2025年度 大学入学共通テスト 追試験 数学Ⅰ・A 解答・解説

2025年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。

目次
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解答

解説

2025年度(令和7年度)大学入学共通テスト追試験「数学Ⅰ・数学A」の全4大問・37設問について、解答と考え方をまとめました。100点満点・全問必答、試験時間70分。

第1問は〔1〕循環小数、〔2〕三角比(飛行機を見上げる角)。第2問は〔1〕2次関数のグラフ、〔2〕データの分析。第3問が図形の性質(内心と内接円の接点)、第4問が場合の数と確率です。第3問は「同一円周上にある4点」を角度の大小で追いかける構成で、最後は θ=32°,α=34° という具体的な値で点の並び順まで決めさせる、追試らしい骨のある問題になっています。

なお第1問・第2問は「数学Ⅰ」「旧数学Ⅰ」と大問を共有しています(数学Ⅰの解説はこちら)。

第1問(必答) 数と式/図形と計量

〔1〕は循環小数の仕組みを割り算の余りから捉える問題、〔2〕は上空を飛ぶ飛行機を見上げる角から高さを求める三角比の問題です。配点30点。

ア,イ,ウ:正解 8, 4, 6(配点2)

<考え方>
2/13 を実際に割り算して循環節を求めます。0.1̇53abċ と点が 1 と c に付いているので、循環節は 153abc の6桁です。

2 ÷ 13
  20 ÷ 13 = 1 余り 7
  70 ÷ 13 = 5 余り 5
  50 ÷ 13 = 3 余り 11
 110 ÷ 13 = 8 余り 6
  60 ÷ 13 = 4 余り 8
  80 ÷ 13 = 6 余り 2 ← 最初の余り 2 に戻る

2/13 = 0.1̇53846̇

よって a=8、b=4、c=6。
余りが最初の 2 に戻った時点で循環が始まります。余りを追うこと=循環節を追うこと——この視点が (3) 以降でそのまま使われます。

エ,オ,カ:正解 1, 1, 2(配点3)

<考え方>
m を n で割り続けたとき、余りは 0, 1, …, n−1 の n 通りしかありません。ここから二つの場合に分けます。

【余りに 0 が出てくる場合】
  そこで割り算が終わる → 有限小数

【余りに 0 が出てこない場合】
  余りは 1 〜 n−1 の n−1 通りしかない
  → n 回割れば必ず同じ余りが再び現れる(鳩の巣原理)
  → そこから先は同じ計算の繰り返し → 循環小数

よって エ=①(有限小数)、オ=①(割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる)、カ=②(循環小数)。
③「循環しない無限小数」は無理数にしか現れません。分数は必ず有限小数か循環小数になる——その理由を余りの個数から説明させる、よくできた誘導です。

キ:正解 5(配点2)

<考え方>
0.3̇abc15̇ = 7/13 × 10 − [ ] の形にそろえます。引くのは整数部分です。

7/13 × 10 = 70/13 = 5.3846…
  整数部分は 5

0.3̇abc15̇ = 70/13 − 5 = (70 − 13×5)/13 = 5/13

よって 5。
分子の引き算 70 − 13×5 = 5 は、まさに計算例1の2回目の割り算の余り。「ずらした循環小数の分子=その回の余り」という花子さんの発見が、ここで数式として確認できます。

ク,ケ,コ,サ,シ:正解 5, 6, 8, 11(配点3)

<考え方>
花子さんの方法——分子は割り算の余りそのもの——を使えば、4つとも暗算で出ます。2÷13 の余りは順に 7, 5, 11, 6, 8, 2 でした。

0.1̇53abċ = 2/13
0.5̇3abc1̇ = 7/13   (1回目の余り 7)
0.3̇abc15̇ = 5/13   (2回目の余り 5)
0.ȧbc153̇ = 11/13  (3回目の余り 11)
0.ḃc153ȧ = 6/13   (4回目の余り 6)
0.ċ153aḃ = 8/13   (5回目の余り 8)

問われた四つの分子:5, 11, 6, 8
小さい順に並べると 5, 6, 8, 11

よって ク=5、ケ=6、コ=8、サシ=11。
太郎さんの方法(×10 して整数部分を引く)で一つずつ計算しても出ますが、余りの列 7,5,11,6,8 をそのまま読むほうが速い。花子さんの発言がその近道を教えてくれています。

ス:正解 ⑦(配点2)

<考え方>
∠POQ は、直角三角形 OPQ(∠PQO = 90°)の角です。

PQ = h(飛行機の高さ)
tan∠POQ = PQ/OQ = h/OQ

よって ⑦(h/OQ)。
この式が大問全体の背骨になります。h は一定なので、∠POQ が大きい ⟺ OQ が小さい——(2) の最大値問題はこの一言で片が付きます。

セ,ソ:正解 3, 7(配点3)

<考え方>
見上げる角が 45°(点A)と 30°(点C)なので、OB と OD が h で表せます。あとは余弦定理です。

∠POB = 45° → OB = h/tan45° = h
∠COD = 30° → OD = h/tan30° = √3 h

△OBD で ∠BOD = 150° として余弦定理
 BD² = OB² + OD² − 2·OB·OD·cos150°
   = h² + 3h² − 2·h·√3h·(−√3/2)
   = 4h² + 3h²
   = 7h²

 BD = √7 h

よって OD = √3 h、BD = √7 h。
cos150° = −√3/2 のマイナス符号で BD が伸びます。ここを落とすと √h² になってしまうので注意。

タ,チ,ツ,テ:正解 5, 7, 1, 4(配点3)

<考え方>
三辺 OB = h、OD = √3 h、BD = √7 h がそろったので、∠OBD に余弦定理を当てます。

cos∠OBD = (OB² + BD² − OD²)/(2·OB·BD)
     = (h² + 7h² − 3h²)/(2·h·√7 h)
     = 5h²/(2√7 h²)
     = 5/(2√7)

有理化して
     = 5√7/14

よって 5√7/14。
分母の有理化を忘れると解答欄の形(ス√セ/ソタ)に合いません。解答欄の形が答えの形を教えてくれる——空欄の作りを見て検算しましょう。

ト:正解 2(配点3)

<考え方>
A から C までが 140 秒、その半分の 70 秒後なので、Q は BD の中点です。中線定理を使います。

中線定理(△OBD で OQ が中線)
 OB² + OD² = 2(OQ² + BQ²)

 BQ = BD/2 = √7 h/2

 h² + 3h² = 2{ OQ² + (√7h/2)² }
   4h² = 2OQ² + 7h²/2
  2OQ² = 4h² − 3.5h² = 0.5h²
   OQ² = h²/4
   OQ = h/2

よって OQ = h/2。
速さが一定なので「時間の比 = 距離の比」。70秒=140秒の半分だから中点、という読み替えが第一歩です。

ナ:正解 ④(配点3)

<考え方>
OQ が出たので、あとは tan の値から角の範囲を絞ります。

tan∠POQ = h/OQ = h/(h/2) = 2

tan60° = 1.732…
tan65° = 2.144…

1.732… < 2 < 2.144…
 → 60° < ∠POQ < 65°

よって ④(60°以上65°未満)。
巻末の三角比の表で tan の列を見れば、2 がどの角の間にあるかすぐ分かります。表を使う前提の設問なので、電卓なしでも詰められます。

ニ,ヌ,ネ:正解 2, 5, 0(配点3)

<考え方>
tan∠POQ = h/OQ なので、∠POQ 最大 ⟺ OQ 最小。点から直線への最短距離は垂線です。

Q は BD 上を動く → OQ が最小になるのは
  O から BD に下ろした垂線の足   … ⓪①②のうち②

その足を H とする。△OBD の面積を 2 通りで表して OH を出す
  面積 = (1/2)·OB·OD·sin150°
     = (1/2)·h·√3h·(1/2) = √3 h²/4
  面積 = (1/2)·BD·OH = (1/2)·√7 h·OH

  (1/2)√7 h·OH = √3 h²/4
     OH = √3 h/(2√7)

 BH = √(OB² − OH²) = √(h² − 3h²/28)
   = √(25h²/28) = 5h/(2√7)

 BH : BD = 5h/(2√7) : √7 h = 5 : 14

 時間 = 140 × 5/14 = 50 秒

よって テ=②、トナ=50。
面積を 2 通りに表して垂線の長さを出す——「二通りの面積」は三角比の定番手筋です。時間は距離の比からそのまま求まります。

ノ:正解 ⑥(配点3)

<考え方>
最小の OQ = OH が求まったので、そのときの角を評価します。

tan∠POQ = h/OH = h ÷ {√3 h/(2√7)}
     = 2√7/√3 = 2√21/3

√21 = 4.58…
 2√21/3 = 9.16…/3 = 3.05…

tan70° = 2.747…
tan75° = 3.732…

2.747… < 3.05… < 3.732…
 → 70° < ∠POQ < 75°

よって ⑥(70°以上75°未満)。
70秒後(④=約63°)より大きくなっているのが妥当性の確認になります。50秒後が最大、その前後で角は小さくなるという全体像が見えれば完答です。

第2問(必答) 2次関数/データの分析

〔1〕はコンピュータで y=ax²+bx+c のグラフを動かしながら考える問題、〔2〕は全国体力・運動能力調査のデータを題材にした相関の問題です。配点30点。

ア,イ,ウ,エ:正解 7, 4, 7, 8(配点3)

<考え方>
y = 2x² − 7x + 7 を平方完成します。

y = 2(x² − (7/2)x) + 7
 = 2{ (x − 7/4)² − 49/16 } + 7
 = 2(x − 7/4)² − 49/8 + 56/8
 = 2(x − 7/4)² + 7/8

頂点 (7/4 , 7/8)

よって (7/4 , 7/8)。
x 座標は −b/(2a) = 7/4 とすぐ出るので、y は代入して求めるほうが速い場合もあります。

オ,カ,キ,ク:正解 1, 4, 1, 3(配点3)

<考え方>
P(1,2) と Q(3,4) を通る条件を連立し、b, c を a で表します。

 a + b + c = 2   …①
 9a + 3b + c = 4  …②

② − ①: 8a + 2b = 2
     4a + b = 1
       b = 1 − 4a

① へ代入
  c = 2 − a − (1 − 4a) = 1 + 3a

よって b = 1 − 4a、c = 1 + 3a。
a = 2 を入れると b = −7、c = 7 で元の式に戻ります。この検算を一度やっておくと安心して次へ進めます。

ケ:正解 2(配点3)

<考え方>
太郎さんと花子さんの会話が答えそのものです。a > 0 なら下に凸、頂点はグラフの最下点——そして P, Q は必ず通る。

頂点はグラフの一番下
 → 頂点の y 座標 ≦ P の y 座標 = 2
 → 頂点の y 座標 ≦ Q の y 座標 = 4

より厳しいのは 2 のほう
 頂点の y 座標 ≦ 2

等号は頂点が P と一致するときに実現する
 → 最大値は 2

よって 2。
「グラフの頂点の座標を a の式で表して考えるのは難しそう」という太郎さんの発言どおり、式を立てずに図形的に決めるのがこの設問の狙いです。

コ,サ:正解 1, 2(配点2)

<考え方>
頂点が P(1,2) と一致する、すなわち軸が x = 1 になる a を求めます。

軸 x = −b/(2a) = 1
  → b = −2a

b = 1 − 4a と合わせて
  1 − 4a = −2a
     1 = 2a
     a = 1/2

よって a = 1/2。
念のため確認すると、a=1/2 のとき b=−1、c=5/2 で y = (1/2)x² − x + 5/2 = (1/2)(x−1)² + 2。頂点はちょうど P(1,2) です。

シ:正解 ②(配点4)

<考え方>
a < 0 では上に凸。①の式 y = ax² + (1−4a)x + (1+3a) について、(A)(B)(C) を一つずつ検討します。

(A) 点(0,3)を通る ⟺ c = 1 + 3a = 3 ⟺ a = 2/3
   a < 0 に反する → 起こらない

(B) x 軸の負の部分と交わる
   −1/3 < a < 0 のとき c = 1+3a > 0 で、
   上に凸・f(0)>0・f(1)=2>0 だから
   小さい方の根は x < 0 にある
   例:a = −0.1 → 根は約 −0.48 と 14.5
   → 起こり得る ○

(C) 頂点の x 座標が 2 以下
   頂点 x = −b/(2a) = −(1−4a)/(2a) = 2 − 1/(2a)
   a < 0 → 1/(2a) < 0 → −1/(2a) > 0
   → 頂点の x 座標は常に 2 より大きい
   → 起こらない

起こり得るのは (B) だけなので ②。
(C) の頂点の x 座標が 2 − 1/(2a) ときれいにまとまるのが決め手。a の符号だけで判定でき、場合分けが要りません。

ス:正解 ①(配点2)

<考え方>
相関係数は −0.85。負の相関がある、と問題文が明示しています。

負の相関
 → 一方が増えると他方は減る傾向

よって ①(減る傾向がみられる)。
ただし太郎さんが言うとおり図1は一つの集団に見えないので、この −0.85 は次の (2) で疑われることになります。

セ:正解 ②(配点2)

<考え方>
図3(中学校第2学年)の散布図は、点が横にも縦にも広く散らばり、右上がり・右下がりのどちらの傾向も読み取れません。

図2(小学校第5学年)の相関係数 = 0.07(ほぼ無相関)
図3 も同様に明確な傾向が見えない

選択肢 −0.9 / −0.7 / 0.1 / 0.7 / 0.9 のうち
 0 に近いのは 0.1

よって ②(0.1)。
ここが大問の山場です。学年ごとに分ければどちらもほぼ無相関なのに、合わせると −0.85 という強い負の相関が現れる。二つの集団の平均値が離れていることが生む「見かけの相関」で、(3) 以降でその仕組みを数式で確かめます。

ソ:正解 ⓪(配点2)

<考え方>
データW の 6 個の値について、x の平均を計算します。

x:−1, 1, −2, 0, 0, 2
 合計 = 0
 x̄ = 0/6 = 0

よって ⓪(0)。
y も同様に合計 0 で ȳ = 0。平均が 0 だと以降の計算が大幅に楽になります。

タ:正解 ⑦(配点2)

<考え方>
x̄ = 0 なので、分散は x² の平均そのものです。

sx² = {(−1)² + 1² + (−2)² + 0² + 0² + 2²}/6
  = (1 + 1 + 4 + 0 + 0 + 4)/6
  = 10/6 = 5/3

よって ⑦(5/3)。

チ:正解 ⑤(配点2)

<考え方>
共分散も、平均が 0 なので xy の平均になります。

sxy = {(−1)(1) + (1)(−1) + (−2)(0)
    + (0)(−2) + (0)(2) + (2)(0)}/6
  = (−1 − 1 + 0 + 0 + 0 + 0)/6
  = −2/6 = −1/3

よって ⑤(−1/3)。
加えた 4 点はすべて積が 0。共分散に効いているのは最初の 2 点だけという構造が見えます。

ツ:正解 ③(配点2)

<考え方>
相関係数の定義に代入します。sx² = sy² であることに着目せよ、というヒント付きです。

sy² = (1 + 1 + 0 + 4 + 4 + 0)/6 = 5/3 = sx²

rxy = sxy/(sx·sy) = sxy/sx²   (sx = sy より)
  = (−1/3)/(5/3)
  = −1/5

よって ③(−1/5)。
元の 2 点だけなら相関係数は −1。そこに 4 点を加えただけで −1 から −1/5 まで一気に弱まる——集団の混ぜ方で相関係数がどれだけ動くかを実感させる設問です。

テ,ト:正解 6, 2(配点3)

<考え方>
「相関係数が正 ⟺ 共分散が正」と問題文が言ってくれているので、共分散だけ計算します。

x̄ = ȳ = 0(和がいずれも 0)

各組の積 xy
 (−1)(1) = −1
 (1)(−1) = −1
 (−1−a)(1−a) = −(1+a)(1−a) = a² − 1
 (1−a)(−1−a) = a² − 1
 (−1+a)(1+a) = a² − 1
 (1+a)(−1+a) = a² − 1

合計 = −2 + 4(a² − 1) = 4a² − 6
 sxy = (4a² − 6)/6

 sxy > 0 ⟺ 4a² > 6 ⟺ a² > 3/2
     ⟺ a > √(3/2) = √6/2   (a > 0)

よって a > √6/2。
4 つの積がすべて a² − 1 という同じ値になるのが計算上のご褒美。a が大きい=加えた 4 点が外へ広がるほど、元の −1 の相関を打ち消して正に転じる、という意味が読み取れます。

第3問(必答) 図形の性質

△OAB の内心 I と内接円の接点 L,M,N をめぐる問題。「4点が同一円周上にある」ことを、垂直と円周角、そして角の大小関係から順に導きます。配点20点。

ア

<考え方>
内心 I から各辺に下ろした垂線の足が接点 L,M,N です。したがって ∠ALI=∠AMI=90° なので、A,L,I,M は線分 AI を直径とする円の上に並びます(円周角の定理の逆)。

∠ALI = ∠AMI = 90°
→ A, L, I, M は AI を直径とする円周上

ア = ①(M)

イ,ウ,エ,オ

<考え方>
IM⊥OA だから ∠OMI=90°。次に △OBX で外角を考えます。∠XOB=2θ、∠OBX=∠OBI=β(BI は ∠OBA=2β の二等分線)なので ∠OXB=180°−2θ−β。ここで θ+α+β=90° より β=90°−θ−α を代入します。

∠OMI = 90°
∠OXI = 180° − 2θ − β
     = 180° − 2θ − (90° − θ − α)
     = 90° + α − θ

イウ = 90、エ = ①(α)、オ = ⓪(θ)

カ,キ

<考え方>
M は I から OA に下ろした垂線の足なので ∠OMI=90°。直線 OA 上の点 X について、X が M より O 側にあれば ∠OXI>90°、M より A 側にあれば ∠OXI<90° となります。∠OXI=90°+α−θ なので、α と θ の大小がそのまま位置を決めます。

α < θ → ∠OXI < 90° → X は M より A 側
α > θ → ∠OXI > 90° → X は M より O 側

カ = ②(点 M と異なり,線分 AM 上にある)、キ = ①(点 M と異なり,線分 OM 上にある)

ク,ケ

<考え方>
OM=ON(同じ点 O から円に引いた接線の長さは等しい)なので △OMN は頂角 2θ の二等辺三角形。よって ∠ONM=(180°−2θ)÷2=90°−θ。P は直線 MN 上の点なので ∠ONP もこれに等しくなります。∠OBP は BI が ∠OBA の二等分線であることから β です。

OM = ON → ∠ONM = (180° − 2θ)/2 = 90° − θ
∠OBP = ∠OBI = β

ク = ③(90°−θ)、ケ = ②(β)

コ,サ

<考え方>
△PNB に注目します。∠PNB=180°−∠ONP=90°+θ、∠NBP=β なので ∠NPB=180°−(90°+θ)−β=90°−θ−β=α。∠MPI はこの対頂角なので同じく α です。一方 AI は ∠OAB=2α の二等分線だから ∠MAI=α。MI を同じ側から見込む角が等しいので、4点 I,M,P,A は同一円周上にあります。

∠NPB = 180° − (90° + θ) − β = 90° − θ − β = α
∠MPI = α(対頂角)
∠MAI = α
→ I, M, P, A は同一円周上

コ = ①(α)、サ = ⓪(A)

シ,ス

<考え方>
α>θ のときは P の位置が MN 上で入れ替わり、∠MPI は先ほどの角の補角になって 180°−α となります。このとき ∠MPI+∠MAI=(180°−α)+α=180°。向かい合う角の和が 180°なので、やはり 4点 I,M,P,A は同一円周上にあります(円に内接する四角形の条件)。

∠MPI = 180° − α
∠MPI + ∠MAI = 180°
→ 四角形 IMPA は円に内接する

シ = ⑦(180°−α)、ス = ⓪(同一円周上にある)

セ

<考え方>
θ=32°,α=34° なので β=90°−32°−34°=24°。α>θ なので、⑵⑶の結論から P は M より外側(N と反対側)に来ます。Q は A 側の二等分線 AI との交点で、対称的に N より外側に出ます。実際に座標をとって直線 MN 上の位置を計算すると、M から順に P が M のすぐ外、続いて N、そして Q の順になります。

β = 90° − 32° − 34° = 24°
直線 MN 上の位置(M を 0 とする)
 P ≈ 0.015 / N ≈ 0.409 / Q ≈ 0.491
→ M, P, N, Q の順

セ = ⓪(M,P,N,Q)

第4問(必答) 場合の数と確率

1〜6 のカード6枚から「2枚同時に取る(試行A)」「1枚ずつ2回取る(試行B)」の二つの方法を比べる問題。共通する自然数の個数に注目します。配点20点。

ア,イ

<考え方>
6枚から2枚を同時に取り出す組合せなので ₆C₂ です。

₆C₂ = (6·5)/(2·1) = 15(通り)

アイ = 15

ウ,エ,オ

<考え方>
E と F はそれぞれ 15 通りの2元集合を等確率にとり、互いに独立です。A₂ は E∩F の要素が2個、すなわち E=F ということ。花子さんの E が何であっても、太郎さんがそれと同じ集合を選ぶ確率は 1/15 です。

P(A₂) = P(E = F) = 1/15

ウ/エオ = 1/15

カ,キ

<考え方>
A₀ は E∩F=∅、つまり太郎さんの2枚が花子さんの2枚以外の4枚から選ばれる場合です。

P(A₀) = ₄C₂ / ₆C₂ = 6/15 = 2/5

カ/キ = 2/5(このあと使うので P(A₁) = 1 − 1/15 − 6/15 = 8/15 も出しておくとよい)

ク,ケ,コ,サ

<考え方>
試行Bを2回行うと、カードの出方は順序込みで 6×6=36 通り。B₂ は G と H がともに2元集合で、しかも一致する場合です。特定の2元集合 {a, b} が出るのは (a,b) と (b,a) の2通りなので確率 2/36=1/18。これが花子さん・太郎さんの両方で同じ集合になる確率を、15 個の2元集合について足します。

P(G = {a,b}) = 2/36 = 1/18
P(B₂) = 15 × (1/18)² = 15/324 = 5/108

ク/ケコサ = 5/108

シ,ス,セ,ソ,タ

<考え方>
花子さんが2回とも同じ自然数 x を引く確率は 6/36=1/6。このとき G={x} なので、B₀ になるのは太郎さんの2回がどちらも x 以外であること。

P(花子が2回とも同じ) = 6/36 = 1/6
P(太郎が2回とも x 以外) = (5/6)² = 25/36
1/6 × 25/36 = 25/216

シス/セソタ = 25/216

チ,ツ,テ,ト

<考え方>
花子さんが異なる2数 x,y を引く場合は確率 30/36=5/6。このとき B₀ は太郎さんの2回がどちらも x,y 以外、つまり残り4枚から出ることなので (4/6)²=4/9。二つの場合は排反なので足し合わせます。

(5/6) × (4/9) = 20/54 = 10/27
P(B₀) = 25/216 + 10/27 = 25/216 + 80/216
     = 105/216 = 35/72

チツ/テト = 35/72

ナ,ニ

<考え方>
⑴は P(A₀)=6/15、P(A₂)=1/15 なので P(A₁)=8/15 が最大。⑵は分母を 216 にそろえて比べます。

P(A₀)=6/15, P(A₁)=8/15, P(A₂)=1/15 → 最大は P(A₁)
P(B₀)=105/216, P(B₁)=101/216, P(B₂)=10/216 → 最大は P(B₀)

ナ = ①(P(A₁))、ニ = ⓪(P(B₀))

※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。

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