2020年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2020年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（合成と、解と係数の関係）
(1) は加法定理で展開してから合成し直すという二段構えです。(2) は sinθ と cosθ を２次方程式の解とみなす設問で、sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 が「和と積の関係」に変わるところが山場になります。
√ア／イ，ウ：正解 √3／2，3（配点2）
＜問題要旨＞
√3 cos(θ − π/3) を加法定理で展開します。
＜考え方＞
cos(π/3) ＝ 1/2, sin(π/3) ＝ √3/2 を代入して整理します。
√3 cos(θ − π/3) = √3 (cosθ cos(π/3) + sinθ sin(π/3)) = √3 ( (1/2)cosθ + (√3/2)sinθ ) = (√3/2) cosθ + (3/2) sinθ
sin(θ＋π／エ)：正解 sin(θ＋π／3)（配点2）
＜問題要旨＞
① sinθ ＞ √3 cos(θ − π/3) を合成した形に変形します。
＜考え方＞
展開した式を移項すると sinθ の係数が 1 − 3/2 ＝ −1/2 になります。全体を整理すると、ちょうど sin(θ ＋ π/3) の形が現れます。
sinθ − { (√3/2)cosθ + (3/2)sinθ } > 0
−(1/2)sinθ − (√3/2)cosθ > 0
(1/2)sinθ + (√3/2)cosθ < 0
sinθ cos(π/3) + cosθ sin(π/3) < 0
sin(θ + π/3) < 0
オ／カ，キ／ク：正解 2／3，5／3（配点3）
＜問題要旨＞
①を満たす θ の範囲を求めます。
＜考え方＞
0 ≦ θ ＜ 2π なので θ ＋ π/3 の動く範囲を出し、その中で sin が負になる区間を取ります。
0 ≦ θ < 2π → π/3 ≦ θ + π/3 < 2π + π/3 この範囲で sin(θ + π/3) < 0 となるのは π < θ + π/3 < 2π θ について解いて (2/3)π < θ < (5/3)π
ケコ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
sinθ と cosθ が 25x² − 35x ＋ k ＝ 0 の解であるときの k を求めます。
＜考え方＞
解と係数の関係で和と積を書き出し、sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 を「和の 2 乗 − 2×積」の形で使います。
sinθ + cosθ = 35/25 = 7/5 sinθ cosθ = k/25 (sinθ + cosθ)² = 1 + 2 sinθ cosθ (7/5)² = 1 + 2k/25 49/25 − 1 = 2k/25 24/25 = 2k/25 k = 12
サ／シ：正解 4／5（配点2）
＜問題要旨＞
さらに sinθ ≧ cosθ のときの sinθ を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 12 を代入した２次方程式を解き、大きい方が sinθ です。
25x² − 35x + 12 = 0 x = (35 ± √(1225 − 1200)) / 50 = (35 ± 5)/50 x = 4/5, 3/5 sinθ ≧ cosθ より sinθ = 4/5
ス／セ：正解 3／5（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの cosθ を求めます。
＜考え方＞
残った方の解が cosθ です。0 ≦ θ ≦ π/2 なのでどちらも正で、矛盾しません。
ソ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
そのとき θ が属する範囲を選びます。
＜考え方＞
sinθ ＝ 0.8 の θ を、値のわかる角と比べて挟みます。sin は 0 ≦ θ ≦ π/2 で単調に増加します。
sin(π/4) = √2/2 ≒ 0.707 sinθ = 4/5 = 0.8 sin(π/3) = √3/2 ≒ 0.866 0.707 < 0.8 < 0.866 なので π/4 ≦ θ < π/3
第１問 〔２〕 指数・対数（対称式と、連立不等式の整数解）
(1) は t^(1/3) と t^(−1/3) を２文字とみた対称式の問題です。積が 1 になることを使うと、３乗の差の因数分解が一気に片づきます。(2) は対数を X, Y に置き換えて、ただの１次不等式の領域問題に翻訳する設問です。
タチ：正解 11（配点3）
＜問題要旨＞
t^(1/3) − t^(−1/3) ＝ −3 のとき t^(2/3) ＋ t^(−2/3) を求めます。
＜考え方＞
a ＝ t^(1/3), b ＝ t^(−1/3) とおくと ab ＝ 1 です。与式を 2 乗します。
(a − b)² = a² − 2ab + b² = a² + b² − 2 (−3)² = a² + b² − 2 a² + b² = 11 すなわち t^(2/3) + t^(−2/3) = 11
√ツテ：正解 √13（配点2）
＜問題要旨＞
t^(1/3) ＋ t^(−1/3) の値を求めます。
＜考え方＞
和の 2 乗は、差の 2 乗に 4ab を足したものです。t ＞ 0 なので a ＋ b ＞ 0 に注意します。
(a + b)² = a² + b² + 2ab = 11 + 2 = 13 a > 0, b > 0 より a + b > 0 a + b = √13
トナニ：正解 −36（配点2）
＜問題要旨＞
t − t^(−1) の値を求めます。
＜考え方＞
これは a³ − b³ です。３乗の差の因数分解 a³ − b³ ＝ (a − b)(a² ＋ ab ＋ b²) を使います。
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) a² + b² = 11, ab = 1 より a² + ab + b² = 12 a − b = −3 t − t⁻¹ = (−3) × 12 = −36
ヌX＋Y≦ネノ：正解 2X＋Y≦10（配点2）
＜問題要旨＞
② log₃(x√y) ≦ 5 を X ＝ log₃x, Y ＝ log₃y で表します。
＜考え方＞
積の対数は和、√y は y の 1/2 乗なので係数 1/2 が出ます。最後に分母を払います。
log₃(x√y) = log₃x + (1/2)log₃y = X + Y/2 ≦ 5 両辺を 2 倍して 2X + Y ≦ 10
ハX−Y≧ヒフ：正解 3X−Y≧−4（配点2）
＜問題要旨＞
③ log₈₁(y/x³) ≦ 1 を同じく X, Y で表します。
＜考え方＞
底 81 は 3⁴ なので、底の変換で 1/4 が出ます。不等号の向きは変わりません。
log₈₁(y/x³) = (1/4) log₃(y/x³) = (1/4)(Y − 3X) ≦ 1 Y − 3X ≦ 4 両辺に −1 を掛けて 3X − Y ≧ −4
ヘ：正解 7（配点2）
＜問題要旨＞
④ と ⑤ を満たすとき、Y のとり得る最大の整数の値を求めます。
＜考え方＞
X を消去します。２つの不等式をそれぞれ X について解き、その両方を満たす X が存在する条件を書きます。
④ 2X + Y ≦ 10 → X ≦ (10 − Y)/2 ⑤ 3X − Y ≧ −4 → X ≧ (Y − 4)/3 このような X が存在する条件は (Y − 4)/3 ≦ (10 − Y)/2 2(Y − 4) ≦ 3(10 − Y) 2Y − 8 ≦ 30 − 3Y 5Y ≦ 38 → Y ≦ 7.6 最大の整数は Y = 7
ホ：正解 5（配点2）
＜問題要旨＞
さらに log₃y ＝ 7 のとき、x のとり得る最大の整数の値を求めます。
＜考え方＞
Y ＝ 7 を２つの不等式に入れて X の範囲を出し、x ＝ 3^X に戻します。
Y = 7 のとき ④ 2X + 7 ≦ 10 → X ≦ 3/2 ⑤ 3X − 7 ≧ −4 → X ≧ 1 1 ≦ X ≦ 3/2、すなわち 1 ≦ log₃x ≦ 1.5 3 ≦ x ≦ 3^1.5 = 3√3 ≒ 5.196 最大の整数は x = 5
第２問 (1) 微分（２つの放物線に共通な接線）
２つの放物線に共通な接線を、それぞれの接点をパラメータで置いて「同じ直線になる」と連立する定番の解法です。傾きと切片の２式から t と s が決まり、最後は驚くほど簡単な y ＝ 2x ＋ 1 に落ち着きます。
アt＋イ：正解 2t＋2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ が C：y ＝ x² ＋ 2x ＋ 1 と点 (t, t²＋2t＋1) で接するときの、ℓ の傾きを求めます。
＜考え方＞
C を微分して x ＝ t を代入するだけです。
y' = 2x + 2 → 傾き = 2t + 2
ウ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの ℓ の方程式の定数項を求めます。
＜考え方＞
接点を通る直線の式を立てて展開します。
y = (2t + 2)(x − t) + t² + 2t + 1 = (2t + 2)x − 2t² − 2t + t² + 2t + 1 = (2t + 2)x − t² + 1
エs−オa＋カ：正解 2s−4a＋2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ が D：y ＝ f(x) と点 (s, f(s)) で接するときの傾きを求めます。
＜考え方＞
f(x) ＝ x² − (4a−2)x ＋ 4a² ＋ 1 を微分して x ＝ s を代入します。
f'(x) = 2x − (4a − 2) 傾き = 2s − 4a + 2
キa²＋ク：正解 4a²＋1（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの ℓ の方程式の定数項を求めます。
＜考え方＞
同じく接点を通る直線の式を展開します。s の 1 次の項がきれいに消えます。
y = (2s − 4a + 2)(x − s) + f(s)
= (2s − 4a + 2)x − 2s² + 4as − 2s
+ s² − (4a − 2)s + 4a² + 1
= (2s − 4a + 2)x − s² + 4a² + 1
ケ，コ：正解 0，2（配点3）
＜問題要旨＞
① と ② が同じ直線であることから t と s を求めます。
＜考え方＞
傾きどうし、定数項どうしを比べて連立します。a ＞ 0 であることが最後に効きます。
傾き : 2t + 2 = 2s − 4a + 2 → t = s − 2a 定数項: −t² + 1 = −s² + 4a² + 1 → s² − t² = 4a² (s − t)(s + t) = 4a²、s − t = 2a なので 2a(s + t) = 4a²、a > 0 より s + t = 2a t = s − 2a と s + t = 2a を連立して s = 2a, t = 0
サx＋シ：正解 2x＋1（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ の方程式を求めます。
＜考え方＞
t ＝ 0 を ① に代入するだけです。a を含まない形になるのが面白いところです。
y = (2·0 + 2)x − 0² + 1 = 2x + 1
第２問 (2)〜(4) 積分（囲まれた図形の面積と、その最大値）
接線 ℓ を引いた差をとると、C − ℓ ＝ x²、D − ℓ ＝ (x − 2a)² というきわめて簡単な形になります。ここまで整理できれば、面積の計算はすべて「２乗の積分」で済みます。(3) は 0 ≦ x ≦ 1 という窓の中に図形がどこまで入るかで場合分けするのがポイントです。
ス：正解 a（配点2）
＜問題要旨＞
２つの放物線 C, D の交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
x² の項が同じなので、引き算すると 1 次方程式になります。
x² + 2x + 1 = x² − (4a − 2)x + 4a² + 1 2x = −(4a − 2)x + 4a² 4ax = 4a² x = a （a > 0）
a^セ／ソ：正解 a³／3（配点3）
＜問題要旨＞
C と ℓ、および直線 x ＝ a で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
C − ℓ を計算すると x² だけが残ります。C と ℓ は x ＝ 0 で接しているので、積分区間は 0 から a です。
C − ℓ = (x² + 2x + 1) − (2x + 1) = x² S = ∫[0→a] x² dx = [x³/3]₀^a = a³/3
タ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 1 の部分の面積 T が a によらず一定になるのは a がどの値より大きいときかを求めます。
＜考え方＞
D − ℓ ＝ (x − 2a)² なので、D は x ＝ 2a で ℓ に接します。囲まれた図形は 0 ≦ x ≦ 2a の範囲にあり、境界は x ＝ a で C から D に切り替わります。窓 0 ≦ x ≦ 1 が「C の側」だけで収まるのは a ≧ 1 のときです。
D − ℓ = x² − 4ax + 4a² = (x − 2a)² C − D = 4a(x − a) → x < a では C が下、x > a では D が下 図形は 0 ≦ x ≦ 2a に広がり、x = a で境界が入れ替わる a > 1 なら 0 ≦ x ≦ 1 はすべて「C と ℓ の間」
チ／ツ：正解 1／3（配点3）
＜問題要旨＞
そのときの T の値を求めます。
＜考え方＞
a ＞ 1 のときは、0 から 1 まで x² を積分するだけです。
T = ∫[0→1] x² dx = 1/3
テ，ト，ナ，ニ／ヌ：正解 2，4，2，1／3（配点3）
＜問題要旨＞
1/2 ≦ a ≦ 1 のときの T を a で表します。
＜考え方＞
この範囲では a ≦ 1 ≦ 2a なので、窓の中で境界が C から D に切り替わります。２つに分けて積分します。
T = ∫[0→a] x² dx + ∫[a→1] (x − 2a)² dx
= a³/3 + [ (x − 2a)³/3 ]ₐ¹
= a³/3 + { (1 − 2a)³ − (−a)³ } / 3
= { 2a³ + (1 − 2a)³ } / 3
(1 − 2a)³ = 1 − 6a + 12a² − 8a³ より
= ( −6a³ + 12a² − 6a + 1 ) / 3
= −2a³ + 4a² − 2a + 1/3
ネ／ノ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
U ＝ 2T − 3S が最大になる a を求めます。
＜考え方＞
S と T を代入して U を a の３次関数にし、微分して増減を調べます。定義域 1/2 ≦ a ≦ 1 の中にある極大点が答えです。
U = 2(−2a³ + 4a² − 2a + 1/3) − 3(a³/3) = −4a³ + 8a² − 4a + 2/3 − a³ = −5a³ + 8a² − 4a + 2/3 U′ = −15a² + 16a − 4 = −(15a² − 16a + 4) 15a² − 16a + 4 = 0 → a = (16 ± 4)/30 = 2/3, 2/5 1/2 ≦ a ≦ 1 に入るのは a = 2/3 a の前後で U′ は正から負に変わるので、ここで最大
ハ／ヒフ：正解 2／27（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの U の最大値を求めます。
＜考え方＞
a ＝ 2/3 を代入します。分母を 27 にそろえると計算しやすくなります。
U(2/3) = −5(8/27) + 8(4/9) − 4(2/3) + 2/3
= −40/27 + 96/27 − 72/27 + 18/27
= 2/27
第３問 数列（置き換えで階差数列に持ち込む漸化式）
見た目の厳しい漸化式ですが、指示どおり両辺を 3ⁿ⁺¹(n＋2)(n＋3) で割ると、b_{n+1} ＝ b_n ＋（部分分数）−（等比）というきれいな階差の形になります。あとは２種類の和を別々に計算して足すだけ。最後の (4) は一般項を 3 で割った余りだけを追う整数問題です。
ア：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
a₂ を求めます。
＜考え方＞
漸化式 ① に n ＝ 1, a₁ ＝ 0 を代入するだけです。
a₂ = (1+3)/(1+1) × { 3·0 + 3² − (1+1)(1+2) }
= (4/2) × (9 − 6)
= 2 × 3 = 6
イ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
{bₙ} の初項 b₁ を求めます。
＜考え方＞
定義式に n ＝ 1 を入れます。分子が a₁ ＝ 0 なので 0 です。
b₁ = a₁ / (3¹ · 2 · 3) = 0/18 = 0
ウ／((n＋エ)(n＋オ))：正解 1／((n＋1)(n＋2))（配点2）
＜問題要旨＞
① の両辺を 3ⁿ⁺¹(n＋2)(n＋3) で割った形を求めます。
＜考え方＞
左辺はちょうど b_{n+1} になります。右辺は (n＋3) が約分され、3 項に分かれます。
右辺 ÷ 3ⁿ⁺¹(n+2)(n+3)
= { 3aₙ + 3ⁿ⁺¹ − (n+1)(n+2) } / { (n+1)·3ⁿ⁺¹(n+2) }
第1項 : 3aₙ / ((n+1)(n+2)3ⁿ⁺¹) = aₙ / ((n+1)(n+2)3ⁿ) = bₙ
第2項 : 3ⁿ⁺¹ / ((n+1)(n+2)3ⁿ⁺¹) = 1/((n+1)(n+2))
第3項 : −(n+1)(n+2) / ((n+1)(n+2)3ⁿ⁺¹) = −(1/3)ⁿ⁺¹
b_{n+1} = bₙ + 1/((n+1)(n+2)) − (1/3)ⁿ⁺¹
カ：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
その式の等比の部分の底を答えます。
＜考え方＞
第 3 項が (1/3)ⁿ⁺¹ なので 3 です。
キ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
1/((n＋1)(n＋2)) を部分分数に分けた形の分子を求めます。
＜考え方＞
差の形にすると、和をとったときに次々に打ち消し合います。
1/((n+1)(n+2)) = 1/(n+1) − 1/(n+2)
ク，ケ，コ：正解 2，1，1（配点2）
＜問題要旨＞
部分分数の和 Σ_{k=1}^{n−1} (1/(k+1) − 1/(k+2)) を求めます。
＜考え方＞
途中がすべて打ち消し合い、最初と最後だけが残ります。
= (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1)) = 1/2 − 1/(n+1) = (n + 1 − 2) / (2(n+1)) = (1/2) · (n − 1)/(n + 1)
サ／シ，ス／セ：正解 1／6，1／2（配点2）
＜問題要旨＞
等比の和 Σ_{k=1}^{n−1} (1/3)^{k+1} を求めます。
＜考え方＞
初項 (1/3)²、公比 1/3、項数 n−1 の等比数列の和です。最後に (1/3)ⁿ の形にそろえます。
= (1/9) · (1 − (1/3)^{n−1}) / (1 − 1/3)
= (1/9) · (3/2) · (1 − (1/3)^{n−1})
= (1/6) · (1 − 3(1/3)ⁿ)
= 1/6 − (1/2)(1/3)ⁿ
(n−ソ)／(タ(n＋チ))：正解 (n−2)／(3(n＋1))（配点2）
＜問題要旨＞
bₙ の一般項の第 1 項を求めます。
＜考え方＞
b₁ ＝ 0 に階差の和を足します。２つの和の差をとって通分します。
bₙ = 0 + (1/2)(n−1)/(n+1) − { 1/6 − (1/2)(1/3)ⁿ }
(n−1)/(2(n+1)) − 1/6
= { 3(n−1) − (n+1) } / (6(n+1))
= (2n − 4) / (6(n+1))
= (n − 2) / (3(n+1))
bₙ = (n−2)/(3(n+1)) + (1/2)(1/3)ⁿ
ツ，テ，ト：正解 3，1，4（配点2）
＜問題要旨＞
{aₙ} の一般項の、指数を含む部分を求めます。
＜考え方＞
aₙ ＝ 3ⁿ(n＋1)(n＋2)bₙ に戻します。第 1 項では (n＋1) が約分され、(n＋2)(n−2) ＝ n² − 4 が現れます。
aₙ = 3ⁿ(n+1)(n+2) × { (n−2)/(3(n+1)) + (1/2)(1/3)ⁿ }
第1項 : 3ⁿ(n+2)(n−2)/3 = 3^{n−1}(n² − 4)
((n＋ナ)(n＋ニ))／ヌ：正解 ((n＋1)(n＋2))／2（配点2）
＜問題要旨＞
一般項の残りの部分を求めます。
＜考え方＞
第 2 項では 3ⁿ と (1/3)ⁿ が打ち消し合います。
第2項 : 3ⁿ(n+1)(n+2) × (1/2)(1/3)ⁿ = (n+1)(n+2)/2
aₙ = 3^{n−1}(n² − 4) + (n+1)(n+2)/2
ネ，ノ，ハ：正解 1，0，0（配点1）
＜問題要旨＞
a_{3k}, a_{3k+1}, a_{3k+2} を 3 で割った余りをそれぞれ求めます。
＜考え方＞
k は自然数なので添字は 3 以上。したがって 3^{n−1} は 3 の倍数になり、余りは (n＋1)(n＋2)/2 だけで決まります。
n ≧ 2 では 3^{n−1} ≡ 0 (mod 3)
→ aₙ ≡ (n+1)(n+2)/2 (mod 3)
n = 3 : 4·5/2 = 10 → 余り 1
n = 6 : 7·8/2 = 28 → 余り 1
n = 4 : 5·6/2 = 15 → 余り 0
n = 7 : 8·9/2 = 36 → 余り 0
n = 5 : 6·7/2 = 21 → 余り 0
n = 8 : 9·10/2 = 45 → 余り 0
a_{3k} は 1、a_{3k+1} と a_{3k+2} は 0
ヒ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
{aₙ} の初項から第 2020 項までの和を 3 で割った余りを求めます。
＜考え方＞
余りが 1 になる項だけを数えます。n ＝ 1, 2 は例外なので個別に確かめます。
a₁ = 0 → 余り 0 a₂ = 6 → 余り 0 n ≧ 3 では n が 3 の倍数のときだけ余り 1、他は 0 3 以上 2020 以下の 3 の倍数 3, 6, …, 2019 → 673 個 和の余り ≡ 673 (mod 3) 673 = 3 × 224 + 1 → 余り 1
第４問 ベクトル（空間の平面上にある点と、四面体の体積）
座標が与えられているので、内積も長さも成分で計算できます。C は平面 α 上にあるので OA と OB の１次結合で書ける、というのが (2) の出発点。(3) で CB が OA の (2/3) 倍と分かって台形になり、(4) は α と β が垂直であることを使って高さを出します。
ア√イ：正解 3√6（配点2）
＜問題要旨＞
|OA| を求めます。
＜考え方＞
A(3, 3, −6) の成分から計算します。
|OA|² = 3² + 3² + (−6)² = 9 + 9 + 36 = 54 |OA| = √54 = 3√6
ウ√エ：正解 4√3（配点2）
＜問題要旨＞
|OB| を求めます。
＜考え方＞
B(2＋2√3, 2−2√3, −4) の第 1・第 2 成分を 2 乗すると、√3 の項が符号違いで打ち消し合います。
(2 + 2√3)² = 4 + 8√3 + 12 = 16 + 8√3 (2 − 2√3)² = 4 − 8√3 + 12 = 16 − 8√3 (−4)² = 16 |OB|² = 16 + 16 + 16 = 48 |OB| = √48 = 4√3
オカ：正解 36（配点2）
＜問題要旨＞
OA · OB を求めます。
＜考え方＞
成分ごとに掛けて足します。ここでも √3 の項が消えます。
OA·OB = 3(2 + 2√3) + 3(2 − 2√3) + (−6)(−4) = (6 + 6√3) + (6 − 6√3) + 24 = 12 + 24 = 36
キク／ケ：正解 −2／3（配点1）
＜問題要旨＞
OC ＝ s OA ＋ t OB と表したときの s を求めます。
＜考え方＞
① の２条件をそれぞれ内積で書き下すと、s と t の連立１次方程式になります。
OA·OC = s|OA|² + t(OA·OB) = 54s + 36t = 0 → 3s + 2t = 0 OB·OC = s(OA·OB) + t|OB|² = 36s + 48t = 24 → 3s + 4t = 2 辺々引いて 2t = 2 → t = 1、よって 3s = −2、s = −2/3
コ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
同じく t を求めます。
＜考え方＞
上の連立から t ＝ 1 です。
サ√シ：正解 2√6（配点2）
＜問題要旨＞
|OC| を求めます。
＜考え方＞
|OC|² を s, t と既知の内積で展開します。
|OC|² = s²|OA|² + 2st(OA·OB) + t²|OB|² = (4/9)(54) + 2(−2/3)(1)(36) + 48 = 24 − 48 + 48 = 24 |OC| = √24 = 2√6
(ス，セ，ソタ)：正解 (2，2，−4)（配点1）
＜問題要旨＞
CB の成分を求めます。
＜考え方＞
まず OC を成分で出し、OB から引きます。
OC = (−2/3)OA + OB = (−2, −2, 4) + (2 + 2√3, 2 − 2√3, −4) = (2√3, −2√3, 0) CB = OB − OC = (2 + 2√3 − 2√3, 2 − 2√3 + 2√3, −4 − 0) = (2, 2, −4)
チ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
四角形 OABC がどのような四角形かを答えます。
＜考え方＞
CB と OA を見比べます。向きは同じですが長さが違うので、平行四辺形にはなりません。
OA = (3, 3, −6), CB = (2, 2, −4) = (2/3) OA → OA ∥ CB だが長さが異なる → 一組の対辺だけが平行 → 平行四辺形ではないが台形
ツテ：正解 30（配点2）
＜問題要旨＞
四角形 OABC の面積を求めます。
＜考え方＞
OA ⊥ OC なので、OC がそのまま台形の高さになります。台形の面積公式に入れるだけです。
|OA| = 3√6, |CB| = (2/3)|OA| = 2√6, 高さ |OC| = 2√6 S = (1/2)(|OA| + |CB|) × |OC| = (1/2)(3√6 + 2√6)(2√6) = (1/2)(5√6)(2√6) = 5 × 6 = 30
ト＋√ナ／ニ，ヌ−√ネ／ノ：正解 1＋√2／2，1−√2／2（配点2）
＜問題要旨＞
OA ⊥ OD, OC · OD ＝ 2√6, z 座標が 1 である点 D の座標を求めます。
＜考え方＞
D ＝ (x, y, 1) とおいて、２つの内積条件を x, y の連立１次方程式にします。
OA·OD = 3x + 3y − 6 = 0 → x + y = 2 OC = (2√3, −2√3, 0) より OC·OD = 2√3 x − 2√3 y = 2√6 x − y = √6/√3 = √2 連立して x = 1 + √2/2, y = 1 − √2/2
ハヒ：正解 60（配点1）
＜問題要旨＞
∠COD を求めます。
＜考え方＞
|OD| を計算してから内積の定義に当てはめます。
|OD|² = (1 + √2/2)² + (1 − √2/2)² + 1² = (1 + √2 + 1/2) + (1 − √2 + 1/2) + 1 = 4 |OD| = 2 cos∠COD = (OC·OD)/(|OC||OD|) = 2√6/(2√6 × 2) = 1/2 ∠COD = 60°
√フ：正解 √3（配点1）
＜問題要旨＞
三角形 ABC を底面とする四面体 DABC の高さを求めます。
＜考え方＞
平面 α の法線を OA と OC の外積で求め、D から α までの距離を計算します。法線が (1, 1, 1) 方向になるのが気持ちのよいところです。
OA × OC = (3,3,−6) × (2√3,−2√3,0) = (−12√3, −12√3, −12√3) ∝ (1, 1, 1) 高さ = |OD·(1,1,1)| / √3 = |(1 + √2/2) + (1 − √2/2) + 1| / √3 = 3/√3 = √3
ヘ√ホ：正解 4√3（配点1）
＜問題要旨＞
四面体 DABC の体積を求めます。
＜考え方＞
まず △ABC の面積を出します。四角形 OABC を対角線 AC で２つに分け、OA ⊥ OC を使って △OAC の面積を引きます。
△OAC = (1/2)|OA||OC| = (1/2)(3√6)(2√6) = 18 四角形 OABC = △OAC + △ABC = 30 △ABC = 30 − 18 = 12 V = (1/3) × 12 × √3 = 4√3
第５問 確率分布と統計的な推測（図書館の利用状況）
(1) は度数分布から平均と分散を出す基本、(2) は二項分布の正規近似、(3) は母平均の信頼区間です。(3) で W から 60 を引いた U に置き換えているのは、「平均は 60 ずれるが標準偏差は変わらない」ことを確認させるためで、信頼区間の計算そのものは素直です。
ア／イ：正解 1／4（配点2）
＜問題要旨＞
借りた本の冊数 X の平均 E(X) を求めます。
＜考え方＞
（冊数 × 人数）の合計を全体の人数で割ります。
(0×612 + 1×54 + 2×36 + 3×18) / 720 = (0 + 54 + 72 + 54) / 720 = 180/720 = 1/4
ウ／エ：正解 1／2（配点2）
＜問題要旨＞
E(X²) を求めます。
＜考え方＞
今度は（冊数の 2 乗 × 人数）の合計を人数で割ります。
(0×612 + 1×54 + 4×36 + 9×18) / 720 = (0 + 54 + 144 + 162) / 720 = 360/720 = 1/2
√オ／カ：正解 √7／4（配点2）
＜問題要旨＞
X の標準偏差 σ(X) を求めます。
＜考え方＞
分散は E(X²) − {E(X)}² です。
V(X) = 1/2 − (1/4)² = 8/16 − 1/16 = 7/16 σ(X) = √(7/16) = √7/4
キクケ：正解 240（配点2）
＜問題要旨＞
p ＝ 0.4, n ＝ 600 のときの Y の平均を求めます。
＜考え方＞
Y は二項分布 B(600, 0.4) に従うので、平均は np です。
E(Y) = 600 × 0.4 = 240
コサ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの標準偏差を求めます。
＜考え方＞
二項分布の分散は np(1−p) です。
V(Y) = 600 × 0.4 × 0.6 = 144 σ(Y) = 12
0．シス：正解 0．02（配点2）
＜問題要旨＞
Y が 215 以下となる確率を求めます。
＜考え方＞
標準化して正規分布表を引きます。
z = (215 − 240) / 12 = −25/12 ≒ −2.08
P(Z ≦ −2.08) = 0.5 − P(0 ≦ Z ≦ 2.08)
= 0.5 − 0.4812
= 0.0188 ≒ 0.02
セ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
p ＝ 0.2 のとき、Y の平均が p ＝ 0.4 のときの何分の 1 になるかを求めます。
＜考え方＞
平均は np なので、p が半分になれば平均も半分になります。
600 × 0.2 = 120 = 240 × (1/2)
√ソ：正解 √6（配点2）
＜問題要旨＞
同じく標準偏差が何倍になるかを求めます。
＜考え方＞
標準偏差は √(np(1−p)) です。p が変わると (1−p) も変わるので、平均のように単純な比にはなりません。
σ = √(600 × 0.2 × 0.8) = √96 = 4√6 比 = 4√6 / 12 = √6/3
タチ：正解 60（配点1）
＜問題要旨＞
U ＝ W − 60 の平均 E(U) を m で表します。
＜考え方＞
定数を引くと平均もその分だけ減ります。
E(U) = E(W) − 60 = m − 60
ツテ：正解 30（配点1）
＜問題要旨＞
U の標準偏差を求めます。
＜考え方＞
すべての値から同じ数を引いても散らばりは変わらないので、標準偏差はもとのままです。
σ(U) = σ(W) = 30
トナ．ニ：正解 44．1（配点1）
＜問題要旨＞
t ＝ m − 60 に対する信頼度 95% の信頼区間の下限を求めます。
＜考え方＞
標本平均 50、母標準偏差 30、標本数 100 です。標準誤差を出して 1.96 倍します。
標準誤差 = 30/√100 = 3 50 ± 1.96 × 3 = 50 ± 5.88 下限 = 44.12 ≒ 44.1
ヌネ．ノ：正解 55．9（配点1）
＜問題要旨＞
同じ信頼区間の上限を求めます。
＜考え方＞
上と同じ計算の足す側です。
上限 = 50 + 5.88 = 55.88 ≒ 55.9 44.1 ≦ t ≦ 55.9
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。