2022年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ・B」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2022年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ・数学B」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 図形と方程式（円と、円外の点から引いた接線）
円の外の点 A(−8, 0) から引いた２本の接線を、判別式で求める方法と２倍角の公式で求める方法の２通りで扱う設問です。x 軸がそのまま接線の一本になっていることに気づけるかが出発点になります。
ア，イ：正解 2，5（配点1）
＜問題要旨＞
x² ＋ y² − 4x − 10y ＋ 4 ≦ 0 が表す領域 D の中心を求めます。
＜考え方＞
x と y のそれぞれで平方完成します。
x² − 4x ＋ y² − 10y ＋ 4 ≦ 0 (x − 2)² − 4 ＋ (y − 5)² − 25 ＋ 4 ≦ 0 (x − 2)² ＋ (y − 5)² ≦ 25 中心 (2, 5)
よって ア＝2、イ＝5。
ウ：正解 5（配点1）
＜問題要旨＞
同じ領域の半径を求めます。
＜考え方＞
右辺が r² です。
(x − 2)² ＋ (y − 5)² ≦ 25 ＝ 5² 半径 5
よって ウ＝5。
エ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
領域 D が円のどの部分かを選びます。
＜考え方＞
不等号が ≦ であることに注目します。
(x − 2)² ＋ (y − 5)² ≦ 25 ＝ のとき円周、＜ のとき内部 ≦ なので 周および内部
よって エ＝③。
オ：正解 0（配点2）
＜問題要旨＞
点 A(−8, 0) を通る C の接線の一つを求めます。
＜考え方＞
中心 (2, 5) から x 軸までの距離が、ちょうど半径に等しいことに気づきます。
中心 (2, 5) から直線 y ＝ 0 までの距離は |5| ＝ 5 ＝ 半径 → x 軸は円 C の接線 A(−8, 0) は x 軸上の点なので y ＝ 0 は A を通る接線
よって オ＝0。
カ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
太郎さんの方法で、２次方程式がどうなるときの k が接線の傾きかを選びます。
＜考え方＞
「接する」＝「共有点がちょうど1個」です。
直線と円が接する ⟺ 共有点がただ1つ ⟺ 代入して得た２次方程式が重解をもつ
よって カ＝⓪（重解をもつ）。
キ／ク：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
x 軸と直線 AQ のなす角を θ としたときの tanθ を求めます。
＜考え方＞
A(−8, 0) と Q(2, 5) を結ぶ直線の傾きがそのまま tanθ です。
直線 AQ の傾き ＝ (5 − 0)/(2 − (−8)) ＝ 5/10 ＝ 1/2 tanθ ＝ 1/2
よって キ＝1、ク＝2。
ケ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ 0 と異なる接線の傾きを、θ を用いて表します。
＜考え方＞
直線 AQ は円の中心を通るので、２本の接線は AQ について対称です。
直線 AQ は中心 Q を通るので ２本の接線は AQ に関して対称 一方の接線（x 軸）と AQ のなす角が θ → もう一方の接線と x 軸のなす角は 2θ 傾きは tan2θ
よって ケ＝①（2θ）。
コ／サ：正解 4／3（配点2）
＜問題要旨＞
もう一方の接線の傾き k₀ を求めます。
＜考え方＞
２倍角の公式 tan2θ ＝ 2tanθ/(1 − tan²θ) を使います。
k₀ ＝ tan2θ ＝ 2tanθ/(1 − tan²θ) ＝ 2(1/2)/(1 − 1/4) ＝ 1/(3/4) ＝ 4/3
よって コ＝4、サ＝3。
シ：正解 ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
直線 ℓ と領域 D が共有点をもつ k の範囲を選びます。
＜考え方＞
２本の接線の傾き 0 と k₀ が境目です。接する場合も共有点をもつので等号を含みます。
A を通る接線の傾きは 0 と k₀ ＝ 4/3 傾きを 0 から 4/3 まで動かすと 直線は円をかすめて通る 接する場合も共有点をもつので 0 ≦ k ≦ k₀
よって シ＝⑤。
第１問 〔２〕 対数（log_a b と log_b a の大小）
log_a b ＝ t とおくと log_b a ＝ 1/t という関係が全体の骨格です。あとは t ＞ 1/t を解いた結果を、底が 1 より大きいか小さいかで b の範囲に翻訳します。
ス：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
log₃9 の値を求めます。
＜考え方＞
9 を 3 のべき乗に直します。
9 ＝ 3² なので log₃9 ＝ 2 （このとき log₉3 ＝ 1/2 で log₃9 ＞ log₉3 が成り立つ）
よって ス＝2。
セ：正解 8（配点3）
＜問題要旨＞
log_{1/4}□ ＝ −3/2 となる □ を求めます。
＜考え方＞
対数の定義に戻して指数の計算にします。
log_{1/4}x ＝ −3/2
x ＝ (1/4)^(−3/2) ＝ 4^(3/2) ＝ 8
検算： log₈(1/4)
＝ log₂(1/4)/log₂8
＝ (−2)/3 ＝ −2/3 ✓
−3/2 ＜ −2/3 なので
log_{1/4}8 ＜ log₈(1/4) が成り立つ
よって セ＝8。
ソ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
log_a b ＝ t を指数の式に直します。
＜考え方＞
対数の定義そのものです。
log_a b ＝ t ⟺ a^t ＝ b
よって ソ＝①。
タ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
そこから得られる式を選びます。
＜考え方＞
a^t ＝ b の両辺を 1/t 乗します。
a^t ＝ b の両辺を 1/t 乗して a ＝ b^(1/t) これは log_b a ＝ 1/t と同じこと
よって タ＝①。
チ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
a ＞ 1 のとき、log_a b ＞ log_b a を満たす b の範囲を選びます。
＜考え方＞
t ＝ log_a b の範囲（−1 ＜ t ＜ 0 または 1 ＜ t）を、b の範囲に翻訳します。a ＞ 1 なので log_a b は b の増加関数です。
−1 ＜ t ＜ 0 のとき a^(−1) ＜ b ＜ a^0 1/a ＜ b ＜ 1 1 ＜ t のとき a^1 ＜ b a ＜ b
よって チ＝③（1/a ＜ b ＜ 1, a ＜ b）。
ツ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
0 ＜ a ＜ 1 のときの同じ範囲を選びます。
＜考え方＞
こんどは log_a b が b の減少関数なので、不等号の向きが逆になります。
−1 ＜ t ＜ 0 のとき a^0 ＜ b ＜ a^(−1)（減少なので反転） 1 ＜ b ＜ 1/a 1 ＜ t のとき b ＜ a^1、かつ b ＞ 0 0 ＜ b ＜ a
よって ツ＝⓪（0 ＜ b ＜ a, 1 ＜ b ＜ 1/a）。
テ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
p ＝ 12/13、q ＝ 12/11、r ＝ 14/13 のときの大小関係を選びます。
＜考え方＞
底が p（0 ＜ p ＜ 1）なので、ツ の結果に b ＝ q, r を当てはめます。境目の 1/p の値を正確に出すのがポイントです。
p ＝ 12/13 ＝ 0.923…（0 ＜ p ＜ 1） 1/p ＝ 13/12 ＝ 1.0833… ツより log_p b ＞ log_b p となるのは 0 ＜ b ＜ p または 1 ＜ b ＜ 1/p 【b ＝ q ＝ 12/11 ＝ 1.0909…】 1 ＜ 1.0909 だが 1.0833 を超えている → 範囲に入らない → log_p q ＜ log_q p 【b ＝ r ＝ 14/13 ＝ 1.0769…】 1 ＜ 1.0769 ＜ 1.0833 ✓ → 範囲に入る → log_p r ＞ log_r p
よって テ＝②。
第２問 〔１〕 微分（３次関数のグラフと、方程式の実数解の個数）
f(x) ＝ x³ − 6ax ＋ 16 を、a の値によって形が変わる３次関数として追う設問です。極値の有無は a の符号、実数解の個数は極小値の符号で決まります。(3) は「ならば」の向きを取り違えないことが要になります。
ア：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
a ＝ 0 のときの y ＝ f(x) のグラフの概形を選びます。
＜考え方＞
f(x) ＝ x³ ＋ 16 の導関数を調べます。
a ＝ 0 のとき f(x) ＝ x³ ＋ 16 f′(x) ＝ 3x² ≧ 0（等号は x ＝ 0 のみ） → 単調増加だが x ＝ 0 で接線が水平 → 原点付近に平らな部分ができる y 切片は f(0) ＝ 16 ＞ 0
よって ア＝①。
イ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
a ＜ 0 のときのグラフの概形を選びます。
＜考え方＞
f′(x) の符号を調べます。
f′(x) ＝ 3x² − 6a ＝ 3(x² − 2a) a ＜ 0 のとき −2a ＞ 0 なので x² − 2a ＞ 0 がつねに成り立つ → f′(x) ＞ 0 で、平らな部分もない → 単調増加 y 切片は 16 ＞ 0
よって イ＝⓪。
ウ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
a ＞ 0 のとき、y ＝ f(x) と y ＝ p が3個の共有点をもつ p の範囲の下限を選びます。
＜考え方＞
3個の共有点をもつのは「極小値 ＜ p ＜ 極大値」のときです。
f′(x) ＝ 3(x² − 2a) ＝ 0 → x ＝ ±√(2a) 極小値 f(√(2a)) ＝ (2a)^(3/2) − 6a√(2a) ＋ 16 ＝ 2√2 a^(3/2) − 6√2 a^(3/2) ＋ 16 ＝ −4√2 a^(3/2) ＋ 16
よって ウ＝③。
エ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
同じ範囲の上限を選びます。
＜考え方＞
極大値です。
極大値 f(−√(2a)) ＝ −2√2 a^(3/2) ＋ 6√2 a^(3/2) ＋ 16 ＝ 4√2 a^(3/2) ＋ 16
よって エ＝②。
オカ√キ：正解 −2√2（配点2）
＜問題要旨＞
p が極小値のとき、共有点の x 座標のうち小さい方 q を求めます。
＜考え方＞
接する方の x 座標 r ＝ √(2a) が重解なので、３次方程式の解と係数の関係が使えます。
f(x) ＝ p は x² の係数が 0 の3次方程式 x³ − 6ax ＋ 16 − p ＝ 0 解は r（重解）と q なので 2r ＋ q ＝ 0（x² の係数が 0） r ＝ √(2a) ＝ √2 a^(1/2) より q ＝ −2√2 a^(1/2)
よって オカ＝−2、キ＝2。
ク：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
接する方の x 座標 r を求めます。
＜考え方＞
極小値をとる x そのものです。
r ＝ √(2a) ＝ √2 ・ a^(1/2)
よって ク＝2。
ケ，コ：正解 ①，④（配点6・各3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ 0 の異なる実数解の個数 n について、正しい記述を２つ選びます。
＜考え方＞
a の値ごとに n を確定させてから、選択肢の「ならば」の向きを一つずつ確かめます。
f(0) ＝ 16 ＞ 0 に注意する
【a ≦ 0】単調増加 → n ＝ 1
【a ＞ 0】極大値 4√2a^(3/2) ＋ 16 ＞ 0 はつねに成立
極小値 −4√2a^(3/2) ＋ 16 の符号で決まる
極小値 ＞ 0 ⟺ a^(3/2) ＜ 2√2 ＝ 2^(3/2)
⟺ a ＜ 2 → n ＝ 1
極小値 ＝ 0 ⟺ a ＝ 2 → n ＝ 2
極小値 ＜ 0 ⟺ a ＞ 2 → n ＝ 3
選択肢の判定
⓪ n＝1 ならば a＜0 … a＝1 で n＝1 → 偽
① a＜0 ならば n＝1 … 真 ✓
② n＝2 ならば a＜0 … n＝2 は a＝2 → 偽
③ a＜0 ならば n＝2 … 偽
④ n＝3 ならば a＞0 … n＝3 は a＞2 → 真 ✓
⑤ a＞0 ならば n＝3 … a＝1 で n＝1 → 偽
よって ケ，コ＝①，④（順序は問わない）。
第２問 〔２〕 積分（２曲線で囲まれた面積の比較）
２つの３次曲線で囲まれた面積 S と T を比べる設問です。S と T を別々に計算するのではなく、S − T を一つの定積分にまとめるという誘導に乗ると計算量が激減します。
サ，シス：正解 b，2b（配点2）
＜問題要旨＞
C₁ と C₂ の交点の x 座標 α, β を求めます。
＜考え方＞
g(x) − h(x) を計算して因数分解します。
g(x) − h(x) ＝ (x³ − 3bx ＋ 3b²) − (x³ − x² ＋ b²) ＝ x² − 3bx ＋ 2b² ＝ (x − b)(x − 2b) b ＞ 0 より α ＝ b、β ＝ 2b
よって サ＝b、シス＝2b。
セ，ソ：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
S と T の被積分関数をそれぞれ選びます。
＜考え方＞
どちらの曲線が上にあるかを、g − h の符号で判定します。
g(x) − h(x) ＝ (x − b)(x − 2b) α ≦ x ≦ β（b ≦ x ≦ 2b）では (x−b)(x−2b) ≦ 0 → g ≦ h → C₂ が上 → 被積分関数は h − g β ≦ x ≦ t（x ＞ 2b）では (x−b)(x−2b) ＞ 0 → g ＞ h → C₁ が上 → 被積分関数は g − h
よって セ＝②（h − g）、ソ＝①（g − h）。
タ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
S − T を一つの定積分で表したときの被積分関数を選びます。
＜考え方＞
マイナスを積分の中に入れると、２つの区間がつながります。
S ＝ ∫_α^β (h − g) dx
T ＝ ∫_β^t (g − h) dx
S − T ＝ ∫_α^β (h−g) dx − ∫_β^t (g−h) dx
＝ ∫_α^β (h−g) dx ＋ ∫_β^t (h−g) dx
＝ ∫_α^t (h − g) dx
区間が α から t までひとつながりになる
よって タ＝②（h − g）。
チツ／テ，ト，ナニ，ヌ：正解 −1／6，9，12，5（配点4）
＜問題要旨＞
S − T を t と b で表します。
＜考え方＞
∫_b^t −(x−b)(x−2b) dx を展開して計算します。
S − T ＝ ∫_b^t −(x² − 3bx ＋ 2b²) dx
＝ −[x³/3 − (3b/2)x² ＋ 2b²x]_b^t
x ＝ b での値は
b³/3 − (3/2)b³ ＋ 2b³ ＝ (5/6)b³
＝ −{t³/3 − (3b/2)t² ＋ 2b²t − (5/6)b³}
＝ −(1/6){2t³ − 9bt² ＋ 12b²t − 5b³}
よって チツ＝−1、テ＝6、ト＝9、ナニ＝12、ヌ＝5。
ネ／ノ：正解 5／2（配点2）
＜問題要旨＞
S ＝ T となる t を求めます。
＜考え方＞
S − T ＝ 0 とおいて３次方程式を解きます。t ＝ b が解になることに気づけば因数分解できます。
2t³ − 9bt² ＋ 12b²t − 5b³ ＝ 0 t ＝ b を代入すると 2 − 9 ＋ 12 − 5 ＝ 0 ✓ → (t − b) を因数にもつ 割り算して (t − b)(2t² − 7bt ＋ 5b²) ＝ 0 (t − b)(t − b)(2t − 5b) ＝ 0 (t − b)²(2t − 5b) ＝ 0 t ＝ b（重解）または t ＝ 5b/2 条件は t ＞ β ＝ 2b なので t ＝ (5/2)b
よって ネ＝5、ノ＝2。
第３問 確率分布と統計的な推測（ジャガイモの重さ）
前半は二項分布の正規近似、後半は確率密度関数を1次関数で自作するという珍しい設問です。「全確率が 1」と「平均が 180」という２つの条件を連立するのが後半の骨格になります。
0．アイ：正解 0．25（配点2）
＜問題要旨＞
確率変数 Z が従う二項分布 B(400, p) の p を求めます。
＜考え方＞
「25% 含まれる」がそのまま確率です。
200 g を超えるものが 25 % p ＝ 0.25 Z ～ B(400, 0.25)
よって アイ＝25。
ウエオ：正解 100（配点2）
＜問題要旨＞
Z の平均（期待値）を求めます。
＜考え方＞
二項分布 B(n, p) の平均は np です。
E(Z) ＝ 400 × 0.25 ＝ 100
よって ウエオ＝100。
カ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
R ＝ Z/400 の標準偏差を選びます。
＜考え方＞
まず Z の標準偏差を出し、400 で割ります。
V(Z) ＝ np(1−p) ＝ 400 × 0.25 × 0.75 ＝ 75 σ(Z) ＝ √75 ＝ 5√3 σ(R) ＝ σ(Z)/400 ＝ 5√3/400 ＝ √3/80
よって カ＝②（√3/80）。
キ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
P(R ≧ x) ＝ 0.0465 となる x を選びます。
＜考え方＞
正規分布表から z を読み、x ＝ 平均 ＋ z × 標準偏差 で戻します。
P(Z ≧ z) ＝ 0.0465 より P(0 ≦ Z ≦ z) ＝ 0.5 − 0.0465 ＝ 0.4535 正規分布表より z ＝ 1.68 x ＝ 0.25 ＋ 1.68 × √3/80 ＝ 0.25 ＋ 1.68 × 1.73/80 ＝ 0.25 ＋ 2.9064/80 ＝ 0.25 ＋ 0.0363… ＝ 0.286…
よって キ＝②（0.286）。
ク：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
P(100 ≦ X ≦ 300) の値を求めます。
＜考え方＞
X のとり得る値の範囲がちょうど 100 ≦ x ≦ 300 です。
X はこの範囲の値しかとらないので P(100 ≦ X ≦ 300) ＝ 1（全確率）
よって ク＝1。
ケ，コ：正解 4，2（配点2）
＜問題要旨＞
∫₁₀₀³⁰⁰ (ax ＋ b) dx ＝ 1 を、10 のべき乗を使った形に整理します。
＜考え方＞
素直に定積分を計算します。
∫₁₀₀³⁰⁰ (ax ＋ b) dx ＝ [ax²/2 ＋ bx]₁₀₀³⁰⁰ ＝ a(300² − 100²)/2 ＋ b(300 − 100) ＝ a(90000 − 10000)/2 ＋ 200b ＝ 40000a ＋ 200b ＝ 4・10⁴ a ＋ 2・10² b
よって ケ＝4、コ＝2。
サ：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
①と②から確率密度関数を求め、x の係数を答えます。
＜考え方＞
①と②を a, b についての連立方程式として解きます。
① 4・10⁴ a ＋ 2・10² b ＝ 1 ② (26/3)・10⁶ a ＋ 4・10⁴ b ＝ 180 ①より b ＝ 5・10⁻³ − 200a ②に代入 (26/3)・10⁶ a ＋ 4・10⁴(5・10⁻³ − 200a) ＝ 180 (26/3)・10⁶ a ＋ 200 − 8・10⁶ a ＝ 180 (26/3 − 8)・10⁶ a ＝ −20 (2/3)・10⁶ a ＝ −20 a ＝ −30・10⁻⁶ ＝ −3・10⁻⁵
よって サ＝3。
シス：正解 11（配点2）
＜問題要旨＞
同じ確率密度関数の定数項を求めます。
＜考え方＞
求めた a を①に戻します。
b ＝ 5・10⁻³ − 200 × (−3・10⁻⁵) ＝ 5・10⁻³ ＋ 6・10⁻³ ＝ 11・10⁻³ f(x) ＝ −3・10⁻⁵ x ＋ 11・10⁻³
よって シス＝11。
セ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
重さが 200 g 以上のものの割合を選びます。
＜考え方＞
P(200 ≦ X ≦ 300) を定積分で計算します。
∫₂₀₀³⁰⁰ (−3・10⁻⁵ x ＋ 11・10⁻³) dx ＝ [−1.5・10⁻⁵ x² ＋ 11・10⁻³ x]₂₀₀³⁰⁰ ＝ −1.5・10⁻⁵(300² − 200²) ＋ 11・10⁻³(100) ＝ −1.5・10⁻⁵ × 50000 ＋ 1.1 ＝ −0.75 ＋ 1.1 ＝ 0.35 → 35 %
よって セ＝②（35）。
第４問 数列（歩行者と自転車の往復）
歩行者と自転車の動きを座標平面上の折れ線として捉え、2つの数列の連立漸化式に落とす設問です。「間隔は1分間に1ずつ縮まる」という一言が、追いつくまでの時間を出す鍵になっています。
ア：正解 4（配点1）
＜問題要旨＞
自転車が最初に歩行者に追いつく時刻と位置を求めます。
＜考え方＞
時刻2に間隔は2。自転車の速さ2、歩行者の速さ1なので間隔は毎分1ずつ縮まるため、2分後に追いつきます。
時刻2で歩行者は位置2、自転車は位置0 間隔 ＝ 2 相対速度 ＝ 2 − 1 ＝ 1 → 2 ÷ 1 ＝ 2 分後に追いつく 時刻 ＝ 2 ＋ 2 ＝ 4 位置 ＝ 歩行者が4分歩いた位置 ＝ 4 座標は (4, 4)
よって ア＝4。
イ：正解 8（配点1）
＜問題要旨＞
a₂（自転車が2回目に自宅を出発する時刻）を求めます。
＜考え方＞
追いつく → 1分停止 → 自宅へ戻る → 1分停止、と順に時間を足します。
時刻4に位置4で追いつく ＋1分停止 → 時刻5 自転車は位置4から速さ2で自宅へ 4 ÷ 2 ＝ 2分 → 時刻7に到着 ＋1分停止 → 時刻8に再出発 a₂ ＝ 8
よって イ＝8。
ウ：正解 7（配点1）
＜問題要旨＞
b₂（そのときの歩行者の位置）を求めます。
＜考え方＞
歩行者は時刻5から歩き出します。
歩行者は時刻5に位置4から歩き出す 時刻8までの3分で3進む b₂ ＝ 4 ＋ 3 ＝ 7
よって ウ＝7。
エ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
n 回目に出発した自転車が次に追いつく時刻を aₙ, bₙ で表します。
＜考え方＞
時刻 aₙ での間隔は bₙ。間隔は毎分1ずつ縮まります。
時刻 aₙ で 自転車は位置0、歩行者は位置 bₙ → 間隔 ＝ bₙ 相対速度は 1 なので bₙ 分後に追いつく 追いつく時刻 ＝ aₙ ＋ bₙ
よって エ＝③（aₙ ＋ bₙ）。
オ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの位置を求めます。
＜考え方＞
歩行者は bₙ 分でさらに bₙ 進みます。
歩行者の位置 ＝ bₙ ＋ bₙ ＝ 2bₙ 検算： 自転車の位置 ＝ 2 × bₙ ＝ 2bₙ ✓
よって オ＝④（2bₙ）。
カ，キ：正解 2，2（配点2）
＜問題要旨＞
a_{n+1} を aₙ, bₙ で表します。
＜考え方＞
追いつく → 1分停止 → 位置 2bₙ から自宅まで戻る → 1分停止、と積み上げます。
追いつく時刻 aₙ ＋ bₙ
＋1分停止 → aₙ ＋ bₙ ＋ 1
自転車は位置 2bₙ から速さ2で自宅へ
2bₙ ÷ 2 ＝ bₙ 分
→ aₙ ＋ 2bₙ ＋ 1 に自宅到着
＋1分停止
a_{n+1} ＝ aₙ ＋ 2bₙ ＋ 2
よって カ＝2、キ＝2。
ク：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
b_{n+1} ＝ 3bₙ ＋ □ の □ を求めます。
＜考え方＞
歩行者は時刻 aₙ＋bₙ＋1 に位置 2bₙ から歩き出し、a_{n+1} まで歩きます。
歩き出す時刻 aₙ ＋ bₙ ＋ 1、位置 2bₙ
a_{n+1} までの時間
＝ (aₙ ＋ 2bₙ ＋ 2) − (aₙ ＋ bₙ ＋ 1)
＝ bₙ ＋ 1
b_{n+1} ＝ 2bₙ ＋ (bₙ ＋ 1) ＝ 3bₙ ＋ 1
よって ク＝1。
ケ：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
数列 {bₙ} の一般項を求めます。
＜考え方＞
b_{n+1} ＝ 3bₙ ＋ 1 を特性方程式で等比型に直します。
x ＝ 3x ＋ 1 → x ＝ −1/2
b_{n+1} ＋ 1/2 ＝ 3(bₙ ＋ 1/2)
初項 b₁ ＋ 1/2 ＝ 2 ＋ 1/2 ＝ 5/2
bₙ ＋ 1/2 ＝ (5/2)3^(n−1)
bₙ ＝ (5/2)3^(n−1) − 1/2
よって ケ＝⑦。
コ：正解 ⑨（配点3）
＜問題要旨＞
数列 {aₙ} の一般項を求めます。
＜考え方＞
a_{n+1} − aₙ ＝ 2bₙ ＋ 2 なので、階差数列として和をとります。
aₙ ＝ a₁ ＋ Σ_{k=1}^{n−1}(2b_k ＋ 2)
Σ_{k=1}^{n−1} b_k
＝ (5/2)・(3^(n−1) − 1)/2 − (n−1)/2
＝ (5/4)(3^(n−1) − 1) − (n−1)/2
aₙ ＝ 2 ＋ 2[(5/4)(3^(n−1)−1) − (n−1)/2] ＋ 2(n−1)
＝ 2 ＋ (5/2)3^(n−1) − 5/2 − (n−1) ＋ 2n − 2
＝ (5/2)3^(n−1) ＋ n − 3/2
検算： n＝1 → 5/2 ＋ 1 − 3/2 ＝ 2 ✓
n＝2 → 15/2 ＋ 2 − 3/2 ＝ 8 ✓
よって コ＝⑨。
サ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
歩行者が y ＝ 300 に到着するまでに自転車が追いつく回数を求めます。
＜考え方＞
n 回目に追いつく位置 2bₙ が 300 以下である最大の n を探します。
n 回目に追いつく位置 ＝ 2bₙ 2bₙ ≦ 300 ⟺ bₙ ≦ 150 (5/2)3^(n−1) − 1/2 ≦ 150 (5/2)3^(n−1) ≦ 150.5 3^(n−1) ≦ 60.2 3³ ＝ 27 ≦ 60.2、3⁴ ＝ 81 ＞ 60.2 n − 1 ≦ 3 → n ≦ 4 検算： 2b₄ ＝ 134 ≦ 300、2b₅ ＝ 404 ＞ 300 ✓
よって サ＝4。
シスセ：正解 137（配点2）
＜問題要旨＞
4回目に追いつく時刻を求めます。
＜考え方＞
エ で求めた aₙ ＋ bₙ に n ＝ 4 を代入します。
b₄ ＝ (5/2)3³ − 1/2 ＝ 67.5 − 0.5 ＝ 67 a₄ ＝ (5/2)3³ ＋ 4 − 3/2 ＝ 67.5 ＋ 2.5 ＝ 70 追いつく時刻 ＝ a₄ ＋ b₄ ＝ 70 ＋ 67 ＝ 137
よって シスセ＝137。
第５問 ベクトル（円周上の３点と、直線 OP 上の点 Q）
半径1の円周上の3点と、直線 OP 上を動く点 Q を扱う設問です。|OA| ＝ |OB| ＝ 1 と OA・OB ＝ −2/3 の２つだけで内積がすべて計算できます。(3)は対称移動した点を経由するという誘導が置かれており、ここに乗れるかが分かれ目です。
アイ／ウ：正解 −2／3（配点1）
＜問題要旨＞
cos∠AOB の値を求めます。
＜考え方＞
内積の定義そのものです。半径が1であることを使います。
cos∠AOB ＝ (OA・OB)/(|OA||OB|) ＝ (−2/3)/(1 × 1) ＝ −2/3
よって アイ＝−2、ウ＝3。
エ，オ：正解 ①，⓪（配点2）
＜問題要旨＞
OQ を OA, OB で表します。
＜考え方＞
P は AB を t : (1−t) に内分するので OP ＝ (1−t)OA ＋ tOB。これを k 倍します。
OP ＝ (1 − t)OA ＋ t OB OQ ＝ k OP ＝ k(1 − t)OA ＋ kt OB ＝ (k − kt)OA ＋ kt OB
よって エ＝①（k − kt）、オ＝⓪（kt）。
カ，キ：正解 ④，⓪（配点2）
＜問題要旨＞
CQ を OA, OB で表します。
＜考え方＞
OC ＝ −OA を使って CQ ＝ OQ − OC を計算します。
CQ ＝ OQ − OC ＝ OQ ＋ OA ＝ (k − kt)OA ＋ kt OB ＋ OA ＝ (k − kt ＋ 1)OA ＋ kt OB
よって カ＝④（k − kt ＋ 1）、キ＝⓪（kt）。
ク／ケ：正解 3／5（配点2）
＜問題要旨＞
OA と OP が垂直となる t を求めます。
＜考え方＞
OA・OP ＝ 0 を計算します。
OA・OP ＝ (1 − t)|OA|² ＋ t(OA・OB) ＝ (1 − t)・1 ＋ t・(−2/3) ＝ 1 − t − (2/3)t ＝ 1 − (5/3)t ＝ 0 t ＝ 3/5
よって ク＝3、ケ＝5。
コ／(サt−シ)：正解 3／(5t−3)（配点2）
＜問題要旨＞
∠OCQ ＝ 90° のときの k を t で表します。
＜考え方＞
OC・CQ ＝ 0 を計算します。
OC ＝ −OA なので
OC・CQ ＝ −OA・{(k−kt＋1)OA ＋ kt OB}
＝ −(k − kt ＋ 1)|OA|² − kt(OA・OB)
＝ −(k − kt ＋ 1) − kt(−2/3)
＝ −k ＋ kt − 1 ＋ (2/3)kt
＝ k(−1 ＋ (5/3)t) − 1 ＝ 0
k((5t − 3)/3) ＝ 1
k ＝ 3/(5t − 3)
よって コ＝3、サ＝5、シ＝3。
ス：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
0 ＜ t ＜ 3/5 のとき、点 Q がどの領域に含まれるかを選びます。
＜考え方＞
k の符号を調べます。k ＜ 0 なら Q は O を挟んで P の反対側です。
k ＝ 3/(5t − 3) 0 ＜ t ＜ 3/5 のとき 5t − 3 ＜ 0 → k ＜ 0 P ＝ (1−t)OA ＋ tOB は係数がともに正 → P は ∠AOB の内部（D₁ かつ E₁） Q ＝ kOP で k ＜ 0 → Q は O に関して P と反対側 → D₂ かつ E₂
よって ス＝③。
セ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
3/5 ＜ t ＜ 1 のときの同じ問いに答えます。
＜考え方＞
こんどは k ＞ 0 です。
3/5 ＜ t ＜ 1 のとき 5t − 3 ＞ 0 → k ＞ 0 Q ＝ kOP で k ＞ 0 → Q は P と同じ側 → D₁ かつ E₁
よって セ＝⓪。
ソ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
t ＝ 1/2 のときの |OQ| を求めます。
＜考え方＞
まず k を求め、OQ を成分（OA, OB の係数）で表してから大きさを2乗で計算します。
t ＝ 1/2 のとき k ＝ 3/(5・(1/2) − 3) ＝ 3/(−1/2) ＝ −6 OQ ＝ −6(1/2)OA ＋ (−6)(1/2)OB ＝ −3OA − 3OB |OQ|² ＝ 9|OA|² ＋ 18(OA・OB) ＋ 9|OB|² ＝ 9 ＋ 18(−2/3) ＋ 9 ＝ 9 − 12 ＋ 9 ＝ 6 |OQ| ＝ √6
よって ソ＝6。
タ：正解 −（配点1）
＜問題要旨＞
直線 OA に関して Q と対称な点を R とするとき、CR を CQ で表します。
＜考え方＞
C は直線 OA 上の点なので対称移動で動きません。OB を OA 方向と垂直方向に分けて折り返します。
OA・OB ＝ −2/3、|OA| ＝ 1 より
OB ＝ (−2/3)OA ＋ w（w ⊥ OA）
直線 OA に関する対称移動で
OA → OA、w → −w
OB の像 ＝ (−2/3)OA − w
＝ (−2/3)OA − {OB − (−2/3)OA}
＝ (−4/3)OA − OB
OQ ＝ −3OA − 3OB より
OR ＝ −3OA − 3{(−4/3)OA − OB}
＝ −3OA ＋ 4OA ＋ 3OB
＝ OA ＋ 3OB
CQ ＝ OQ ＋ OA ＝ −2OA − 3OB
CR ＝ OR ＋ OA ＝ 2OA ＋ 3OB
CR ＝ −CQ
よって タ＝−。
チOA＋ツOB：正解 2OA＋3OB（配点1）
＜問題要旨＞
その CR を OA, OB で表します。
＜考え方＞
上の計算の結論です。
CR ＝ 2OA ＋ 3OB
よって チ＝2、ツ＝3。
テ／ト：正解 3／4（配点3）
＜問題要旨＞
t ≠ 1/2 で |OQ| ＝ √6 となる t を求めます。
＜考え方＞
対称点 R も |OR| ＝ √6 を満たすので、R が直線 OP 上に来る t を探せばよいことになります。
OR ＝ OA ＋ 3OB（係数の比 1 : 3） OP ＝ (1 − t)OA ＋ t OB（係数の比 (1−t) : t） R が直線 OP 上にある ⟺ 係数の比が等しい (1 − t) : t ＝ 1 : 3 3(1 − t) ＝ t 3 ＝ 4t t ＝ 3/4 検算： t ＝ 3/4 のとき k ＝ 3/(15/4 − 3) ＝ 3/(3/4) ＝ 4 OQ ＝ 4(1/4)OA ＋ 4(3/4)OB ＝ OA ＋ 3OB ＝ OR ✓ よって |OQ| ＝ √6 ✓
よって テ＝3、ト＝4。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。