2022年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2022年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅰ・数学A」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 数と式（対称式と、差の積の値）
a ＋ b ＋ c と a² ＋ b² ＋ c² の値だけから、対称式の値を次々に引き出す設問です。(2)では (a−b) ＋ (b−c) ＋ (c−a) ＝ 0 という関係に気づけるかが分かれ目になります。
アイ：正解 −6（配点2）
＜問題要旨＞
a ＋ b ＋ c ＝ 1、a² ＋ b² ＋ c² ＝ 13 のとき、ab ＋ bc ＋ ca の値を求めます。
＜考え方＞
(a ＋ b ＋ c)² を展開した式に、①と②を代入します。
(a ＋ b ＋ c)² ＝ a² ＋ b² ＋ c² ＋ 2(ab ＋ bc ＋ ca) 1² ＝ 13 ＋ 2(ab ＋ bc ＋ ca) 2(ab ＋ bc ＋ ca) ＝ 1 − 13 ＝ −12 ab ＋ bc ＋ ca ＝ −6
よって アイ＝−6。
ウエ：正解 38（配点2）
＜問題要旨＞
(a−b)² ＋ (b−c)² ＋ (c−a)² の値を求めます。
＜考え方＞
展開すると a²＋b²＋c² と ab＋bc＋ca だけで表せます。
(a−b)² ＋ (b−c)² ＋ (c−a)² ＝ 2(a² ＋ b² ＋ c²) − 2(ab ＋ bc ＋ ca) ＝ 2 × 13 − 2 × (−6) ＝ 26 ＋ 12 ＝ 38
よって ウエ＝38。
オカ：正解 −2（配点2）
＜問題要旨＞
a − b ＝ 2√5 のとき、b − c ＝ x、c − a ＝ y とおいて x ＋ y を求めます。
＜考え方＞
３つの差を足すと 0 になることを使います。
(a − b) ＋ (b − c) ＋ (c − a) ＝ 0 2√5 ＋ x ＋ y ＝ 0 x ＋ y ＝ −2√5
よって オカ＝−2。
キク：正解 18（配点2）
＜問題要旨＞
同じ設定で x² ＋ y² を求めます。
＜考え方＞
(1)で求めた 38 から、(a−b)² のぶんを引きます。
(a−b)² ＋ x² ＋ y² ＝ 38 (2√5)² ＝ 20 なので 20 ＋ x² ＋ y² ＝ 38 x² ＋ y² ＝ 18
よって キク＝18。
ケ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
(a−b)(b−c)(c−a) の値を求めます。
＜考え方＞
xy を「和の2乗 − 2乗の和」から出し、a−b を掛けます。
(x ＋ y)² ＝ x² ＋ 2xy ＋ y² より
(−2√5)² ＝ 18 ＋ 2xy
20 ＝ 18 ＋ 2xy
xy ＝ 1
(a−b)(b−c)(c−a) ＝ 2√5 × xy
＝ 2√5 × 1
＝ 2√5
よって ケ＝2。
第１問 〔２〕 図形と計量（地図の縮尺と、坂を見上げる角）
断面図の鉛直方向と水平方向で縮尺が違うため、図から測った角度がそのままでは使えない、という設問です。「tan は 高さ ÷ 水平距離」に立ち返ると素直に処理できます。
コ．サシス：正解 0．072（配点3）
＜問題要旨＞
図1の θ が 16° のとき、実際に地点Aから山頂Bを見上げる角 ∠BAC の正接を求めます。
＜考え方＞
図上の長さを実際の長さに直します。鉛直方向は 1/25000、水平方向は 1/100000 なので、実際の縦横比は図上の 25000/100000 ＝ 1/4 倍になります。
図上では tanθ ＝ (図上のBC)/(図上のAC) ＝ tan16°
三角比の表より tan16° ＝ 0.2867
実際の長さは
実際のBC ＝ 図上のBC × 25000
実際のAC ＝ 図上のAC × 100000
tan∠BAC ＝ (図上BC × 25000)/(図上AC × 100000)
＝ tan16° × (1/4)
＝ 0.2867 × 0.25
＝ 0.0716…
≒ 0.072
よって コ＝0、サシス＝072。
セ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
∠BAC の大きさがどの範囲に入るかを選びます。
＜考え方＞
三角比の表で 0.072 を挟む2つの tan の値を探します。
三角比の表より tan4° ＝ 0.0699 tan5° ＝ 0.0875 0.0699 ＜ 0.072 ＜ 0.0875 よって 4° ＜ ∠BAC ＜ 5°
図上で測った 16° とは大きく違うことに注意。よって セ＝②（4° より大きく 5° より小さい）。
第１問 〔３〕 図形と計量（外接円の半径と、垂線 AD の最大）
外接円の半径が 3 に固定されているので、正弦定理から「辺 ＝ 6 × sin」という関係が全問を貫きます。最後は AD を２次関数とみて最大を求めますが、頂点が定義域の外にあるので端点で最大になります。
ソ／タ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
外接円の半径が 3、AB ＝ 5、AC ＝ 4 のときの sin∠ABC を求めます。
＜考え方＞
∠ABC に向かい合う辺は AC です。正弦定理を使います。
正弦定理 AC/sin∠ABC ＝ 2R ＝ 6 より sin∠ABC ＝ AC/6 ＝ 4/6 ＝ 2/3
よって ソ＝2、タ＝3。
チツ／テ：正解 10／3（配点2）
＜問題要旨＞
同じ設定で AD の長さを求めます。
＜考え方＞
AD は直角三角形 ABD の辺なので、AB と sin∠ABC で表せます。
△ABD は ∠ADB ＝ 90°
AD ＝ AB sin∠ABC
＝ 5 × 2/3
＝ 10/3
よって チツ＝10、テ＝3。
ト ≦ AB ≦ ナ：正解 4 ≦ AB ≦ 6（配点3）
＜問題要旨＞
2AB ＋ AC ＝ 14 のとき、AB のとり得る値の範囲を求めます。
＜考え方＞
外接円の半径が 3 なので、どの辺も 6 以下（直径以下）です。この上限が効きます。
正弦定理より AB ＝ 6 sin∠ACB ≦ 6 AC ＝ 6 sin∠ABC ≦ 6 AC ＝ 14 − 2AB なので 14 − 2AB ≦ 6 −2AB ≦ −8 AB ≧ 4 あわせて 4 ≦ AB ≦ 6
よって ト＝4、ナ＝6。
ニヌ／ネ，ノ／ハ：正解 −1／3，7／3（配点3）
＜問題要旨＞
AD を AB の式で表します。
＜考え方＞
AD ＝ AB sin∠ABC と、sin∠ABC ＝ AC/6 を組み合わせます。
sin∠ABC ＝ AC/6 ＝ (14 − 2AB)/6 AD ＝ AB sin∠ABC ＝ AB × (14 − 2AB)/6 ＝ (14AB − 2AB²)/6 ＝ −(1/3)AB² ＋ (7/3)AB
よって ニヌ＝−1、ネ＝3、ノ＝7、ハ＝3。
ヒ：正解 4（配点3）
＜問題要旨＞
AD の最大値を求めます。
＜考え方＞
上に凸な２次関数ですが、頂点が定義域 4 ≦ AB ≦ 6 の外にあるので、頂点の値は答えになりません。
AD ＝ −(1/3)AB² ＋ (7/3)AB
頂点の AB は
(7/3) ÷ (2 × 1/3) ＝ 7/2 ＝ 3.5
3.5 ＜ 4 なので、定義域 4 ≦ AB ≦ 6 では
AD は<strong>単調に減少</strong>する
よって AB ＝ 4 のとき最大
AD ＝ −(1/3)(16) ＋ (7/3)(4)
＝ −16/3 ＋ 28/3
＝ 12/3 ＝ 4
よって ヒ＝4。
第２問 〔１〕 ２次関数（２つの２次方程式の実数解の個数）
２つの２次方程式の解を合わせた個数 n を追う設問です。共通解があると個数が減るという一点に注意が集まります。(3)(4)はグラフの動きと集合の言いかえで、同じ状況を別の言葉で見直します。
ア：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
p ＝ 4、q ＝ −4 のときの n（①または②を満たす実数 x の個数）を求めます。
＜考え方＞
それぞれの解を求め、重複を除いて数えます。
① x² ＋ 4x − 4 ＝ 0 判別式 16 ＋ 16 ＝ 32 ＞ 0 → 異なる2解 x ＝ −2 ± 2√2 ② x² − 4x ＋ 4 ＝ 0 (x − 2)² ＝ 0 → 重解 x ＝ 2 共通解はないので n ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3
よって ア＝3。
イ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
p ＝ 1、q ＝ −2 のときの n を求めます。
＜考え方＞
こんどは共通解があります。
① x² ＋ x − 2 ＝ 0
(x ＋ 2)(x − 1) ＝ 0 → x ＝ −2, 1
② x² − 2x ＋ 1 ＝ 0
(x − 1)² ＝ 0 → x ＝ 1
x ＝ 1 が共通なので
解全体は {−2, 1} → n ＝ 2
よって イ＝2。
ウ：正解 5（配点3）
＜問題要旨＞
p ＝ −6 のとき n ＝ 3 となる q の値のうち、小さい方を求めます。
＜考え方＞
会話文の誘導どおり、まず①と②に共通解 α がある場合を調べます。
α² − 6α ＋ q ＝ 0 … ③
α² ＋ qα − 6 ＝ 0 … ④
③ − ④ で α² を消去
(−6 − q)α ＋ (q ＋ 6) ＝ 0
−(q ＋ 6)α ＋ (q ＋ 6) ＝ 0
(q ＋ 6)(1 − α) ＝ 0
よって q ＝ −6 または α ＝ 1
・α ＝ 1 のとき ③より 1 − 6 ＋ q ＝ 0 → q ＝ 5
① x² − 6x ＋ 5 ＝ 0 → x ＝ 1, 5
② x² ＋ 5x − 6 ＝ 0 → x ＝ −6, 1
解全体 {1, 5, −6} → n ＝ 3 ✓
・q ＝ −6 のとき ①と②は同じ式になり n ＝ 2（不適）
よって ウ＝5。
エ：正解 9（配点2）
＜問題要旨＞
同じく n ＝ 3 となる q のうち、大きい方を求めます。
＜考え方＞
共通解がない場合を考えます。②はつねに異なる2解をもつので、①が重解になればよいことになります。
② x² ＋ qx − 6 ＝ 0 の判別式は q² ＋ 24 ＞ 0（つねに異なる2解） ① x² − 6x ＋ q ＝ 0 の判別式は 36 − 4q 重解 ⟺ 36 − 4q ＝ 0 ⟺ q ＝ 9 q ＝ 9 のとき ① (x − 3)² ＝ 0 → x ＝ 3 ② x² ＋ 9x − 6 ＝ 0 → 異なる2解 x ＝ 3 は②を満たさない（9 ＋ 27 − 6 ＝ 30 ≠ 0） n ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3 ✓
よって エ＝9。
オ：正解 ⑥（配点1）
＜問題要旨＞
③ y ＝ x² − 6x ＋ q で、q を 1 から増加させたときのグラフの動きを選びます。
＜考え方＞
q は定数項なので、グラフは真上に平行移動します。
y ＝ x² − 6x ＋ q ＝ (x − 3)² ＋ q − 9 頂点は (3, q − 9) q が増えても x 座標 3 は変わらず y 座標だけが増える → 左右に動かず、真上へ平行移動
よって オ＝⑥。
カ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
④ y ＝ x² ＋ qx − 6 で、q を 1 から増加させたときのグラフの動きを選びます。
＜考え方＞
頂点の座標を q で表して、その動きを追います。
y ＝ x² ＋ qx − 6 ＝ (x ＋ q/2)² − q²/4 − 6 頂点は (−q/2, −q²/4 − 6) q ＞ 0 のとき q が増えると −q/2 は減少 → 左へ −q²/4 − 6 も減少 → 下へ → 左下へ移動
よって カ＝①。
キ，ク：正解 ③，①（配点3）
＜問題要旨＞
5 ＜ q ＜ 9 のとき、集合 A、B について必要条件・十分条件を判定します。
＜考え方＞
A と B を具体的な区間として求め、共通部分が空であることを示します。
A ＝ {x | x² − 6x ＋ q ＜ 0}
x ＝ 3 ± √(9 − q)
5 ＜ q ＜ 9 のとき 0 ＜ √(9−q) ＜ 2
→ A の左端 3 − √(9−q) は 1 より大きい
B ＝ {x | x² ＋ qx − 6 ＜ 0}
x ＝ (−q ± √(q²＋24))/2
B の右端は (−q ＋ √(q²＋24))/2
q ＝ 5 のとき 1、q が増えると減少
→ 5 ＜ q では B の右端は 1 より小さい
よって A ∩ B ＝ 空集合
【キ】x∈A と x∈B は同時に成り立たない
どちらの向きも成り立たない
→ 必要条件でも十分条件でもない
【ク】A ∩ B ＝ 空 は B ⊆ Ā と同じ
x∈B ⇒ x∈Ā は成り立つ（十分条件）
逆に Ā は A の外側全体で B より広い
→ 必要条件ではない
よって キ＝③、ク＝①。
第２問 〔２〕 データの分析（海外の日本語教育のデータ）
29 か国のデータを、ヒストグラム・箱ひげ図・散布図の三つの見せ方で行き来する設問です。ヒストグラムからは階級までしか分からないため、「判断できない」が正解になる設問が混ざっています。
ケ，コ，サ：正解 ②，②，⓪（配点3）
＜問題要旨＞
2009年度と2018年度で、中央値・第1四分位数・第3四分位数が含まれる階級の階級値を比較します。
＜考え方＞
29 個のデータなので中央値は 15 番目、第1四分位数は 7 番目と 8 番目の間、第3四分位数は 22 番目と 23 番目の間です。度数を累積して探します。
階級幅は 15。度数の合計はどちらも 29 ✓ 【2009年度（図1）】 15–30：11（1〜11番目） 30–45： 6（12〜17番目） 45–60： 4（18〜21番目） 60–75： 3（22〜24番目） 75–90： 2（25〜26番目） 105–120, 135–150, 165–180：各1（27〜29番目） 中央値(15番目) → 30–45、階級値 37.5 第1四分位数(7〜8番目) → 15–30、階級値 22.5 第3四分位数(22〜23番目) → 60–75、階級値 67.5 【2018年度（図2）】 0–15： 1（1番目） 15–30： 9（2〜10番目） 30–45：11（11〜21番目） 45–60： 2（22〜23番目） 60–75： 1（24番目） 75–90： 2（25〜26番目） 90–105：1（27番目） 120–135：2（28〜29番目） 中央値(15番目) → 30–45、階級値 37.5 第1四分位数 → 15–30、階級値 22.5 第3四分位数(22〜23番目) → 45–60、階級値 52.5
中央値・第1四分位数は等しく、第3四分位数は2018年度の方が小さい。よって ケ＝②、コ＝②、サ＝⓪。
シ，ス：正解 ⓪，③（配点2）
＜問題要旨＞
範囲と四分位範囲を比較します。
＜考え方＞
ヒストグラムからは値そのものが読めないので、とり得る範囲を区間で押さえて比べます。区間が重なったら「判断できない」です。
【範囲（最大値 − 最小値）】 2009：最大は165–180、最小は15–30 → 165 − 30 ＜ 範囲 ＜ 180 − 15 → 135 ＜ 範囲 ＜ 165 2018：最大は120–135、最小は0–15 → 105 ＜ 範囲 ＜ 135 区間が重ならず、2018年度が小さいと確定 【四分位範囲（Q3 − Q1）】 2009：Q1∈[15,30)、Q3∈[60,75) → 30 ＜ 四分位範囲 ＜ 60 2018：Q1∈[15,30)、Q3∈[45,60) → 15 ＜ 四分位範囲 ＜ 45 区間が重なる（30〜45 が共通） → どちらが大きいか確定できない
よって シ＝⓪、ス＝③。
セ：正解 ②（配点4）
＜問題要旨＞
2009年度の「教育機関1機関あたりの学習者数」（横軸）と「教員1人あたりの学習者数」（縦軸）の散布図を選びます。
＜考え方＞
縦軸の分布が図4のヒストグラムと合うか、横軸の分布が図3の箱ひげ図と合うかの２つで絞ります。
【縦軸の条件（図4）】 ・0–15 の点は 0 個 ・15–30 が 11 個で最多 ・165–180 に 1 個（いちばん上に孤立した点） 【横軸の条件（図3の箱ひげ図）】 ・最小値 ≒ 60 ・中央値 ≒ 145 ・第3四分位数 ≒ 240 ・最大値 ≒ 480 ③ は縦軸 15 未満に点があり、図4と矛盾 ① は横軸の最大が 430 程度で、箱ひげ図の 480 と合わない ⓪ は縦軸 15–30 の個数が足りない ② は縦軸・横軸ともすべての条件を満たす
よって セ＝②。
ソ．タチ：正解 0．63（配点3）
＜問題要旨＞
S と T の相関係数を求めます。
＜考え方＞
相関係数 ＝ 共分散 ÷ (それぞれの標準偏差の積) です。
r ＝ 735.3 ÷ (39.3 × 29.9) 39.3 × 29.9 ＝ 1175.07 r ＝ 735.3 / 1175.07 ＝ 0.6257… ≒ 0.63
よって ソ＝0、タチ＝63。
ツ：正解 ③（配点3）
＜問題要旨＞
S（横軸）と T（縦軸）の散布図を選びます。
＜考え方＞
表1の平均値・標準偏差と、(3)で求めた相関係数 0.63 の３点を手がかりにします。
【条件】 ・S の平均 81.8、T の平均 72.9 ・S の標準偏差 39.3、T の標準偏差 29.9 → T の方がばらつきが小さい ・相関係数 0.63 → はっきりした正の相関 ② は点が広く散らばり、S が大きいのに T が 小さい点（S≒170, T≒40）などがあり、 0.63 ほどの正の相関には見えない ③ は S＝50〜100 に密集し、S が大きい点は T も大きいという右上がりの傾向が明確 平均もおよそ (80, 73) の位置にある
よって ツ＝③。
第３問 場合の数と確率（プレゼント交換会・完全順列）
「全員が自分以外のプレゼントを受け取る」＝完全順列（撹乱順列）を数える設問です。(2)の誘導が「終了しない場合を、自分のを受け取る人数で場合分けして数える」という定石をそのまま示してくれています。
ア：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
2人で交換会を開くとき、1回目で終了する受け取り方の数を求めます。
＜考え方＞
2人の場合、全員が自分以外を受け取るのは互いに交換する1通りだけです。
受け取り方は全部で 2! ＝ 2 通り ・そのまま自分のを受け取る … 終了しない ・互いに交換する … 終了する 終了するのは 1 通り
よって ア＝1。
イ／ウ：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの確率を求めます。
＜考え方＞
全体 2 通りのうち 1 通りです。
1/2! ＝ 1/2
よって イ＝1、ウ＝2。
エ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
3人で交換会を開くとき、1回目で終了する受け取り方の数を求めます。
＜考え方＞
3人 A, B, C の完全順列を書き出します。
全部で 3! ＝ 6 通り A→B, B→C, C→A（巡回） A→C, C→B, B→A（逆巡回） の 2 通りが完全順列
よって エ＝2。
オ／カ：正解 1／3（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの確率を求めます。
＜考え方＞
6 通りのうち 2 通りです。
2/6 ＝ 1/3
よって オ＝1、カ＝3。
キク／ケコ：正解 65／81（配点2）
＜問題要旨＞
3人で、4回以下の交換で終了する確率を求めます。
＜考え方＞
余事象（4回とも失敗）を考えるのが速いです。
1回で終了する確率は 1/3 1回で終了しない確率は 2/3 4回以下で終了する確率 ＝ 1 − (4回とも終了しない確率) ＝ 1 − (2/3)⁴ ＝ 1 − 16/81 ＝ 65/81
よって キク＝65、ケコ＝81。
サ：正解 8（配点2）
＜問題要旨＞
4人で、ちょうど1人が自分のプレゼントを受け取る場合の数を求めます。
＜考え方＞
「自分のを受け取る1人を選び、残り3人は全員が自分以外」と分けます。
自分のを受け取る1人の選び方 … ₄C₁ ＝ 4 通り 残り3人が全員自分以外 … 3人の完全順列 ＝ 2 通り 4 × 2 ＝ 8 通り
よって サ＝8。
シ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
同じく、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合の数を求めます。
＜考え方＞
残り2人が全員自分以外＝互いに交換の1通りです。
2人の選び方 … ₄C₂ ＝ 6 通り 残り2人が全員自分以外 … 1 通り 6 × 1 ＝ 6 通り
よって シ＝6。
スセ：正解 15（配点1）
＜問題要旨＞
4人で、1回目で終了しない受け取り方の総数を求めます。
＜考え方＞
「ちょうど何人が自分のを受け取るか」で 1人・2人・3人・4人に分けて足します。
ちょうど1人 … 8 通り
ちょうど2人 … 6 通り
ちょうど3人 … ₄C₃ × (1人の完全順列)
＝ 4 × 0 ＝ 0 通り
（残り1人は必ず自分のを受け取る）
ちょうど4人 … 1 通り
8 ＋ 6 ＋ 0 ＋ 1 ＝ 15 通り
よって スセ＝15。
ソ／タ：正解 3／8（配点2）
＜問題要旨＞
4人で、1回目の交換で終了する確率を求めます。
＜考え方＞
全体 4! から、終了しない 15 通りを引きます。
全体は 4! ＝ 24 通り 終了する ＝ 24 − 15 ＝ 9 通り 確率 ＝ 9/24 ＝ 3/8
よって ソ＝3、タ＝8。
チツ／テト：正解 11／30（配点3）
＜問題要旨＞
5人で、1回目の交換で終了する確率を求めます。
＜考え方＞
同じ場合分けで、5人の完全順列の個数を求めます。
全体は 5! ＝ 120 通り 終了しない場合を数えると ちょうど1人 … ₅C₁ × 4人の完全順列 ＝ 5 × 9 ＝ 45 ちょうど2人 … ₅C₂ × 3人の完全順列 ＝ 10 × 2 ＝ 20 ちょうど3人 … ₅C₃ × 2人の完全順列 ＝ 10 × 1 ＝ 10 ちょうど4人 … 0（残り1人は自分のになる） ちょうど5人 … 1 合計 45 ＋ 20 ＋ 10 ＋ 0 ＋ 1 ＝ 76 終了する ＝ 120 − 76 ＝ 44 通り 確率 ＝ 44/120 ＝ 11/30 （4人の完全順列は(2)より 24 − 15 ＝ 9 通り）
よって チツ＝11、テト＝30。
ナニ／ヌネ：正解 44／53（配点3）
＜問題要旨＞
5人のうち A, B, C, D が自分以外を受け取ったとき、その回で終了する条件付き確率を求めます。
＜考え方＞
（条件を満たす場合の数）を分母、（さらに E も自分以外）を分子にします。分母は包除原理で数えます。
分母：A, B, C, D が全員自分以外（E は自由） 包除原理より 5! − ₄C₁×4! ＋ ₄C₂×3! − ₄C₃×2! ＋ ₄C₄×1! ＝ 120 − 4×24 ＋ 6×6 − 4×2 ＋ 1×1 ＝ 120 − 96 ＋ 36 − 8 ＋ 1 ＝ 53 通り 分子：5人全員が自分以外 ＝ 44 通り（(3)より） 条件付き確率 ＝ 44/53
よって ナニ＝44、ヌネ＝53。
第４問 整数の性質（5⁴ を 2⁴ で割った余りと不定方程式）
「5⁴ ＝ 625 を 2⁴ で割ると余り 1」という一つの事実から出発し、それを2乗して指数を1つ上げることで 5⁵ の場合へ進む設問です。(4)は同じ手口を 11 で繰り返します。
ア，イウ：正解 1，39（配点3）
＜問題要旨＞
5⁴x − 2⁴y ＝ 1 の整数解のうち、x が正で最小のものを求めます。
＜考え方＞
問題文の「625 を 16 で割った余りが 1」がそのまま特殊解を与えてくれます。
625 ＝ 16 × 39 ＋ 1 より 625 × 1 − 16 × 39 ＝ 1 x ＝ 1、y ＝ 39
よって ア＝1、イウ＝39。
エオ：正解 17（配点2）
＜問題要旨＞
同じ方程式の整数解のうち、x が2桁の正の整数で最小のものの x を求めます。
＜考え方＞
一般解を作ります。625 と 16 は互いに素です。
625(x − 1) ＝ 16(y − 39) 625 と 16 は互いに素なので x − 1 ＝ 16k、y − 39 ＝ 625k x ＝ 1 ＋ 16k、y ＝ 39 ＋ 625k k ＝ 0 → x ＝ 1（1桁） k ＝ 1 → x ＝ 17（2桁で最小）
よって エオ＝17。
カキク：正解 664（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの y を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 1 を一般解に代入します。
y ＝ 39 ＋ 625 × 1 ＝ 664
よって カキク＝664。
ケ，コ：正解 8，5（配点2）
＜問題要旨＞
625² を 5 のべき乗で表し、また m ＝ 39 として 2 のべき乗の式で表します。
＜考え方＞
625 ＝ 5⁴ ＝ 2⁴m ＋ 1 の２通りの表し方を、それぞれ2乗します。
625² ＝ (5⁴)² ＝ 5⁸ → ケ＝8
m ＝ 39 とすると 625 ＝ 2⁴m ＋ 1 なので
625² ＝ (2⁴m ＋ 1)²
＝ 2⁸m² ＋ 2・2⁴m ＋ 1
＝ 2⁸m² ＋ 2⁵m ＋ 1 → コ＝5
（これより 625² を 5⁵ で割った余りは 0、
2⁵ で割った余りは 1 と分かる）
よって ケ＝8、コ＝5。
サシス：正解 125（配点3）
＜問題要旨＞
5⁵x − 2⁵y ＝ 1 の整数解のうち、x が3桁の正の整数で最小のものの x を求めます。
＜考え方＞
問題文の誘導どおり、5⁵x − 625² が 5⁵・2⁵ の倍数であることを使います。
5⁵x − 625² ＝ 5⁵・2⁵ ・k とおける
5⁵x ＝ 625² ＋ 100000k
＝ 390625 ＋ 100000k
x ＝ (390625 ＋ 100000k)/3125
＝ 125 ＋ 32k
k ＝ 0 → x ＝ 125（3桁で最小）
よって サシス＝125。
セソタチツ：正解 12207（配点3）
＜問題要旨＞
そのときの y を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 125 を ② に代入します。
y ＝ (5⁵ × 125 − 1)/2⁵ ＝ (3125 × 125 − 1)/32 ＝ (390625 − 1)/32 ＝ 390624/32 ＝ 12207
よって セソタチツ＝12207。
テト：正解 19（配点3）
＜問題要旨＞
11⁵x − 2⁵y ＝ 1 の整数解のうち、x が正で最小のものを求めます。
＜考え方＞
11⁵ を 32 で割った余りを出し、合同式で x を求めます。
11⁵ ＝ 161051 161051 ＝ 32 × 5032 ＋ 27 → 11⁵ ≡ 27 ≡ −5 (mod 32) 11⁵x ≡ 1 (mod 32) より −5x ≡ 1 5x ≡ −1 ≡ 31 (mod 32) 5 × 19 ＝ 95 ＝ 96 − 1 ≡ −1 (mod 32) ✓ x ≡ 19 (mod 32) 最小の正の整数は x ＝ 19
よって テト＝19。
ナニヌネノ：正解 95624（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの y を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 19 を代入します。
y ＝ (11⁵ × 19 − 1)/2⁵ ＝ (161051 × 19 − 1)/32 ＝ (3059969 − 1)/32 ＝ 3059968/32 ＝ 95624
よって ナニヌネノ＝95624。
第５問 図形の性質（重心とメネラウスの定理）
△ABC の重心を通る直線が２辺を切るとき、BP/AP ＋ CQ/AQ が形にも点Fの位置にもよらず一定になる、という設問です。メネラウスの定理を2回使うのが本筋で、(2)は方べきの定理と組み合わせます。
ア／イ：正解 1／2（配点2）
＜問題要旨＞
D が線分 AG の中点のとき、AD/DE を求めます。
＜考え方＞
重心は中線を 2 : 1 に内分することを使います。
E は BC の中点なので AE は中線 重心Gより AG : GE ＝ 2 : 1 AE ＝ 3k とすると AG ＝ 2k、GE ＝ k D は AG の中点なので AD ＝ DG ＝ k DE ＝ DG ＋ GE ＝ k ＋ k ＝ 2k AD/DE ＝ k/2k ＝ 1/2
よって ア＝1、イ＝2。
ウ，エ，オ：正解 2，①，③（配点2）
＜問題要旨＞
BP/AP を、点Fの位置によらない形で表します。
＜考え方＞
△ABE と直線 P–D–F にメネラウスの定理を使います。
△ABE、直線 PDF についてメネラウスより (AP/PB)・(BF/FE)・(ED/DA) ＝ 1 よって BP/AP ＝ (BF/FE)・(ED/DA) ED/DA ＝ 2k/k ＝ 2 なので BP/AP ＝ 2 × BF/EF
よって ウ＝2、エ＝①（BF）、オ＝③（EF）。
カ，キ，ク：正解 2，②，③（配点2）
＜問題要旨＞
同じく CQ/AQ を表します。
＜考え方＞
こんどは △ACE と直線 Q–D–F にメネラウスを使います。
△ACE、直線 QDF についてメネラウスより
(AQ/QC)・(CF/FE)・(ED/DA) ＝ 1
CQ/AQ ＝ (CF/FE)・(ED/DA)
＝ 2 × CF/EF
よって カ＝2、キ＝②（CF）、ク＝③（EF）。
ケ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
BP/AP ＋ CQ/AQ の値を求めます。
＜考え方＞
E が BC の中点であることを使うと、(BF ＋ CF)/EF が 2 になります。
BP/AP ＋ CQ/AQ ＝ 2(BF ＋ CF)/EF F が C 側の外にあるとき（B–E–C–F） BF ＝ BC ＋ CF、EF ＝ EC ＋ CF ＝ BC/2 ＋ CF BF ＋ CF ＝ BC ＋ 2CF ＝ 2(BC/2 ＋ CF) ＝ 2EF F が B 側の外にあるときも同様に BF ＋ CF ＝ 2EF よって 2 × 2EF/EF ＝ 4
よって ケ＝4。
コ／サ：正解 3／2（配点2）
＜問題要旨＞
AB ＝ 9、AC ＝ 6 で、B, C, Q, P が同一円周上にあるとき、AQ を AP で表します。
＜考え方＞
４点が同一円周上 ⟺ 方べきの定理が使えます。
点 A から円に引いた2直線について AP・AB ＝ AQ・AC AP × 9 ＝ AQ × 6 AQ ＝ (9/6)AP ＝ (3/2)AP
よって コ＝3、サ＝2。
シス／セ：正解 13／6（配点2）
＜問題要旨＞
AP の長さを求めます。
＜考え方＞
(1)の「和が 4」に BP ＝ 9 − AP、CQ ＝ 6 − AQ を代入します。
(9 − AP)/AP ＋ (6 − AQ)/AQ ＝ 4 9/AP − 1 ＋ 6/AQ − 1 ＝ 4 9/AP ＋ 6/AQ ＝ 6 AQ ＝ (3/2)AP より 6/AQ ＝ 4/AP 9/AP ＋ 4/AP ＝ 6 13/AP ＝ 6 → AP ＝ 13/6
よって シス＝13、セ＝6。
ソタ／チ：正解 13／4（配点2）
＜問題要旨＞
AQ の長さを求めます。
＜考え方＞
AQ ＝ (3/2)AP に代入するだけです。
AQ ＝ (3/2) × 13/6 ＝ 13/4
よって ソタ＝13、チ＝4。
ツテ／トナ：正解 44／15（配点3）
＜問題要旨＞
CF の長さを求めます。
＜考え方＞
(1)で作った BP/AP ＝ 2BF/EF、CQ/AQ ＝ 2CF/EF から BF : CF を出し、BC ＝ 8 と組み合わせます。
BP ＝ 9 − 13/6 ＝ 41/6
BP/AP ＝ (41/6)/(13/6) ＝ 41/13
2BF/EF ＝ 41/13 → BF/EF ＝ 41/26
CQ ＝ 6 − 13/4 ＝ 11/4
CQ/AQ ＝ (11/4)/(13/4) ＝ 11/13
2CF/EF ＝ 11/13 → CF/EF ＝ 11/26
よって BF : CF ＝ 41 : 11
BF ＞ CF なので F は C 側の外にあり
BF − CF ＝ BC ＝ 8
BF ＝ (41/11)CF より
(41/11 − 1)CF ＝ 8
(30/11)CF ＝ 8
CF ＝ 88/30 ＝ 44/15
検算： EF ＝ 4 ＋ 44/15 ＝ 104/15
CF/EF ＝ (44/15)/(104/15) ＝ 11/26 ✓
よって ツテ＝44、トナ＝15。
ニ／ヌ：正解 1／3（配点3）
＜問題要旨＞
BP/AP ＋ CQ/AQ ＝ 10 となるときの AD/DG を求めます。
＜考え方＞
D の位置を一般化し、和が ED/DA だけで決まることを使います。
AE ＝ 3k、AG ＝ 2k、GE ＝ k とし
AD ＝ 2kt（0 ＜ t ≦ 1）とおくと
DG ＝ 2k(1 − t)
DE ＝ DG ＋ GE ＝ 2k(1−t) ＋ k ＝ k(3 − 2t)
ED/DA ＝ k(3−2t)/(2kt) ＝ (3 − 2t)/(2t)
BP/AP ＋ CQ/AQ
＝ (ED/DA) × (BF ＋ CF)/EF
＝ (ED/DA) × 2
＝ (3 − 2t)/t
これが 10 だから
3 − 2t ＝ 10t
3 ＝ 12t → t ＝ 1/4
AD ＝ 2k(1/4) ＝ k/2
DG ＝ 2k(3/4) ＝ 3k/2
AD/DG ＝ (k/2)/(3k/2) ＝ 1/3
検算： t ＝ 1/2（Dが中点）なら
(3 − 1)/(1/2) ＝ 4 ✓ （(1)と一致）
よって ニ＝1、ヌ＝3。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。