2025年度 大学入学共通テスト 追試験「旧数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2025年度（令和7年度）大学入学共通テスト追試験「旧数学Ⅰ・旧数学A」の全５大問・44設問について、解答と考え方をまとめました。100点満点、試験時間70分。第１問・第２問が必答、第３問〜第５問から２問を選択して解答します（旧課程履修者＝既卒生向けの科目で、新教育課程履修者は選択できません）。
第１問は〔1〕連立不等式と集合、〔2〕三角比。第２問は〔1〕２次関数、〔2〕データの分析。選択問題は第３問が場合の数と確率、第４問が整数の性質、第５問が図形の性質です。第４問の整数は「1周609m・348m・100mのコースで42195m／10000mちょうどを走る」という設定で、ユークリッドの互除法と不定方程式が最後まできれいにつながる良問。合同式を使えるとかなり速く処理できます。
なお本問は「数学Ⅰ」「数学Ⅰ・A」「旧数学Ⅰ」と大問を共有しています（数学Ⅰ・Aの解説はこちら／旧数学Ⅰの解説はこちら）。
第１問（必答） 数と式／図形と計量
〔1〕は文字係数の連立不等式、〔2〕は上空を飛ぶ飛行機を見上げる角から高さを求める三角比の問題です。配点30点。
ア，イ：正解 ①, ⓪（配点2）
＜考え方＞
まず連立不等式を x について解き、集合 A を区間の形で表します。
x + √3 a + 1 ≧ 3x
√3 a + 1 ≧ 2x
x ≦ (√3 a + 1)/2
x + a ≧ 1
x ≧ 1 − a
A ＝ { x | 1 − a ≦ x ≦ (√3 a + 1)/2 }
a ＝ 2 のとき
1 − 2 ＝ −1
(2√3 + 1)/2 ＝ (3.464… + 1)/2 ＝ 2.232…
A ＝ [ −1 , 2.232… ]
3 は 2.232… より大きいので ア＝①（要素でない）、2 は区間に入るので イ＝⓪（要素である）。
√3 ＝ 1.732… という値が問題文に与えられているのは、この大小判定のためです。
ウ，エ：正解 2, 1（配点3）
＜考え方＞
区間の左端と右端が一致すれば、要素はただ一つになります。
1 − a ＝ (√3 a + 1)/2
2 − 2a ＝ √3 a + 1
1 ＝ (√3 + 2)a
a ＝ 1/(2 + √3)
分母を有理化して
a ＝ (2 − √3)/{(2+√3)(2−√3)} ＝ (2 − √3)/1 ＝ 2 − √3
このとき A の唯一の要素は
1 − a ＝ 1 − (2 − √3) ＝ √3 − 1
よって ウ＝2、エ＝1（a ＝ 2 − √3 のとき A ＝ {√3 − 1}）。
有理化して 2 − √3 という形に直せるかがポイント。そのまま 1/(2+√3) では次の (ii) の不等式が扱えません。
オ：正解 ④（配点2）
＜考え方＞
a > 2 − √3 は「左端 < 右端」、つまり A がつぶれていない区間である条件です。形はそのまま。
A ＝ { x | 1 − a ≦ x ≦ (√3 a + 1)/2 }
よって ④。
分母が 4 になっている①③、不等号の向きが逆の①⑤、右端が 1+a の②③はいずれも誤り。最初に自分で解いた形と見比べるだけです。
カ，キ，ク，ケ：正解 3, ①, ⓪, 1（配点3）
＜考え方＞
A ∩ B ＝ {1}（B は整数全体）とは、区間 A に入る整数がちょうど 1 だけということ。1 を入れ、0 と 2 を追い出す三つの条件を立てます。
① 1 ∈ A 1 − a ≦ 1 ⟺ a ≧ 0 1 ≦ (√3 a + 1)/2 ⟺ √3 a ≧ 1 ⟺ a ≧ √3/3 ② 0 ∉ A（左端が 0 より右） 1 − a > 0 ⟺ a < 1 ③ 2 ∉ A（右端が 2 より左） (√3 a + 1)/2 < 2 ⟺ √3 a < 3 ⟺ a < √3 三つを合わせると（a < 1 が a < √3 より厳しい） √3/3 ≦ a < 1
よって カ＝3、キ＝①（≦）、ク＝⓪（＜）、ケ＝1。
等号の向きが左右で違うのが最大の注意点です。1 を含める方は等号あり、0 を除く方は等号なし。「入れたい整数」と「追い出したい整数」で扱いが変わると意識して立式しましょう。
コ：正解 ⑦（配点2）
＜考え方＞
∠POQ は、直角三角形 OPQ（∠PQO ＝ 90°）の角です。
PQ ＝ h（飛行機の高さ） tan∠POQ ＝ PQ/OQ ＝ h/OQ
よって ⑦（h/OQ）。
この式が大問全体の背骨になります。h は一定なので、∠POQ が大きい ⟺ OQ が小さい——(2) の最大値問題はこの一言で片が付きます。
サ，シ：正解 3, 7（配点3）
＜考え方＞
見上げる角が 45°（点A）と 30°（点C）なので、OB と OD が h で表せます。あとは余弦定理です。
∠POB ＝ 45° → OB ＝ h/tan45° ＝ h ∠COD ＝ 30° → OD ＝ h/tan30° ＝ √3 h △OBD で ∠BOD ＝ 150° として余弦定理 BD² ＝ OB² + OD² − 2·OB·OD·cos150° ＝ h² + 3h² − 2·h·√3h·(−√3/2) ＝ 4h² + 3h² ＝ 7h² BD ＝ √7 h
よって OD ＝ √3 h、BD ＝ √7 h。
cos150° ＝ −√3/2 のマイナス符号で BD が伸びます。ここを落とすと √h² になってしまうので注意。
ス，セ，ソ，タ：正解 5, 7, 1, 4（配点3）
＜考え方＞
三辺 OB ＝ h、OD ＝ √3 h、BD ＝ √7 h がそろったので、∠OBD に余弦定理を当てます。
cos∠OBD ＝ (OB² + BD² − OD²)/(2·OB·BD)
＝ (h² + 7h² − 3h²)/(2·h·√7 h)
＝ 5h²/(2√7 h²)
＝ 5/(2√7)
有理化して
＝ 5√7/14
よって 5√7/14。
分母の有理化を忘れると解答欄の形（ス√セ/ソタ）に合いません。解答欄の形が答えの形を教えてくれる——空欄の作りを見て検算しましょう。
チ：正解 2（配点3）
＜考え方＞
A から C までが 140 秒、その半分の 70 秒後なので、Q は BD の中点です。中線定理を使います。
中線定理（△OBD で OQ が中線）
OB² + OD² ＝ 2(OQ² + BQ²)
BQ ＝ BD/2 ＝ √7 h/2
h² + 3h² ＝ 2{ OQ² + (√7h/2)² }
4h² ＝ 2OQ² + 7h²/2
2OQ² ＝ 4h² − 3.5h² ＝ 0.5h²
OQ² ＝ h²/4
OQ ＝ h/2
よって OQ ＝ h/2。
速さが一定なので「時間の比 ＝ 距離の比」。70秒＝140秒の半分だから中点、という読み替えが第一歩です。
ツ：正解 ④（配点3）
＜考え方＞
OQ が出たので、あとは tan の値から角の範囲を絞ります。
tan∠POQ ＝ h/OQ ＝ h/(h/2) ＝ 2 tan60° ＝ 1.732… tan65° ＝ 2.144… 1.732… < 2 < 2.144… → 60° < ∠POQ < 65°
よって ④（60°以上65°未満）。
巻末の三角比の表で tan の列を見れば、2 がどの角の間にあるかすぐ分かります。表を使う前提の設問なので、電卓なしでも詰められます。
テ，ト，ナ：正解 2, 5, 0（配点3）
＜考え方＞
tan∠POQ ＝ h/OQ なので、∠POQ 最大 ⟺ OQ 最小。点から直線への最短距離は垂線です。
Q は BD 上を動く → OQ が最小になるのは
O から BD に下ろした垂線の足 … ⓪①②のうち②
その足を H とする。△OBD の面積を 2 通りで表して OH を出す
面積 ＝ (1/2)·OB·OD·sin150°
＝ (1/2)·h·√3h·(1/2) ＝ √3 h²/4
面積 ＝ (1/2)·BD·OH ＝ (1/2)·√7 h·OH
(1/2)√7 h·OH ＝ √3 h²/4
OH ＝ √3 h/(2√7)
BH ＝ √(OB² − OH²) ＝ √(h² − 3h²/28)
＝ √(25h²/28) ＝ 5h/(2√7)
BH : BD ＝ 5h/(2√7) : √7 h ＝ 5 : 14
時間 ＝ 140 × 5/14 ＝ 50 秒
よって テ＝②、トナ＝50。
面積を 2 通りに表して垂線の長さを出す——「二通りの面積」は三角比の定番手筋です。時間は距離の比からそのまま求まります。
ニ：正解 ⑥（配点3）
＜考え方＞
最小の OQ ＝ OH が求まったので、そのときの角を評価します。
tan∠POQ ＝ h/OH ＝ h ÷ {√3 h/(2√7)}
＝ 2√7/√3 ＝ 2√21/3
√21 ＝ 4.58…
2√21/3 ＝ 9.16…/3 ＝ 3.05…
tan70° ＝ 2.747…
tan75° ＝ 3.732…
2.747… < 3.05… < 3.732…
→ 70° < ∠POQ < 75°
よって ⑥（70°以上75°未満）。
70秒後（④＝約63°）より大きくなっているのが妥当性の確認になります。50秒後が最大、その前後で角は小さくなるという全体像が見えれば完答です。
第２問（必答） ２次関数／データの分析
〔1〕はコンピュータで y＝ax²＋bx＋c のグラフを動かしながら考える問題、〔2〕は全国体力・運動能力調査のデータを題材にした相関の問題です。配点30点。
ア，イ，ウ，エ：正解 7, 4, 7, 8（配点3）
＜考え方＞
y ＝ 2x² − 7x + 7 を平方完成します。
y ＝ 2(x² − (7/2)x) + 7
＝ 2{ (x − 7/4)² − 49/16 } + 7
＝ 2(x − 7/4)² − 49/8 + 56/8
＝ 2(x − 7/4)² + 7/8
頂点 (7/4 , 7/8)
よって (7/4 , 7/8)。
x 座標は −b/(2a) ＝ 7/4 とすぐ出るので、y は代入して求めるほうが速い場合もあります。
オ，カ，キ，ク：正解 1, 4, 1, 3（配点3）
＜考え方＞
P(1,2) と Q(3,4) を通る条件を連立し、b, c を a で表します。
a + b + c ＝ 2 …①
9a + 3b + c ＝ 4 …②
② − ①： 8a + 2b ＝ 2
4a + b ＝ 1
b ＝ 1 − 4a
① へ代入
c ＝ 2 − a − (1 − 4a) ＝ 1 + 3a
よって b ＝ 1 − 4a、c ＝ 1 + 3a。
a ＝ 2 を入れると b ＝ −7、c ＝ 7 で元の式に戻ります。この検算を一度やっておくと安心して次へ進めます。
ケ：正解 2（配点3）
＜考え方＞
太郎さんと花子さんの会話が答えそのものです。a > 0 なら下に凸、頂点はグラフの最下点——そして P, Q は必ず通る。
頂点はグラフの一番下 → 頂点の y 座標 ≦ P の y 座標 ＝ 2 → 頂点の y 座標 ≦ Q の y 座標 ＝ 4 より厳しいのは 2 のほう 頂点の y 座標 ≦ 2 等号は頂点が P と一致するときに実現する → 最大値は 2
よって 2。
「グラフの頂点の座標を a の式で表して考えるのは難しそう」という太郎さんの発言どおり、式を立てずに図形的に決めるのがこの設問の狙いです。
コ，サ：正解 1, 2（配点2）
＜考え方＞
頂点が P(1,2) と一致する、すなわち軸が x ＝ 1 になる a を求めます。
軸 x ＝ −b/(2a) ＝ 1
→ b ＝ −2a
b ＝ 1 − 4a と合わせて
1 − 4a ＝ −2a
1 ＝ 2a
a ＝ 1/2
よって a ＝ 1/2。
念のため確認すると、a＝1/2 のとき b＝−1、c＝5/2 で y ＝ (1/2)x² − x + 5/2 ＝ (1/2)(x−1)² + 2。頂点はちょうど P(1,2) です。
シ：正解 ②（配点4）
＜考え方＞
a < 0 では上に凸。①の式 y ＝ ax² + (1−4a)x + (1+3a) について、(A)(B)(C) を一つずつ検討します。
(A) 点(0,3)を通る ⟺ c ＝ 1 + 3a ＝ 3 ⟺ a ＝ 2/3 a < 0 に反する → 起こらない (B) x 軸の負の部分と交わる −1/3 < a < 0 のとき c ＝ 1+3a > 0 で、 上に凸・f(0)>0・f(1)＝2>0 だから 小さい方の根は x < 0 にある 例：a ＝ −0.1 → 根は約 −0.48 と 14.5 → 起こり得る ○ (C) 頂点の x 座標が 2 以下 頂点 x ＝ −b/(2a) ＝ −(1−4a)/(2a) ＝ 2 − 1/(2a) a < 0 → 1/(2a) < 0 → −1/(2a) > 0 → 頂点の x 座標は常に 2 より大きい → 起こらない
起こり得るのは (B) だけなので ②。
(C) の頂点の x 座標が 2 − 1/(2a) ときれいにまとまるのが決め手。a の符号だけで判定でき、場合分けが要りません。
ス：正解 ①（配点2）
＜考え方＞
相関係数は −0.85。負の相関がある、と問題文が明示しています。
負の相関 → 一方が増えると他方は減る傾向
よって ①（減る傾向がみられる）。
ただし太郎さんが言うとおり図1は一つの集団に見えないので、この −0.85 は次の (2) で疑われることになります。
セ：正解 ②（配点2）
＜考え方＞
図3（中学校第2学年）の散布図は、点が横にも縦にも広く散らばり、右上がり・右下がりのどちらの傾向も読み取れません。
図2（小学校第5学年）の相関係数 ＝ 0.07（ほぼ無相関） 図3 も同様に明確な傾向が見えない 選択肢 −0.9 / −0.7 / 0.1 / 0.7 / 0.9 のうち 0 に近いのは 0.1
よって ②（0.1）。
ここが大問の山場です。学年ごとに分ければどちらもほぼ無相関なのに、合わせると −0.85 という強い負の相関が現れる。二つの集団の平均値が離れていることが生む「見かけの相関」で、(3) 以降でその仕組みを数式で確かめます。
ソ：正解 ⓪（配点2）
＜考え方＞
データW の 6 個の値について、x の平均を計算します。
x：−1, 1, −2, 0, 0, 2 合計 ＝ 0 x̄ ＝ 0/6 ＝ 0
よって ⓪（0）。
y も同様に合計 0 で ȳ ＝ 0。平均が 0 だと以降の計算が大幅に楽になります。
タ：正解 ⑦（配点2）
＜考え方＞
x̄ ＝ 0 なので、分散は x² の平均そのものです。
sx² ＝ {(−1)² + 1² + (−2)² + 0² + 0² + 2²}/6
＝ (1 + 1 + 4 + 0 + 0 + 4)/6
＝ 10/6 ＝ 5/3
よって ⑦（5/3）。
チ：正解 ⑤（配点2）
＜考え方＞
共分散も、平均が 0 なので xy の平均になります。
sxy ＝ {(−1)(1) + (1)(−1) + (−2)(0)
+ (0)(−2) + (0)(2) + (2)(0)}/6
＝ (−1 − 1 + 0 + 0 + 0 + 0)/6
＝ −2/6 ＝ −1/3
よって ⑤（−1/3）。
加えた 4 点はすべて積が 0。共分散に効いているのは最初の 2 点だけという構造が見えます。
ツ：正解 ③（配点2）
＜考え方＞
相関係数の定義に代入します。sx² ＝ sy² であることに着目せよ、というヒント付きです。
sy² ＝ (1 + 1 + 0 + 4 + 4 + 0)/6 ＝ 5/3 ＝ sx² rxy ＝ sxy/(sx·sy) ＝ sxy/sx² （sx ＝ sy より） ＝ (−1/3)/(5/3) ＝ −1/5
よって ③（−1/5）。
元の 2 点だけなら相関係数は −1。そこに 4 点を加えただけで −1 から −1/5 まで一気に弱まる——集団の混ぜ方で相関係数がどれだけ動くかを実感させる設問です。
テ，ト：正解 6, 2（配点3）
＜考え方＞
「相関係数が正 ⟺ 共分散が正」と問題文が言ってくれているので、共分散だけ計算します。
x̄ ＝ ȳ ＝ 0（和がいずれも 0）
各組の積 xy
(−1)(1) ＝ −1
(1)(−1) ＝ −1
(−1−a)(1−a) ＝ −(1+a)(1−a) ＝ a² − 1
(1−a)(−1−a) ＝ a² − 1
(−1+a)(1+a) ＝ a² − 1
(1+a)(−1+a) ＝ a² − 1
合計 ＝ −2 + 4(a² − 1) ＝ 4a² − 6
sxy ＝ (4a² − 6)/6
sxy > 0 ⟺ 4a² > 6 ⟺ a² > 3/2
⟺ a > √(3/2) ＝ √6/2 （a > 0）
よって a > √6/2。
4 つの積がすべて a² − 1 という同じ値になるのが計算上のご褒美。a が大きい＝加えた 4 点が外へ広がるほど、元の −1 の相関を打ち消して正に転じる、という意味が読み取れます。
第３問（選択） 場合の数と確率
1〜6 のカード6枚から「2枚同時に取る（試行A）」「1枚ずつ2回取る（試行B）」の二つの方法を比べる問題。共通する自然数の個数に注目します。配点20点。
ア，イ
＜考え方＞
6枚から2枚を同時に取り出す組合せなので ₆C₂ です。
₆C₂ = (6·5)/(2·1) = 15（通り）
アイ = 15
ウ，エ，オ
＜考え方＞
E と F はそれぞれ 15 通りの2元集合を等確率にとり、互いに独立です。A₂ は E∩F の要素が2個、すなわち E＝F ということ。花子さんの E が何であっても、太郎さんがそれと同じ集合を選ぶ確率は 1/15 です。
P(A₂) = P(E = F) = 1/15
ウ/エオ = 1/15
カ，キ
＜考え方＞
A₀ は E∩F＝∅、つまり太郎さんの2枚が花子さんの2枚以外の4枚から選ばれる場合です。
P(A₀) = ₄C₂ / ₆C₂ = 6/15 = 2/5
カ/キ = 2/5（このあと使うので P(A₁) = 1 − 1/15 − 6/15 = 8/15 も出しておくとよい）
ク，ケ，コ，サ
＜考え方＞
試行Bを2回行うと、カードの出方は順序込みで 6×6＝36 通り。B₂ は G と H がともに2元集合で、しかも一致する場合です。特定の2元集合 {a, b} が出るのは (a,b) と (b,a) の2通りなので確率 2/36＝1/18。これが花子さん・太郎さんの両方で同じ集合になる確率を、15 個の2元集合について足します。
P(G = {a,b}) = 2/36 = 1/18
P(B₂) = 15 × (1/18)² = 15/324 = 5/108
ク/ケコサ = 5/108
シ，ス，セ，ソ，タ
＜考え方＞
花子さんが2回とも同じ自然数 x を引く確率は 6/36＝1/6。このとき G＝{x} なので、B₀ になるのは太郎さんの2回がどちらも x 以外であること。
P(花子が2回とも同じ) = 6/36 = 1/6 P(太郎が2回とも x 以外) = (5/6)² = 25/36 1/6 × 25/36 = 25/216
シス/セソタ = 25/216
チ，ツ，テ，ト
＜考え方＞
花子さんが異なる2数 x，y を引く場合は確率 30/36＝5/6。このとき B₀ は太郎さんの2回がどちらも x，y 以外、つまり残り4枚から出ることなので (4/6)²＝4/9。二つの場合は排反なので足し合わせます。
(5/6) × (4/9) = 20/54 = 10/27
P(B₀) = 25/216 + 10/27 = 25/216 + 80/216
= 105/216 = 35/72
チツ/テト = 35/72
ナ，ニ
＜考え方＞
⑴は P(A₀)＝6/15、P(A₂)＝1/15 なので P(A₁)＝8/15 が最大。⑵は分母を 216 にそろえて比べます。
P(A₀)=6/15, P(A₁)=8/15, P(A₂)=1/15 → 最大は P(A₁) P(B₀)=105/216, P(B₁)=101/216, P(B₂)=10/216 → 最大は P(B₀)
ナ = ①（P(A₁)）、ニ = ⓪（P(B₀)）
第４問（選択） 整数の性質
1周609m・348m・100mの三つのランニングコースで、ちょうど42195m／10000mを走る周回数を求める問題。ユークリッドの互除法と一次不定方程式が主役です。配点20点。
ア，イ
＜考え方＞
ユークリッドの互除法で 609 と 348 の最大公約数を求めます。
609 = 348 × 1 + 261 348 = 261 × 1 + 87 261 = 87 × 3 + 0 → gcd(609, 348) = 87
アイ = 87（609 = 3·7·29、348 = 2²·3·29 と素因数分解しても同じ）
ウ，エ，オ，カ，キ，ク，ケ，コ
＜考え方＞
① の両辺を 87 で割ります。42195 も 87 で割り切れるかを確かめるのがポイント。次に 7X＋4Y＝1 の整数解を、X が正で最小になるように探します。
609 ÷ 87 = 7，348 ÷ 87 = 4，42195 ÷ 87 = 485 ② : 7x + 4y = 485 ③ : 7X + 4Y = 1 X = 1 → 4Y = −6（不適） X = 2 → 4Y = −13（不適） X = 3 → 4Y = 1 − 21 = −20 → Y = −5 ○
ウ = 7、エ = 4、オカキ = 485、ク = 3、ケコ = −5
サ，シ，ス，セ
＜考え方＞
③ の解 (X, Y)＝(3, −5) を 485 倍しても解にはなりますが x が大きくなりすぎます。7x＋4y＝485 を 4 で割った余りで考えるのが速い方法です。
7x ≡ 485 (mod 4) → 3x ≡ 1 (mod 4) → x ≡ 3 (mod 4) x が正で最小 → x = 3 4y = 485 − 21 = 464 → y = 116
サ = 3、シスセ = 116
ソ，タ
＜考え方＞
7と4は互いに素なので、一つの解 (3, 116) からすべての解が k を整数として一次式で表せます。
7x + 4y = 485，7·3 + 4·116 = 485 を辺々引くと 7(x − 3) + 4(y − 116) = 0 7と4は互いに素 → x − 3 = 4k x = 3 + 4k，y = 116 − 7k
ソ = 4、タ = 7（この欄はサ〜セが全部合っているときだけ得点になります）
チ，ツ
＜考え方＞
コースA を x 周、コースB を y 周。どちらも 10 周以上という条件を k の不等式に直します。
x = 3 + 4k ≧ 10 → k ≧ 1.75 → k ≧ 2 y = 116 − 7k ≧ 10 → 7k ≦ 106 → k ≦ 15.14… → k ≦ 15 k = 2, 3, …, 15 の 14 個
チツ = 14（通り）
テ，ト，ナ
＜考え方＞
609x＋348y は必ず 87 の倍数なので、④ が整数解をもつのは R が 87 の倍数のとき（かつそのときに限る）。コースC を c 周走るとすると R＝10000−100c なので、これが 87 の倍数になる c を合同式で求めます。
R = 10000 − 100c ≡ 0 (mod 87) 10000 ≡ 82，100 ≡ 13 (mod 87) 82 − 13c ≡ 0 → 13c ≡ 82 (mod 87) 13 の逆元は 67（13·67 = 871 = 87·10 + 1） c ≡ 67·82 = 5494 ≡ 13 (mod 87) → c = 13（c = 100 以上では 10000 m を超える）
テ = ⓪（ある）、トナ = 13（周）
ニ，ヌ，ネ
＜考え方＞
コースC が 13 周で 1300 m なので、残り 8700 m をコースA・B で走ります。8700÷87＝100 なので 7x＋4y＝100。ここでも 4 で割った余りを使い、x ≧ 5，y ≧ 5 を満たすものを選びます。
7x + 4y = 100 7x ≡ 100 (mod 4) → 3x ≡ 0 (mod 4) → x ≡ 0 (mod 4) x = 4 → y = 18（x < 5 で不適） x = 8 → y = (100 − 56)/4 = 11 ○ x = 12 → y = 4（y < 5 で不適）
ニ = 8（コースA 8周）、ヌネ = 11（コースB 11周）
第５問（選択） 図形の性質
△OAB の内心 I と内接円の接点 L，M，N をめぐる問題。「4点が同一円周上にある」ことを、垂直と円周角、そして角の大小関係から順に導きます。配点20点。
ア
＜考え方＞
内心 I から各辺に下ろした垂線の足が接点 L，M，N です。したがって ∠ALI＝∠AMI＝90° なので、A，L，I，M は線分 AI を直径とする円の上に並びます（円周角の定理の逆）。
∠ALI = ∠AMI = 90° → A, L, I, M は AI を直径とする円周上
ア = ①（M）
イ，ウ，エ，オ
＜考え方＞
IM⊥OA だから ∠OMI＝90°。次に △OBX で外角を考えます。∠XOB＝2θ、∠OBX＝∠OBI＝β（BI は ∠OBA＝2β の二等分線）なので ∠OXB＝180°−2θ−β。ここで θ＋α＋β＝90° より β＝90°−θ−α を代入します。
∠OMI = 90°
∠OXI = 180° − 2θ − β
= 180° − 2θ − (90° − θ − α)
= 90° + α − θ
イウ = 90、エ = ①（α）、オ = ⓪（θ）
カ，キ
＜考え方＞
M は I から OA に下ろした垂線の足なので ∠OMI＝90°。直線 OA 上の点 X について、X が M より O 側にあれば ∠OXI＞90°、M より A 側にあれば ∠OXI＜90° となります。∠OXI＝90°＋α−θ なので、α と θ の大小がそのまま位置を決めます。
α < θ → ∠OXI < 90° → X は M より A 側 α > θ → ∠OXI > 90° → X は M より O 側
カ = ②（点 M と異なり，線分 AM 上にある）、キ = ①（点 M と異なり，線分 OM 上にある）
ク，ケ
＜考え方＞
OM＝ON（同じ点 O から円に引いた接線の長さは等しい）なので △OMN は頂角 2θ の二等辺三角形。よって ∠ONM＝(180°−2θ)÷2＝90°−θ。P は直線 MN 上の点なので ∠ONP もこれに等しくなります。∠OBP は BI が ∠OBA の二等分線であることから β です。
OM = ON → ∠ONM = (180° − 2θ)/2 = 90° − θ ∠OBP = ∠OBI = β
ク = ③（90°−θ）、ケ = ②（β）
コ，サ
＜考え方＞
△PNB に注目します。∠PNB＝180°−∠ONP＝90°＋θ、∠NBP＝β なので ∠NPB＝180°−(90°＋θ)−β＝90°−θ−β＝α。∠MPI はこの対頂角なので同じく α です。一方 AI は ∠OAB＝2α の二等分線だから ∠MAI＝α。MI を同じ側から見込む角が等しいので、4点 I，M，P，A は同一円周上にあります。
∠NPB = 180° − (90° + θ) − β = 90° − θ − β = α ∠MPI = α（対頂角） ∠MAI = α → I, M, P, A は同一円周上
コ = ①（α）、サ = ⓪（A）
シ，ス
＜考え方＞
α＞θ のときは P の位置が MN 上で入れ替わり、∠MPI は先ほどの角の補角になって 180°−α となります。このとき ∠MPI＋∠MAI＝(180°−α)＋α＝180°。向かい合う角の和が 180°なので、やはり 4点 I，M，P，A は同一円周上にあります（円に内接する四角形の条件）。
∠MPI = 180° − α ∠MPI + ∠MAI = 180° → 四角形 IMPA は円に内接する
シ = ⑦（180°−α）、ス = ⓪（同一円周上にある）
セ
＜考え方＞
θ＝32°，α＝34° なので β＝90°−32°−34°＝24°。α＞θ なので、⑵⑶の結論から P は M より外側（N と反対側）に来ます。Q は A 側の二等分線 AI との交点で、対称的に N より外側に出ます。実際に座標をとって直線 MN 上の位置を計算すると、M から順に P が M のすぐ外、続いて N、そして Q の順になります。
β = 90° − 32° − 34° = 24° 直線 MN 上の位置（M を 0 とする） P ≈ 0.015 ／ N ≈ 0.409 ／ Q ≈ 0.491 → M, P, N, Q の順
セ = ⓪（M，P，N，Q）
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。