2017年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2017年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問から第４問まですべて必答です（100点）。第１問・第２問は同年の数学Ⅱ・Bと共通の問題で、第３問（図形と方程式）と第４問（複素数と方程式）が数学Ⅱだけの出題です。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（２倍角の公式と連立方程式）
cos2α ＋ cos2β と cosα cosβ の値から cosα と cosβ を決めます。同年の数学Ⅱ・B 第１問〔１〕と同じ問題です。
アイ／ウエ：正解 17／15（配点3）
＜問題要旨＞
①の cos2α ＋ cos2β ＝ 4/15 から、cos²α ＋ cos²β の値を求めます。
＜考え方＞
2倍角の公式 cos2θ ＝ 2cos²θ − 1 を両方に当てはめて、cos² の式に直します。
cos2α ＝ 2cos²α − 1, cos2β ＝ 2cos²β − 1 ① より (2cos²α − 1) + (2cos²β − 1) ＝ 4/15 2(cos²α + cos²β) ＝ 4/15 + 2 ＝ 34/15 cos²α + cos²β ＝ 17/15 よって アイ/ウエ ＝ 17/15
オ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
②の cosα cosβ ＝ −2√15/15 から、cos²α cos²β の値を求めます。
＜考え方＞
②の両辺を2乗するだけです。分母の 15 が 15² ＝ 225 になることに注意します。
② の両辺を2乗して
cos²α cos²β ＝ (2√15/15)²
＝ 4 × 15/225
＝ 4/15
よって オ ＝ 4
カ／キ，ク／ケ：正解 4／5，1／3（配点6）
＜問題要旨＞
条件③ |cosα| ≧ |cosβ| を用いて、cos²α と cos²β の値をそれぞれ求めます。
＜考え方＞
cos²α と cos²β は、和が 17/15、積が 4/15 と分かっています。つまりこの2数を解にもつ2次方程式を作れば求まります。どちらがどちらかは③で決まります。
cos²α + cos²β ＝ 17/15, cos²α cos²β ＝ 4/15 cos²α と cos²β は次の2次方程式の2解 t² − (17/15)t + 4/15 ＝ 0 15t² − 17t + 4 ＝ 0 (5t − 4)(3t − 1) ＝ 0 t ＝ 4/5, 1/3 ③ |cosα| ≧ |cosβ| より cos²α ≧ cos²β だから cos²α ＝ 4/5, cos²β ＝ 1/3 よって カ/キ ＝ 4/5, ク/ケ ＝ 1/3
コ√サ／シ，ス√セ／ソ：正解 2√5／5，−√3／3（配点4）
＜問題要旨＞
cosα と cosβ の値を求めます。
＜考え方＞
②より cosα cosβ は負なので、2つの cos は異符号です。0 ≦ θ ≦ π の範囲で cos は減少するので、α < β なら cosα のほうが大きい、つまり cosα が正で cosβ が負と決まります。
② より cosα cosβ ＝ −2√15/15 < 0 よって cosα と cosβ は異符号 0 ≦ α ≦ π, 0 ≦ β ≦ π でこの範囲の cos は減少するから α < β ⟹ cosα > cosβ したがって cosα > 0 > cosβ cos²α ＝ 4/5 より cosα ＝ 2/√5 ＝ 2√5/5 cos²β ＝ 1/3 より cosβ ＝ −1/√3 ＝ −√3/3 よって コ√サ/シ ＝ 2√5/5, ス√セ/ソ ＝ −√3/3
第１問 〔２〕 対数（内分点と y ＝ log₂x のグラフ）
y ＝ log₂x のグラフ上の2点と定点について、内分点の条件から p、q を決めます。同年の数学Ⅱ・B 第１問〔２〕と同じ問題です。
タ：正解 0（配点2）
＜問題要旨＞
真数の条件から p と q の範囲を答えます。
＜考え方＞
log₂p、log₂q が定義されるためには、真数 p、q が正でなければなりません。
対数 log_a b では真数 b は正でなければならない B(p, log₂p), C(q, log₂q) が定義されるので p > 0, q > 0 よって タ ＝ 0
チ／ツ，(テ／ト)log₂p＋ナ：正解 1／3，(1／3)log₂p＋1（配点4）
＜問題要旨＞
線分 AB を 1：2 に内分する点の座標を、p を用いて表します。
＜考え方＞
A(0, 3/2)、B(p, log₂p) です。1：2 に内分する点は (2A ＋ 1B)/3 で計算します。y 座標では 3/2 が 2 倍されて 3 になり、3 で割ると 1 になります。
A(0, 3/2), B(p, log₂p)
線分 AB を 1：2 に内分する点は
x 座標 ＝ (2 × 0 + 1 × p)/3 ＝ p/3
y 座標 ＝ (2 × 3/2 + 1 × log₂p)/3
＝ (3 + log₂p)/3
＝ (1/3)log₂p + 1
よって チ/ツ ＝ 1/3
(テ/ト)log₂p + ナ ＝ (1/3)log₂p + 1
(ニ／ヌ)q^ネ：正解 (1／8)q³（配点3）
＜問題要旨＞
⑤の式 (1/3)log₂p ＋ 1 ＝ log₂q を、p ＝ … の形に変形します。
＜考え方＞
両辺を3倍して log₂p だけを残し、右辺を1つの対数にまとめます。3log₂q ＝ log₂q³、3 ＝ log₂8 を使います。
(1/3)log₂p + 1 ＝ log₂q
両辺を3倍して
log₂p + 3 ＝ 3log₂q
log₂p ＝ 3log₂q − 3
＝ log₂q³ − log₂8
＝ log₂(q³/8)
よって p ＝ q³/8 ＝ (1/8)q³
（ニ/ヌ）q^ネ ＝ (1/8)q³
ノ√ハ，ヒ√フ：正解 6√6，2√6（配点4）
＜問題要旨＞
④と⑥を連立させて、p と q の値を求めます。
＜考え方＞
④は p ＝ 3q、⑥は p ＝ q³/8 です。2つを等しいとおくと q の3次方程式になりますが、q > 0 なので q で割れて2次方程式になります。
④ (1/3)p ＝ q より p ＝ 3q ⑥ p ＝ q³/8 よって 3q ＝ q³/8 24q ＝ q³ q(q² − 24) ＝ 0 q > 0 だから q² ＝ 24 q ＝ 2√6 p ＝ 3q ＝ 6√6 よって ノ√ハ ＝ 6√6, ヒ√フ ＝ 2√6
ヘ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
C の y 座標 log₂(2√6) の値を、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めます。
＜考え方＞
log₂(2√6) を log₂2 と log₂6 に分け、log₂3 を常用対数の比 log₁₀3 ÷ log₁₀2 で計算します。与えられた値 log₁₀2 ＝ 0.3010、log₁₀3 ＝ 0.4771 を使います（log₁₀7 は使いません）。
log₂(2√6) ＝ log₂2 + log₂√6
＝ 1 + (1/2)log₂6
＝ 1 + (1/2)(log₂2 + log₂3)
＝ 1 + (1/2)(1 + log₂3)
log₂3 ＝ log₁₀3 ÷ log₁₀2
＝ 0.4771 ÷ 0.3010
＝ 1.585…
log₂(2√6) ＝ 1 + (1/2)(1 + 1.585)
＝ 1 + 1.2925…
＝ 2.2925…
小数第2位を四捨五入して 2.3
よって ヘ ＝ ⑥
第２問 微分・積分（放物線の接線と、囲まれた図形の面積）
放物線とその外の点から引いた接線を扱い、三角形の面積の最大値と、接線と放物線が囲む部分の面積の増減を調べます。同年の数学Ⅱ・B 第２問と同じ問題です。
ア，イ：正解 2，1（配点3）
＜問題要旨＞
放物線 C：y ＝ x² ＋ 1 上の点 (t, t² ＋ 1) における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
y′ ＝ 2x なので接線の傾きは 2t です。点と傾きから直線の式を作り、整理します。
y′ ＝ 2x より、点 (t, t² + 1) での接線の傾きは 2t y − (t² + 1) ＝ 2t(x − t) y ＝ 2tx − 2t² + t² + 1 y ＝ 2tx − t² + 1 よって ア ＝ 2, イ ＝ 1
ウ，エ，オ：正解 2，2，1（配点2）
＜問題要旨＞
接線が点 P(a, 2a) を通るとき、t が満たす方程式を求めます。
＜考え方＞
接線の式に x ＝ a、y ＝ 2a を代入して、t について整理します。
y ＝ 2tx − t² + 1 に (a, 2a) を代入して 2a ＝ 2ta − t² + 1 t について整理すると t² − 2at + 2a − 1 ＝ 0 よって ウ ＝ 2, エ ＝ 2, オ ＝ 1
カa−キ，ク：正解 2a−1，1（配点2）
＜問題要旨＞
上の2次方程式を解いて t を求めます。
＜考え方＞
判別式を計算すると (a − 1)² という完全平方になるので、平方根がきれいに外れます。
t² − 2at + (2a − 1) ＝ 0 判別式/4 ＝ a² − (2a − 1) ＝ a² − 2a + 1 ＝ (a − 1)² t ＝ a ± (a − 1) t ＝ 2a − 1 または t ＝ 1 よって カa − キ ＝ 2a − 1, ク ＝ 1
ケ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
P を通る C の接線が2本あるための a の条件を求めます。
＜考え方＞
2つの解 t ＝ 2a − 1 と t ＝ 1 が異なるとき、接点が2つあるので接線も2本になります。
接線が2本 ⟺ 2つの t が異なる 2a − 1 ≠ 1 2a ≠ 2 a ≠ 1 よって ケ ＝ 1
(コa−サ)x−シa²＋スa：正解 (4a−2)x−4a²＋4a（配点2）
＜問題要旨＞
t ＝ 2a − 1 に対応する接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
接線の式 y ＝ 2tx − t² ＋ 1 に t ＝ 2a − 1 を代入して展開します。定数項で 1 が打ち消し合います。
y ＝ 2tx − t² + 1 に t ＝ 2a − 1 を代入 y ＝ 2(2a − 1)x − (2a − 1)² + 1 ＝ (4a − 2)x − (4a² − 4a + 1) + 1 ＝ (4a − 2)x − 4a² + 4a よって (コa − サ)x − シa² + スa ＝ (4a − 2)x − 4a² + 4a
セ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
t ＝ 1 に対応する接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
同じ式に t ＝ 1 を代入します。定数項が消えて、原点を通る直線になります。
y ＝ 2tx − t² + 1 に t ＝ 1 を代入 y ＝ 2x − 1 + 1 ＝ 2x よって セ ＝ 2
ソ＜a＜タ：正解 0＜a＜1（配点2）
＜問題要旨＞
直線 ℓ と y 軸の交点を R(0, r) とするとき、r > 0 となる a の範囲を求めます。
＜考え方＞
ℓ の式で x ＝ 0 とおくと r ＝ −4a² ＋ 4a です。これが正になる範囲を、因数分解して求めます。
ℓ : y ＝ (4a − 2)x − 4a² + 4a
x ＝ 0 とおいて
r ＝ −4a² + 4a
r > 0 ⟺ −4a² + 4a > 0
⟺ 4a(1 − a) > 0
⟺ 0 < a < 1
よって ソ < a < タ は 0 < a < 1
チ(a^ツ−a^テ)：正解 2(a²−a³)（配点3）
＜問題要旨＞
三角形 OPR の面積 S を a の式で表します。
＜考え方＞
O と R はどちらも y 軸上にあるので、OR を底辺とみると高さは P の x 座標 a です。0 < a < 1 なので絶対値を外せます。
O(0, 0), R(0, r), P(a, 2a) OR ＝ r ＝ −4a² + 4a を底辺とみると 高さは P の x 座標 a（0 < a < 1 より正） S ＝ (1/2) × (−4a² + 4a) × a ＝ (1/2)(−4a³ + 4a²) ＝ −2a³ + 2a² ＝ 2(a² − a³) よって チ(a^ツ − a^テ) ＝ 2(a² − a³)
ト／ナ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
0 < a < 1 の範囲で S が最大になる a の値を求めます。
＜考え方＞
S を a で微分して増減を調べます。S′ ＝ 0 となる a のうち、範囲の中にあるものが答えです。
S ＝ −2a³ + 2a² S′ ＝ −6a² + 4a ＝ −2a(3a − 2) S′ ＝ 0 となるのは a ＝ 0, 2/3 0 < a < 1 で 0 < a < 2/3 のとき S′ > 0（増加） 2/3 < a < 1 のとき S′ < 0（減少） よって a ＝ 2/3 で最大 ト/ナ ＝ 2/3
ニ／ヌネ：正解 8／27（配点3）
＜問題要旨＞
そのときの S の最大値を求めます。
＜考え方＞
a ＝ 2/3 を S の式に代入します。分母が 27 になるので通分に注意します。
S ＝ 2(a² − a³) に a ＝ 2/3 を代入 a² ＝ 4/9 ＝ 12/27, a³ ＝ 8/27 S ＝ 2(12/27 − 8/27) ＝ 2 × 4/27 ＝ 8/27 よって ニ/ヌネ ＝ 8/27
(ノ／ハ)a³−ヒa²＋フ：正解 (7／3)a³−3a²＋a（配点4）
＜問題要旨＞
放物線 C と直線 ℓ、2直線 x ＝ 0、x ＝ a で囲まれた図形の面積 T を求めます。
＜考え方＞
ℓ は C の接線（接点は x ＝ 2a − 1）なので、C − ℓ は完全平方 (x − (2a − 1))² になります。この形のまま積分するのが最短です。
C − ℓ ＝ (x² + 1) − {(4a − 2)x − 4a² + 4a}
＝ x² − 2(2a − 1)x + (2a − 1)²
＝ (x − (2a − 1))²
T ＝ ∫₀^a (x − (2a − 1))² dx
＝ [ (x − (2a − 1))³/3 ]₀^a
＝ {(1 − a)³ + (2a − 1)³}/3
(1 − a)³ ＝ 1 − 3a + 3a² − a³
(2a − 1)³ ＝ 8a³ − 12a² + 6a − 1
和 ＝ 7a³ − 9a² + 3a
T ＝ (7a³ − 9a² + 3a)/3
＝ (7/3)a³ − 3a² + a
よって (ノ/ハ)a³ − ヒa² + フ ＝ (7/3)a³ − 3a² + a
ヘ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
2/3 ≦ a < 1 の範囲で T がどう変化するかを選びます。
＜考え方＞
T を微分して T′ の符号を調べます。T′ ＝ 0 の解と 2/3 の大小を比べるのがポイントで、√2 ＝ 1.41… を使えば範囲の外にあることが分かります。
T ＝ (7/3)a³ − 3a² + a T′ ＝ 7a² − 6a + 1 T′ ＝ 0 の解は a ＝ (3 ± √2)/7 √2 ＝ 1.41… だから (3 + √2)/7 ＝ 4.41…/7 ＝ 0.63… 2/3 ＝ 0.666… > 0.63… だから 2/3 ≦ a < 1 では T′ > 0 よって T は増加する ヘ ＝ ②
第３問 図形と方程式（円と直線、面積が一定の点の軌跡）
A(0, 3)、B(8, 9) という2点から出発し、直線・線分の長さ・円・接線と順に扱います。後半は「三角形 ABP の面積が20」という条件を「AB からの距離が4」と読み替えるのがポイントで、最後は直角三角形になる点を数え上げます。
ア／イ，ウ：正解 3／4，3（配点2）
＜問題要旨＞
2点 A(0, 3)、B(8, 9) を通る直線の方程式を求めます。
＜考え方＞
傾きは y の増加量 ÷ x の増加量です。A の x 座標が 0 なので、切片は A の y 座標そのものになります。
傾き ＝ (9 − 3)/(8 − 0) ＝ 6/8 ＝ 3/4 A(0, 3) を通るから切片は 3 y ＝ (3/4)x + 3 よって ア/イ ＝ 3/4, ウ ＝ 3
エオ：正解 10（配点2）
＜問題要旨＞
線分 AB の長さを求めます。
＜考え方＞
x 方向に8、y 方向に6 なので、3：4：5 の直角三角形の2倍です。
AB ＝ √{(8 − 0)² + (9 − 3)²}
＝ √(64 + 36)
＝ √100 ＝ 10
よって エオ ＝ 10
カ，キ，クケ：正解 4，6，25（配点2）
＜問題要旨＞
線分 AB を直径とする円 C の方程式を求めます。
＜考え方＞
直径の両端が分かっているので、中心は AB の中点、半径は AB の半分です。
中心 ＝ AB の中点 ＝ ((0 + 8)/2, (3 + 9)/2) ＝ (4, 6) 半径 ＝ AB/2 ＝ 10/2 ＝ 5 (x − 4)² + (y − 6)² ＝ 25 よって カ ＝ 4, キ ＝ 6, クケ ＝ 25
コサ／シ，ス：正解 −4／3，3（配点3）
＜問題要旨＞
点 A における円 C の接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
円の接線は、接点と中心を結ぶ半径に垂直です。半径 AC の傾きが 3/4 なので、接線の傾きはその逆数の符号を変えた −4/3 になります。
半径 AC の傾き ＝ (6 − 3)/(4 − 0) ＝ 3/4 接線は半径に垂直だから傾きは −4/3 A(0, 3) を通るので y ＝ −(4/3)x + 3 よって コサ/シ ＝ −4/3, ス ＝ 3
セ／ソ，タ，チ：正解 3／4，8，2（配点4）
＜問題要旨＞
三角形 ABP の面積が 20 である点 P の軌跡（2直線）を求めます。
＜考え方＞
AB ＝ 10 なので、面積20 は「P から直線 AB までの距離が4」と同じことです。点と直線の距離の公式を使い、絶対値を外すときに ± の2通りが出ます。
(1/2) × AB × d ＝ 20, AB ＝ 10 よって d ＝ 4 直線 AB は 3x − 4y + 12 ＝ 0 点 P(x, y) との距離が4だから |3x − 4y + 12|/√(3² + 4²) ＝ 4 |3x − 4y + 12| ＝ 20 3x − 4y + 12 ＝ 20 → y ＝ (3/4)x − 2 3x − 4y + 12 ＝ −20 → y ＝ (3/4)x + 8 よって セ/ソ ＝ 3/4, タ ＝ 8, チ ＝ 2
ツテト／ナ：正解 −12／5（配点2）
＜問題要旨＞
直線①（A における接線）と直線②の交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
2式を等しいとおきます。分母をはらうため両辺を12倍すると計算が楽です。
① y ＝ −(4/3)x + 3 ② y ＝ (3/4)x + 8 −(4/3)x + 3 ＝ (3/4)x + 8 両辺を12倍して −16x + 36 ＝ 9x + 96 −25x ＝ 60 x ＝ −12/5 よって ツテト/ナ ＝ −12/5
ニ，ヌネ／ノ：正解 4，−4／5（配点2）
＜問題要旨＞
円 C と直線②の交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
円の方程式に②を代入して x の2次方程式にします。分数が出るので、両辺を適当な数倍して整数係数に直すと因数分解しやすくなります。
(x − 4)² + (y − 6)² ＝ 25 に y ＝ (3/4)x + 8 を代入 (x − 4)² + ((3/4)x + 2)² ＝ 25 x² − 8x + 16 + (9/16)x² + 3x + 4 ＝ 25 (25/16)x² − 5x − 5 ＝ 0 両辺を 16/5 倍して 5x² − 16x − 16 ＝ 0 (5x + 4)(x − 4) ＝ 0 x ＝ 4, −4/5 よって ニ ＝ 4, ヌネ/ノ ＝ −4/5
ハ：正解 8（配点3）
＜問題要旨＞
三角形 ABP の面積が20で、かつ直角三角形になる点 P の個数を求めます。
＜考え方＞
P は(4)で求めた2直線上にあります。直角になるのは ∠A、∠B、∠P のいずれかで、∠P ＝ 90° のときは P が円 C 上にあります。それぞれの図形と2直線の交点を数えます。
P は2直線 y ＝ (3/4)x + 8, y ＝ (3/4)x − 2 上にある [∠A ＝ 90°] P は A を通り AB に垂直な直線（＝直線①）上 傾き −4/3 は 3/4 と異なるので、2直線それぞれと1点ずつ交わる … 2個 [∠B ＝ 90°] P は B を通り AB に垂直な直線上 同様に … 2個 [∠P ＝ 90°] P は AB を直径とする円 C 上 円 C と y ＝ (3/4)x + 8 の交点 … 2個（x ＝ 4, −4/5） 円 C と y ＝ (3/4)x − 2 の交点 … 2個（x ＝ 4, 44/5） … 4個 これら8点はすべて異なる よって ハ ＝ 8
第４問 複素数と方程式（割り切れる条件と、複素数の累乗）
(1) は4次式が2次式で割り切れる条件から商を決める設問で、割り算の形に代入するのが要領です。(2) は α ＝ c ＋ (1/c)i という複素数を2次方程式の解として扱い、実部と虚部をそれぞれ 0 とおきます。最後は二項定理と相加平均・相乗平均の関係を組み合わせます。
ア，イ：正解 6，5（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) を x² − 2x ＋ 3 で割った商を S(x) とするとき、S(1) と S(2) の値を求めます。
＜考え方＞
P(x) ＝ (x² − 2x ＋ 3)S(x) と書けるので、x ＝ 1、2 を代入します。かっこの中の値がそれぞれ 2、3 と小さくなるのがポイントです。
P(x) ＝ (x² − 2x + 3)S(x) x ＝ 1 のとき P(1) ＝ (1 − 2 + 3)S(1) ＝ 2S(1) ＝ 12 S(1) ＝ 6 x ＝ 2 のとき P(2) ＝ (4 − 4 + 3)S(2) ＝ 3S(2) ＝ 15 S(2) ＝ 5 よって ア ＝ 6, イ ＝ 5
ウエ，オ：正解 −4，9（配点2）
＜問題要旨＞
S(x) ＝ x² ＋ mx ＋ n の m と n を求めます。
＜考え方＞
S(1) ＝ 6、S(2) ＝ 5 を代入して連立方程式を解きます。
S(1) ＝ 1 + m + n ＝ 6 → m + n ＝ 5 S(2) ＝ 4 + 2m + n ＝ 5 → 2m + n ＝ 1 辺々引いて m ＝ 1 − 5 ＝ −4 n ＝ 5 − (−4) ＝ 9 よって ウエ ＝ −4, オ ＝ 9
カ±√キ i：正解 2±√5 i（配点2）
＜問題要旨＞
方程式 S(x) ＝ 0 の解を求めます。
＜考え方＞
S(x) ＝ x² − 4x ＋ 9 に解の公式を当てはめます。判別式が負なので虚数解になります。
x² − 4x + 9 ＝ 0 x ＝ (4 ± √(16 − 36))/2 ＝ (4 ± √(−20))/2 ＝ (4 ± 2√5 i)/2 ＝ 2 ± √5 i よって カ ± √キ i ＝ 2 ± √5 i
クケ，コ，サ：正解 −1，c，2（配点3）
＜問題要旨＞
Q(x) ＝ x² ＋ kx ＋ ℓ に α ＝ c ＋ (1/c)i を代入した式を、実部と虚部に分けて表します。
＜考え方＞
まず α² を計算します。i² ＝ −1 なので (1/c)² の項の符号が変わり、−1/c² が現れます。
α² ＝ (c + (1/c)i)² ＝ c² + 2c × (1/c)i + (1/c²)i² ＝ c² + 2i − 1/c² Q(α) ＝ α² + kα + ℓ ＝ (c² − 1/c²) + 2i + k(c + (1/c)i) + ℓ ＝ (−1/c² + c² + ck + ℓ) + (2 + k/c)i よって クケ ＝ −1, コ ＝ c, サ ＝ 2
シスセ：正解 −2c（配点1）
＜問題要旨＞
k を c を用いて表します。
＜考え方＞
k と ℓ は実数、c も実数なので、Q(α) ＝ 0 となるには実部と虚部がともに 0 でなければなりません。虚部の式から k が決まります。
Q(α) ＝ 0 で k, ℓ, c は実数だから 虚部 ＝ 0 2 + k/c ＝ 0 k ＝ −2c よって シスセ ＝ −2c
c^ソ＋タ：正解 c⁴＋1（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ を c を用いて表します。
＜考え方＞
実部を 0 とおき、k ＝ −2c を代入します。最後に分母を c² にそろえます。
実部 ＝ 0 より −1/c² + c² + ck + ℓ ＝ 0 k ＝ −2c を代入して −1/c² + c² − 2c² + ℓ ＝ 0 ℓ ＝ c² + 1/c² 分母をそろえて ℓ ＝ (c⁴ + 1)/c² よって c^ソ + タ ＝ c⁴ + 1
チ，ツ：正解 ⓐ，④（配点4）
＜問題要旨＞
二項定理を用いて α⁴ の実部と虚部を求め、選択肢から選びます。
＜考え方＞
(c ＋ (1/c)i)⁴ を二項定理で展開します。i の累乗は i² ＝ −1、i³ ＝ −i、i⁴ ＝ 1 と変わるので、項ごとに符号を確かめます。
α⁴ ＝ (c + (1/c)i)⁴ 二項定理で展開すると c⁴ + 4c³(1/c)i ＝ 4c² i + 6c²(1/c²)i² ＝ −6 + 4c(1/c³)i³ ＝ −(4/c²)i + (1/c⁴)i⁴ ＝ 1/c⁴ 実部 ＝ c⁴ + 1/c⁴ − 6 虚部 ＝ 4c² − 4/c² ＝ 4(c² − 1/c²) よって チ ＝ ⓐ, ツ ＝ ④
テ，トナ：正解 1，−4（配点2）
＜問題要旨＞
c > 0 の範囲で α⁴ の実部が最小になる c と、その最小値を求めます。
＜考え方＞
c⁴ と 1/c⁴ は正で積が 1 なので、相加平均と相乗平均の関係から和は 2 以上です。等号成立は2つが等しいときです。
c > 0 より c⁴ > 0, 1/c⁴ > 0 相加平均と相乗平均の関係から c⁴ + 1/c⁴ ≧ 2√(c⁴ × 1/c⁴) ＝ 2 等号は c⁴ ＝ 1/c⁴ すなわち c ＝ 1 のとき 実部の最小値 ＝ 2 − 6 ＝ −4 よって テ ＝ 1, トナ ＝ −4
ニヌ，ネ：正解 −2，2（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの k と ℓ の値を求めます。
＜考え方＞
c ＝ 1 を k ＝ −2c と ℓ ＝ c² ＋ 1/c² に代入するだけです。
c ＝ 1 のとき k ＝ −2c ＝ −2 ℓ ＝ c² + 1/c² ＝ 1 + 1 ＝ 2 よって ニヌ ＝ −2, ネ ＝ 2
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。