2025年度 大学入学共通テスト 本試験「旧数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2025年度（令和7年度）大学入学共通テスト本試験「旧数学Ⅱ」の全６大問・45設問について、解答と考え方をまとめました。100点満点、試験時間60分。旧教育課程履修者のための科目で、新教育課程履修者は選択できません。
第１問・第２問・第３問は、新課程の「数学Ⅱ，数学B，数学C」の第１問〜第３問とまったく同一の問題です（設問文・図表・選択肢・正解・配点のすべてが一致）。本記事の該当部分は、2025年度 数学Ⅱ・B・C の解説と同じ内容を掲載しています。
旧課程独自の内容は第４問以降です。第４問は微分の応用（直方体の体積の最大値）、第５問は図形と方程式（傍心の軌跡）、第６問は複素数と方程式（4次方程式の因数分解）。とくに第６問のフェラーリ型の解法は誘導が丁寧なので、手順を追えば完答が狙えます。
第１問（必答） 三角関数の方程式
sin(θ + π/ア) ＝ sin2θ を、和が π になる場合と差が 2nπ になる場合に分けて解く問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第１問と同一問題」です。配点15。
ア，イ，ウ：正解 ⑥, ③, ②（配点2）
＜考え方＞
まず α ＝ β となる場合を調べます。
θ ＋ π/6 ＝ 2θ θ ＝ π/6 → ア ＝ ⑥ このとき sin(θ ＋ π/6) ＝ sin(π/3) ＝ √3 / 2
よって ア＝⑥、イ＝③、ウ＝②。
エ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
この設問がこの大問の鍵です。ここを取り違えると以降がすべて崩れます。
＜考え方＞
単位円上で、角 α の動径の先が点P、角 β の動径の先が点Qです。単位円上の点の座標は (cos, sin) なので、
点Pの座標 ＝ (cos α, sin α) 点Qの座標 ＝ (cos β, sin β) sin α ＝ sin β → 点Pと点Qの y座標が等しい
２点が同じ点とは限らず、y軸に関して対称な位置にある場合もあります。よって エ＝②。
オ，カ，キ，ク：正解 ②, ⑤, ①, ⑧（配点3）
＜考え方＞
0 ≦ θ ≦ π/2 のとき β ＝ 2θ は 0 ≦ β ≦ π の範囲にあります。y座標が等しく角が異なる２点は、y軸に関して対称なので α ＋ β ＝ π を満たします。
α ＋ β ＝ π → オ ＝ ②（π） (θ ＋ π/6) ＋ 2θ ＝ π 3θ ＝ π − π/6 ＝ 5π/6 θ ＝ 5π/18
よって オ＝②、カ＝⑤、キ＝①、ク＝⑧。
ケ，コ，サ，シ，ス：正解 ⑥, ①, ⑦, ①, ⑧（配点3）
＜問題要旨＞
β の範囲が変わると、対称の中心となる角も変わります。範囲の確認を怠ると α ＋ β ＝ π のまま計算して誤答します。
＜考え方＞
π/2 ＜ θ ＜ π のとき β ＝ 2θ は π ＜ β ＜ 2π。この範囲で y座標が等しくなる対称の関係は、π ではなく 3π を基準にします。
α ＋ β ＝ 3π → ケ ＝ ⑥（3π） (θ ＋ π/6) ＋ 2θ ＝ 3π 3θ ＝ 3π − π/6 ＝ 17π/6 θ ＝ 17π/18 （π/2 ＜ 17π/18 ＜ π を満たす）
よって ケ＝⑥、コ＝①、サ＝⑦、シ＝①、ス＝⑧。以上より①の解は θ ＝ π/6、5π/18、17π/18 の３つです。
セ：正解 ⑥（配点1）
＜考え方＞
cos の場合は「角が等しい」か「符号だけ違う」かの２通りです。
2θ ＝ (θ ＋ π/6) ＋ 2nπ θ ＝ π/6 ＋ 2nπ → θ ＝ π/6
よって セ＝⑥。
ソ，タ，チ，ツ：正解 ①, ①, ①, ⑧（配点3）
＜考え方＞
もう一方の場合、つまり符号が反対になる場合を調べます。
2θ ＝ −(θ ＋ π/6) ＋ 2nπ 3θ ＝ −π/6 ＋ 2nπ θ ＝ −π/18 ＋ 2nπ/3 n ＝ 1 のとき θ ＝ −π/18 ＋ 12π/18 ＝ 11π/18 （0 ≦ θ ＜ π を満たす） n ＝ 0 は負、n ＝ 2 は π を超えるため不適
よって ソ＝①、タ＝①、チ＝①、ツ＝⑧。
第２問（必答） 常用対数と水草の増殖
水草の量が一定割合で増えていく状況を、常用対数表を使って数値的に追う問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第２問と同一問題」です。配点15。
ア：正解 ③（配点3）
＜考え方＞
1日ごとに r 倍になるなら、3日で r を3回かけることになります。
3日後 ＝ 元の量 × r × r × r ＝ 元の量 × r³ r³ ＝ 1.32
よって ア＝③。
イ：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
常用対数表で「1.3」の行、「2」の列を読みます。
log₁₀ 1.32 ＝ 0.1206
よって イ＝①。
ウ，エ，オ，カ：正解 ⓪, ④, ⓪, ②（配点2）
＜考え方＞
r³ ＝ 1.32 の両辺の常用対数をとります。
3 log₁₀ r ＝ log₁₀ 1.32 ＝ 0.1206 log₁₀ r ＝ 0.1206 ÷ 3 ＝ 0.0402
よって ウ＝⓪、エ＝④、オ＝⓪、カ＝②。
キ，ク，ケ：正解 ③, ⑥, ⓪（配点2）
＜考え方＞
1日で r 倍なので、14日では r を14回かけます。作業直後が a ％、14日目にちょうど60％です。
a × r¹⁴ ＝ 60 キ ＝ ③（r¹⁴）, クケ ＝ 60
よって キ＝③、ク＝⑥、ケ＝⓪。
コ：正解 ③（配点3）
＜考え方＞
①の両辺の常用対数をとります。log₁₀ 60 は 6×10 と分解して求めます。
log₁₀ 60 ＝ log₁₀ 6 ＋ log₁₀ 10
＝ 0.7782 ＋ 1 ＝ 1.7782
log a ＋ 14 log r ＝ log 60
log a ＝ 1.7782 − 14 × 0.0402
＝ 1.7782 − 0.5628
＝ 1.2154
よって コ＝③。
サ，シ：正解 ①, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
対数の値から元の数を逆に読み取る設問です。常用対数表を逆引きする操作に慣れているかが問われます。
＜考え方＞
log₁₀ a ＝ 1.2154 の整数部分1は「10の1乗の桁」を意味します。
log₁₀ a ＝ 1 ＋ 0.2154 a ＝ 10 × 10^0.2154 常用対数表で 0.2154 に近い値を探すと log 1.64 ＝ 0.2148 log 1.65 ＝ 0.2175 0.2154 は 1.64 のすぐ上なので 10^0.2154 ≒ 1.642 a ≒ 16.42
a 以下で最大の整数は 16。よって サ＝①、シ＝⑥。
第３問（必答） 微分・積分と極値
2次関数 f(x) と、その導関数が f になる関数 F(x)・G(x) の極値を調べる問題。「新課程の数学Ⅱ・B・C 第３問と同一問題」です。配点22。
ア，イ：正解 ⑥, ⑥（配点2）
F(x) ＝ 2x³ ＋ 3x² f(x) ＝ F′(x) ＝ 6x² ＋ 6x
よって ア＝⑥、イ＝⑥。
ウ，エ：正解 −, ①（配点2）
＜考え方＞
f(x) ＝ 6x(x ＋ 1) の符号を調べます。
f(x) ＝ 0 → x ＝ −1, 0 x ＜ −1 ：f ＞ 0（F は増加） −1 ＜ x ＜ 0：f ＜ 0（F は減少） 0 ＜ x ：f ＞ 0（F は増加）
増加から減少に変わる x ＝ −1 で極大となります。よって ウエ＝−1。
オ，カ：正解 ②, ③（配点2）
G′(x) ＝ f(x) ＝ 6x² ＋ 6x を積分します。
G(x) ＝ 2x³ ＋ 3x² ＋ C
よって オ＝②、カ＝③。
キ：正解 ⓪（配点2）
G の導関数も f なので、増減の様子は F とまったく同じです。減少から増加に変わる x ＝ 0 で極小となります。よって キ＝⓪。
ク，ケ：正解 −, ①（配点1）
＜考え方＞
G(x) は x ＝ k で極大値0をとる、という条件を使います。G の極大は x ＝ −1 なので k ＝ −1 です。
G(−1) ＝ 2(−1)³ ＋ 3(−1)² ＋ C
＝ −2 ＋ 3 ＋ C ＝ 1 ＋ C
1 ＋ C ＝ 0 → C ＝ −1
よって クケ＝−1。
コ，サ：正解 ⓪, ⓪（配点1）
F(x) が x ＝ 0 で極小値をとるので、F′(0) ＝ f(0) ＝ 0。また極小なので、f の符号は負から正に変わります。よって コ＝⓪、サ＝⓪。
シ，ス：正解 ⓪, ①（配点1）
G(x) が x ＝ k で極大値をとるので f(k) ＝ 0。極大なので f の符号は正から負に変わります。よって シ＝⓪、ス＝①。
セ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
ここまでの符号の情報だけでグラフの概形を決めます。F(0) ＝ 0 という条件（極小値が0）を見落とすと選べません。
＜考え方＞
f の符号 x ＜ 0：負 / 0 ＜ x ＜ k：正 / k ＜ x：負
F の増減 x ＜ 0：減少
0 ＜ x ＜ k：増加
k ＜ x：減少
・x ＝ 0 で極小、その値は 0（x軸に接する）
・x ＝ k（＞0）で極大、値は正
・その後は減少して x軸を横切る
・左端では F は正の側から下りてくる
この形に合うのは セ＝③ です。
ソ，タ：正解 ③, ⓪（配点2）
＜考え方＞
微分積分の基本定理を使います。F(0) ＝ 0 であることがポイントです。
∫[0→x] f(t)dt ＝ F(x) − F(0) ＝ F(x) − 0 ＝ F(x) 上端が x（③）、下端が 0（⓪）
よって ソ＝③、タ＝⓪。
チ，ツ：正解 ②, ⓪（配点2）
F(x) の極大値は x ＝ k のときの値なので、上端を k にします。
F(k) ＝ ∫[0→k] f(t)dt 上端が k（②）、下端が 0（⓪）
よって チ＝②、ツ＝⓪。
テ，ト：正解 ⓪, ⓪（配点2）
＜考え方＞
0 ≦ x ≦ k で f(x) ≧ 0 なので、この定積分はそのまま面積を表します。
∫[0→k] f(t)dt は y ＝ f(x) のグラフと x軸で囲まれた図形の面積
被積分関数が f なので、囲む曲線は y ＝ f(x) です。F(x) や G(x) ではありません。よって テ＝⓪、ト＝⓪。
ナ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
この大問の締めくくりで、最も差がつきます。導関数が同じ２つの関数は定数だけ違うという関係を、極値の比較に翻訳します。
＜考え方＞
F′ ＝ G′ ＝ f なので、ある定数 C′ を用いて G(x) ＝ F(x) ＋ C′ と書けます。
G は x ＝ k で極大値 0 をとるので G(k) ＝ F(k) ＋ C′ ＝ 0 C′ ＝ −F(k) G の極小値は x ＝ 0 のときなので G(0) ＝ F(0) ＋ C′ ＝ 0 − F(k) ＝ −F(k) したがって F(k) ＝ −G(0) （F の極大値） ＝ −（G の極小値）
よって ナ＝②（極小値の −1倍）。
第４問（必答） 直方体の体積の最大値
底面が正方形の直方体について、辺の長さの和・表面積・対角線という三種類の条件のもとで体積の最大値を考える問題。体積を1文字の3次関数で表せるかどうかが一貫したテーマです。配点16。
ア：正解 ⓪（配点2）
＜考え方＞
底面の一辺が x、高さが y の直方体の辺は、底面と上面の辺が 4本ずつで長さ x、側面の縦の辺が 4本で長さ y です。
辺の長さの和 ＝ 4x + 4x + 4y ＝ 8x + 4y 8x + 4y ＝ 4 2x + y ＝ 1
よって ア＝⓪（2x + y ＝ 1）。
「すべての辺」を数え違えて 4x+4y や 8x+8y としないこと。直方体の辺は12本、うち底面の一辺と同じ長さのものが8本です。
イ，ウ，エ：正解 ①, ②, ①（配点2）
＜考え方＞
y ＝ 1 − 2x に、x ＞ 0 と y ＞ 0 の両方を課します。
y ＝ 1 − 2x ＞ 0 ⟹ x ＜ 1/2 よって 0 ＜ x ＜ 1/2 x ＝ (1 − y)/2 ＞ 0 ⟹ y ＜ 1 よって 0 ＜ y ＜ 1
よって イ＝1、ウ＝2、エ＝1（0 ＜ x ＜ 1/2、0 ＜ y ＜ 1）。
オ：正解 ③（配点2）
＜考え方＞
V ＝ （底面積）×（高さ）＝ x²y に y ＝ 1 − 2x を代入します。
V ＝ x²y ＝ x²(1 − 2x) ＝ −2x³ + x²
よって オ＝③（−2x³ + x²）。
カ：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
今度は x を消去します。2x + y ＝ 1 より x ＝ (1 − y)/2。
V ＝ x²y ＝ {(1 − y)/2}² · y
＝ y(1 − y)²/4
＝ (y³ − 2y² + y)/4
＝ (1/4)y³ − (1/2)y² + (1/4)y
よって カ＝①。
展開のとき (1 − y)² ＝ 1 − 2y + y² を y 倍する順序を守れば符号を間違えません。
キ，ク，ケ：正解 ①, ②, ⑦（配点2）
＜考え方＞
V ＝ −2x³ + x²（0 ＜ x ＜ 1/2）を微分して増減を調べます。
V′ ＝ −6x² + 2x ＝ 2x(1 − 3x)
V′ ＝ 0 ⟹ x ＝ 1/3（0 ＜ x ＜ 1/2 を満たす）
x │ 0 … 1/3 … 1/2
V′ │ ＋ 0 −
V │ ↗ 極大 ↘
V(1/3) ＝ −2·(1/27) + 1/9
＝ −2/27 + 3/27 ＝ 1/27
よって体積の最大値は 1/27、すなわち キ＝1、ク＝2、ケ＝7。
y の式 V ＝ (1/4)y³ − (1/2)y² + (1/4)y を使っても V′ ＝ (3y² − 4y + 1)/4 ＝ (3y − 1)(y − 1)/4 から y ＝ 1/3 が得られ、同じ値になります。
コ：正解 ⓪（配点2）
＜考え方＞
最大値をとるときの x と y をそれぞれ求め、形を判定します。
x ＝ 1/3 y ＝ 1 − 2·(1/3) ＝ 1/3 底面の一辺 ＝ 高さ ＝ 1/3
底面が正方形で高さも一辺と等しいので立方体、コ＝⓪。
「辺の長さの和を固定したとき体積が最大になるのは立方体」という、よく知られた結論です。
サ：正解 ⓪（配点4）
＜考え方＞
方法Mは「体積を x の3次関数または y の3次関数として表し、その最大値を求める方法」です。(a)(b) それぞれで、どちらか一方の文字だけの3次関数にできるかを確かめます。
(a) 表面積が 1
2x² + 4xy ＝ 1 ⟹ y ＝ (1 − 2x²)/(4x)
V ＝ x²y ＝ x(1 − 2x²)/4
＝ −(1/2)x³ + (1/4)x … x の3次関数 ○
(b) 対角線の長さが 1
x² + x² + y² ＝ 1 ⟹ x² ＝ (1 − y²)/2
V ＝ x²y ＝ y(1 − y²)/2
＝ −(1/2)y³ + (1/2)y … y の3次関数 ○
(a)(b) とも方法Mで体積の最大値を求められるので、サ＝⓪（(a)できる・(b)できる）。
ポイントは「x でも y でもよい」という点です。(a) は y を消すと x の3次式、(b) は x を消すと y の3次式になります。片方で行き詰まったらもう一方の文字で試す——それが方法Mの使い方です。
第５問（必答） 三角形の傍心と軌跡
△ABC の内角∠A の二等分線と、頂点 B・C における外角の二等分線が交わる点 P（∠A に対する傍心）の軌跡を、座標平面上で追う問題。A(−1, 0)、B(1, 0)、C は単位円の上半分を動きます。加法定理で「傾き」を作り、軌跡の方程式に持ち込むのが全体の流れです。配点16。
ア：正解 ②（配点2）
＜考え方＞
AB は x 軸の正の向き、∠BAC ＝ θ なので、半直線 AC は x 軸と角 θ をなします。AP はその∠BAC を二等分する直線です。
直線 AP が x 軸となす角 ＝ θ/2 m ＝ tan(θ/2)
よって ア＝②（tan(θ/2)）。
イ，ウ：正解 ⑤, ⑤（配点3）
＜考え方＞
AB が円の直径なので∠ACB ＝ π/2（タレスの定理）。頂点 B の内角と外角を順に出し、加法定理で m の式に直します。
∠ACB ＝ π/2 ∠ABC ＝ π − θ − π/2 ＝ π/2 − θ 頂点 B の外角 ＝ π − (π/2 − θ) ＝ θ + π/2 … 問題文と一致 BP はこの外角の二等分線なので x 軸となす角 ＝ (θ + π/2)/2 ＝ θ/2 + π/4 傾き ＝ tan(θ/2 + π/4) … イ＝⑤ 与えられた加法定理に α ＝ θ/2、β ＝ π/4 を代入 tan(θ/2 + π/4) ＝ (tan(θ/2) + tan(π/4))/(1 − tan(θ/2)tan(π/4)) ＝ (m + 1)/(1 − m) … ウ＝⑤
よって イ＝⑤、ウ＝⑤で、直線 BP は y ＝ {(m+1)/(1−m)}(x − 1)。
外角の二等分線は「AB を B の側へ延ばした向き」から測ります。図の○印が示しているのがこの角で、tan(π/4) ＝ 1 が使えるおかげで式がきれいにまとまります。
エ，オ，カ，キ：正解 ②, ①, ①, ②（配点3）
＜考え方＞
① から m ＝ y/(x+1) を作り、② に代入して m を消去します。分母を払って整理するのが最短です。
(m+1)/(1−m) に m ＝ y/(x+1) を代入
＝ (y + x + 1)/(x + 1 − y)
y ＝ (x + y + 1)(x − 1)/(x + 1 − y)
y(x + 1 − y) ＝ (x + y + 1)(x − 1)
xy + y − y² ＝ x² + xy − y − 1
y − y² ＝ x² − y − 1
x² + y² − 2y − 1 ＝ 0
平方完成して
x² + (y − 1)² ＝ 2
よって エ＝2、オ＝1、円 E は中心 (0, 1)、半径 √2 で カ＝1、キ＝2。
A(−1, 0) と B(1, 0) がこの円上にあること（1 + 1 ＝ 2）を確かめると検算になります。
ク，ケ：正解 ②, ①（配点2）
＜考え方＞
まず m の範囲を θ の範囲から決め、次に「直線 AP 上の y ＞ 0 の点」が満たす条件に翻訳します。
0 ＜ θ ＜ π/2 ⟹ 0 ＜ θ/2 ＜ π/4 ⟹ 0 ＜ tan(θ/2) ＜ 1 すなわち 0 ＜ m ＜ 1 … ク＝② 点 (x, y) が直線 AP 上で y ＞ 0 m ＝ y/(x+1) で 0 ＜ m ＜ 1 ⟹ x + 1 ＞ 0 かつ y ＜ x + 1 ⟹ 0 ＜ y ＜ x + 1 … ケ＝①
よって ク＝②、ケ＝①。
tan は 0 ＜ θ/2 ＜ π/4 で単調増加、tan 0 ＝ 0、tan(π/4) ＝ 1 ——この二つの端点から範囲が決まります。
コ：正解 ②（配点3）
＜考え方＞
円 E：x² + (y−1)² ＝ 2 のうち、0 ＜ y ＜ x + 1 を満たす部分を図示します。境界との交点を先に求めるのが定石です。
円 E と直線 y ＝ x + 1 の交点 x² + x² ＝ 2 ⟹ x ＝ ±1 ⟹ (1, 2) と (−1, 0) 円 E と x 軸（y ＝ 0）の交点 x² + 1 ＝ 2 ⟹ x ＝ ±1 ⟹ (1, 0) と (−1, 0) 0 ＜ y ＜ x + 1 を満たすのは (1, 0) から右へ回って (√2, 1) を通り (1, 2) に至る弧 （両端は含まない）
よって コ＝②——中心 (0, 1)・最高点 1 + √2 の円に直線 y ＝ x + 1 を重ね、(1, 0) から (1, 2) までの右側の弧が実線で描かれた図です。
①③⑤は円の最高点が 2 + √5 で中心が (0, 2) の別の円。まず円そのものを見分ければ半分に絞れます。
サ，シ：正解 ⑥, ①（配点3）
＜考え方＞
(1) と同じ構図がもう一段入れ子になります。AQ は∠BAP を二等分するので、AQ が x 軸となす角は θ/4 です。
∠BAP ＝ θ/2、AQ はその二等分線
m′ ＝ tan(θ/4)
△ABP の頂点 B の内角
∠ABP ＝ ∠ABC ＋（Bの外角の半分）
＝ (π/2 − θ) + (θ/2 + π/4)
＝ 3π/4 − θ/2
△ABP における頂点 B の外角
＝ π − (3π/4 − θ/2) ＝ π/4 + θ/2
BQ が x 軸となす角 ＝ π/8 + θ/4
傾き ＝ tan(θ/4 + π/8)
＝ (m′ + tan(π/8))/(1 − m′ tan(π/8)) … サ＝⑥
直線 AQ：y ＝ m′(x + 1) ⟹ m′ ＝ y/(x+1) … シ＝①
よって サ＝⑥、シ＝①。
(1) では tan(π/4) ＝ 1 が使えて式が簡単になりましたが、ここは tan(π/8) が値として求まらないためそのまま残ります。形は (1) と完全に同じ——角が半分になっただけだと見抜ければ即答できます。
第６問（必答） ４次方程式の因数分解と複素数解
4次式を「平方の差」に持ち込んで2次式の積に分解する、いわゆるフェラーリの解法を誘導に沿って追う問題。(1) で具体例を経験し、(2) で未知数 t を導入して一般化します。配点16。
ア：正解 ⑤（配点1）
＜考え方＞
② の左辺 x⁴ に 10x² + 25 を加えると、完全平方になる形を探します。
x⁴ + 10x² + 25 ＝ (x²)² + 2·x²·5 + 5²
＝ (x² + 5)²
よって ア＝5。
イ，ウ：正解 ③, ④（配点1）
＜考え方＞
② の右辺にも同じ 10x² + 25 を加え、こちらも平方の形にします。
−x² − 24x − 9 + (10x² + 25) ＝ 9x² − 24x + 16 ＝ (3x)² − 2·(3x)·4 + 4² ＝ (3x − 4)²
よって イ＝3、ウ＝4。
9 と 16 が平方数で、中央項 −24x ＝ −2·3x·4 がぴたりと合う——これが「10x² + 25 を加える」という誘導の狙いです。
エ，オ，カ，キ：正解 ③, ①, ③, ⑨（配点3）
＜考え方＞
③ は (x²+5)² ＝ (3x−4)²。移項すれば A² − B² ＝ (A+B)(A−B) の形です。
(x² + 5)² − (3x − 4)² ＝ 0
{(x² + 5) + (3x − 4)}{(x² + 5) − (3x − 4)} ＝ 0
(x² + 3x + 1)(x² − 3x + 9) ＝ 0
よって エ＝3、オ＝1、カ＝3、キ＝9。
引き算のほうは符号を一つずつ変える必要があります（−3x + 4 なので定数項は 5 + 4 ＝ 9）。ここが最もミスの出る箇所です。
ク，ケ，コ，サ，シ，ス：正解 −, ③, ⑤, ③, ③, ③（配点3）
＜考え方＞
2次方程式を二つ解きます。解の公式をそのまま当てるだけです。
x² + 3x + 1 ＝ 0 x ＝ (−3 ± √(9 − 4))/2 ＝ (−3 ± √5)/2 x² − 3x + 9 ＝ 0 判別式 ＝ 9 − 36 ＝ −27 ＜ 0 x ＝ (3 ± √(−27))/2 ＝ (3 ± 3√3 i)/2
よって クケ＝−3、コ＝5、サ＝3、シ＝3、ス＝3。
√(−27) ＝ √27 i ＝ 3√3 i と、根号の中を素因数分解してから外に出します。
セ：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
(x² + t)² を展開して、x⁴ との差を見ます。
(x² + t)² ＝ x⁴ + 2tx² + t² x⁴ に加えるべき式 ＝ 2tx² + t²
よって セ＝①（2tx² + t²）。
(1) では t ＝ 5 のとき 2·5x² + 5² ＝ 10x² + 25 ——まさに (1) で加えた式です。(1) は (2) の t ＝ 5 の場合だったことに気づくと、誘導の意図がはっきりします。
ソ：正解 ④（配点2）
＜考え方＞
⑤ の右辺 3x² − 4x + 3 + (2tx² + t²) を (αx + β)² の形にしたい——これは「2次式が完全平方になる」条件です。
(αx + β)² ＝ 0 の解は x ＝ −β/α（重解） したがって ⑥ が (αx + β)² ＝ 0 と同値になるには、 ⑥ が重解をもてばよい
よって ソ＝④（重解）。
「完全平方 ⟺ 判別式 0 ⟺ 重解」という三つの言い換えを、その場で結びつけられるかが問われています。
タ，チ：正解 −, ①（配点2）
＜考え方＞
⑥ の判別式を 0 とおき、t の方程式を解きます。3次方程式になりますが、因数定理ですぐ割れます。
⑥：(3 + 2t)x² − 4x + (3 + t²) ＝ 0 D/4 ＝ 4 − (3 + 2t)(3 + t²) ＝ 0 (3 + 2t)(3 + t²) ＝ 4 9 + 3t² + 6t + 2t³ ＝ 4 2t³ + 3t² + 6t + 5 ＝ 0 t ＝ −1 を代入：−2 + 3 − 6 + 5 ＝ 0 ⟹ 因数 (t + 1) 2t³ + 3t² + 6t + 5 ＝ (t + 1)(2t² + t + 5) 2t² + t + 5 ＝ 0 の判別式 ＝ 1 − 40 ＜ 0（実数解なし） よって実数 t は t ＝ −1 のみ
よって タチ＝−1。
t は実数という条件があるので、残る2次因数に実数解がないことまで確かめて初めて「t ＝ −1 のとき」と言い切れます。
ツ，テ，ト，ナ，ニ，ヌ，ネ，ノ：正解 −, ①, ①, ③, ②, ①, ③, ②（配点2）
＜考え方＞
t ＝ −1 を両辺に入れて、(1) と同じ「平方の差」に持ち込みます。
t ＝ −1 のとき
左辺：(x² + t)² ＝ (x² − 1)²
右辺：(3 + 2t)x² − 4x + (3 + t²)
＝ x² − 4x + 4 ＝ (x − 2)²
(x² − 1)² − (x − 2)² ＝ 0
(x² − 1 + x − 2)(x² − 1 − x + 2) ＝ 0
(x² + x − 3)(x² − x + 1) ＝ 0
x² + x − 3 ＝ 0
x ＝ (−1 ± √(1 + 12))/2 ＝ (−1 ± √13)/2
x² − x + 1 ＝ 0
判別式 ＝ 1 − 4 ＝ −3
x ＝ (1 ± √3 i)/2
よって ツテ＝−1、トナ＝13、ニ＝2、ヌ＝1、ネ＝3、ノ＝2。
(1) をなぞる手順なので、(1) でやり方を体に入れておけば計算するだけです。4次方程式を「2次式 × 2次式」に割るための一手——この型は覚えておく価値があります。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。