2√3，s > 1 より s = 2√3 − 2
t = s − 1 = 2√3 − 3

中心 (2√3 − 2, 2√3 − 3)　コ=2, サ=3, シ=2, ス=2, セ=3, ソ=3

＜考え方＞
∫₀ˣ f(t)dt を x で微分すると f(x) になります（微分積分学の基本定理）。

F'(x) = x(x − 2) = x² − 2x

ア = 2

＜考え方＞
F'(x)＝x(x−2) の符号は、x＜0 で正、0＜x＜2 で負、2＜x で正。よって x＝0 で極大です。

F(x) = x³/3 − x²
F(0) = 0

イ = 0、ウ = 0

＜考え方＞
x＝2 で符号が負から正に変わるので極小です。

F(2) = 8/3 − 4 = −4/3

エ = 2、オカ/キ = −4/3

＜考え方＞
絶対値は「中身が負なら符号を反転」。0≦t≦2 では t(t−2)≦0 なので −t(t−2)、それ以外では t(t−2) のままです。

0 ≦ t ≦ 2 → |t(t−2)| = −t(t−2)
t ≦ 0, 2 ≦ t → |t(t−2)| = t(t−2)

ク = ②（−t(t−2)）、ケ = ⓪（t(t−2)）

＜考え方＞
0≦x≦2 では被積分関数がまるごと −t(t−2)。定数倍は積分の外に出せるので、F(x) の符号を変えたものになります。

G(x) = ∫₀ˣ {−t(t−2)} dt = −∫₀ˣ t(t−2) dt = −F(x)

コ = ②（{−t(t−2)}）、サ = ⑨（−F(x)）

＜考え方＞
x≧2 では 0〜2 と 2〜x に分けます。後半は絶対値が外れて t(t−2) そのもの。F(2)＝−4/3 を使って整理します。

G(x) = −F(2) + {F(x) − F(2)} = F(x) − 2F(2)
   = F(x) − 2·(−4/3) = F(x) + 8/3

シ = ⓪（t(t−2)）、ス = ②（F(x)+8/3）

＜考え方＞
G(x)＝∫₀ˣ|t(t−2)|dt は被積分関数が 0 以上なので単調増加。さらに G'(x)＝|x(x−2)| は x＝0 と x＝2 でちょうど 0 になるので、その2点で接線が水平になります。

G(0) = 0，G'(x) = |x(x−2)| ≧ 0
G'(0) = G'(2) = 0（水平な接線）

セ = ②（原点から水平に立ち上がり、x=2 でいったん水平になってまた増加する形）

＜考え方＞
|f|−f は、f≧0 の範囲では 0、f＜0 の範囲では −2f になります。f(t)＝(t−α)(t−β) が負なのは α＜t＜β のときだけなので、x が β を超えると被積分関数が 0 になり、H(x) は増えなくなります。

H(x) = ∫_α^x { |(t−α)(t−β)| − (t−α)(t−β) } dt
α ≦ t ≦ β では 被積分関数 = −2(t−α)(t−β)
t ≧ β では 被積分関数 = 0
→ x ≧ β で H(x) は一定

ソ = ③（β ≦ x）

＜考え方＞
その一定値は α から β までの積分で決まります。−∫_α^β f dt は「グラフと x 軸で囲まれた図形の面積」そのものなので、その2倍です。

H = −2∫_α^β (t−α)(t−β) dt = 2 × (囲まれた図形の面積)

タ = ②（面積の2倍）

＜考え方＞
sin(x/2) の周期は、x が T 増えたときに x/2 が 2π 増える T です。

sin((x+T)/2) = sin(x/2 + T/2)
T/2 = 2π → T = 4π

ア = ④（4π）

＜考え方＞
振幅は 1 のまま、周期だけが 2π から 4π へ横に2倍に伸びたグラフです。

y = sin(x/2)：振幅 1，周期 4π
x = 0, 4π, 8π で 0，x = π で最大 1，x = 3π で最小 −1

イ = ②（振幅1・周期4π のもの。振幅が 1/2 や 2 のもの、周期が 2π や 12π のものは不適）

＜考え方＞
sin(x/2)＝−1 と cos(x/3)＝−1 を同時に満たす最小の正の x を探します。

sin(x/2) = −1 → x/2 = 3π/2 + 2kπ → x = 3π + 4kπ
cos(x/3) = −1 → x/3 = π + 2mπ → x = 3π + 6mπ
共通で最小の正の数は x = 3π

ウ = ③（3π）　f(3π) = sin(3π/2) + cos π = −1 − 1 = −2

＜考え方＞
加法定理で 3π 分をずらします。sin(3π/2 + θ)＝−cos θ、cos(π + θ)＝−cos θ です。

f(3π + α) = sin(3π/2 + α/2) + cos(π + α/3)
     = −cos(α/2) − cos(α/3)

エ，オ = α/2，α/3（③と②、順不同）

＜考え方＞
−cos(α/2)−cos(α/3)＝−2 は、どちらの cos も最大値 1 をとるときにしか起こりません。

cos(α/2) = 1 → α/2 = 2kπ → α = 4kπ
cos(α/3) = 1 → α/3 = 2mπ → α = 6mπ
共通で最小の正の数 = 4π と 6π の最小公倍数 = 12π

カ = ⑥（12π）　したがって f(x) の周期は 12π

＜考え方＞
f(x)＝g(x) は cos(x/3) の項だけの条件になります。

sin(x/2) + cos(x/3) = sin(x/2) − cos(x/3)
2cos(x/3) = 0 → cos(x/3) = 0
x/3 = π/2 + nπ → x = 3π/2 + 3nπ

キ = ⑧（(3/2)π + 3nπ）

＜考え方＞
周期はどちらも 12π。その1周期の中に共有点は n＝0,1,2,3 の4個あります。また x＝0 では f(0)＝1、g(0)＝−1 なので実線が破線より上から始まります。

共有点：x = 3π/2, 9π/2, 15π/2, 21π/2（1周期に4個）
f(0) = 0 + 1 = 1，g(0) = 0 − 1 = −1

ク = ①

＜考え方＞
下二桁が「22」となる番号は 022, 122, …, 922 の10枚。「777」とも「下一桁が1」とも重なりません。

p₂ = 10/1000 = 1/100

ア = 1

＜考え方＞
0点になるのは、残りすべて。全体から上位3つの枚数を引きます。

1000 − 1（777） − 10（下二桁22） − 100（下一桁1） = 889
p₄ = 889/1000

イウエ = 889

＜考え方＞
定義どおり x·p を足します。分母がきれいに約分されるように作られています。

E(X) = 2000/1000 + 800/100 + 100/10 + 0
   = 2 + 8 + 10 = 20

オカ = 20

＜考え方＞
1回引くたびに25点引かれるので、損得点は得点から25を引いたものです。

Y = X − 25

キク = 25

＜考え方＞
確率変数を定数だけ平行移動すると、平均も同じだけずれます。

E(Y) = E(X − c) = E(X) − c

ケ = ①（E(X)−c）

＜考え方＞
一方、分散は平行移動では変わりません（ばらつきの大きさは同じ）。

V(Y) = V(X − c) = V(X)

コ = ⓪（V(X)）

＜考え方＞
大きさ n の標本平均の分散は、母分散を n で割ったものです。ここでは n＝400。

V(Ȳ) = V(Y)/400

サ = ⑤（V(Y)/400）

＜考え方＞
合計が0以上 ⇔ 標本平均が0以上。E(Y)＝20−25＝−5、V(Y)＝11000 を使って標準化します。√110＝10.5 のヒントが効きます。

Ȳ ~ N(−5, 11000/400) = N(−5, 27.5)
標準偏差 = √27.5 = √110/2 = 10.5/2 = 5.25
z = (0 − (−5))/5.25 ≒ 0.95
P(Z ≧ 0.95) = 0.5 − 0.3289 = 0.1711

シ = ⓪（0.17）

＜考え方＞
3回の得点の合計が1000点になる組合せを探します。得点は 2000, 800, 100, 0 の4種類。

1000 = 800 + 100 + 100 のみ（順序は3通り）
P = 3 × (1/100) × (1/10)² = 3/10000 = 0.0003

ス = ①（0.0003）

＜考え方＞
信頼度95％の信頼区間は「標本平均 ± 1.96 ×（標準偏差/√n）」。標本の標準偏差75をσの代わりに使います。

16.75 ± 1.96 × 75/√400 = 16.75 ± 1.96 × 3.75
     = 16.75 ± 7.35
→ 9.40 ≦ m ≦ 24.10

セ = ②（9.40 ≦ m ≦ 24.10）　E(X)＝20 を含んでいることが確認できます

＜考え方＞
公比 −1/2 の等比数列です。初項 a₁＝−3。

aₙ = −3·(−1/2)ⁿ⁻¹

アイ = −3、ウエ/オ = −1/2

＜考え方＞
(−1/2)ⁿ⁻¹ の符号は n−1 の偶奇で決まります。n が奇数なら n−1 は偶数なので正、n が偶数なら n−1 は奇数なので負。これに −3 を掛けます。

n 奇数 → (−1/2)ⁿ⁻¹ > 0 → aₙ = −3×正 < 0
n 偶数 → (−1/2)ⁿ⁻¹ < 0 → aₙ > 0

カ = ⓪（<）、キ = ②（>）

＜考え方＞
特性方程式 p＝−p/2−9 を解いて、b_{n+1}+c＝−(1/2)(bₙ+c) の形に変形します。

p = −p/2 − 9 → (3/2)p = −9 → p = −6
したがって c = 6

ク = 6

＜考え方＞
{bₙ+6} が初項 b₁+6＝3、公比 −1/2 の等比数列になります。

bₙ + 6 = 3·(−1/2)ⁿ⁻¹
bₙ = 3(−1/2)ⁿ⁻¹ − 6

ケ = 3、コサ/シ = −1/2、ス = 6

＜考え方＞
(−1/2)ⁿ⁻¹ は n＝1 のとき 1 で、これが最大値。以降は絶対値が小さくなりながら符号が交互に変わるので 1 を超えません。

n = 1 → (−1/2)⁰ = 1（最大）
n ≧ 2 → |(−1/2)ⁿ⁻¹| ≦ 1/2
→ 最小の A は A = 1

セ = 1

＜考え方＞
bₙ＝3(−1/2)ⁿ⁻¹−6 に、いま求めた上限を当てはめます。

bₙ ≦ 3·1 − 6 = −3 < 0（すべての n で）

ソ = ⓪（すべての自然数 n について bₙ < 0）

＜考え方＞
c_{k+1}＝−½cₖ²＋4 の値の範囲を、cₖ にどんな条件が要るかで判定します。上からの評価は無条件、下からの評価には条件がつきます。

・c_{k+1} ≦ 4：−½cₖ² ≦ 0 は常に成立 → cₖ によらず成り立つ
・−4 ≦ c_{k+1}：−½cₖ² + 4 ≧ −4 ⇔ cₖ² ≦ 16 ⇔ −4 ≦ cₖ ≦ 4

タ = ⓪、チ = ④

＜考え方＞
(Ⅰ)(Ⅲ) は表1の数値がそのまま反例になります。(Ⅱ)は c_{n+1}≦4 が常に成り立つことと c₁＝α≦4 から従います。

(Ⅰ) α = 5 > 4 だが c₂ = −8.5（4 より大きくない）→ 偽
(Ⅱ) c₁ = α ≦ 4，n ≧ 1 では c_{n+1} = −½cₙ²+4 ≦ 4 → 真
(Ⅲ) α = −1 < 0 だが c₂ = 3.5 > 0 → 偽

ツ = ⑤（偽・真・偽）

＜考え方＞
点 Q は「M から出発して b⃗ 方向へ t 進んだ点」。原点から見れば OM⃗ に MQ⃗ を足します。

OQ⃗ = OM⃗ + MQ⃗ = m⃗ + t b⃗

ア = ③（m⃗ + t b⃗）

＜考え方＞
a⃗＝(0,−3,1)、b⃗＝(1,0,3)、m⃗＝(2,3,5) を ① に代入して成分で書き並べます。

s a⃗ = (0, −3s, s)
m⃗ + t b⃗ = (2 + t, 3, 5 + 3t)

イ = ③（2+t）、ウ = ①（3）、エ = ⑤（5+3t）

＜考え方＞
x 成分と y 成分の2式から s と t が決まります。

x 成分：0 = 2 + t → t = −2
y 成分：−3s = 3 → s = −1

オカ = −1、キク = −2

＜考え方＞
z 成分も一致するか確かめてから、交点を求めます。交点は OP⃗＝s a⃗ です。

z 成分：s = 5 + 3t → −1 = 5 − 6 = −1 ○
交点 = s a⃗ = −1·(0, −3, 1) = (0, 3, −1)

ケ = 0、コ = 3、サシ = −1

＜考え方＞
m⃗ の z 成分だけが 5 から −5 に変わるので、③ の右辺の z 成分も変わります。

m⃗ + t b⃗ の z 成分 = −5 + 3t

ス = ⑦（−5+3t）　x, y 成分から出る s=−1, t=−2 を入れると −5−6=−11 ≠ s=−1 で矛盾し、交わらないことがわかります

＜考え方＞
① より m⃗＝s a⃗ − t b⃗。s＝−1，t＝−2 を代入すれば、④ の形での α，β，γ が読み取れます。

m⃗ = s a⃗ − t b⃗ = −1·a⃗ + 2·b⃗
→ α = −1，β = 2，γ = 0

セソ = −1、タ = 2、チ = 0

＜考え方＞
z 成分だけが 10 違うので、e⃗＝(0,0,1) を使って書き換えます。α，β は変わらず γ だけがずれます。

(2, 3, −5) = (2, 3, 5) − 10 e⃗
m⃗ = −1·a⃗ + 2·b⃗ + (0 − 10)e⃗

ツテ = 10、トナニ = −10

＜考え方＞
交わるときは ① が成り立つので、m⃗ は a⃗ と b⃗ だけで書けます。すなわち e⃗ の係数 γ が 0 です。

m⃗ = s a⃗ − t b⃗ = s·a⃗ + (−t)·b⃗
→ γ = 0

ヌ = ⓪（s）、ネ = ③（−t）

＜考え方＞
c⃗＝−a⃗+2b⃗（γ=0）、d⃗＝−a⃗+2b⃗−10e⃗（γ=−10）を代入し、e⃗ の係数 γ が 0 かどうかだけを見ます。

(Ⅰ) 13c⃗ = −13a⃗ + 26b⃗ + 0·e⃗ → γ = 0 → 交わる
(Ⅱ) b⃗ + 9d⃗ = −9a⃗ + 19b⃗ − 90e⃗ → γ = −90 → 交わらない
(Ⅲ) 8a⃗ − 11d⃗ = 19a⃗ − 22b⃗ + 110e⃗ → γ = 110 → 交わらない

ノ = ⓪、ハ = ①、ヒ = ①