2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と同一の問題です。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（弧度法と合成）
弧度法の定義から入って、(3) は「2sin(θ＋π/5) − 2cos(θ＋π/30)＝1」という一見ややこしい式。x＝θ＋π/5 と置くと第2項が cos(x−π/6) になり、加法定理でほどけば sin x − √3cos x という素直な形に落ちます。
ア：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
1ラジアンの定義を選びます。
＜考え方＞
弧度法は「弧の長さ ÷ 半径」で角を測る方法。半径1で弧の長さが1のときの中心角が1ラジアンです。
半径 r, 中心角 θ（ラジアン）の扇形の弧の長さ ℓ は ℓ = rθ r = 1, ℓ = 1 のとき θ = 1 → ② 半径が1、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
イ／ウ：正解 4／5（配点2）
＜問題要旨＞
144° を弧度で表します。
＜考え方＞
180° ＝ π ラジアンで換算します。
144° = 144 × (π/180) ラジアン = (144/180)π = (4/5)π
エオカ°：正解 345°（配点2）
＜問題要旨＞
(23/12)π ラジアンを度で表します。
＜考え方＞
今度は π ラジアン ＝ 180° を代入します。
(23/12)π ラジアン = (23/12) × 180° = 23 × 15° = 345°
キ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
x＝θ＋π/5 とおいたとき、cos(θ＋π/30) を cos(x − π/◻) の形に直します。
＜考え方＞
θ ＝ x − π/5 を代入して、分母を30にそろえます。
θ = x − π/5 なので θ + π/30 = x − π/5 + π/30 = x − 6π/30 + π/30 = x − 5π/30 = x − π/6
ク：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
加法定理を使って、①を sin x − √◻ cos x ＝ 1 の形に直します。
＜考え方＞
cos(x − π/6) を展開してから整理します。
cos(x − π/6) = cos x cos(π/6) + sin x sin(π/6) = (√3/2)cos x + (1/2)sin x 2sin x − 2cos(x − π/6) = 2sin x − √3 cos x − sin x = sin x − √3 cos x sin x − √3 cos x = 1
sin(x−π／ケ)＝1／コ：正解 sin(x−π／3)＝1／2（配点3）
＜問題要旨＞
三角関数の合成で さらに変形します。
＜考え方＞
係数が (1, −√3) なので振幅は 2、位相のずれは π/3 です。
sin x − √3 cos x = √(1² + (√3)²) sin(x − α) cosα = 1/2, sinα = √3/2 より α = π/3 2 sin(x − π/3) = 1 sin(x − π/3) = 1/2
サシ／スセ：正解 29／30（配点3）
＜問題要旨＞
π/2 ≦ θ ≦ π の範囲で①を満たす θ を求めます。
＜考え方＞
x − π/3 の動く範囲をきちんと押さえてから、その中で sin が 1/2 になる角を拾います。範囲の端が微妙なので、分母を30にそろえて比べるのが安全です。
π/2 ≦ θ ≦ π, x = θ + π/5 より 7π/10 ≦ x ≦ 6π/5 u = x − π/3 とおくと 7π/10 − π/3 ≦ u ≦ 6π/5 − π/3 11π/30 ≦ u ≦ 26π/30 sin u = 1/2 となるのは u = π/6 (= 5π/30), 5π/6 (= 25π/30) 範囲に入るのは u = 25π/30 = 5π/6 のみ x = 5π/6 + π/3 = 7π/6 θ = x − π/5 = 7π/6 − π/5 = (35π − 6π)/30 = 29π/30
第１問 〔２〕 指数・対数（対数をとって２次不等式に直す）
x の指数に log₃x が乗っている不等式です。3を底とする対数をとり t＝log₃x とおくと、t の２次不等式に化けます。後半は「すべての実数 t で成り立つ」＝判別式 ≦ 0、という定番の言い換えです。
t^ソ−タt：正解 t²−3t（配点3）
＜問題要旨＞
②の両辺の3を底とする対数をとって、t＝log₃x の不等式に直します。
＜考え方＞
log₃(x^(log₃x)) ＝ (log₃x)² ＝ t²、log₃((x/c)³) ＝ 3(log₃x − log₃c) です。
(左辺) log₃(x^{log₃x}) = (log₃x)·(log₃x) = t²
(右辺) log₃((x/c)³) = 3{log₃x − log₃c} = 3t − 3log₃c
t² ≧ 3t − 3log₃c
t² − 3t + 3log₃c ≧ 0 …③
t ≦ チ，t ≧ ツ：正解 t ≦ 1，t ≧ 2（配点2）
＜問題要旨＞
c＝∛9 のとき、③を満たす t の範囲を求めます。
＜考え方＞
∛9 ＝ 3^(2/3) なので log₃c ＝ 2/3。代入すると因数分解できる２次不等式になります。
c = ∛9 = 3^{2/3} より log₃c = 2/3
t² − 3t + 3·(2/3) ≧ 0
t² − 3t + 2 ≧ 0
(t − 1)(t − 2) ≧ 0
t ≦ 1, t ≧ 2
テ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
真数の条件から x の下限を求めます。
＜考え方＞
log₃x が現れるので x ＞ 0 が必要です。
t = log₃x が定義されるためには x > 0 よって x > 0
x ≦ ト，x ≧ ナ：正解 x ≦ 3，x ≧ 9（配点1）
＜問題要旨＞
t の範囲を x の範囲に戻します。
＜考え方＞
t ＝ log₃x は増加関数なので、不等号の向きはそのままです。
t ≦ 1 ⟺ log₃x ≦ 1 ⟺ x ≦ 3 t ≧ 2 ⟺ log₃x ≧ 2 ⟺ x ≧ 9 真数条件 x > 0 とあわせて 0 < x ≦ 3, x ≧ 9
ニ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
x ＞ 0 の範囲を動くとき、t のとり得る値の範囲を選びます。
＜考え方＞
log₃x の値域は実数全体です。
x > 0 のとき t = log₃x は実数全体をとる → ② 実数全体
ヌ／ネ：正解 3／4（配点3）
＜問題要旨＞
③がすべての実数 t で成り立つための log₃c の条件を求めます。
＜考え方＞
下に凸の２次関数がつねに0以上 ⟺ 判別式 ≦ 0 です。
t² − 3t + 3log₃c ≧ 0 がすべての実数 t で成立 ⟺ 判別式 D ≦ 0 D = 9 − 4·3log₃c = 9 − 12log₃c ≦ 0 12log₃c ≧ 9 log₃c ≧ 3/4
ノ√(ハヒ)：正解 ⁴√27（配点3）
＜問題要旨＞
これを c の条件に書き直します。
＜考え方＞
log₃c ≧ 3/4 ⟺ c ≧ 3^(3/4)。累乗根の形に直します。
log₃c ≧ 3/4 ⟺ c ≧ 3^{3/4}
3^{3/4} = (3³)^{1/4} = ⁴√27
c ≧ ⁴√27
第２問 〔１〕 微分・積分（放物線・接線と面積の差の増減）
放物線 C が直線 ℓ に A(1, 1) で接する、という設定です。C−ℓ が p(x−1)² という完全平方になるのが全体の鍵。面積 S, T をそれぞれ v の式にして、U＝S−T の増減を調べます。
ア：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
点 A における C の接線 ℓ の傾きを求めます。
＜考え方＞
ℓ：y＝2x−1 の傾きをそのまま読むだけです。
ℓ: y = 2x − 1 接線 ℓ の傾きは 2
イウp＋エ：正解 −2p＋2（配点2）
＜問題要旨＞
q を p を用いて表します。
＜考え方＞
C を微分して x＝1 での値が 2 になる、とします。
y = px² + qx + r, y' = 2px + q x = 1 での接線の傾きが 2 なので 2p + q = 2 q = −2p + 2
オ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
r を p を用いて表します。
＜考え方＞
C が A(1, 1) を通ることを使います。
p·1² + q·1 + r = 1 p + (−2p + 2) + r = 1 −p + 2 + r = 1 r = p − 1
(p／カ)(v³−キv²＋クv−ケ)：正解 (p／3)(v³−3v²＋3v−1)（配点4）
＜問題要旨＞
C と ℓ および直線 x＝v で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
C の式から ℓ の式を引くと、接するので完全平方 p(x−1)² になります。あとは 1 から v まで積分するだけです。
(C) − (ℓ) = px² + qx + r − (2x − 1) = px² + (−2p + 2)x + (p − 1) − 2x + 1 = px² − 2px + p = p(x − 1)² S = ∫₁^v p(x − 1)² dx = p[(x − 1)³/3]₁^v = (p/3)(v − 1)³ = (p/3)(v³ − 3v² + 3v − 1)
コ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
x 軸と ℓ および2直線 x＝1, x＝v で囲まれた図形の面積 T を求めます。
＜考え方＞
1 ≦ x ≦ v では ℓ の y 座標は正なので、そのまま積分します。
ℓ: y = 2x − 1 は x ≧ 1 で y ≧ 1 > 0 T = ∫₁^v (2x − 1) dx = [x² − x]₁^v = (v² − v) − (1 − 1) = v² − v
サ：正解 3（配点3）
＜問題要旨＞
U＝S−T が v＝2 で極値をとるときの p を求めます。
＜考え方＞
U を微分して v＝2 で 0 とおきます。
U = (p/3)(v − 1)³ − v² + v U' = p(v − 1)² − 2v + 1 U'(2) = p·1 − 4 + 1 = p − 3 = 0 p = 3
(シ＋√ス)／セ：正解 (3＋√5)／2（配点3）
＜問題要旨＞
v ＞ 1 の範囲で U＝0 となる v の値 v₀ を求めます。
＜考え方＞
p＝3 を代入すると U が (v−1) でくくれます。残りの２次式を解き、v ＞ 1 のものを採ります。
p = 3 のとき
U = (v − 1)³ − v² + v
= (v − 1)³ − v(v − 1)
= (v − 1){(v − 1)² − v}
= (v − 1)(v² − 3v + 1)
v > 1 で U = 0 ⟺ v² − 3v + 1 = 0
v = (3 ± √5)/2
(3 − √5)/2 = 0.38… は v > 1 を満たさない
v₀ = (3 + √5)/2
ソ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
1 ＜ v ＜ v₀ の範囲で U がどうなるかを選びます。
＜考え方＞
因数分解した形のまま符号を調べます。
U = (v − 1)(v² − 3v + 1) 1 < v < v₀ = (3 + √5)/2 のとき v − 1 > 0 v² − 3v + 1 < 0（２解 (3±√5)/2 の間にある） よって U < 0、つまり負の値のみをとる → ③
タチ：正解 −1（配点3）
＜問題要旨＞
p＝3 のとき、v ＞ 1 における U の最小値を求めます。
＜考え方＞
U′ を因数分解して増減表を作ります。
U' = 3(v − 1)² − 2v + 1 = 3v² − 6v + 3 − 2v + 1 = 3v² − 8v + 4 = (3v − 2)(v − 2) v > 1 では 1 < v < 2 で U' < 0（減少） v > 2 で U' > 0（増加） v = 2 で最小 U(2) = (2 − 1)³ − 2² + 2 = 1 − 4 + 2 = −1
第２問 〔２〕 積分（面積から被積分関数を復元する）
「面積 W が t の式で与えられているとき、もとの f(x) を求める」という逆向きの問題です。f(x) ≦ 0 なので W ＝ −∫f、つまり W ＝ −F(t)＋F(1)。両辺を t で微分すれば f(t) が出ます。
ツ：正解 ⑦（配点1）
＜問題要旨＞
F(x) を f(x) の不定積分とするとき、F′(x) を選びます。
＜考え方＞
不定積分の定義そのものです。
F(x) が f(x) の不定積分 ⟺ F'(x) = f(x) → ⑦
テ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
W を F を用いて表します。
＜考え方＞
x ≧ 1 で f(x) ≦ 0 なので、曲線は x 軸の下側。面積は −∫f になります。
x ≧ 1 で f(x) ≦ 0 なので
W = ∫₁^t {0 − f(x)} dx
= −[F(x)]₁^t
= −F(t) + F(1)
→ ④
トナt^ニ＋ヌ：正解 −6t²＋2（配点4）
＜問題要旨＞
t ＞ 1 における f(t) を求めます。
＜考え方＞
二等辺三角形の高さを三平方の定理で出して W を t の式にし、W＝−F(t)＋F(1) の両辺を t で微分します。
二等辺三角形は底辺 2t² − 2、等辺 t² + 1
高さ = √{(t² + 1)² − (t² − 1)²}
= √{(t⁴ + 2t² + 1) − (t⁴ − 2t² + 1)}
= √(4t²) = 2t
W = (1/2)(2t² − 2)(2t) = 2t³ − 2t
−F(t) + F(1) = 2t³ − 2t
両辺を t で微分して
−f(t) = 6t² − 2
f(t) = −6t² + 2
第３問 図形と方程式（重心の軌跡と線分までの距離）
直線 ℓ₁ と円 C₁ から出発し、C₁ 上の点 P に対する △ABP の重心 G の軌跡（円 C₂）を求め、最後は「C₂ 上の点 Q と 線分 AB 上の点 R の距離」の最小・最大を出します。最小値は「中心から直線までの距離 − 半径」、最大値は「中心から端点までの距離 ＋ 半径」。ℓ₂ が線分 AB と交わることを確かめる手順が入っているのがていねいです。
x−アy＋イ：正解 x−3y＋1（配点2）
＜問題要旨＞
2点 A(−1, 0), B(2, 1) を通る直線 ℓ₁ の方程式を求めます。
＜考え方＞
傾きを出して点 A を通る形にし、指定の形へ整理します。
傾き = (1 − 0)/(2 − (−1)) = 1/3 y − 0 = (1/3)(x + 1) 3y = x + 1 x − 3y + 1 = 0
(ウエ，オ)：正解 (−3，6)（配点1）
＜問題要旨＞
円 C₁ の中心を求めます。
＜考え方＞
x, y それぞれ平方完成します。
x² + y² + 6x − 12y + 36 = 0 (x + 3)² − 9 + (y − 6)² − 36 + 36 = 0 (x + 3)² + (y − 6)² = 9 中心 (−3, 6)
カ：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
C₁ の半径を求めます。
＜考え方＞
平方完成した右辺の平方根です。
(x + 3)² + (y − 6)² = 9 半径 = √9 = 3
キs−ク：正解 3s−1（配点2）
＜問題要旨＞
重心 G(s, t) に対して、P の x 座標 a を s で表します。
＜考え方＞
重心の x 座標は3頂点の x 座標の平均です。
s = {(−1) + 2 + a}/3 = (1 + a)/3
3s = 1 + a
a = 3s − 1
ケt−コ：正解 3t−1（配点2）
＜問題要旨＞
同じく b を t で表します。
＜考え方＞
y 座標についても同じことをします。
t = (0 + 1 + b)/3 = (1 + b)/3 3t = 1 + b b = 3t − 1
(サシ／ス，セ／ソ)：正解 (−2／3，7／3)（配点2）
＜問題要旨＞
P が C₁ 上を動くときの G の軌跡（円 C₂）の中心を求めます。
＜考え方＞
P(a, b) が C₁ の式を満たすことに a＝3s−1, b＝3t−1 を代入します。9 でくくれます。
(a + 3)² + (b − 6)² = 9 に代入 (3s − 1 + 3)² + (3t − 1 − 6)² = 9 (3s + 2)² + (3t − 7)² = 9 9(s + 2/3)² + 9(t − 7/3)² = 9 (s + 2/3)² + (t − 7/3)² = 1 中心 (−2/3, 7/3)
タ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
C₂ の半径を求めます。
＜考え方＞
上の式の右辺です。
(s + 2/3)² + (t − 7/3)² = 1 半径 = 1
チx＋ツy−1：正解 9x＋3y−1（配点2）
＜問題要旨＞
C₂ の中心を通り ℓ₁ に垂直な直線 ℓ₂ の方程式を求めます。
＜考え方＞
ℓ₁ の傾きが 1/3 なので、垂直な直線の傾きは −3 です。
ℓ₁: x − 3y + 1 = 0 の傾きは 1/3 垂直な直線の傾きは −3 y − 7/3 = −3(x + 2/3) y = −3x − 2 + 7/3 = −3x + 1/3 3y = −9x + 1 9x + 3y − 1 = 0
テ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
ℓ₁ と ℓ₂ の交点が線分 AB を 1:◻ に内分することを求めます。
＜考え方＞
交点を連立で出し、A から B への位置の割合を見ます。
x − 3y + 1 = 0 より x = 3y − 1 9(3y − 1) + 3y − 1 = 0 30y = 10 → y = 1/3, x = 0 交点は (0, 1/3) A(−1, 0), B(2, 1) について x の進み具合 = (0 − (−1))/(2 − (−1)) = 1/3 AB を 1 : 2 に内分している（＝線分 AB 上にある）
ト√(ナニ)／ヌ−タ：正解 2√10／3−1（配点2）
＜問題要旨＞
QR の長さの最小値を求めます。
＜考え方＞
ℓ₂ が線分 AB と交わるので、最小値は「C₂ の中心と直線 ℓ₁ の距離 − C₂ の半径」になります。
点と直線の距離の公式（ℓ₁: x − 3y + 1 = 0、中心 (−2/3, 7/3)） d = |(−2/3) − 3·(7/3) + 1|/√(1² + (−3)²) = |−2/3 − 7 + 1|/√10 = (20/3)/√10 = 20/(3√10) = 2√10/3 最小値 = d − 半径 = 2√10/3 − 1
(ネ，ノ)：正解 (2，1)（配点2）
＜問題要旨＞
QR が最大となるときの R の座標を求めます。
＜考え方＞
最大は「中心から R までの距離」が最大のとき。R は線分 AB 上を動くので、端点 A か B のどちらかです。
中心 (−2/3, 7/3) からの距離
A(−1, 0) まで
√{(−1 + 2/3)² + (0 − 7/3)²} = √(1/9 + 49/9) = √(50/9) = 5√2/3 = 2.357…
B(2, 1) まで
√{(2 + 2/3)² + (1 − 7/3)²} = √(64/9 + 16/9) = √(80/9) = 4√5/3 = 2.981…
大きいのは B なので R = (2, 1)
ハ√ヒ／フ＋タ：正解 4√5／3＋1（配点2）
＜問題要旨＞
QR の長さの最大値を求めます。
＜考え方＞
「中心から R までの距離 ＋ 半径」です。
最大値 = 4√5/3 + 1
第４問 複素数と方程式（虚数解をもつ３次方程式）
実数係数の3次方程式が虚数 −1＋√6 i を解にもつ、という設定です。代入して実部・虚部をそれぞれ0とおけば b, c が a で表せます。共役な虚数解を根にもつ２次式 x²＋2x＋7 で割ると余りが0になり、残りの１次因数から実数解が出ます。
アイa−b＋c＋ウエ：正解 −5a−b＋c＋17（配点3）
＜問題要旨＞
P(−1＋√6 i) を計算したときの実部を求めます。
＜考え方＞
まず x²、x³ を計算してから代入します。i² ＝ −1 に注意。
x = −1 + √6 i とおく x² = 1 − 2√6 i + 6i² = 1 − 2√6 i − 6 = −5 − 2√6 i x³ = x·x² = (−1 + √6 i)(−5 − 2√6 i) = 5 + 2√6 i − 5√6 i − 2·6·i² = 5 + 2√6 i − 5√6 i + 12 = 17 − 3√6 i P(x) = x³ + ax² + bx + c = (17 − 3√6 i) + a(−5 − 2√6 i) + b(−1 + √6 i) + c 実部 = −5a − b + c + 17
オカa＋b−キ：正解 −2a＋b−3（配点2）
＜問題要旨＞
同じく虚部（√6 i の係数）を求めます。
＜考え方＞
上の計算で √6 i がかかっている項を集めます。
√6 i の係数を集めて −3 + (−2a) + b = −2a + b − 3
クa＋ケ：正解 2a＋3（配点2）
＜問題要旨＞
b を a を用いて表します。
＜考え方＞
P(−1＋√6 i) ＝ 0 で、a, b, c が実数なので実部・虚部がともに0になります。虚部の式から b が出ます。
−2a + b − 3 = 0 b = 2a + 3
コa−サシ：正解 7a−14（配点2）
＜問題要旨＞
c を a を用いて表します。
＜考え方＞
実部の式に b を代入します。
−5a − b + c + 17 = 0 c = 5a + b − 17 = 5a + (2a + 3) − 17 c = 7a − 14
x²＋スx＋セ：正解 x²＋2x＋7（配点2）
＜問題要旨＞
−1±√6 i を解とする x² の係数が1の２次方程式を求めます。
＜考え方＞
解と係数の関係。和と積を計算します。
2解の和 = (−1 + √6 i) + (−1 − √6 i) = −2 2解の積 = (−1)² − (√6 i)² = 1 + 6 = 7 x² − (和)x + (積) = x² + 2x + 7 = 0
x＋a−ソ，タ：正解 x＋a−2，0（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) を x²＋2x＋7 で割ったときの商と余りを求めます。
＜考え方＞
商を x＋k とおいて展開し、係数を比べます。b, c が a で表されているので、うまく消えます。
商を x + k とおくと (x² + 2x + 7)(x + k) = x³ + (k + 2)x² + (2k + 7)x + 7k x² の係数： k + 2 = a → k = a − 2 x の係数： 2k + 7 = 2(a − 2) + 7 = 2a + 3 = b ✔ 定数項： 7k = 7(a − 2) = 7a − 14 = c ✔ 商 = x + a − 2、余り = 0
チa＋ツ：正解 −a＋2（配点1）
＜問題要旨＞
方程式 P(x)＝0 の実数解を求めます。
＜考え方＞
割り切れたので、残りの１次因数を0とおきます。
P(x) = (x² + 2x + 7)(x + a − 2) x² + 2x + 7 = 0 の解は虚数なので、実数解は x + a − 2 = 0 x = −a + 2
テ：正解 4（配点3）
＜問題要旨＞
P(x) を x＋a−3 で割ったときの余りが6であるときの a を求めます。
＜考え方＞
剰余の定理。P(3−a) ＝ 6 とおくと a の２次方程式になり、重解になります。
剰余の定理より P(−(a − 3)) = P(3 − a) = 6 P(x) = (x² + 2x + 7)(x + a − 2) に x = 3 − a を代入 (3 − a) + a − 2 = 1 なので P(3 − a) = (3 − a)² + 2(3 − a) + 7 = 9 − 6a + a² + 6 − 2a + 7 = a² − 8a + 22 a² − 8a + 22 = 6 a² − 8a + 16 = 0 (a − 4)² = 0 a = 4
x²＋トx＋ナ：正解 x²＋5x＋3（配点3）
＜問題要旨＞
P(x) を2次の整式 Q(x) で割ったときの商が x−1、余りが 13x＋17 であるときの Q(x) を求めます。
＜考え方＞
P(x) − (13x＋17) を x−1 で割ります。a＝4 のとき P(x)＝x³＋4x²＋11x＋14 です。
a = 4 のとき b = 2·4 + 3 = 11, c = 7·4 − 14 = 14
P(x) = x³ + 4x² + 11x + 14
P(x) = Q(x)(x − 1) + 13x + 17 より
Q(x)(x − 1) = x³ + 4x² + 11x + 14 − 13x − 17
= x³ + 4x² − 2x − 3
x − 1 で割ると
x³ + 4x² − 2x − 3 = (x − 1)(x² + 5x + 3)
Q(x) = x² + 5x + 3
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