2024年度 大学入学共通テスト 本試験 数学Ⅱ・B 解答・解説

＜問題要旨＞
y ＝ log₃x のグラフが点 (27, ア) を通ることから、log₃27 を求める設問です。

＜考え方＞
27 を 3 の累乗で表します。

27 ＝ 3³

  log₃27 ＝ log₃3³ ＝ 3

ア＝③。

＜問題要旨＞
y ＝ log₂(x／5) のグラフが点 (イウ, 1) を通るときの x を求める設問です。

＜考え方＞
y ＝ 1 を代入して、対数の定義どおり指数の形に戻します。

log₂(x／5) ＝ 1

  x／5 ＝ 2¹ ＝ 2

  x ＝ 10

イウ＝10、すなわち イ＝①、ウ＝⓪。

＜問題要旨＞
y ＝ log_kx のグラフが k の値によらず通る定点を求める設問です。

＜考え方＞
「k によらない」ということは、底が何であっても同じ値になるところを探すという意味です。対数の性質 log_k1 ＝ 0 がそれにあたります。

どんな底 k についても k⁰ ＝ 1 なので

  log_k 1 ＝ 0

  よって定点は (1, 0)

エ＝①、オ＝⓪。

＜問題要旨＞
k ＝ 2, 3, 4 のときの y ＝ log_kx のグラフの概形を選ぶ設問です。

＜考え方＞
２つの特徴で選択肢をふるいにかけます。（1）どれも定点 (1, 0) を通る、（2）x > 1 では底が小さいほど値が大きい。

底の変換公式より

  log_k x ＝ (log x) ／ (log k)

  x > 1 のとき log x > 0 で、log k は
  k が大きいほど大きい。
  → 分母が大きいほど値は小さい
  → k ＝ 2 が最も上、k ＝ 4 が最も下

３本が (1, 0) で交わり、右側で k ＝ 2 が最上位にある図は⓪です。カ＝⓪。

＜問題要旨＞
同じ k ＝ 2, 3, 4 で、y ＝ log₂kx のグラフの概形を選ぶ設問です。

＜考え方＞
底はすべて 2 で固定されている点がカとの決定的な違いです。積の対数を分解します。

log₂(kx) ＝ log₂k ＋ log₂x

  つまり y ＝ log₂x を
  上へ log₂k だけ平行移動したもの。

  k ＝ 2 → ＋1
  k ＝ 3 → ＋log₂3 ≒ ＋1.58
  k ＝ 4 → ＋2

３本は平行に上下へずれるだけで、決して交わりません。k ＝ 4 が最上位、k ＝ 2 が最下位です。これは⑤。キ＝⑤。

※ カとキの違いは「底が動く／真数が動く」です。カは1点で交わり、キは交わらない。ここを取り違えると２問まとめて失点します。

＜問題要旨＞
方程式 log_xy ＝ 2 の表す図形を選ぶ設問です。

＜考え方＞
対数の定義に戻して、指数の形に直すだけです。

log_x y ＝ 2

  ⟺ y ＝ x²   （x > 0, x ≠ 1, y > 0）

放物線 y ＝ x² の図は②です。ク＝②。

※ 条件 x ≠ 1 があるので、実際には (1, 1) だけが抜けた放物線です。

＜問題要旨＞
不等式 0 < log_xy < 1 の表す領域を選ぶ設問です。第１問前半の山場です。

＜考え方＞
底 x が 1 より大きいか小さいかで不等号の向きが変わるので、必ず場合分けします。

■ x > 1 のとき（log_x は増加）

    log_x y > 0 ⟺ y > x⁰ ＝ 1
    log_x y < 1 ⟺ y < x¹ ＝ x

    → 1 < y < x

■ 0 < x < 1 のとき（log_x は減少）

    log_x y > 0 ⟺ y < 1
    log_x y < 1 ⟺ y > x

    → x < y < 1

つまり、直線 y ＝ x と直線 y ＝ 1 にはさまれた部分が、x > 1 側と 0 < x < 1 側の両方に現れます。これは②です。ケ＝②。

※ 「x > 1 の側だけ」を選ぶと誤りです。0 < x < 1 の細い三角形の部分を落とさないでください。

＜問題要旨＞
S(x) ＝ x² ＋ 4x ＋ 7 について、S(x) ＝ 0 の解を求める設問です。

＜考え方＞
解の公式を使います。判別式が負なので虚数解になります。

x ＝ (−4 ± √(16 − 28)) ／ 2
    ＝ (−4 ± √(−12)) ／ 2
    ＝ (−4 ± 2√3 i) ／ 2
    ＝ −2 ± √3 i

コサ＝−2、シ＝3、すなわち コ＝−、サ＝②、シ＝③。

＜問題要旨＞
P(x) ＝ 2x³ ＋ 7x² ＋ 10x ＋ 5 を S(x) ＝ x² ＋ 4x ＋ 7 で割った商 T(x) を求める設問です。

＜考え方＞
素直に筆算で割ります。

              2x − 1
        ┌────────────────────
x²+4x+7 │ 2x³ + 7x² + 10x + 5
        │ 2x³ + 8x² + 14x
        ├────────────────────
        │      − x² −  4x + 5
        │      − x² −  4x − 7
        ├────────────────────
        │                  12

商は T(x) ＝ 2x − 1。問題の形 ＜ス＞x − ＜セ＞ と比べて ス＝②、セ＝①。

＜問題要旨＞
同じ割り算の余り U(x) を答える設問です。

＜考え方＞
スセの筆算の最後に残った数がそのまま答えです。

U(x) ＝ 12

ソタ＝12、すなわち ソ＝①、タ＝②。（この場合、余りは x を含まない定数になっています。）

＜問題要旨＞
「余りが定数 k である」という仮定から何が導かれるかを、論理の向きも含めて選ぶ設問です。

＜考え方＞
選択肢の違いは「何を根拠に何を導いたか」だけです。事実の正しさではなく、矢印の向きを見比べます。

余りが定数 k という仮定から

    P(x) ＝ S(x)T(x) ＋ k   … (あ)

  また α, β は S(x) ＝ 0 の解だから

    S(α) ＝ S(β) ＝ 0        … (い)

  (あ) に x ＝ α, β を代入すると

    P(α) ＝ 0 × T(α) ＋ k ＝ k
    P(β) ＝ 0 × T(β) ＋ k ＝ k

つまり (あ) と (い) の両方を根拠にして P(α) ＝ P(β) ＝ k が導かれる、という順序です。これは③。チ＝③。

※ ②は「S(α)＝S(β)＝0 から P(x)＝S(x)T(x)＋k が導かれる」としていますが、この式は割り算の仮定から出るもので、解の性質から出るものではありません。ここが引っかけです。

＜問題要旨＞
余りが定数になるとき成り立つ関係式を選ぶ設問です。

＜考え方＞
チで導いた P(α) ＝ P(β) ＝ k から、k を消した形を読み取ります。

P(α) ＝ k かつ P(β) ＝ k

  → P(α) ＝ P(β)

ツ＝①。

＜問題要旨＞
今度は逆向き、「P(α) ＝ P(β) ならば余りは定数」を示す流れです。P(x) の表し方と、α，β を代入した結果を選びます。

＜考え方＞
S(x) が２次式なので、余りは１次以下、すなわち U(x) ＝ mx ＋ n とおけます。

P(x) ＝ S(x)T(x) ＋ mx ＋ n    → テ ＝ ①

  x ＝ α を代入（S(α) ＝ 0 より）
    P(α) ＝ 0 × T(α) ＋ mα ＋ n ＝ mα ＋ n

  x ＝ β を代入
    P(β) ＝ mβ ＋ n              → ト ＝ ①

テ＝①、ト＝①。

＜問題要旨＞
P(α) ＝ P(β) と α ≠ β から、m と n について何が言えるかを選ぶ設問です。

＜考え方＞
テトで得た２式を等号で結び、整理します。

mα ＋ n ＝ mβ ＋ n

  mα ＝ mβ
  m(α − β) ＝ 0

  α ≠ β より α − β ≠ 0 なので

  m ＝ 0

余りは U(x) ＝ n という定数になります。n については何も言えないので、条件は m ＝ 0 だけです。ナ＝③。

※ この設問には「解答記号テ，トが両方正解の場合のみ点を与える」という注がついています。テ・トを落とすとナも0点になるので、代入の一手は確実に押さえてください。

＜問題要旨＞
P(x) ＝ x¹⁰ − 2x⁹ − px² − 5x を S(x) ＝ x² − x − 2 で割った余りが定数になるときの p を求める設問です。

＜考え方＞
ここまでの結論「余りが定数 ⟺ P(α) ＝ P(β)」をそのまま使います。10次式を割る必要はまったくありません。

S(x) ＝ x² − x − 2 ＝ (x − 2)(x ＋ 1)
  → α ＝ 2,  β ＝ −1

  P(2)  ＝ 2¹⁰ − 2·2⁹ − 4p − 10
        ＝ 1024 − 1024 − 4p − 10
        ＝ −4p − 10

  P(−1) ＝ 1 − 2·(−1) − p − 5·(−1)
        ＝ 1 ＋ 2 − p ＋ 5
        ＝ 8 − p

P(2) ＝ P(−1) より

  −4p − 10 ＝ 8 − p
     −3p ＝ 18
       p ＝ −6

ニヌ＝−6、すなわち ニ＝−、ヌ＝⑥。

※ 2¹⁰ と 2·2⁹ はどちらも 1024 で打ち消し合います。ここに気づけば計算はほぼ暗算で済みます。

＜問題要旨＞
そのときの余り（定数）を求める設問です。

＜考え方＞
余りは P(α) の値そのものです。p ＝ −6 を代入します。

余り ＝ P(2) ＝ −4p − 10
           ＝ −4×(−6) − 10
           ＝ 24 − 10 ＝ 14

  検算： P(−1) ＝ 8 − p ＝ 8 − (−6) ＝ 14 ✓

ネノ＝14、すなわち ネ＝①、ノ＝④。

＜問題要旨＞
m ＝ 2 のとき、f′(x) ＝ 0 となる x を求める設問です。

＜考え方＞
f を展開して微分します。あるいは、下に凸の放物線の軸は２つの解の中点だと気づけば即答できます。

f(x) ＝ 3(x − 1)(x − 2) ＝ 3x² − 9x ＋ 6

  f′(x) ＝ 6x − 9 ＝ 0

  x ＝ 9／6 ＝ 3／2

  （軸は 1 と 2 の中点 ＝ 3／2 でも同じ）

ア／イ＝3／2、すなわち ア＝③、イ＝②。

＜問題要旨＞
S(x) の被積分関数を展開した形を答える設問です。

＜考え方＞
アイで展開済みです。

f(t) ＝ 3t² − 9t ＋ 6

ウ＝⑨、エ＝⑥。

＜問題要旨＞
S(x) を実際に積分して求める設問です。

＜考え方＞
各項を積分し、0 から x まで代入します。定数項は 0 になります。

S(x) ＝ ∫₀ˣ (3t² − 9t ＋ 6) dt

     ＝ [ t³ − (9／2)t² ＋ 6t ]₀ˣ

     ＝ x³ − (9／2)x² ＋ 6x

オ／カ＝9／2、キ＝6、すなわち オ＝⑨、カ＝②、キ＝⑥。

＜問題要旨＞
S(x) が極大となる x を求める設問です。

＜考え方＞
S′(x) ＝ f(x) ＝ 3(x − 1)(x − 2) なので、増減表は f の符号だけで決まります。

  x     …  1  …  2  …
 S′(x)   ＋  0  −  0  ＋
 S(x)    ↗ 極大 ↘ 極小 ↗

極大は x ＝ 1。ク＝①。

＜問題要旨＞
その極大値を求める設問です。

＜考え方＞
S(1) を計算します。

S(1) ＝ 1 − 9／2 ＋ 6 ＝ 5／2

ケ／コ＝5／2、すなわち ケ＝⑤、コ＝②。

＜問題要旨＞
S(x) が極小となる x を求める設問です。

＜考え方＞
クの増減表をそのまま読みます。

極小となるのは x ＝ 2

サ＝②。

＜問題要旨＞
その極小値を求める設問です。

＜考え方＞
S(2) を計算します。

S(2) ＝ 8 − (9／2)×4 ＋ 12
     ＝ 8 − 18 ＋ 12 ＝ 2

シ＝②。

＜問題要旨＞
f(3) と一致するものを選ぶ設問です。

＜考え方＞
S′(x) ＝ f(x) という関係を、「接線の傾き」という言葉に翻訳できるかだけが問われています。

S′(x) ＝ f(x) なので

  f(3) ＝ S′(3)

  S′(3) は、y ＝ S(x) のグラフ上の
  点 (3, S(3)) における接線の傾き

ス＝③。

※ ④「y ＝ f(x) 上の点 (3, f(3)) における接線の傾き」は f′(3) のことで別物です。S と f を取り違えないようにしてください。

＜問題要旨＞
面積 S₁（0 ≦ x ≦ 1）と S₂（1 ≦ x ≦ m）を、積分の式で表す設問です。

＜考え方＞
面積を積分で書くときは、まずその区間で f が正か負かを確かめます。f(x) ＝ 3(x − 1)(x − m)、m > 1 です。

■ 0 ≦ x ≦ 1
    (x − 1) ≦ 0,  (x − m) < 0
    → f(x) ≧ 0（グラフは x 軸の上）
    S₁ ＝ ∫₀¹ f(x)dx           → ⓪

  ■ 1 ≦ x ≦ m
    (x − 1) ≧ 0,  (x − m) ≦ 0
    → f(x) ≦ 0（グラフは x 軸の下）
    S₂ ＝ ∫₁^m {−f(x)}dx      → ⑤

セ＝⓪、ソ＝⑤。

＜問題要旨＞
S₁ ＝ S₂ となる条件を、１本の積分が 0 になる形で表す設問です。

＜考え方＞
差 S₁ − S₂ を作ると、マイナスが打ち消えて１本の積分にまとまります。

S₁ − S₂ ＝ ∫₀¹ f dx − ∫₁^m (−f) dx
         ＝ ∫₀¹ f dx ＋ ∫₁^m f dx
         ＝ ∫₀^m f(x) dx
         ＝ S(m)

  S₁ ＝ S₂ ⟺ ∫₀^m f(x)dx ＝ 0

タ＝①。この条件は S(m) ＝ 0、つまり「S の極小値がちょうど 0」ということです。

＜問題要旨＞
S₁ ＝ S₂ のときの y ＝ S(x) のグラフの概形を選ぶ設問です。

＜考え方＞
S のグラフについてわかっていることを並べます。

・S(0) ＝ 0     （定義より）
  ・x ＝ 1 で極大
  ・x ＝ m で極小（m > 1）
  ・タより S(m) ＝ 0

  → 原点から立ち上がって山をつくり、
    下がってきて x ＝ m で
    ちょうど x 軸に接し、また上がる

極小点が x 軸に接している図は①です。チ＝①。

＜問題要旨＞
S₁ > S₂ のときの y ＝ S(x) のグラフの概形を選ぶ設問です。

＜考え方＞
チと同じ枠組みで、極小値の符号だけが変わります。

S₁ − S₂ ＝ S(m) だったので

  S₁ > S₂ ⟺ S(m) > 0

  → 極小値が x 軸より上にある
  → S は x ＝ 0 以外で x 軸と交わらない

極小点が x 軸の上にある図は②です。ツ＝②。

＜問題要旨＞
y ＝ f(x) のグラフの対称軸を答える設問です。

＜考え方＞
放物線の軸は、２つの解の中点です。

f(x) ＝ 3(x − 1)(x − m) の解は 1 と m

  軸 ： x ＝ (1 ＋ m)／2

テ＝③。以下ではこれを M とおきます。

＜問題要旨＞
対称性を使って、積分区間を反対側へ移す設問です。

＜考え方＞
軸 x ＝ M に関する対称移動は x → 2M − x です。区間の端点をそれぞれ折り返します。

2M ＝ 1 ＋ m なので

  1 − p の折り返し先
    2M − (1 − p) ＝ (1 ＋ m) − 1 ＋ p ＝ m ＋ p

  1 の折り返し先
    2M − 1 ＝ m

  よって
    ∫_{1−p}^{1} f dx ＝ ∫_{m}^{m+p} f dx   → ト ＝ ④

同様に M − q の折り返し先は M ＋ q なので

    ∫_{M−q}^{M} (−f) dx ＝ ∫_{M}^{M+q} (−f) dx  → ナ ＝ ②

ト＝④、ナ＝②。

＜問題要旨＞
①②の等式を、S を使った形に書き換える設問です。

＜考え方＞
∫_α^βf dx ＝ S(β) − S(α) をそのまま当てはめます。

■ ① について

  S(1) − S(1−p) ＝ S(m＋p) − S(m)

  移項して

  S(1−p) ＋ S(m＋p) ＝ S(1) ＋ S(m)   → ニ ＝ ⓪

■ ② について（−f の積分なので符号が反転）

  左辺 ＝ −{S(M) − S(M−q)} ＝ S(M−q) − S(M)
  右辺 ＝ −{S(M＋q) − S(M)} ＝ S(M) − S(M＋q)

  S(M−q) − S(M) ＝ S(M) − S(M＋q)

  2S(M) ＝ S(M−q) ＋ S(M＋q)        → ヌ ＝ ④

ニ＝⓪、ヌ＝④。

＜問題要旨＞
２点 (1−p, S(1−p)) と (m＋p, S(m＋p)) を結ぶ線分の中点について、正しい記述を選ぶ第２問の結論です。

＜考え方＞
中点の x 座標と y 座標を、それぞれ p の式で書いてみます。

■ x 座標

    { (1 − p) ＋ (m ＋ p) } ／ 2 ＝ (1 ＋ m)／2 ＝ M

    p が消える → p によらず一定

■ y 座標

    { S(1−p) ＋ S(m＋p) } ／ 2

    ニより分子は S(1) ＋ S(m) なので

    ＝ { S(1) ＋ S(m) } ／ 2

    やはり p によらず一定

■ その点は S のグラフ上にあるか

  ヌの 2S(M) ＝ S(M−q) ＋ S(M＋q) で
  q ＝ M − 1 とおくと

    M − q ＝ 1,  M ＋ q ＝ 2M − 1 ＝ m

    2S(M) ＝ S(1) ＋ S(m)

  よって { S(1) ＋ S(m) }／2 ＝ S(M)

  中点は (M, S(M)) → y ＝ S(x) のグラフ上

中点は p によらず一つに定まり、しかも y ＝ S(x) 上にあります。ネ＝②。

＜問題要旨＞
X ＝ 1 の確率が p であるとき、X の平均 m を求める設問です。

＜考え方＞
期待値の定義どおりに計算します。

m ＝ E(X)
    ＝ 0 × (1 − p) ＋ 1 × p
    ＝ p

ア＝⓪。

＜問題要旨＞
標本平均 X̄ が従う正規分布の分散を答える設問です。

＜考え方＞
標本平均の分布について、平均と分散は次のように決まります。

E(X̄) ＝ m
  V(X̄) ＝ σ² ／ n

  n が十分大きいとき
    X̄ 〜 N(m, σ²／n)

イ＝③。

※ ④の σ／√n は標準偏差です。N( , ) の２つ目に入るのは分散なので、混同しないでください。

＜問題要旨＞
標本の標準偏差 S の式を変形していく設問です。

＜考え方＞
前半は「分散＝２乗の平均−平均の２乗」、後半は X が 0 か 1 しかとらないという特殊事情を使います。

■ ウ

  S² ＝ (1／n)Σ(Xᵢ − X̄)²
     ＝ (1／n)ΣXᵢ² − (X̄)²

  → ウ ＝ ①  ( (X̄)² )

■ エ

  Xᵢ は 0 か 1 なので Xᵢ² ＝ Xᵢ

  (1／n)ΣXᵢ² ＝ (1／n)ΣXᵢ ＝ X̄

  S ＝ √( X̄ − (X̄)² ) ＝ √( X̄(1 − X̄) )

  → エ ＝ ②

ウ＝①、エ＝②。

＜問題要旨＞
表２の実測値から、母平均 m の信頼度 95％ の信頼区間を求める設問です。

＜考え方＞
X̄ と S を数値で出してから、公式 X̄ ± 1.96 × S／√n に入れます。

X̄ ＝ 75 ／ 300 ＝ 0.25

  S ＝ √(0.25 × 0.75) ＝ √0.1875 ＝ 0.4330

  √300 ＝ 17.32

  S ／ √n ＝ 0.4330 ／ 17.32 ＝ 0.025

  1.96 × 0.025 ＝ 0.049

信頼区間

  0.25 − 0.049 ≦ m ≦ 0.25 ＋ 0.049

  0.201 ≦ m ≦ 0.299

オ＝⓪。

※ S／√n が 0.025 ときれいな値になるように作られています。ここが割り切れなければ計算を疑ってください。

＜問題要旨＞
p ＝ 1／4 のとき、k ＝ 4 での U₄ の期待値を求める設問です。

＜考え方＞
表３のうち U₄ ＝ 1 になる行を拾って、その確率を足します。

U₄ ＝ 1 となるのは

    (X₁,X₂,X₃,X₄) ＝ (1,1,1,0)
    (X₁,X₂,X₃,X₄) ＝ (0,1,1,1)

  それぞれの確率は

    (1／4)³ × (3／4) ＝ 3／256

  E(U₄) ＝ 1 × (3／256 ＋ 3／256)
        ＝ 6／256 ＝ 3／128

カ＝③。

※ (1,1,1,1) は U₄ ＝ 0 です。1 が４つ以上続く部分は「ちょうど３つ」ではないので数えません。

＜問題要旨＞
k ＝ 5 のときの U₅ の期待値を求める設問です。

＜考え方＞
32通りを書き出す必要はありません。「1 がちょうど3つ続く箇所が始まる位置」ごとに確率を出して足します（期待値の線形性）。始まる位置は 1, 2, 3 の３通りです。

■ 位置1から始まる（X₁X₂X₃ ＝ 111, X₄ ＝ 0）
    X₅ は自由
    (1／4)³ × (3／4) ＝ 3／256 ＝ 12／1024

  ■ 位置2から始まる（X₁ ＝ 0, X₂X₃X₄ ＝ 111, X₅ ＝ 0）
    (3／4) × (1／4)³ × (3／4) ＝ 9／1024

  ■ 位置3から始まる（X₂ ＝ 0, X₃X₄X₅ ＝ 111）
    (3／4) × (1／4)³ ＝ 3／256 ＝ 12／1024

E(U₅) ＝ 12／1024 ＋ 9／1024 ＋ 12／1024
        ＝ 33／1024

キク＝33、すなわち キ＝③、ク＝③。

※ 両端では「外側の隣」が存在しないので条件が１つ少なく、確率が大きくなります。この違いがケコサの直線の式を生みます。

＜問題要旨＞
E(U_k) が k の１次式になることを使って、E(U₃₀₀) を求める第３問の結論です。

＜考え方＞
キクの数え方を一般の k に広げます。始まる位置は 1 から k − 2 までで、両端の２か所だけ確率が違うという構造です。

■ 両端（位置1 と 位置 k−2）… 2か所
    それぞれ 3／256 ＝ 12／1024

  ■ 内側（位置2 〜 位置 k−3）… (k − 4)か所
    それぞれ 9／1024

  E(U_k) ＝ 2×(12／1024) ＋ (k − 4)×(9／1024)
         ＝ (24 ＋ 9k − 36) ／ 1024
         ＝ (9k − 12) ／ 1024

検算
  k ＝ 4 → (36 − 12)／1024 ＝ 24／1024 ＝ 3／128 ✓
  k ＝ 5 → (45 − 12)／1024 ＝ 33／1024 ✓

  k ＝ 300 のとき

  E(U₃₀₀) ＝ (2700 − 12) ／ 1024
           ＝ 2688 ／ 1024
           ＝ 21 ／ 8

ケコ／サ＝21／8、すなわち ケ＝②、コ＝①、サ＝⑧。

※ 一般式を立てなくても、２点 (4, 3／128) と (5, 33／1024) を通る直線として求められます。傾きは 33／1024 − 24／1024 ＝ 9／1024 です。

＜問題要旨＞
a_n+1 − a_n ＝ 14、a₁ ＝ 10 のときの a₂、a₃ を求める設問です。

＜考え方＞
公差 14 の等差数列です。順に足していきます。

a₂ ＝ 10 ＋ 14 ＝ 24
  a₃ ＝ 24 ＋ 14 ＝ 38

アイ＝24、ウエ＝38、すなわち ア＝②、イ＝④、ウ＝③、エ＝⑧。

＜問題要旨＞
{a_n} の一般項を求める設問です。

＜考え方＞
等差数列の一般項の公式そのものです。

aₙ ＝ a₁ ＋ (公差) × (n − 1)
     ＝ a₁ ＋ 14(n − 1)

オカ＝14、すなわち オ＝①、カ＝④。

＜問題要旨＞
2b_n+1 − b_n ＋ 3 ＝ 0 を満たす {b_n} の一般項を求める設問です。

＜考え方＞
b_n+1 ＝ pb_n ＋ q 型なので、特性方程式（不動点）を使います。

2b_{n+1} ＝ b_n − 3
  b_{n+1} ＝ (1／2)b_n − 3／2

  特性方程式 x ＝ (1／2)x − 3／2
    (1／2)x ＝ −3／2
         x ＝ −3

両辺から −3 を引く（＝ ＋3 する）と

  b_{n+1} ＋ 3 ＝ (1／2)(b_n ＋ 3)

  {b_n ＋ 3} は公比 1／2 の等比数列なので

  b_n ＋ 3 ＝ (b₁ ＋ 3)(1／2)^{n−1}

  b_n ＝ (b₁ ＋ 3)(1／2)^{n−1} − 3

キ＝③、ク／ケ＝1／2、コ＝③、すなわち キ＝③、ク＝①、ケ＝②、コ＝③。

※ この −3 という値が、以降ずっと鍵になります。

＜問題要旨＞
(c_n ＋ 3)(2c_n+1 − c_n ＋ 3) ＝ 0 …① を満たし、c₁ ＝ 5 のときの c₂ を求める設問です。

＜考え方＞
n ＝ 1 として①に代入します。前の因数が 0 でないなら、後ろの因数が 0です。

c₁ ＋ 3 ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8 ≠ 0

  よって 2c₂ − c₁ ＋ 3 ＝ 0

     2c₂ ＝ c₁ − 3 ＝ 5 − 3 ＝ 2
      c₂ ＝ 1

サ＝①。

＜問題要旨＞
①を満たし c₃ ＝ −3 のときの c₂、c₁ を求める、さかのぼる設問です。

＜考え方＞
n ＝ 2 として①に代入し、c₃ ＝ −3 を入れます。すると完全平方の形が現れます。

n ＝ 2 のとき
  (c₂ ＋ 3)(2c₃ − c₂ ＋ 3) ＝ 0

  c₃ ＝ −3 を代入
  2c₃ ＋ 3 ＝ −6 ＋ 3 ＝ −3 なので

  (c₂ ＋ 3)(−3 − c₂) ＝ 0
  −(c₂ ＋ 3)² ＝ 0

  c₂ ＝ −3

同じことを n ＝ 1 で繰り返すと

  (c₁ ＋ 3)(2c₂ − c₁ ＋ 3) ＝ 0
  c₂ ＝ −3 より 2c₂ ＋ 3 ＝ −3

  (c₁ ＋ 3)(−3 − c₁) ＝ 0
  −(c₁ ＋ 3)² ＝ 0

  c₁ ＝ −3

シス＝−3、セソ＝−3、すなわち シ＝−、ス＝③、セ＝−、ソ＝③。

※ 「ある項が −3 なら、その前の項も必ず −3」という、過去へは一意に決まる性質が出てきました。これがテ・トの根拠になります。

＜問題要旨＞
c₃ ＝ −3 のとき、c₄ ＝ 5 の場合と c₄ ＝ 83 の場合それぞれの c₅ を求める設問です。

＜考え方＞
c₃ ＝ −3 のときは (c₃ ＋ 3) ＝ 0 なので、n ＝ 3 の式は c₄ が何であっても成り立ちます。つまり c₄ は自由です。そこから先は n ＝ 4 の式で決まります。

■ c₄ ＝ 5 のとき
    c₄ ＋ 3 ＝ 8 ≠ 0 なので
    2c₅ ＝ c₄ − 3 ＝ 5 − 3 ＝ 2
     c₅ ＝ 1

■ c₄ ＝ 83 のとき
    c₄ ＋ 3 ＝ 86 ≠ 0 なので
    2c₅ ＝ 83 − 3 ＝ 80
     c₅ ＝ 40

タ＝①、チツ＝40、すなわち タ＝①、チ＝④、ツ＝⓪。

※ 「−3 が現れると、次の項が決まらなくなる（未来へは分岐する）」。シスセソの逆向きの性質です。

＜問題要旨＞
命題A「c₁ ≠ −3 ならすべての n で c_n ≠ −3」を証明するために示すべきことを選ぶ設問です。

＜考え方＞
「すべての自然数 n について」を示すのですから、数学的帰納法です。帰納法の２段目（帰納段階）の書き方を選びます。

数学的帰納法

  (1) n ＝ 1 のとき c₁ ≠ −3   （仮定より成立）
  (2) n ＝ k で c_k ≠ −3 と仮定すると
      n ＝ k＋1 でも c_{k+1} ≠ −3

  → (2) を示せばよい

テ＝③。

※ ⓪や①は「特定の番号だけ」を示すもので、すべての n をカバーできません。④は結論が逆（＝ −3）になっています。

＜問題要旨＞
３つの命題 (I)(II)(III) の真偽を判定する、第４問の結論です。

＜考え方＞
ここまでで得た２つの性質を使います。（あ）−3 より前の項も必ず −3、（い）−3 の次の項は自由。

■ (I) c₁ ＝ 3 かつ c₁₀₀ ＝ −3

  c₁ ＝ 3 ≠ −3 なので、命題A よりすべての n で
  cₙ ≠ −3。c₁₀₀ ＝ −3 はあり得ない。

  → 偽

■ (II) c₁ ＝ −3 かつ c₁₀₀ ＝ −3

  すべての n で cₙ ＝ −3 とすれば
  (cₙ ＋ 3) ＝ 0 なので①は常に成立。

  → 真（実例がある）

■ (III) c₁ ＝ −3 かつ c₁₀₀ ＝ 3

  c₁ ＝ −3 だから n ＝ 1 の式は c₂ が何でも成立。
  そこで c₂ ≠ −3 に選ぶと、n ≧ 2 では

    2c_{n+1} ＝ c_n − 3
    c_n ＝ (c₂ ＋ 3)(1／2)^{n−2} − 3   (n ≧ 2)

  c₁₀₀ ＝ 3 となるには
    (c₂ ＋ 3)(1／2)⁹⁸ ＝ 6
    c₂ ＝ 6×2⁹⁸ − 3

  これは実際に存在する値。

  → 真

(I) 偽・(II) 真・(III) 真 の組合せは④です。ト＝④。

※ (III) は「そんな数列があるのか」と迷いますが、c₂ を巨大な値にとれば作れます。「ある」を示すには実例を一つ作ればよいという原則どおりです。

＜問題要旨＞
A(2, 7, −1)、B(3, 6, 0) について、ベクトル AB を成分で求める設問です。

＜考え方＞
終点の座標から始点の座標を引きます。

AB→ ＝ (3 − 2, 6 − 7, 0 − (−1))
      ＝ (1, −1, 1)

ア＝①、イウ＝−1、エ＝①、すなわち ア＝①、イ＝−、ウ＝①、エ＝①。

＜問題要旨＞
AB→ と CD→ の内積を求める設問です。

＜考え方＞
CD→ も同じように成分で出してから、内積を計算します。

C(−8, 10, −3),  D(−9, 8, −4)

  CD→ ＝ (−9 − (−8), 8 − 10, −4 − (−3))
       ＝ (−1, −2, −1)

  AB→・CD→ ＝ 1×(−1) ＋ (−1)×(−2) ＋ 1×(−1)
            ＝ −1 ＋ 2 − 1 ＝ 0

オ＝⓪。内積が 0 なので、ℓ₁ と ℓ₂ は垂直（ねじれの位置にある垂直な２直線）です。

＜問題要旨＞
P が ℓ₁ 上にあるときの OP→ の表し方を選ぶ設問です。

＜考え方＞
始点を O にそろえます。

AP→ ＝ s AB→ より

  OP→ ＝ OA→ ＋ AP→
       ＝ OA→ ＋ s AB→

カ＝②。

＜問題要旨＞
|OP→|² を s の２次式で表す設問です。

＜考え方＞
OP→ ＝ OA→ ＋ s AB→ を２乗して展開します。

|OP→|² ＝ |OA→ ＋ s AB→|²
         ＝ |AB→|² s² ＋ 2(OA→・AB→)s ＋ |OA→|²

|AB→|² ＝ 1² ＋ (−1)² ＋ 1² ＝ 3

  OA→・AB→ ＝ 2×1 ＋ 7×(−1) ＋ (−1)×1
            ＝ 2 − 7 − 1 ＝ −6
    → 2×(−6) ＝ −12

  |OA→|² ＝ 2² ＋ 7² ＋ (−1)² ＝ 4 ＋ 49 ＋ 1 ＝ 54

|OP→|² ＝ 3s² − 12s ＋ 54

キ＝③、クケ＝12、コサ＝54、すなわち キ＝③、ク＝①、ケ＝②、コ＝⑤、サ＝④。

＜問題要旨＞
|OP→| が最小になるときの、直線 OP と ℓ₁ の関係を選ぶ設問です。

＜考え方＞
点から直線までの距離が最小になるのは垂線を下ろしたときです。垂直は内積 0 で表します。

OP ⊥ ℓ₁

  ℓ₁ の方向ベクトルは AB→ なので

  OP→・AB→ ＝ 0

シ＝①。

＜問題要旨＞
|OP→| が最小となる s の値を求める設問です。

＜考え方＞
２通りの解き方があり、どちらでも同じ答えになります。

■ 花子さんの方法（平方完成）

  |OP→|² ＝ 3s² − 12s ＋ 54
          ＝ 3(s − 2)² ＋ 42

  s ＝ 2 で最小（最小値 √42）

■ 太郎さんの方法（垂直条件）

  OP→・AB→ ＝ (OA→ ＋ s AB→)・AB→
            ＝ OA→・AB→ ＋ s|AB→|²
            ＝ −6 ＋ 3s ＝ 0

  s ＝ 2

ス＝②。

＜問題要旨＞
P が ℓ₁ 上、Q が ℓ₂ 上を動くとき、線分 PQ が最小になる P と Q の座標を求める、第５問の結論です。

＜考え方＞
PQ が最小になるのは、PQ が ℓ₁ と ℓ₂ の両方に垂直になるときです。内積 0 の式を２本立てて連立します。

P ＝ A ＋ s AB→ ＝ (2 ＋ s, 7 − s, −1 ＋ s)
  Q ＝ C ＋ t CD→ ＝ (−8 − t, 10 − 2t, −3 − t)

  PQ→ ＝ Q − P
       ＝ (−10 − t − s, 3 − 2t ＋ s, −2 − t − s)

■ PQ→・AB→ ＝ 0    （AB→ ＝ (1, −1, 1)）

  (−10 − t − s) − (3 − 2t ＋ s) ＋ (−2 − t − s)
  ＝ −15 − 3s ＝ 0

    s ＝ −5

■ PQ→・CD→ ＝ 0    （CD→ ＝ (−1, −2, −1)）

  −(−10 − t − s) − 2(3 − 2t ＋ s) − (−2 − t − s)
  ＝ 6 ＋ 6t ＝ 0

    t ＝ −1

P ＝ (2 − 5, 7 ＋ 5, −1 − 5) ＝ (−3, 12, −6)
  Q ＝ (−8 ＋ 1, 10 ＋ 2, −3 ＋ 1) ＝ (−7, 12, −2)

  検算： PQ→ ＝ (−4, 0, 4)
    PQ→・AB→ ＝ −4 ＋ 0 ＋ 4 ＝ 0 ✓
    PQ→・CD→ ＝ 4 ＋ 0 − 4 ＝ 0 ✓
    |PQ→| ＝ √32 ＝ 4√2

P(−3, 12, −6)、Q(−7, 12, −2)、すなわち セ＝−、ソ＝③、タ＝①、チ＝②、ツ＝−、テ＝⑥、ト＝−、ナ＝⑦、ニ＝①、ヌ＝②、ネ＝−、ノ＝②。

※ s と t の式がそれぞれ片方の文字しか含まない形（−15 − 3s ＝ 0 と 6 ＋ 6t ＝ 0）になるのは、オで見た AB→・CD→ ＝ 0 のおかげです。連立を解く手間がかからないよう作られています。