2025年度 大学入学共通テスト 追試験「旧数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2025年度（令和7年度）大学入学共通テスト追試験「旧数学Ⅱ」の全６大問・48設問について、解答と考え方をまとめました。100点満点・全問必答、試験時間60分。旧課程履修者向けの科目で、新教育課程履修者は選択できません。
第１問が式と証明（剰余）、第２問が図形と方程式、第３問が微分・積分、第４問が微分・積分（面積）、第５問が三角関数（周期関数）、第６問が指数・対数関数。第６問は p^(log₂p) という見慣れない式を、両辺の対数をとって (log₂p)² に直すだけで一気に見通しがよくなる問題で、「対数をとる」という発想の威力がよくわかります。
なお第１問〜第３問と第５問は「数学Ⅱ・数学B・数学C」「旧数学Ⅱ・旧数学B」と共通です（数学Ⅱ・B・Cの解説はこちら／旧数学Ⅱ・旧数学Bの解説はこちら）。
第１問（必答） 式と証明（剰余）
xⁿ を x−2 や (x−2)² で割った余りを求める問題。後半は X＝x−2 と置き換えて二項展開するのが決め手です。配点15点。
ア
＜考え方＞
「割られる式 ＝ 割る式 × 商 ＋ 余り」をそのまま式にします。割る式は x−2、商は Q(x)、余りは定数 k です。
xⁿ = (x − 2)·Q(x) + k
ア = ④（(x−2)Q(x)+k）
イ
＜考え方＞
① の両辺に x＝2 を代入すると (x−2) の部分が消えて余りだけが残ります（剰余の定理そのもの）。
2ⁿ = (2 − 2)·Q(2) + k = k → k = 2ⁿ
イ = ⑤（2ⁿ）
ウ
＜考え方＞
2x−1 で割るときは、2x−1＝0 すなわち x＝1/2 を代入します。
余り = (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ
ウ = ⑧（1/2ⁿ）
エ
＜考え方＞
X＝x−2 とおくと xⁿ＝(X+2)ⁿ。二項定理で展開したとき、X² 以上の項はすべて X² で割り切れるので、X の1次の項の係数だけを取り出します。
(X+2)ⁿ の X の係数 = ₙC₁·2ⁿ⁻¹ = n·2ⁿ⁻¹
エ = ④（n·2ⁿ⁻¹）
オ
＜考え方＞
同じ展開の定数項は、X を 0 とおいた値です。
(X+2)ⁿ の定数項 = 2ⁿ
オ = ⓪（2ⁿ）
カ，キ
＜考え方＞
X＝x−2 を戻します。A(X)·X² の部分は (x−2)² で割り切れるので、残りが余り R(x) になります。
xⁿ = A(x−2)(x−2)² + n·2ⁿ⁻¹(x−2) + 2ⁿ
R(x) = n·2ⁿ⁻¹(x − 2) + 2ⁿ
= n·2ⁿ⁻¹·x − n·2ⁿ + 2ⁿ
= n·2ⁿ⁻¹·x + (−n+1)·2ⁿ
カ = ④（n·2ⁿ⁻¹）、キ = ③（(−n+1)·2ⁿ）
ク，ケ
＜考え方＞
同じ方法を Y＝2x−1 に対して使います。x＝(Y+1)/2 なので xⁿ＝(Y+1)ⁿ/2ⁿ。(Y+1)ⁿ の Y の係数は n、定数項は 1 です。
xⁿ = (Y+1)ⁿ / 2ⁿ = [A(Y)Y² + nY + 1] / 2ⁿ 余り = (nY + 1)/2ⁿ = (n(2x−1) + 1)/2ⁿ = (2n/2ⁿ)x + (−n+1)/2ⁿ = (n/2ⁿ⁻¹)x + (−n+1)/2ⁿ
ク = ⑧（n/2ⁿ⁻¹）、ケ = ⑦（(−n+1)/2ⁿ）
第２問（必答） 図形と方程式
円 x²−2sx+y²−2ty+s²＝0 と円 x²+y²＝4 の接触を扱う問題。中心が描く軌跡、そして半径を最大にする条件まで追います。配点15点。
ア，イ，ウ
＜考え方＞
① を平方完成して標準形に直します。右辺の s² が効いて、半径が t だけになるのがポイントです。
x² − 2sx + y² − 2ty + s² = 0 (x − s)² + (y − t)² = s² + t² − s² = t² → 中心 (s, t)，半径 |t| = t（t > 0）
ア = ③（s）、イ = ⑥（t）、ウ = ⑥（t）
エ
＜考え方＞
中心 (s, t) から x 軸までの距離は t で、これが半径にちょうど等しくなります。s，t の値によらず成り立ちます。
中心と x 軸の距離 = |t| = t = 半径 → C は常に x 軸に接する
エ = ⓪（x 軸）
オ，カ
＜考え方＞
C は点 (s, 0) で x 軸に接します。−2＜s＜2 なので、この接点は半径2の円 C₀ の内部にあります。C の一部が C₀ の内部にあるのだから、接するとすれば内接です。
C の接点 (s, 0)：s² < 4 なので C₀ の内部 → C₀ と C は内接 内接のとき 中心間距離 d = r₀ − r
オ = ①（内接）、カ = ②（r₀ − r）
キ
＜考え方＞
d＝√(s²+t²)、r₀＝2、r＝t を d＝r₀−r に代入して整理します。
√(s² + t²) = 2 − t s² + t² = 4 − 4t + t² s² = 4 − 4t t = (4 − s²)/4
キ = ①（(4−s²)/4）
ク
＜考え方＞
中心は (s, (4−s²)/4)。これは s を横軸にとると上に凸の放物線で、頂点 (0, 1)、s＝±2 で 0 になります（端点は含まないので白丸）。
y = (4 − x²)/4 = −x²/4 + 1 頂点 (0, 1)，x = ±2 で y = 0（端点は除く）
ク = ②（なめらかな放物線状のアーチ。折れ線の ⓪④ や円弧に近い ②以外 は不適）
ケ
＜考え方＞
C₁ は直線 x＝k に左側から接するので k−s＝t。これと t＝(4−s²)/4 を連立し、半径 t を k の式にして最大値を求めます。
k − s = (4 − s²)/4 → s² − 4s + 4k − 4 = 0 s = 2 − 2√(2−k)（s < k となる方） r₁ = k − s = k − 2 + 2√(2−k) u = √(2−k) とおくと k = 2 − u² r₁ = −u² + 2u = −(u−1)² + 1 最大は u = 1，すなわち k = 1
ケ = 1（このとき C₁ の半径は 1）
コ，サ，シ，ス，セ，ソ
＜考え方＞
C₂ は直線 x＝k の右側にあるので s−k＝t。k＝1 を代入して s の2次方程式を解きます。
s − 1 = (4 − s²)/4 4s − 4 = 4 − s² s² + 4s − 8 = 0 s = −2 ± 2√3，s > 1 より s = 2√3 − 2 t = s − 1 = 2√3 − 3
中心 (2√3 − 2, 2√3 − 3) コ=2, サ=3, シ=2, ス=2, セ=3, ソ=3
第３問（必答） 微分・積分
F(x)＝∫₀ˣ t(t−2)dt から始め、絶対値をつけた G(x)、さらに一般の α，β での H(x) へ。絶対値つき定積分が一貫したテーマです。配点22点。
ア
＜考え方＞
∫₀ˣ f(t)dt を x で微分すると f(x) になります（微分積分学の基本定理）。
F'(x) = x(x − 2) = x² − 2x
ア = 2
イ，ウ
＜考え方＞
F'(x)＝x(x−2) の符号は、x＜0 で正、0＜x＜2 で負、2＜x で正。よって x＝0 で極大です。
F(x) = x³/3 − x² F(0) = 0
イ = 0、ウ = 0
エ，オ，カ，キ
＜考え方＞
x＝2 で符号が負から正に変わるので極小です。
F(2) = 8/3 − 4 = −4/3
エ = 2、オカ/キ = −4/3
ク，ケ
＜考え方＞
絶対値は「中身が負なら符号を反転」。0≦t≦2 では t(t−2)≦0 なので −t(t−2)、それ以外では t(t−2) のままです。
0 ≦ t ≦ 2 → |t(t−2)| = −t(t−2) t ≦ 0, 2 ≦ t → |t(t−2)| = t(t−2)
ク = ②（−t(t−2)）、ケ = ⓪（t(t−2)）
コ，サ
＜考え方＞
0≦x≦2 では被積分関数がまるごと −t(t−2)。定数倍は積分の外に出せるので、F(x) の符号を変えたものになります。
G(x) = ∫₀ˣ {−t(t−2)} dt = −∫₀ˣ t(t−2) dt = −F(x)
コ = ②（{−t(t−2)}）、サ = ⑨（−F(x)）
シ，ス
＜考え方＞
x≧2 では 0〜2 と 2〜x に分けます。後半は絶対値が外れて t(t−2) そのもの。F(2)＝−4/3 を使って整理します。
G(x) = −F(2) + {F(x) − F(2)} = F(x) − 2F(2)
= F(x) − 2·(−4/3) = F(x) + 8/3
シ = ⓪（t(t−2)）、ス = ②（F(x)+8/3）
セ
＜考え方＞
G(x)＝∫₀ˣ|t(t−2)|dt は被積分関数が 0 以上なので単調増加。さらに G'(x)＝|x(x−2)| は x＝0 と x＝2 でちょうど 0 になるので、その2点で接線が水平になります。
G(0) = 0，G'(x) = |x(x−2)| ≧ 0 G'(0) = G'(2) = 0（水平な接線）
セ = ②（原点から水平に立ち上がり、x=2 でいったん水平になってまた増加する形）
ソ
＜考え方＞
|f|−f は、f≧0 の範囲では 0、f＜0 の範囲では −2f になります。f(t)＝(t−α)(t−β) が負なのは α＜t＜β のときだけなので、x が β を超えると被積分関数が 0 になり、H(x) は増えなくなります。
H(x) = ∫_α^x { |(t−α)(t−β)| − (t−α)(t−β) } dt
α ≦ t ≦ β では 被積分関数 = −2(t−α)(t−β)
t ≧ β では 被積分関数 = 0
→ x ≧ β で H(x) は一定
ソ = ③（β ≦ x）
タ
＜考え方＞
その一定値は α から β までの積分で決まります。−∫_α^β f dt は「グラフと x 軸で囲まれた図形の面積」そのものなので、その2倍です。
H = −2∫_α^β (t−α)(t−β) dt = 2 × (囲まれた図形の面積)
タ = ②（面積の2倍）
第４問（必答） 微分・積分（面積）
曲線 y＝xⁿ（n＝2, 3）の接線が切り取る三角形と、曲線が囲む部分の面積を比べる問題。比をとると a が消えるのが気持ちよい構成です。配点16点。
ア
＜考え方＞
n＝2 のとき C は y＝x²。素直に微分します。
y = x² → y' = 2x
ア = ①（2x）
イ，ウ
＜考え方＞
点 A(a, a²) における接線は、傾き 2a を使って y−a²＝2a(x−a)。
y = 2a(x − a) + a² = 2a·x − a²
イ = ①（2a）、ウ = ②（a²）
エ
＜考え方＞
T は接線 ℓ・線分 AP・x 軸で囲まれた三角形。ℓ の x 切片を求めれば底辺が出ます。
ℓ の x 切片：2a·x − a² = 0 → x = a/2 底辺 = a − a/2 = a/2，高さ = a² T = (1/2)·(a/2)·a² = a³/4
エ = ③（a³/4）
オ
＜考え方＞
C と x 軸と線分 AP で囲まれた部分は、ふつうの定積分です。
∫₀ᵃ x² dx = a³/3
オ = ②（a³/3）
カ
＜考え方＞
S はその図形から三角形 T を除いた残りです。
S = a³/3 − a³/4 = (4a³ − 3a³)/12 = a³/12
カ = ⑤（a³/12）
キ
＜考え方＞
比をとると a が消えて、点 A の位置によらない定数になります。
S/T = (a³/12) ÷ (a³/4) = 1/3
キ = ③（1/3）
ク
＜考え方＞
n＝3 でも同じ手順。接線の x 切片が a/2 ではなく 2a/3 になる点に注意します。
y = x³，y' = 3x²，接線 y = 3a²x − 2a³ x 切片：x = 2a/3 T = (1/2)·(a/3)·a³ = a⁴/6 ∫₀ᵃ x³dx = a⁴/4 S = a⁴/4 − a⁴/6 = a⁴/12 S/T = (a⁴/12) ÷ (a⁴/6) = 1/2
ク = ⑤（1/2）
ケ，コ
＜考え方＞
U は線分 OA と C で囲まれた部分。直線 OA の式を立てて差を積分します。
n = 2：直線 OA は y = a x U = ∫₀ᵃ (ax − x²)dx = a³/2 − a³/3 = a³/6 T = a³/4 > a³/6 = U → T > U n = 3：直線 OA は y = a² x U = ∫₀ᵃ (a²x − x³)dx = a⁴/2 − a⁴/4 = a⁴/4 T = a⁴/6 < a⁴/4 = U → T < U
ケ = ①（A によらず T > U）、コ = ②（A によらず T < U）
第５問（必答） 三角関数（周期関数）
周期関数の定義から出発し、sin(x/2)+cos(x/3) の周期が 12π であることを導きます。配点16点。
ア
＜考え方＞
sin(x/2) の周期は、x が T 増えたときに x/2 が 2π 増える T です。
sin((x+T)/2) = sin(x/2 + T/2) T/2 = 2π → T = 4π
ア = ④（4π）
イ
＜考え方＞
振幅は 1 のまま、周期だけが 2π から 4π へ横に2倍に伸びたグラフです。
y = sin(x/2)：振幅 1，周期 4π x = 0, 4π, 8π で 0，x = π で最大 1，x = 3π で最小 −1
イ = ②（振幅1・周期4π のもの。振幅が 1/2 や 2 のもの、周期が 2π や 12π のものは不適）
ウ
＜考え方＞
sin(x/2)＝−1 と cos(x/3)＝−1 を同時に満たす最小の正の x を探します。
sin(x/2) = −1 → x/2 = 3π/2 + 2kπ → x = 3π + 4kπ cos(x/3) = −1 → x/3 = π + 2mπ → x = 3π + 6mπ 共通で最小の正の数は x = 3π
ウ = ③（3π） f(3π) = sin(3π/2) + cos π = −1 − 1 = −2
エ，オ
＜考え方＞
加法定理で 3π 分をずらします。sin(3π/2 + θ)＝−cos θ、cos(π + θ)＝−cos θ です。
f(3π + α) = sin(3π/2 + α/2) + cos(π + α/3)
= −cos(α/2) − cos(α/3)
エ，オ = α/2，α/3（③と②、順不同）
カ
＜考え方＞
−cos(α/2)−cos(α/3)＝−2 は、どちらの cos も最大値 1 をとるときにしか起こりません。
cos(α/2) = 1 → α/2 = 2kπ → α = 4kπ cos(α/3) = 1 → α/3 = 2mπ → α = 6mπ 共通で最小の正の数 = 4π と 6π の最小公倍数 = 12π
カ = ⑥（12π） したがって f(x) の周期は 12π
キ
＜考え方＞
f(x)＝g(x) は cos(x/3) の項だけの条件になります。
sin(x/2) + cos(x/3) = sin(x/2) − cos(x/3) 2cos(x/3) = 0 → cos(x/3) = 0 x/3 = π/2 + nπ → x = 3π/2 + 3nπ
キ = ⑧（(3/2)π + 3nπ）
ク
＜考え方＞
周期はどちらも 12π。その1周期の中に共有点は n＝0,1,2,3 の4個あります。また x＝0 では f(0)＝1、g(0)＝−1 なので実線が破線より上から始まります。
共有点：x = 3π/2, 9π/2, 15π/2, 21π/2（1周期に4個） f(0) = 0 + 1 = 1，g(0) = 0 − 1 = −1
ク = ①
第６問（必答） 指数・対数関数
p^(log₂p) という式を扱う問題。両辺の対数をとると (log₂p)² になり、a^(log₂a)＝b^(log₂b) ⇔「a＝b または ab＝1」という美しい結論に至ります。配点16点。
ア，イ
＜考え方＞
log₂4＝2 を先に計算します。
4^(log₂4) = 4² = 16
アイ = 16
ウ，エ
＜考え方＞
1/4＝2⁻² です。
log₂(1/4) = −2
ウエ = −2
オ，カ
＜考え方＞
指数が −2 なので逆数の2乗になります。
(1/4)^(−2) = 4² = 16
オカ = 16 ※ p^(log₂p) は p と 1/p で同じ値になることに注目
キ
＜考え方＞
log の性質 log(Mᵏ)＝k log M をそのまま使います。
log₂ a^(log₂a) = (log₂a)·(log₂a) = (log₂a)²
キ = ②（(log₂a)²）
ク
＜考え方＞
両辺の 2 を底とする対数をとると、⑵で求めた形になります。2乗が等しい ⇔ 符号違いも許す、がポイント。
a^(log₂a) = b^(log₂b) ⇔ (log₂a)² = (log₂b)² ⇔ log₂a = log₂b または log₂a = −log₂b ⇔ a = b または log₂(ab) = 0 すなわち ab = 1
ク = ④（a = b または ab = 1）
ケ
＜考え方＞
真数条件は f(x)＞0。f(x)＝2^(x+1)+1 は常に正です。
f(x) = 2^(x+1) + 1 > 0（すべての実数 x）
ケ = ⓪（実数全体）
コ
＜考え方＞
g(x)＞0 を解きます。
3·2ˣ − 1 > 0 → 2ˣ > 1/3 x > log₂(1/3) = −log₂3
コ = ④（x > −log₂3）
サ
＜考え方＞
t＝2ˣ とおくと1次方程式になります。
2t + 1 = 3t − 1 → t = 2
サ = 2
シ
＜考え方＞
2ˣ＝2 を解きます。
x = 1（ケ・コ の範囲をどちらも満たす）
シ = 1
ス，セ
＜考え方＞
⑴⑶の「a＝b または ab＝1」を使います。f(x)＝g(x) 以外の解は f(x)·g(x)＝1 から出ます。
(2t + 1)(3t − 1) = 1（t = 2ˣ > 0） 6t² + t − 2 = 0 → (2t − 1)(3t + 2) = 0 t = 1/2（t > 0 より t = −2/3 は不適） 2ˣ = 1/2 → x = −1 真数条件 x > −log₂3 ≒ −1.585 を満たす ○
スセ = −1
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。