2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ・数学A」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 数と式（６つの因数を X＝x(5−x) でまとめる）
6つの１次式の積という、そのまま展開したら手が止まる式です。与えられた恒等式 (x＋n)(n＋5−x)＝x(5−x)＋n²＋5n が「3組の組み合わせ方」を教えてくれているので、それに従って x(5−x)＝X でくくり直すのが筋です。
ア：正解 5（配点2）
＜問題要旨＞
(x＋n)(n＋5−x) を展開したときの n の係数を求めます。
＜考え方＞
そのまま展開して x の項と n の項に整理します。
(x + n)(n + 5 − x) = xn + 5x − x² + n² + 5n − nx = 5x − x² + n² + 5n = x(5 − x) + n² + 5n よって n の係数は 5
イ，ウエ：正解 6，14（配点4）
＜問題要旨＞
X＝x(5−x) とおいたときの A を X の式で表します。
＜考え方＞
A の6つの因数を「x と 5−x」「x＋1 と 6−x」「x＋2 と 7−x」の3組に分けます。それぞれ上の恒等式で n＝0, 1, 2 の場合です。
A = x(x + 1)(x + 2)(5 − x)(6 − x)(7 − x)
= {x(5 − x)}·{(x + 1)(6 − x)}·{(x + 2)(7 − x)}
(x + 1)(6 − x) は n = 1 の場合
= x(5 − x) + 1² + 5·1 = X + 6
(x + 2)(7 − x) は n = 2 の場合
= x(5 − x) + 2² + 5·2 = X + 14
A = X(X + 6)(X + 14)
オ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
x＝(5＋√17)/2 のときの X の値を求めます。
＜考え方＞
x を代入して計算してもよいのですが、x が満たす２次方程式を作るほうが速いです。
x = (5 + √17)/2 より 2x − 5 = √17 両辺を2乗して 4x² − 20x + 25 = 17 4x² − 20x + 8 = 0 x² − 5x + 2 = 0 よって 5x − x² = 2 X = x(5 − x) = 5x − x² = 2
カ：正解 8（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの A の値を 2 の何乗かで表します。
＜考え方＞
X＝2 を A＝X(X＋6)(X＋14) に代入します。
A = X(X + 6)(X + 14) = 2 × (2 + 6) × (2 + 14) = 2 × 8 × 16 = 2 × 2³ × 2⁴ = 2⁸
第１問 〔２〕 集合と命題（20以下の自然数の集合と必要十分条件）
U＝{1, 2, …, 20} の中で、A（20の約数）、B（3の倍数）、C（偶数）を具体的に書き出してしまうのが確実です。(2) は絶対値と√(x²)＝|x| をていねいにほどけば、p が「q または r」とぴったり同じ集合になることが見えます。
キ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
(a) A ⊂ C と (b) A ∩ B ＝ ∅ の正誤の組合せを選びます。
＜考え方＞
３つの集合を要素で書き出して確かめます。A には奇数 1, 5 が含まれる点がポイントです。
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20} （20 の約数）
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} （3 の倍数）
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} （偶数）
(a) A ⊂ C ？ … A には 1, 5（奇数）があるので C に含まれない → 誤
(b) A ∩ B = ∅ ？ … 共通の要素はない → 正
(a) 誤, (b) 正 → ②
ク：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
(c) (A ∪ C) ∩ B ＝ {6, 12, 18} と (d) (Ā ∩ C) ∪ B ＝ Ā ∩ (B ∪ C) の正誤の組合せを選びます。
＜考え方＞
(c) は書き出せばすぐ。(d) は分配法則で右辺を展開し、(b) で示した A ∩ B ＝ ∅（つまり B ⊂ Ā）を使います。
(c) A ∪ C = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
(A ∪ C) ∩ B = {6, 12, 18} → 正
(d) 分配法則より
Ā ∩ (B ∪ C) = (Ā ∩ B) ∪ (Ā ∩ C)
(b) より A ∩ B = ∅、つまり B ⊂ Ā なので Ā ∩ B = B
よって右辺 = B ∪ (Ā ∩ C) = 左辺 → 正
(c) 正, (d) 正 → ⓪
ケ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
「q または r」は p であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
p を絶対値の場合分けで解き、q, r の合併と比べます。
p : |x − 2| > 2 ⟺ x − 2 > 2 または x − 2 < −2 ⟺ x > 4 または x < 0 q または r : x < 0 または x > 4 両者は同じ条件なので必要十分条件 → ②
コ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
s は r であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
√(x²)＝|x| に注意して s をほどきます。s の表す範囲は r より広いので、必要条件にはなっても十分条件にはなりません。
s : √(x²) > 4 ⟺ |x| > 4 ⟺ x > 4 または x < −4 r : x > 4 r ⇒ s … 成立 s ⇒ r … 反例 x = −5（s は成立、r は不成立） 必要条件であるが十分条件ではない → ⓪
第１問 〔３〕 ２次関数（頂点の位置と区間の最小値）
a ＞ 0 の２次関数で、区間 0 ≦ x ≦ 4 における最小値を扱います。頂点の x 座標 p ＝ 1＋3/a が区間の右外にあるか中にあるかで場合が分かれ、その境目がちょうど a ＝ 1。最後は両方の場合で方程式を解き、それぞれの範囲に入るものだけを採ります。
サ＋シ／a：正解 1＋3／a（配点2）
＜問題要旨＞
y＝f(x) のグラフの頂点の x 座標 p を求めます。
＜考え方＞
x² の係数が a、x の係数が −2(a+3) なので、頂点の x 座標は −(x の係数)/(2a) です。
f(x) = ax² − 2(a + 3)x − 3a + 21 p = 2(a + 3)/(2a) = (a + 3)/a = 1 + 3/a
ス：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 4 における最小値が f(4) となる a の範囲を求めます。
＜考え方＞
a ＞ 0 なので下に凸。最小値が右端 f(4) になるのは、頂点が区間の右外（p ≧ 4）にあるときです。
下に凸なので、区間 [0, 4] での最小値が f(4) となるのは p ≧ 4 のとき 1 + 3/a ≧ 4 3/a ≧ 3 a > 0 なので 3 ≧ 3a a ≦ 1 よって 0 < a ≦ 1
セ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 4 における最小値が f(p) となる a の範囲を求めます。
＜考え方＞
最小値が頂点の値になるのは、頂点が区間の中にあるとき（0 ≦ p ≦ 4）です。p ＞ 1 はつねに成り立つので、条件は p ≦ 4 だけになります。
p = 1 + 3/a は a > 0 のとき つねに p > 1 ≧ 0 最小値が f(p) となるのは 0 ≦ p ≦ 4、すなわち p ≦ 4 1 + 3/a ≦ 4 a ≧ 1 よって 1 ≦ a
ソ／タ：正解 4／5（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 4 における最小値が 1 となる a の値のうち、0 ＜ a ≦ 1 の場合を求めます。
＜考え方＞
この範囲では最小値は f(4)。f(4) を計算して 1 とおきます。
f(4) = 16a − 8(a + 3) − 3a + 21 = 16a − 8a − 24 − 3a + 21 = 5a − 3 5a − 3 = 1 a = 4/5 0 < 4/5 ≦ 1 を満たすので適する
(チ＋√ツテ)／ト：正解 (7＋√13)／4（配点2）
＜問題要旨＞
同じく a ≧ 1 の場合を求めます。
＜考え方＞
この範囲では最小値は f(p)。f(p) は「定数項 − (x の係数)²/(4a)」で求まります。得られた２解のうち a ≧ 1 を満たすものだけを採ります。
f(p) = (−3a + 21) − {2(a + 3)}²/(4a)
= −3a + 21 − (a + 3)²/a
= {−3a² + 21a − (a² + 6a + 9)}/a
= (−4a² + 15a − 9)/a
(−4a² + 15a − 9)/a = 1
−4a² + 15a − 9 = a
4a² − 14a + 9 = 0
a = (14 ± √(196 − 144))/8 = (14 ± 2√13)/8 = (7 ± √13)/4
√13 = 3.60… より
(7 − √13)/4 = 0.84… は a ≧ 1 を満たさず不適
(7 + √13)/4 = 2.65… は適する
第２問 〔１〕 図形と計量（四角形が台形になる向きの判定）
四角形 ABCD のうち △ABC の3辺が与えられているので、余弦定理で ∠ABC が決まります。山場は「台形のどの辺が平行か」。CD と「A から直線 BC までの距離」を比べると、AD ∥ BC はあり得ないと分かり、AB ∥ CD に決まります。
ア／イ：正解 7／9（配点3）
＜問題要旨＞
cos∠ABC を求めます。
＜考え方＞
△ABC で AB＝5, BC＝9, AC＝6。余弦定理をそのまま使います。
cos∠ABC = (AB² + BC² − AC²)/(2·AB·BC) = (25 + 81 − 36)/(2 × 5 × 9) = 70/90 = 7/9
ウ√エ／オ：正解 4√2／9（配点3）
＜問題要旨＞
sin∠ABC を求めます。
＜考え方＞
三角形の内角なので sin は正です。
sin²∠ABC = 1 − (7/9)² = 1 − 49/81 = 32/81 0° < ∠ABC < 180° より sin∠ABC > 0 sin∠ABC = √32/9 = 4√2/9
カ，キ：正解 ⓪，④（配点5）
＜問題要旨＞
CD と AB·sin∠ABC の大小を比べ、そこから台形のどの2辺が平行かを決めます。
＜考え方＞
AB·sin∠ABC は「A から直線 BC までの距離」。もし AD ∥ BC なら D も直線 BC から同じ距離だけ離れているはずですが、C は直線 BC 上にあるので CD はその距離以上でなければなりません。CD のほうが小さいので AD ∥ BC は不可能です。
AB·sin∠ABC = 5 × (4√2/9) = 20√2/9 = 3.14… CD = 3 CD < AB·sin∠ABC → ⓪ AB·sin∠ABC は A から直線 BC までの距離 もし AD ∥ BC なら D から直線 BC までの距離も同じ値になるが、 C は直線 BC 上の点なので CD ≧ (D から直線 BC までの距離) が必要 CD = 3 < 3.14… なので矛盾 → AD ∥ BC ではない 台形なので、平行なのは 辺 AB と辺 CD → ④
ク√ケコ：正解 2√33（配点4）
＜問題要旨＞
BD の長さを求めます。
＜考え方＞
AB ∥ CD なので、直線 BC を横断線とみて ∠ABC と ∠BCD は同側内角。和が 180° になるので cos∠BCD ＝ −cos∠ABC です。あとは △BCD に余弦定理を使います。
AB ∥ CD より ∠ABC + ∠BCD = 180° cos∠BCD = −cos∠ABC = −7/9 △BCD で余弦定理 BD² = BC² + CD² − 2·BC·CD·cos∠BCD = 81 + 9 − 2 × 9 × 3 × (−7/9) = 90 + 42 = 132 BD = √132 = 2√33
第２問 〔２〕 データの分析（陸上選手の身長・体重と BMI）
陸上選手4グループの身長・体重のデータです。(1) はヒストグラムと箱ひげ図の読み取り、(2) は Z＝W/X（BMI そのもの）の箱ひげ図がどのグループのものかを、散布図に引かれた傾き 15・20・25・30 の補助直線を使って判定します。Z＝(傾き) の直線より上にある点は Z がその値より大きい、と読み替えるのがコツです。
サ，シ：正解 ①，⑥（配点6・各3／解答の順序は問わない）
＜問題要旨＞
図1（ヒストグラム）と図2（箱ひげ図）から読み取れる内容として正しいものを二つ選びます。
＜考え方＞
範囲・最大値・最小値は箱ひげ図のひげの両端、四分位範囲は箱の幅で読みます。②③のようにヒストグラムの階級を問うものは、累積度数を数えて確かめます。
図2 から読み取る五数（おおよそ） 男子短距離: 最小 152, Q1 176.5, 中央値 181, Q3 186, 最大 202 男子長距離: 最小 155, Q1 172, 中央値 176, Q3 181, 最大 198 女子短距離: 最小 145, Q1 165, 中央値 170, Q3 174, 最大 187 女子長距離: 最小 149, Q1 161, 中央値 165, Q3 170, 最大 186 ⓪ 範囲が最大なのは女子短距離？ 男子短距離 50 > 女子短距離 42 … 正しくない ① 四つとも四分位範囲が12未満？ 9.5 / 9 / 9 / 9 …いずれも12未満 … 正しい ← ② 男子長距離のヒストグラムで度数最大の階級に中央値？ 度数最大は 170〜175（70人）。累積は 165〜170 までで41人、 170〜175 までで111人。中央値は136番目なので 175〜180 の階級 … 正しくない ③ 女子長距離のヒストグラムで度数最大の階級に第1四分位数？ 度数最大は 165〜170（89人）。累積は 160〜165 までで104人。 第1四分位数は66番目なので 160〜165 の階級 … 正しくない ④ 最も身長の高い選手は男子長距離？ 男子短距離の最大 202 > 男子長距離の最大 198 … 正しくない ⑤ 最も身長の低い選手は女子長距離？ 女子短距離の最小 145 < 女子長距離の最小 149 … 正しくない ⑥ 男子短距離の中央値と男子長距離の第3四分位数がともに180以上182未満？ 181 と 181 …ともに範囲内 … 正しい ←
ス，セ：正解 ④，⑤（配点6・各3／解答の順序は問わない）
＜問題要旨＞
図3（散布図）と図4（Z の箱ひげ図）から読み取れる内容として正しいものを二つ選びます。
＜考え方＞
l₁〜l₄ は W＝15X, 20X, 25X, 30X。点がこの直線の上にあれば Z＝W/X はその傾きより大きくなります。図4 の (a)〜(d) がどのグループかは、Z の最小値・最大値を散布図から見積もって突き合わせます。
図3 の補助直線と Z の関係 l₁: W = 15X → その直線上で Z = 15 l₂: 20, l₃: 25, l₄: 30 図4 の五数（おおよそ） (a) 最小 17.4, 中央値 23.0, 最大 30.0 (b) 最小 15.4, 中央値 20.7, 最大 27.2 (c) 最小 16.3, 中央値 20.5, 最大 28.6 (d) 最小 15.3, 中央値 18.7, 最大 22.2 散布図から見積もる Z の範囲 男子短距離: 約 17〜30 → (a) 男子長距離: 約 16.5〜28.5 → (c) 女子短距離: 約 15〜27 → (b) 女子長距離: 約 15〜23 → (d) ⓪ 四つとも X と W に負の相関？ …どれも右上がり（正の相関）… 正しくない ① Z の中央値が最大なのは男子長距離？ …最大は男子短距離(a) … 正しくない ② Z の範囲が最小なのは男子長距離？ …最小は女子長距離(d) … 正しくない ③ Z の四分位範囲が最小なのは男子短距離？ …(a)の箱が最も広い … 正しくない ④ 女子長距離のすべての Z は25未満？ 女子長距離の散布図の点はすべて l₃（W = 25X）より下 … 正しい ← ⑤ 男子長距離の Z の箱ひげ図は(c)？ …上の対応より … 正しい ←
ソ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
偏差の積の和 Σ(xᵢ−x̄)(wᵢ−w̄) を、Σxᵢwᵢ から何を引いた形で表せるかを選びます。
＜考え方＞
そのまま展開し、Σxᵢ＝n x̄, Σwᵢ＝n w̄ を使って整理します。
Σ(xᵢ − x̄)(wᵢ − w̄) = Σxᵢwᵢ − x̄·Σwᵢ − w̄·Σxᵢ + n·x̄w̄ = Σxᵢwᵢ − x̄·(n w̄) − w̄·(n x̄) + n x̄ w̄ = Σxᵢwᵢ − n x̄ w̄ − n x̄ w̄ + n x̄ w̄ = Σxᵢwᵢ − n x̄ w̄ → ②
第３問 確率（大小2個のさいころと事象の独立性）
大小2個のさいころを1回投げる36通りの中で、A「大きいさいころが4」、B「和が7」、C「和が9」を扱います。(3) は「A と B は独立、A と C は独立でない」を確率の計算で確かめる問題。(4) は B と C が排反であることに気づくと、場合分けが一気に絞れます。
ア／イ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
事象 A の確率を求めます。
＜考え方＞
大きいさいころの目だけで決まります。
A：大きいさいころが4の目 P(A) = 6/36 = 1/6 （小さいさいころの目は何でもよいので6通り）
ウ／エ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
事象 B の確率を求めます。
＜考え方＞
和が7になる組を数えます。
和が7 … (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) の6通り P(B) = 6/36 = 1/6
オ／カ：正解 1／9（配点2）
＜問題要旨＞
事象 C の確率を求めます。
＜考え方＞
和が9になる組を数えます。
和が9 … (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) の4通り P(C) = 4/36 = 1/9
キ／ク：正解 1／4（配点2）
＜問題要旨＞
事象 C が起こったときの事象 A が起こる条件付き確率を求めます。
＜考え方＞
条件付き確率 P(A|C) ＝ P(A∩C)/P(C)。A∩C は「大きいさいころが4 かつ 和が9」＝(4,5) の1通りです。
A ∩ C = {(4, 5)} の1通り
P(A ∩ C) = 1/36
P(A|C) = P(A ∩ C)/P(C) = (1/36) ÷ (1/9) = 1/4
ケ／コ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
事象 A が起こったときの事象 C が起こる条件付き確率を求めます。
＜考え方＞
今度は分母が P(A) になります。
P(C|A) = P(A ∩ C)/P(A) = (1/36) ÷ (1/6) = 1/6
サ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
P(A∩B) と P(A)P(B) の大小を比べます。
＜考え方＞
A∩B を数えて、積と比べます。等しければ A と B は独立です。
A ∩ B = {(4, 3)} の1通り → P(A ∩ B) = 1/36
P(A)P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36
等しい（A と B は独立）→ ①
シ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
P(A∩C) と P(A)P(C) の大小を比べます。
＜考え方＞
こちらは一致しません。
P(A ∩ C) = 1/36 P(A)P(C) = (1/6) × (1/9) = 1/54 1/36 > 1/54 P(A ∩ C) > P(A)P(C)（A と C は独立でない）→ ②
ス／セソタ：正解 1／432（配点3）
＜問題要旨＞
試行を2回繰り返し、1回目に A∩B、2回目に Ā∩C が起こる確率を求めます。
＜考え方＞
各回は独立なので、それぞれの確率を掛けます。Ā∩C は「和が9 かつ 大きいさいころが4でない」です。
P(A ∩ B) = 1/36 Ā ∩ C … 和が9の4通りから (4,5) を除いた3通り P(Ā ∩ C) = 3/36 = 1/12 求める確率 = (1/36) × (1/12) = 1/432
チ／ツテ：正解 1／81（配点3）
＜問題要旨＞
2回の試行で A, B, C がいずれもちょうど1回ずつ起こる確率を求めます。
＜考え方＞
B と C は排反（和が7と9を同時には満たせない）なので、B と C は別々の回に起こります。A がどちらの回に入るかで2通り、さらに順序で2通りです。
B と C は排反なので、一方の回に B、他方の回に C が起こる A はそのどちらか一方の回に「同時に」起こる Ā ∩ B … 和が7の6通りから (4,3) を除いた5通り → 5/36 A ∩ B = 1/36, A ∩ C = 1/36, Ā ∩ C = 3/36 (A∩B, Ā∩C) の順 … (1/36)(3/36) (Ā∩C, A∩B) の順 … (3/36)(1/36) (Ā∩B, A∩C) の順 … (5/36)(1/36) (A∩C, Ā∩B) の順 … (1/36)(5/36) 合計 = 2 × (3 + 5)/36² = 16/1296 = 1/81
第４問 整数の性質（不定方程式と約数の個数）
144＝2⁴×3² と不定方程式 144x−7y＝1 を組み合わせる問題です。(3) は「144の倍数で7で割ると1余る」＝144m で m ≡ 2 (mod 7)、という形に直してから、約数の個数が18個・30個になる m を小さい順に試します。
ア，イ，ウ：正解 4，3，2（配点3）
＜問題要旨＞
144 を素因数分解します。
＜考え方＞
2 で繰り返し割ります。
144 = 2 × 72 = 2² × 36 = 2³ × 18 = 2⁴ × 9 144 = 2⁴ × 3²
エオ：正解 15（配点3）
＜問題要旨＞
144 の正の約数の個数を求めます。
＜考え方＞
素因数分解 p^a·q^b の約数の個数は (a+1)(b+1) です。
144 = 2⁴ × 3² 約数の個数 = (4 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 = 15
カ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
144x−7y＝1 の整数解のうち、x の絶対値が最小になるものの x を求めます。
＜考え方＞
両辺を 7 で見ます。144 ≡ 4 (mod 7) なので 4x ≡ 1 (mod 7) を解きます。
144 = 7 × 20 + 4 なので 144 ≡ 4 (mod 7) 4x ≡ 1 (mod 7) 4 × 2 = 8 = 7 + 1 より x ≡ 2 (mod 7) x = …, −12, −5, 2, 9, … 絶対値が最小なのは x = 2
キク：正解 41（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの y を求めます。
＜考え方＞
x＝2 を代入します。
144 × 2 − 7y = 1 288 − 1 = 7y y = 287/7 = 41
ケ：正解 7（配点2）
＜問題要旨＞
すべての整数解を k で表したときの x の係数を求めます。
＜考え方＞
見つけた1組との差をとります。144 と 7 は互いに素です。
144x − 7y = 1 144 × 2 − 7 × 41 = 1 辺々引いて 144(x − 2) = 7(y − 41) 144 と 7 は互いに素なので x − 2 は 7 の倍数 x = 7k + 2
コサシ：正解 144（配点2）
＜問題要旨＞
同じく y の係数を求めます。
＜考え方＞
x を代入して y を求めます。
144(7k) = 7(y − 41) 144k = y − 41 y = 144k + 41
ス：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
144 の倍数で 7 で割ると 1 余る自然数のうち、正の約数の個数が18個である最小のものを 144×◻ の形で求めます。
＜考え方＞
N＝144m とおくと、7で割った余りの条件は 144m ≡ 1 (mod 7)、つまり 4m ≡ 1 (mod 7) で m ≡ 2 (mod 7)。あとは m ＝ 2, 9, 16, … と小さい順に約数の個数を数えます。
N = 144m とおくと 144m ≡ 1 (mod 7) 4m ≡ 1 (mod 7) → m ≡ 2 (mod 7) m = 2, 9, 16, 23, 30, … m = 2: N = 288 = 2⁵ × 3² 約数の個数 = 6 × 3 = 18 ← 一致 よって最小のものは 144 × 2
セソ：正解 23（配点3）
＜問題要旨＞
同じく、正の約数の個数が30個である最小のものを求めます。
＜考え方＞
m ＝ 2, 9, 16, 23, … と順に約数の個数を数えます。m が 144 と互いに素な素数のときは個数が 15×2 になる、という見方も使えます。
m = 2: 288 = 2⁵ × 3² → 6 × 3 = 18 m = 9: 1296 = 2⁴ × 3⁴ → 5 × 5 = 25 m = 16: 2304 = 2⁸ × 3² → 9 × 3 = 27 m = 23: 144 × 23 = 2⁴ × 3² × 23 → 5 × 3 × 2 = 30 ← 一致 よって最小のものは 144 × 23
第５問 図形の性質（角の二等分線・方べきの定理と内心）
AB＝2, AC＝1, ∠A＝90° の直角三角形に、D で BC に接し A を通る円をかぶせます。方べきの定理で BE が出たら、あとはメネラウスで F の位置を決めるだけ。最後の「D は △ABF の何か」は、AD と FE がともに角の二等分線であることに気づくと一発です。
ア√イ／ウ：正解 2√5／3（配点3）
＜問題要旨＞
∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とするときの BD を求めます。
＜考え方＞
角の二等分線は対辺を隣り合う2辺の比に内分します。BC の長さは三平方の定理で出します。
∠A = 90° より BC = √(AB² + AC²) = √(4 + 1) = √5 角の二等分線の性質より BD : DC = AB : AC = 2 : 1 BD = (2/3)·BC = 2√5/3
エオ／カ：正解 20／9（配点3）
＜問題要旨＞
A を通り D で辺 BC に接する円と辺 AB との交点で A と異なるものを E とするとき、AB·BE を求めます。
＜考え方＞
点 B からこの円を見ると、直線 BC は接線（接点 D）、直線 BA は割線（交点 E, A）。方べきの定理がそのまま使えます。
方べきの定理（接線と割線）より BD² = BE · BA BD² = (2√5/3)² = 4 × 5/9 = 20/9 AB · BE = 20/9
キク／ケ：正解 10／9（配点2）
＜問題要旨＞
BE の長さを求めます。
＜考え方＞
AB＝2 で割るだけです。
AB · BE = 20/9, AB = 2 BE = (20/9) ÷ 2 = 10/9 （このとき AE = AB − BE = 2 − 10/9 = 8/9）
コ，サ：正解 ⓪，④（配点4）
＜問題要旨＞
BE/BD と AB/BC の大小を比べ、直線 AC と直線 DE の交点が辺 AC のどちら側の延長上にあるかを答えます。
＜考え方＞
BE/BD ＝ AB/BC なら △BED ∽ △BAC となって DE ∥ AC。今回はそうならないので、ずれた向きから交点の位置が決まります。BE/BD ＜ AB/BC は BE/BA ＜ BD/BC と同値で、E が「平行になる位置」より B 寄りにあることを意味します。
BE/BD = (10/9) ÷ (2√5/3) = (10/9)·(3/(2√5)) = 5/(3√5) = √5/3 = 0.745… AB/BC = 2/√5 = 2√5/5 = 0.894… BE/BD < AB/BC → ⓪ これは BE/BA < BD/BC と同値 BE/BA = (10/9)/2 = 5/9 = 0.555… BD/BC = (2√5/3)/√5 = 2/3 = 0.666… DE ∥ AC となる位置より E は B 寄り。よって直線 DE は 辺 AC を C の側に延長した先で直線 AC と交わる → ④ （確認：A(0,0), B(2,0), C(0,1) とおくと D(2/3, 2/3), E(8/9, 0)。 直線 DE と y 軸の交点は (0, 8/3) で、C(0,1) より外側）
シ／ス：正解 5／8（配点3）
＜問題要旨＞
その交点を F とするとき、CF/AF を求めます。
＜考え方＞
△ABC を、直線 D–E–F で切ったメネラウスの定理が使えます。
AE = 8/9, EB = 10/9 より AE : EB = 4 : 5 BD : DC = 2 : 1 メネラウスの定理（△ABC と直線 DEF） (AE/EB) × (BD/DC) × (CF/FA) = 1 (4/5) × (2/1) × (CF/FA) = 1 CF/AF = 5/8
セ／ソ：正解 5／3（配点2）
＜問題要旨＞
CF の長さを求めます。
＜考え方＞
F は C の側の延長上にあるので AF ＝ AC ＋ CF ＝ 1 ＋ CF です。
AF = AC + CF = 1 + CF CF/AF = 5/8 より 8·CF = 5(1 + CF) 8CF = 5 + 5CF 3CF = 5 CF = 5/3 （このとき AF = 1 + 5/3 = 8/3）
タ：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
点 D は △ABF の何であるかを選びます。
＜考え方＞
AD はもともと ∠BAC ＝ ∠BAF の二等分線。もう一方、FE が ∠AFB の二等分線であることを、AE : EB ＝ FA : FB から確かめます。二つの角の二等分線の交点は内心です。
∠BAF = ∠BAC = 90° なので、AD は ∠BAF の二等分線 ∠BAF = 90° より BF = √(AB² + AF²) = √(4 + 64/9) = √(100/9) = 10/3 （CF/AC = (5/3)/1 = 5/3、BF/AB = (10/3)/2 = 5/3 で一致） FA : FB = (8/3) : (10/3) = 4 : 5 AE : EB = (8/9) : (10/9) = 4 : 5 AE : EB = FA : FB なので、FE は ∠AFB の二等分線 D は AD（∠A の二等分線）と FE（∠F の二等分線）の交点 よって D は △ABF の内心 → ①
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。