2023年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2023年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と共通の問題です（問題文の全ページを照合済み）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 複素数と方程式（実数係数の方程式は虚数解を共役の組でもつ）
「実数係数の方程式が 1＋√2 i を解にもつなら 1−√2 i も解である」という定理を、割り算の余りを使って証明する流れを追う設問です。定理を暗記していても、誘導のどこで何を使うかを見失わないことが大事です。
ア，イ：正解 2，3（配点2）
＜問題要旨＞
1 ± √2 i を解とする、x² の係数が 1 の２次方程式を求めます。
＜考え方＞
解と係数の関係で、和と積を計算します。
和 ＝ (1 ＋ √2 i) ＋ (1 − √2 i) ＝ 2 積 ＝ (1 ＋ √2 i)(1 − √2 i) ＝ 1² − (√2 i)² ＝ 1 − (−2) ＝ 3 x² − (和)x ＋ (積) ＝ 0 より x² − 2x ＋ 3 ＝ 0
よって ア＝2、イ＝3。
ウ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
P(x) を S(x) で割った商を Q(x)、余りを R(x) としたときに成り立つ式を選びます。
＜考え方＞
「割られる式 ＝ 割る式 × 商 ＋ 余り」の形です。
P(x) ＝ S(x)Q(x) ＋ R(x)
よって ウ＝③。
エ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
R(1 ＋ √2 i) の値を求めます。
＜考え方＞
1 ＋ √2 i が P(x) ＝ 0 と S(x) ＝ 0 の両方の解であることを使います。
R(x) ＝ P(x) − S(x)Q(x) なので R(1＋√2 i) ＝ P(1＋√2 i) − S(1＋√2 i)Q(1＋√2 i) ＝ 0 − 0 × Q(1＋√2 i) ＝ 0
よって エ＝0。
オ，カ：正解 0，0（配点1）
＜問題要旨＞
R(x) ＝ mx ＋ n としたときの m, n を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 1 ＋ √2 i を代入し、実部と虚部をそれぞれ 0 とおきます（m, n は実数）。
m(1 ＋ √2 i) ＋ n ＝ 0 (m ＋ n) ＋ √2 m i ＝ 0 m, n は実数なので 実部： m ＋ n ＝ 0 虚部： √2 m ＝ 0 m ＝ 0、n ＝ 0
よって オ＝0、カ＝0。
キ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
m ＝ n ＝ 0 から言えることを選びます。
＜考え方＞
R(x) ＝ mx ＋ n に m ＝ n ＝ 0 を入れます。
R(x) ＝ 0・x ＋ 0 ＝ 0 よって P(x) ＝ S(x)Q(x) S(1 − √2 i) ＝ 0 なので P(1 − √2 i) ＝ 0 × Q(1 − √2 i) ＝ 0
よって キ＝③（R(x) ＝ 0）。
ク，ケ，コ：正解 3，8，7（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 3x⁴ ＋ 2x³ ＋ kx ＋ ℓ を S(x) ＝ x² − 2x ＋ 3 で割った商 Q(x) を求めます。
＜考え方＞
x³ の項が抜けている（係数 0）ことに注意して筆算します。
3x⁴ ＋ 2x³ ＋ 0x² ＋ kx ＋ ℓ ÷ (x² − 2x ＋ 3) 3x² を立てる → 3x⁴ − 6x³ ＋ 9x² 残り： 8x³ − 9x² ＋ kx ＋ ℓ 8x を立てる → 8x³ − 16x² ＋ 24x 残り： 7x² ＋ (k − 24)x ＋ ℓ 7 を立てる → 7x² − 14x ＋ 21 残り： (k − 10)x ＋ (ℓ − 21) Q(x) ＝ 3x² ＋ 8x ＋ 7
よって ク＝3、ケ＝8、コ＝7。
サシ，スセ：正解 10，21（配点2）
＜問題要旨＞
同じ割り算の余り R(x) を求めます。
＜考え方＞
上の筆算の最後に残った式です。
R(x) ＝ (k − 10)x ＋ ℓ − 21
よって サシ＝10、スセ＝21。
ソタ，チツ：正解 10，21（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 0 が 1 ＋ √2 i を解にもつときの k, ℓ を求めます。
＜考え方＞
(1)より、このとき R(x) ＝ 0 になります。
R(x) ＝ (k − 10)x ＋ (ℓ − 21) ＝ 0 x についての恒等式なので k − 10 ＝ 0 → k ＝ 10 ℓ − 21 ＝ 0 → ℓ ＝ 21
よって ソタ＝10、チツ＝21。
テ−√ト i：正解 1−√2 i（配点1）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 0 の 1 ＋ √2 i 以外の解のうち、S(x) ＝ 0 から出るものを求めます。
＜考え方＞
R(x) ＝ 0 なので P(x) ＝ S(x)Q(x) と因数分解できています。
P(x) ＝ (x² − 2x ＋ 3)(3x² ＋ 8x ＋ 7) x² − 2x ＋ 3 ＝ 0 の解は x ＝ 1 ± √2 i 1 ＋ √2 i 以外は 1 − √2 i
よって テ＝1、ト＝2。
(−ナ±√ニ i)／ヌ：正解 (−4±√5 i)／3（配点2）
＜問題要旨＞
残りの２解を求めます。
＜考え方＞
3x² ＋ 8x ＋ 7 ＝ 0 を解の公式で解きます。
x ＝ (−8 ± √(64 − 4・3・7))/(2・3) ＝ (−8 ± √(64 − 84))/6 ＝ (−8 ± √(−20))/6 ＝ (−8 ± 2√5 i)/6 ＝ (−4 ± √5 i)/3
よって ナ＝4、ニ＝5、ヌ＝3。
第１問 〔２〕 対数（常用対数表とスポーツドリンクの売り上げ予測）
売り上げ本数そのものは直線に乗らないが、対数をとると直線に乗る——という現象を扱う設問です。常用対数表の引き方と、log の式を N ＝ … の形に戻す操作が要になります。
ネ：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
log₁₀285 を log₁₀2.85 ＝ 0.4548 を使って求めます。
＜考え方＞
285 を 2.85 × 100 に分けます。
log₁₀285 ＝ log₁₀(2.85 × 100)
＝ log₁₀2.85 ＋ log₁₀10²
＝ 0.4548 ＋ 2
＝ 2.4548
小数第4位を四捨五入して p₁ ＝ 2.455
よって ネ＝2。
ノ．ハヒフ：正解 2．566（配点3）
＜問題要旨＞
log₁₀368 の小数第4位を四捨五入した p₂ を求めます。
＜考え方＞
同じく 3.68 × 100 に分け、常用対数表から log₁₀3.68 を読みます。
常用対数表より log₁₀3.68 ＝ 0.5658 log₁₀368 ＝ 0.5658 ＋ 2 ＝ 2.5658 小数第4位を四捨五入して p₂ ＝ 2.566
よって ノ＝2、ハヒフ＝566。
ヘ：正解 ②（配点4）
＜問題要旨＞
点 (x, log₁₀N) が直線 y ＝ k(x − 22) ＋ p₁ 上にあるときの、x と N の関係式を選びます。
＜考え方＞
log の式を「N ＝ …」の形に戻すだけです。
log₁₀N ＝ k(x − 22) ＋ p₁
対数の定義（log₁₀N ＝ a ⟺ N ＝ 10ᵃ）より
N ＝ 10^{k(x−22)＋p₁}
よって ヘ＝②。
ホ：正解 ⑤（配点4）
＜問題要旨＞
最高気温 32 ℃ の日の売り上げ本数の範囲を選びます。
＜考え方＞
まず k を求め、x ＝ 32 を代入して log₁₀N を出し、常用対数表を逆に引きます。
k ＝ (p₂ − p₁)/(25 − 22)
＝ (2.566 − 2.455)/3
＝ 0.111/3 ＝ 0.037
x ＝ 32 のとき
log₁₀N ＝ 0.037 × (32 − 22) ＋ 2.455
＝ 0.37 ＋ 2.455
＝ 2.825
N ＝ 10^2.825 ＝ 10² × 10^0.825
常用対数表で 0.825 に近いのは
log₁₀6.68 ＝ 0.8248
N ≒ 100 × 6.68 ＝ 668
→ 660 以上 670 未満
よって ホ＝⑤。
第２問 〔１〕 微分（厚紙から作る箱の容積の最大）
ふたのない箱とふたのある箱で容積の最大値を比べます。(2)は同じ計算を繰り返すのではなく、W ＝ V ÷ 2 という関係に気づけば計算がゼロで済むという設計になっています。
ア／イ：正解 9／2（配点2）
＜問題要旨＞
四隅から一辺 x cm の正方形を切り取ってふたのない箱を作るとき、x のとり得る範囲の右端を求めます。
＜考え方＞
短い辺 9 cm 側が残る条件がいちばん厳しくなります。
縦（9 cm 側）に残る長さ： 9 − 2x ＞ 0 → x ＜ 9/2 横（24 cm 側）： 24 − 2x ＞ 0 → x ＜ 12 高さ： x ＞ 0 共通部分は 0 ＜ x ＜ 9/2
よって ア＝9、イ＝2。
ウ，エオ，カキク：正解 4，66，216（配点2）
＜問題要旨＞
容積 V を x の式で表します。
＜考え方＞
(縦)×(横)×(高さ) を展開します。
V ＝ x(9 − 2x)(24 − 2x) (9 − 2x)(24 − 2x) ＝ 216 − 18x − 48x ＋ 4x² ＝ 4x² − 66x ＋ 216 V ＝ 4x³ − 66x² ＋ 216x
よって ウ＝4、エオ＝66、カキク＝216。
ケ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
V が最大となる x を求めます。
＜考え方＞
V′ ＝ 0 を解き、範囲 0 ＜ x ＜ 9/2 に入る解を選びます。
V′ ＝ 12x² − 132x ＋ 216 ＝ 12(x² − 11x ＋ 18) ＝ 12(x − 2)(x − 9) 0 ＜ x ＜ 9/2 では 0 ＜ x ＜ 2 … V′ ＞ 0（増加） 2 ＜ x ＜ 9/2 … V′ ＜ 0（減少） x ＝ 2 で最大
よって ケ＝2。
コサシ：正解 200（配点2）
＜問題要旨＞
V の最大値を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 2 を代入します。
V(2) ＝ 2 × (9 − 4) × (24 − 4) ＝ 2 × 5 × 20 ＝ 200
よって コサシ＝200。
ス：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
ふたのある箱を作るとき、右側二つの切り取る長方形の横の長さを選びます。
＜考え方＞
ふたが底面をぴったり覆うには、横 24 cm をちょうど半分に使う必要があります。
左端の x cm は側面に折り上げる 底面の横の長さを a とすると ふた（＋端の側面 x）に必要な長さも a ＋ x x ＋ a ＋ (a ＋ x) ＝ 24 切り取る右側の横の長さは a ＋ x ＝ 12 （このとき底面の横は a ＝ 12 − x）
よって ス＝③（12）。
セ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
ふたのある箱の容積 W の最大値が、V の最大値の何倍かを選びます。
＜考え方＞
W を x の式で書いて V と見比べます。
W ＝ x(9 − 2x)(12 − x) ここで 24 − 2x ＝ 2(12 − x) なので V ＝ x(9 − 2x)・2(12 − x) ＝ 2W すなわち W ＝ V/2 定義域も 0 ＜ x ＜ 9/2 で同じなので W の最大値 ＝ V の最大値 ÷ 2 ＝ 100
よって セ＝④（の 1/2 倍である）。
ソ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
W が最大となる x について正しいものを選びます。
＜考え方＞
W ＝ V/2 はすべての x で成り立つので、最大を与える x も同じです。
W ＝ (1/2)V（定義域も同じ）
正の定数倍しても増減は変わらない
→ W が最大になる x は
V が最大になる x₀ ＝ 2 と一致し、ただ一つ
よって ソ＝②（ただ一つあり、その値は x₀ と等しい）。
タ：正解 ④（配点4）
＜問題要旨＞
セの関係が成り立つための、長方形についての条件を選びます。
＜考え方＞
縦 p、横 q の一般の長方形で同じ計算をしてみます。
縦 p、横 q とすると
ふたなし： V ＝ x(p − 2x)(q − 2x)
ふたあり： 切り取る横は q/2 なので
W ＝ x(p − 2x)(q/2 − x)
q − 2x ＝ 2(q/2 − x) より
V ＝ 2W すなわち W ＝ V/2
p, q の値によらず成り立つ
よって タ＝④（縦と横の長さに関係なくどのような長方形のときでも成り立つ）。
第２問 〔２〕 積分（平方数の和を定積分で表す）
1² ＋ 2² ＋ … ＋ 10² を定積分で書く、という一風変わった設問です。∫ₜ^{t+1} f(x)dx ＝ t² となる f を作り、区間をつなげるという二段構えになっています。
チ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
∫ₜ^{t+1} 1 dx の値を求めます。
＜考え方＞
幅 1 の区間で高さ 1 なので面積は 1 です。
∫ₜ^{t+1} 1 dx ＝ [x]ₜ^{t+1} ＝ (t ＋ 1) − t ＝ 1
よって チ＝1。
ツ／テ：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
∫ₜ^{t+1} x dx を t の式で表します。
＜考え方＞
原始関数 x²/2 を代入します。
[x²/2]ₜ^{t+1} ＝ ((t＋1)² − t²)/2
＝ (2t ＋ 1)/2
＝ t ＋ 1/2
よって ツ＝1、テ＝2。
ト／ナ：正解 1／3（配点1）
＜問題要旨＞
∫ₜ^{t+1} x² dx を t の式で表します。
＜考え方＞
原始関数 x³/3 を代入して展開します。
[x³/3]ₜ^{t+1} ＝ ((t＋1)³ − t³)/3
(t＋1)³ ＝ t³ ＋ 3t² ＋ 3t ＋ 1 より
＝ (3t² ＋ 3t ＋ 1)/3
＝ t² ＋ t ＋ 1/3
よって ト＝1、ナ＝3。
ニ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ ℓx² ＋ mx ＋ n としたときの ℓ を求めます。
＜考え方＞
恒等式の t² の係数を比べます。
∫ₜ^{t+1} f(x)dx
＝ ℓ(t² ＋ t ＋ 1/3) ＋ m(t ＋ 1/2) ＋ n
＝ ℓt² ＋ (ℓ ＋ m)t ＋ (1/3)ℓ ＋ (1/2)m ＋ n
これが t² と一致するので
t² の係数： ℓ ＝ 1
よって ニ＝1。
ヌネ：正解 −1（配点2）
＜問題要旨＞
同じく m を求めます。
＜考え方＞
t の係数を比べます。
t の係数： ℓ ＋ m ＝ 0 ℓ ＝ 1 より m ＝ −1
よって ヌネ＝−1。
ノ／ハ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
同じく n を求めます。
＜考え方＞
定数項を比べます。
定数項： (1/3)ℓ ＋ (1/2)m ＋ n ＝ 0 (1/3)(1) ＋ (1/2)(−1) ＋ n ＝ 0 1/3 − 1/2 ＋ n ＝ 0 n ＝ 1/2 − 1/3 ＝ 1/6
よって ノ＝1、ハ＝6。
ヒフ：正解 11（配点2）
＜問題要旨＞
1² ＋ 2² ＋ … ＋ 10² を ∫₁^□ f(x)dx と表したときの上端を求めます。
＜考え方＞
∫ₜ^{t+1} f ＝ t² を t ＝ 1, 2, …, 10 について足すと、隣り合う区間がつながります。
1² ＝ ∫₁² f(x)dx 2² ＝ ∫₂³ f(x)dx ⋮ 10² ＝ ∫₁₀¹¹ f(x)dx 辺々足すと区間が [1, 11] につながって 1² ＋ 2² ＋ … ＋ 10² ＝ ∫₁¹¹ f(x)dx
よって ヒフ＝11。
第３問 図形と方程式（円と直線の交点、弦の中点の軌跡）
円と直線の交点を、解と係数の関係で扱う設問です。中点の軌跡は「x と y の関係式を作る」という定石どおりですが、最後に範囲の限定を忘れないことが問われます。
(ア，イ)：正解 (1，0)（配点2）
＜問題要旨＞
円 C：(x − 1)² ＋ y² ＝ r² の中心の座標を求めます。
＜考え方＞
標準形から読み取ります。
(x − 1)² ＋ (y − 0)² ＝ r² 中心 (1, 0)
よって ア＝1、イ＝0。
ウ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
円 C が y 軸に接するときの r を求めます。
＜考え方＞
中心から y 軸までの距離が半径に一致します。
中心 (1, 0) から y 軸（x ＝ 0）までの距離は |1| ＝ 1 これが半径 r に等しいので r ＝ 1
よって ウ＝1。
エ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
(1 ＋ k²)x² − 2x ＋ 1 − r² ＝ 0 の２解の和 α ＋ β を求めます。
＜考え方＞
解と係数の関係 α ＋ β ＝ −(1次の係数)/(2次の係数) です。
α ＋ β ＝ −(−2)/(1 ＋ k²) ＝ 2/(1 ＋ k²)
よって エ＝⓪。
オ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
同じく積 αβ を求めます。
＜考え方＞
αβ ＝ (定数項)/(2次の係数) です。
αβ ＝ (1 − r²)/(1 ＋ k²)
よって オ＝②。
カ√キ／ク：正解 2√5／5（配点2）
＜問題要旨＞
r ＝ 2/3 のとき、円 C と直線 ℓ が共有点をもつ k の範囲を求めます。
＜考え方＞
中心と直線の距離が半径以下、という条件を使います。
ℓ： y ＝ kx すなわち kx − y ＝ 0 中心 (1, 0) との距離 ＝ |k・1 − 0|/√(k² ＋ 1) ＝ |k|/√(k² ＋ 1) これが r ＝ 2/3 以下 |k|/√(k² ＋ 1) ≦ 2/3 両辺を2乗して 9k² ≦ 4(k² ＋ 1) 5k² ≦ 4 → k² ≦ 4/5 |k| ≦ 2/√5 ＝ 2√5/5
よって カ＝2、キ＝5、ク＝5。
ケ／コ：正解 5／9（配点2）
＜問題要旨＞
円 C と直線 ℓ が接するときの接点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
接するときは２次方程式が重解をもつので、x ＝ −b/(2a) です。
(1 ＋ k²)x² − 2x ＋ 1 − r² ＝ 0 の重解は
x ＝ 2/{2(1 ＋ k²)} ＝ 1/(1 ＋ k²)
接するのは k² ＝ 4/5 のときなので
x ＝ 1/(1 ＋ 4/5) ＝ 1/(9/5) ＝ 5/9
（k の正負によらず同じ値）
よって ケ＝5、コ＝9。
サ／シ：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
中点 P(x, y) の軌跡の方程式を作り、その円の中心の x 座標を求めます。
＜考え方＞
k ＝ y/x を x ＝ 1/(1 ＋ k²) に代入して k を消去します。
x ＝ (α ＋ β)/2 ＝ 1/(1 ＋ k²) k ＝ y/x を代入して x ＝ 1/(1 ＋ y²/x²) ＝ x²/(x² ＋ y²) x(x² ＋ y²) ＝ x² x ＞ 0 なので両辺を x で割って x² ＋ y² ＝ x x² − x ＋ y² ＝ 0 (x − 1/2)² ＋ y² ＝ 1/4
よって サ＝1、シ＝2。
ス／セ：正解 1／4（配点1）
＜問題要旨＞
その円の半径の2乗を求めます。
＜考え方＞
上で平方完成した式の右辺です。
(x − 1/2)² ＋ y² ＝ 1/4 半径は 1/2、その2乗が 1/4
よって ス＝1、セ＝4。
ソ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
方程式③が表す図形 C′ がどんな円かを選びます。
＜考え方＞
中心 (1/2, 0)、半径 1/2 の円が、どの2点を直径の両端とするかを考えます。
中心 (1/2, 0)、半径 1/2 直径の両端は (1/2 − 1/2, 0) ＝ (0, 0) … 原点 (1/2 ＋ 1/2, 0) ＝ (1, 0) … 円 C の中心 （弦の中点 P では CP ⊥ OP なので、 P は OC を直径とする円上にある）
よって ソ＝⓪。
タ／チ：正解 5／9（配点2）
＜問題要旨＞
求める軌跡が C′ のうち x ＞ □ を満たす部分となる、その値を求めます。
＜考え方＞
「異なる2点で交わる」条件を k の範囲に直し、x ＝ 1/(1 ＋ k²) に反映させます。
異なる2点で交わる ⟺ |k| ＜ 2√5/5
⟺ k² ＜ 4/5
x ＝ 1/(1 ＋ k²) は k² が小さいほど大きいので
k² ＜ 4/5 のとき
x ＞ 1/(1 ＋ 4/5) ＝ 5/9
よって タ＝5、チ＝9。
ツ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
r ＝ 3（原点が円 C の内部）のとき、中点 P が動く図形を選びます。
＜考え方＞
原点が内部にあるので、どんな k でも必ず2点で交わります。
中心 (1, 0) と原点の距離は 1 半径 3 より小さいので原点は円 C の内部 → どんな k でも ℓ は C と2点で交わる 弦の中点 P では CP ⊥ OP（中心から弦への 垂線は弦を二等分する） ∠OPC ＝ 90° なので、P は線分 OC を 直径とする円上を動く OC の両端は 原点(0,0) と 円Cの中心(1,0)
よって ツ＝⓪。
第４問 三角関数（合成とグラフ、sin x の２次式への帰着）
前半は三角関数の合成とグラフの形、後半は t ＝ sin x とおいて２次関数に落とす設問です。x の係数がそろっていれば合成できるが、そろっていなければ置きかえに持ち込む——という対比が主題になっています。
ア：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
sin 3x ＋ cos 3x を合成したときの振幅（根号の中）を求めます。
＜考え方＞
a sin θ ＋ b cos θ ＝ √(a² ＋ b²) sin(θ ＋ α) です。
a ＝ 1、b ＝ 1 なので √(1² ＋ 1²) ＝ √2
よって ア＝2。
イ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
合成したときの位相のずれを求めます。
＜考え方＞
cos α ＝ a/√(a²＋b²)、sin α ＝ b/√(a²＋b²) となる α を探します。
cos α ＝ 1/√2、sin α ＝ 1/√2 α ＝ π/4 sin 3x ＋ cos 3x ＝ √2 sin(3x ＋ π/4)
よって イ＝4。
ウ：正解 ④（配点4）
＜問題要旨＞
y ＝ sin 3x ＋ cos 3x のグラフ（実線）を選びます。破線は y ＝ sin x です。
＜考え方＞
合成した式から、周期・振幅・x ＝ 0 での値の3点をチェックします。
y ＝ √2 sin(3x ＋ π/4) ① 周期： 2π/3 → 破線（y ＝ sin x、周期 2π）の 1/3 → 破線1回の間に実線は3回振動する ② 振幅： √2 ≒ 1.41 → 破線の振幅 1 より大きい ③ x ＝ 0 のとき y ＝ √2 sin(π/4) ＝ 1 ＞ 0 さらに 3x ＋ π/4 ＝ π/2 すなわち x ＝ π/12 で最初の山にくる この3つを満たすのは ④
よって ウ＝④。
エオt²+カt+1：正解 −2t²+2t+1（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ 2 sin x ＋ cos 2x を t ＝ sin x で表します。
＜考え方＞
cos 2x を sin x だけの式に直します（2倍角）。
cos 2x ＝ 1 − 2sin²x y ＝ 2 sin x ＋ 1 − 2sin²x t ＝ sin x とおくと y ＝ −2t² ＋ 2t ＋ 1
よって エオ＝−2、カ＝2。
π／キ，ク／ケπ：正解 π／6，5／6π（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ＜ 2π で y が最大となる x をすべて求めます。
＜考え方＞
まず t の２次関数として頂点を求め、その t を与える x を探します。
y ＝ −2t² ＋ 2t ＋ 1 ＝ −2(t − 1/2)² ＋ 3/2 −1 ≦ t ≦ 1 の範囲に t ＝ 1/2 が入るので t ＝ 1/2 で最大 sin x ＝ 1/2、0 ≦ x ＜ 2π より x ＝ π/6, 5π/6
よって キ＝6、ク＝5、ケ＝6。
コ／サ：正解 3／2（配点2）
＜問題要旨＞
その最大値を求めます。
＜考え方＞
平方完成した式の頂点の y 座標です。
y ＝ −2(t − 1/2)² ＋ 3/2 t ＝ 1/2 のとき y ＝ 3/2
よって コ＝3、サ＝2。
シ／スπ：正解 3／2π（配点1）
＜問題要旨＞
y が最小となる x を求めます。
＜考え方＞
上に凸なので、区間 −1 ≦ t ≦ 1 の両端で小さくなります。頂点から遠い方の端です。
t ＝ −1： y ＝ −2 − 2 ＋ 1 ＝ −3 t ＝ 1 ： y ＝ −2 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 1 最小は t ＝ −1、すなわち sin x ＝ −1 0 ≦ x ＜ 2π より x ＝ 3π/2
よって シ＝3、ス＝2。
セソ：正解 −3（配点2）
＜問題要旨＞
その最小値を求めます。
＜考え方＞
t ＝ −1 のときの値です。
y ＝ −2(−1)² ＋ 2(−1) ＋ 1 ＝ −2 − 2 ＋ 1 ＝ −3
よって セソ＝−3。
タ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
y ＝ 2 sin x ＋ cos 2x のグラフ（実線）を選びます。破線は y ＝ 2 sin x です。
＜考え方＞
(i)で求めた最大・最小の位置と値をそのまま特徴として使います。
① x ＝ 0 のとき y ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1 ＞ 0 ② 最大値 3/2 を x ＝ π/6 と x ＝ 5π/6 の <strong>2か所</strong>でとる → 山が二つ並ぶ ③ その間の x ＝ π/2 では y ＝ 2 − 1 ＝ 1 と少し下がる → 二つの山の間にくぼみ ④ 最小値 −3 を x ＝ 3π/2 でとる → 破線（最小 −2）より深い谷 「双子の山 → 深い谷」の形は ④
よって タ＝④。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。