2019年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2019年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ・数学A」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 数と式（絶対値を含む式の場合分け）
√(9a²−6a+1) を絶対値ではずすところが出発点です。√(x²)＝|x| なので A＝|3a−1|＋|a＋2| となり、3a−1 と a＋2 の符号で三つに場合分けします。最後の設問は「解いた値がその場合の範囲に入っているか」の確認が必須です。
(アa−イ)²：正解 (3a−1)²（配点2）
＜問題要旨＞
9a²−6a＋1 を平方の形に表します。
＜考え方＞
9a²＝(3a)²、1＝1²、−6a＝−2·(3a)·1 と見ればそのまま平方の形です。
9a² − 6a + 1 = (3a)² − 2·(3a)·1 + 1²
= (3a − 1)²
ウa＋エ：正解 4a＋1（配点2）
＜問題要旨＞
a ＞ 1/3 のときの A を a の１次式で表します。
＜考え方＞
A＝√{(3a−1)²}＋|a＋2|＝|3a−1|＋|a＋2|。a ＞ 1/3 なら 3a−1 も a＋2 も正なので、両方そのまま絶対値が外れます。
A = |3a − 1| + |a + 2| a > 1/3 のとき 3a − 1 > 0, a + 2 > 0 A = (3a − 1) + (a + 2) = 4a + 1
オカa＋キ：正解 −2a＋3（配点2）
＜問題要旨＞
−2 ≦ a ≦ 1/3 のときの A を a の１次式で表します。
＜考え方＞
この範囲では 3a−1 ≦ 0、a＋2 ≧ 0。前者だけ符号を反転させて外します。
−2 ≦ a ≦ 1/3 のとき 3a − 1 ≦ 0, a + 2 ≧ 0 A = −(3a − 1) + (a + 2) = −2a + 3 （参考）a < −2 のとき A = −(3a − 1) − (a + 2) = −4a − 1 = −(4a + 1)
ク：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
A＝2a＋13 となる a の値のうちの一つを求めます。
＜考え方＞
三つの場合それぞれで方程式を解き、得た値がその場合の範囲に入っているかを必ず確かめます。まず a ＞ 1/3 の場合。
[a > 1/3] 4a + 1 = 2a + 13 2a = 12 a = 6 6 > 1/3 を満たすので適する
ケコ／サ：正解 −7／3（配点2）
＜問題要旨＞
A＝2a＋13 となる a の値のもう一つを求めます。
＜考え方＞
残る二つの場合を調べます。真ん中の場合は解が範囲の外に出て不適、a ＜ −2 の場合が適します。
[−2 ≦ a ≦ 1/3] −2a + 3 = 2a + 13 −4a = 10 → a = −5/2 −5/2 = −2.5 は −2 ≦ a を満たさない …不適 [a < −2] −4a − 1 = 2a + 13 −6a = 14 → a = −7/3 −7/3 = −2.33… < −2 を満たすので適する
第１問 〔２〕 集合と命題（偶数・奇数と必要十分条件）
p：m と n はともに奇数、q：3mn は奇数、r：m＋5n は偶数。3 が奇数なので q は「mn が奇数」と同じ、5n と n は偶奇が一致するので r は「m＋n が偶数」＝「m と n の偶奇が一致」と同じ、と言い換えるのが要領です。
シ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
条件 p の否定を満たす二つの自然数 m, n について、m が奇数ならば n はどうなるかを選びます。
＜考え方＞
p の否定は「m と n の少なくとも一方は偶数」。m が奇数と決まっているので、偶数なのは n しかありません。
p ： m は奇数 かつ n は奇数 p の否定 ： m は偶数 または n は偶数 m が奇数 → 「n は偶数」でなければならない → ⓪ 偶数である
ス：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
同じく p の否定のもとで、m が偶数ならば n はどうなるかを選びます。
＜考え方＞
m が偶数の時点で「少なくとも一方は偶数」が成立するので、n には何の条件もつきません。
m が偶数 → p の否定はすでに成立 n は偶数でも奇数でもよい → ②
セ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
p は q であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
3 は奇数なので 3mn の偶奇は mn の偶奇と一致します。積が奇数になるのは両方が奇数のときだけです。
3mn が奇数 ⟺ mn が奇数 ⟺ m も n も奇数 ⟺ p p ⟺ q なので必要十分条件 → ⓪
ソ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
p は r であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
5n と n の偶奇は一致するので、r は「m と n の偶奇が一致する」と同じです。反例を一つ挙げれば逆が不成立と言えます。
m + 5n が偶数 ⟺ m + n が偶数 ⟺ m と n の偶奇が一致 p（ともに奇数）⇒ 偶奇が一致 ⇒ r … 成立 r ⇒ p … 反例 m = n = 2（r は成立、p は不成立） 十分条件であるが必要条件ではない → ②
タ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
p の否定は r であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
両方向とも反例が作れます。
p の否定 ⇒ r … 反例 m = 1, n = 2 （p の否定は成立、m + 5n = 11 は奇数で r は不成立） r ⇒ p の否定 … 反例 m = n = 1 （r は成立、p が成立するので p の否定は不成立） 必要条件でも十分条件でもない → ③
第１問 〔３〕 ２次関数（頂点の座標と平行移動）
y＝x²＋(2a−b)x＋a²＋1 を平方完成して頂点を求め、(2) では通る点の条件を b の式に直します。b が a の２次関数になるので、そこでもう一度平方完成する二段構えです。
b／チ：正解 b／2（配点2）
＜問題要旨＞
グラフ G の頂点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
x の係数 2a−b の半分に符号を付けたものが頂点の x 座標です。
y = x² + (2a − b)x + a² + 1
= {x + (2a − b)/2}² − (2a − b)²/4 + a² + 1
頂点の x 座標 = −(2a − b)/2 = b/2 − a
−b²／ツ＋ab＋テ：正解 −b²／4＋ab＋1（配点2）
＜問題要旨＞
グラフ G の頂点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
定数項から (2a−b)²/4 を引いて展開すると、a² がきれいに消えます。
頂点の y 座標 = a² + 1 − (2a − b)²/4
= a² + 1 − (4a² − 4ab + b²)/4
= a² + 1 − a² + ab − b²/4
= −b²/4 + ab + 1
ト，ナ：正解 5，1（配点2）
＜問題要旨＞
G が点 (−1, 6) を通るときの b の最大値と、そのときの a の値を求めます。
＜考え方＞
代入して b について解くと、b は a の２次関数になります。あとは平方完成するだけです。a, b がともに正であることも確認します。
x = −1, y = 6 を代入 1 − (2a − b) + a² + 1 = 6 a² − 2a + b = 4 b = −a² + 2a + 4 = −(a − 1)² + 5 a > 0 の範囲に a = 1 が含まれる b の最大値は 5（a = 1 のとき、b = 5 > 0 も満たす）
ニ／ヌ：正解 3／2（配点2）
＜問題要旨＞
b＝5, a＝1 のとき、G は y＝x² を x 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求めます。
＜考え方＞
a, b の値を代入して平方完成し、(x − p)² + q の形の p を読みます。
b = 5, a = 1 のとき y = x² + (2 − 5)x + 1 + 1 = x² − 3x + 2 = (x − 3/2)² − 9/4 + 2 = (x − 3/2)² − 1/4 x 軸方向の平行移動は 3/2
ネノ／ハ：正解 −1／4（配点2）
＜問題要旨＞
同じく y 軸方向の平行移動を求めます。
＜考え方＞
平方完成した式の定数項がそのまま y 軸方向の移動量です。
y = (x − 3/2)² − 1/4 y 軸方向の平行移動は −1/4
第２問 〔１〕 図形と計量（垂直二等分線と三角形の面積）
AB＝3, BC＝4, AC＝2 の三角形です。余弦定理で ∠BAC を押さえたら、後半は「線分 AC の垂直二等分線と直線 AB の交点 D」がどこに来るかが山場。∠BAC が鈍角なので、D は辺 AB 上ではなく、A を挟んで B と反対側の延長上に来ます。
アイ／ウ，エ：正解 −1／4，②（配点4）
＜問題要旨＞
cos∠BAC の値と、∠BAC が鋭角・直角・鈍角のどれかを答えます。
＜考え方＞
余弦定理をそのまま使います。cos の符号が角の種類を決めます。
cos∠BAC = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC)
= (3² + 2² − 4²)/(2·3·2)
= (9 + 4 − 16)/12 = −3/12 = −1/4
cos∠BAC < 0 なので ∠BAC は鈍角 → ②
√オカ／キ：正解 √15／4（配点3）
＜問題要旨＞
sin∠BAC の値を求めます。
＜考え方＞
三角形の内角なので sin は正。相互関係から出します。
sin²∠BAC = 1 − cos²∠BAC = 1 − (−1/4)² = 1 − 1/16 = 15/16 0° < ∠BAC < 180° より sin∠BAC > 0 sin∠BAC = √15/4
ク／ケ：正解 1／4（配点2）
＜問題要旨＞
線分 AC の垂直二等分線と直線 AB の交点を D とするとき、cos∠CAD を求めます。
＜考え方＞
∠BAC が鈍角なので、AC の垂直二等分線は直線 AB を A より B と反対側で切ります。つまり A は線分 DB の内部にあり、∠CAD は ∠BAC の補角になります。
A は線分 DB 上にあるので ∠CAD = 180° − ∠BAC cos∠CAD = −cos∠BAC = 1/4
コ：正解 4（配点3）
＜問題要旨＞
AD の長さを求めます。
＜考え方＞
AC の中点を M とすると、DM ⊥ AC なので △ADM は直角三角形です。
AC の中点を M とすると AM = AC/2 = 1, ∠AMD = 90° 直角三角形 ADM で cos∠DAM = AM/AD 1/4 = 1/AD AD = 4
サ√シス／セ：正解 7√15／4（配点3）
＜問題要旨＞
△DBC の面積を求めます。
＜考え方＞
△DBC と △ABC は、C から直線 AB に下ろした高さが共通です。底辺 DB と AB の比がそのまま面積比になります。
△ABC = (1/2)·AB·AC·sin∠BAC = (1/2)·3·2·(√15/4) = 3√15/4 A は線分 DB 上にあるので DB = DA + AB = 4 + 3 = 7 △DBC : △ABC = DB : AB = 7 : 3 △DBC = (7/3)·(3√15/4) = 7√15/4
第２問 〔２〕 データの分析（ソメイヨシノ・モンシロチョウ・ツバメの初見日）
開花日・初見日を「年間通し日」に直したデータです。(1) は箱ひげ図とヒストグラムの対応づけ、(2) は箱ひげ図と散布図から読み取れ「ない」ものを選ぶ問題、(3) は標準化（変量の変換）です。(1) は最小値と最大値がどの階級に入るかだけで一気に絞れます。
ソ：正解 ③（配点3）
＜問題要旨＞
2013年のヒストグラムを、図2 の ⓪〜⑤ から選びます。
＜考え方＞
図1 の2013年は、6年間で最も散らばりが大きい年です。最小値と最大値がどの階級に入るかを見れば一発で決まります。ヒストグラムの階級は幅5で、左端を含み右端を含みません。
図1（2013年） 最小値 ≒ 72, 第1四分位数 ≒ 77, 中央値 ≒ 81, 第3四分位数 ≒ 91, 最大値 ≒ 136 最小値が 70〜75 の階級にある … ③ のみ 最大値が 135〜140 の階級にある … ③ のみ ③ の度数（左から） 70〜75:5, 75〜80:13, 80〜85:15, 85〜90:4, 95〜100:4, 105〜110:1, 110〜115:2, 115〜120:1, 125〜130:1, 130〜135:1, 135〜140:1 合計 48（地点数と一致） 第1四分位数は12番目と13番目の平均 → 75〜80 の階級（≒77） 中央値は24番目と25番目の平均 → 80〜85 の階級（≒81） → ③
タ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
2017年のヒストグラムを、図2 の ⓪〜⑤ から選びます。
＜考え方＞
同じく最小値・最大値の階級で絞ります。2017年は箱が小さく、最大値も他の年より小さいのが特徴です。
図1（2017年） 最小値 ≒ 81, 第1四分位数 ≒ 90, 中央値 ≒ 93, 最大値 ≒ 122 最小値が 80〜85 の階級にある … ⓪, ①, ④ 最大値が 120〜125 の階級にある … ④ のみ （⓪ の最大は 115〜120、① の最大は 130〜135） ④ は中央値（24番目と25番目）が 90〜95 の階級に入り、図1 とも整合 → ④
チ，ツ：正解 ④，⑦（配点4・各2／解答の順序は問わない）
＜問題要旨＞
図3（箱ひげ図）・図4（散布図）から読み取れることとして正しくないものを二つ選びます。
＜考え方＞
四分位範囲は第3四分位数−第1四分位数。⑦ は散布図に引かれた２本の破線 y＝x＋15, y＝x−15 の外側に点があるかどうかで判定します。
図3 から読み取る五数 モンシロチョウ: 最小 ≒ 68, Q1 ≒ 84, 中央値 ≒ 93, Q3 ≒ 103, 最大 ≒ 121 ツバメ : 最小 ≒ 68, Q1 ≒ 89, 中央値 ≒ 91, Q3 ≒ 97, 最大 ≒ 114 ⓪ 最小値のひげの左端は両者ほぼ同じ位置 … 正しい ① 121 > 114 … 正しい ② 93 > 91 … 正しい ③ モンシロの四分位範囲 ≒ 19、ツバメ ≒ 8。19 < 8 × 3 = 24 … 正しい ④ モンシロの四分位範囲 ≒ 19 > 15 … 正しくない ← ⑤ ツバメの四分位範囲 ≒ 8 ≦ 15 … 正しい ⑥ 図4 で実線 y = x の上に乗る点が4個以上ある … 正しい ⑦ 図4 の左端に、上側の破線 y = x + 15 より上にある点がある （モンシロ ≒ 68, ツバメ ≒ 86 の点。差は約18日）… 正しくない ←
テ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
データ X の偏差 x₁−x̄, …, xₙ−x̄ の平均値を選びます。
＜考え方＞
偏差の総和は必ず 0 になります。
Σ(xᵢ − x̄) = Σxᵢ − n·x̄ = n·x̄ − n·x̄ = 0 偏差の平均値 = 0/n = 0 → ⓪
ト：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
変換後のデータ X′ の平均値を選びます。
＜考え方＞
X′ は偏差を s で割ったものなので、平均値も偏差の平均値を s で割った値です。
X' の平均値 = (1/n)Σ{(xᵢ − x̄)/s} = (1/s)·(偏差の平均値) = 0 → ⓪
ナ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
変換後のデータ X′ の標準偏差を選びます。
＜考え方＞
分散を定義どおり計算すると s² が約分されて 1 になります。
X' の分散 = (1/n)Σ{(xᵢ − x̄)/s}²
= (1/s²)·(1/n)Σ(xᵢ − x̄)²
= (1/s²)·s² = 1
X' の標準偏差 = √1 = 1 → ①
ニ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
M, T を標準化した M′, T′ の散布図を、図5 の ⓪〜③ から選びます。
＜考え方＞
標準化したデータは平均 0・標準偏差 1 になるので、値はおおむね −2 〜 2 に散らばります。まずこれで ⓪ と ① が消えます。残る ② と ③ は、図4 の特徴的な点の並びと照合します。
標準偏差が 1 ⇒ 値はおおむね −2 〜 2 に散らばる ⓪, ① は M', T' とも −1 〜 1 に収まっており、標準偏差が 1 になり得ない … 不適 図4 との照合（標準化は１次変換なので点の配置は相似的に保たれる） ・ツバメが最小となる点は2個あり、モンシロの値は 68.5 と 73 で近接 → ② の左下は T' が等しい2点が横に僅差で並んでおり一致 ③ は同じ2点が横に大きく離れていて不一致 ・ツバメが最大の点（モンシロ ≒ 108）とモンシロが最大の点（≒ 121）は別の点で、 ツバメの値も 114 と 112 で異なる → ② の右上は2点の T' が異なり一致。③ は右上の2点の T' がほぼ等しく不一致 → ②
第３問 確率（さいころで袋を選ぶ試行と条件付き確率）
赤い袋（赤2・白1）と白い袋（赤1・白1）を、直前に取り出した球の色で選び直していく試行です。(3) で「次に白球が出る確率＝(1/6)×(前回白球の確率)＋1/3」という漸化式の形が作れると、2回目も3回目も機械的に出せます。
ア／イ：正解 4／9（配点2）
＜問題要旨＞
1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率を求めます。
＜考え方＞
さいころで3の倍数（3, 6）が出れば白い袋、それ以外（1, 2, 4, 5）なら赤い袋です。
赤い袋が選ばれる確率 = 4/6 = 2/3 赤い袋から赤球 = 2/3（赤2個・白1個） (2/3) × (2/3) = 4/9
ウ／エ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
1回目の操作で、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率を求めます。
＜考え方＞
白い袋が選ばれる確率は 2/6＝1/3、白い袋から赤球は 1/2 です。
白い袋が選ばれる確率 = 2/6 = 1/3 白い袋から赤球 = 1/2（赤1個・白1個） (1/3) × (1/2) = 1/6
オ／カキ：正解 7／18（配点3）
＜問題要旨＞
2回目の操作が白い袋で行われる確率を求めます。
＜考え方＞
2回目に白い袋を使うのは、1回目に白球を取り出したときです。1回目に白球が出る確率を求めればよいことになります。
1回目に白球が出る確率 = (赤い袋)×(白球) + (白い袋)×(白球) = (2/3)·(1/3) + (1/3)·(1/2) = 2/9 + 1/6 = 4/18 + 3/18 = 7/18
ク／ケ：正解 1／6（配点2）
＜問題要旨＞
1回目に白球を取り出す確率を p とするとき、2回目に白球が取り出される確率を p の式で表します。
＜考え方＞
1回目が白球なら2回目は白い袋（白球の確率 1/2）、赤球なら赤い袋（白球の確率 1/3）です。
2回目に白球 = p·(1/2) + (1 − p)·(1/3) = p/2 − p/3 + 1/3 = (3p − 2p)/6 + 1/3 = (1/6)p + 1/3
コサ／シスセ：正解 43／108（配点2）
＜問題要旨＞
2回目の操作で白球が取り出される確率を求めます。
＜考え方＞
p＝7/18 を上の式に代入するだけです。
(1/6)·(7/18) + 1/3 = 7/108 + 36/108 = 43/108
ソタチ／ツテト：正解 259／648（配点3）
＜問題要旨＞
3回目の操作で白球が取り出される確率を求めます。
＜考え方＞
同じ式が3回目にも使えます。前回白球の確率を 43/108 に置き換えます。
3回目に白球 = (1/6)·(43/108) + 1/3
= 43/648 + 216/648
= 259/648
ナニ／ヌネ：正解 21／43（配点3）
＜問題要旨＞
2回目に取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋が白である条件付き確率を求めます。
＜考え方＞
2回目の袋が白いのは1回目が白球だったときだけ。分子は「1回目白球かつ2回目白球」、分母は「2回目白球」です。
2回目の袋が白 ⟺ 1回目に白球（確率 7/18） 分子 = (7/18) × (1/2) = 7/36 分母 = 43/108 (7/36) ÷ (43/108) = (7/36) × (108/43) = 21/43
ノハ／ヒフヘ：正解 88／259（配点3）
＜問題要旨＞
3回目に取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り出されたのが3回目である条件付き確率を求めます。
＜考え方＞
分子は「1回目赤球 → 2回目赤球 → 3回目白球」の確率。赤球が続く間は袋はずっと赤い袋です。
1回目に赤球 = 1 − 7/18 = 11/18 （→ 2回目は赤い袋） 2回目に赤球 = 2/3 （→ 3回目も赤い袋） 3回目に白球 = 1/3 分子 = (11/18) × (2/3) × (1/3) = 22/162 = 11/81 分母 = 259/648 (11/81) ÷ (259/648) = (11/81) × (648/259) = 88/259
第４問 整数の性質（不定方程式と連続する３整数）
49x−23y＝1 をきちんと解いておくと、(2) はそれを「49の倍数と23の倍数が1違い・2違いになる組」と言い換えるだけ、(4) の b もその結果がそのまま答えになります。設問どうしのつながりを意識すると一気に楽になる問題です。
ア，イウ：正解 8，17（配点3）
＜問題要旨＞
49x−23y＝1 の解となる自然数 x, y のうち、x が最小のものを求めます。
＜考え方＞
両辺を 23 で見て、49 ≡ 3 に置き換えてから解きます。
49x − 23y = 1 より 49x ≡ 1 (mod 23) 49 = 23·2 + 3 なので 3x ≡ 1 (mod 23) 3 × 8 = 24 = 23 + 1 より x ≡ 8 (mod 23) 最小の自然数 x = 8 y = (49 × 8 − 1)/23 = 391/23 = 17
エオ，カキ：正解 23，49（配点2）
＜問題要旨＞
49x−23y＝1 のすべての整数解を、整数 k を用いて表します。
＜考え方＞
見つけた1組との差をとって整理します。49 と 23 が互いに素であることを使います。
49x − 23y = 1 49·8 − 23·17 = 1 辺々引いて 49(x − 8) = 23(y − 17) 49 と 23 は互いに素なので x − 8 は 23 の倍数 x = 23k + 8, y = 49k + 17 （k は整数）
ク，ケコ：正解 8，17（配点3）
＜問題要旨＞
49の倍数 A と23の倍数 B の差の絶対値が1となる組のうち、A が最小のものを求めます。
＜考え方＞
A＝49m, B＝23n とおくと、A−B＝1 と B−A＝1 の二通りを調べることになります。前者は (1) の結果そのものです。
A = 49m, B = 23n （m, n は自然数）とおく
[A − B = 1] 49m − 23n = 1 → (1)より m = 8, n = 17 → A = 392
[B − A = 1] 49m ≡ −1 (mod 23) → 3m ≡ 22 (mod 23)
m ≡ 22 × 8 = 176 ≡ 15 (mod 23) → A = 49 × 15 = 735
A が最小なのは (A, B) = (49 × 8, 23 × 17) = (392, 391)
サ，シス：正解 7，15（配点3）
＜問題要旨＞
同じく差の絶対値が2となる組のうち、A が最小のものを求めます。
＜考え方＞
やはり二通りを調べます。3 の逆元が 8（3×8 ≡ 1 mod 23）であることを使うと計算が速いです。
[A − B = 2] 3m ≡ 2 (mod 23) → m ≡ 2 × 8 = 16 → A = 49 × 16 = 784
[B − A = 2] 3m ≡ −2 ≡ 21 (mod 23) → m ≡ 7 → A = 49 × 7 = 343
n = (343 + 2)/23 = 345/23 = 15
A が最小なのは (A, B) = (49 × 7, 23 × 15) = (343, 345)
セ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
a と a＋2 の最大公約数としてあり得る値を求めます。
＜考え方＞
公約数は二数の差も割り切ります。
a と a + 2 の公約数を d とすると d は (a + 2) − a = 2 も割り切る よって d は 2 の約数、最大公約数は 1 または 2
ソ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
a(a＋1)(a＋2) がつねに m の倍数となる自然数 m のうち、最大のものを求めます。
＜考え方＞
連続する3整数の積は必ず6の倍数です。逆に a＝1 のとき値が 6 なので、m は 6 の約数に限られます。
連続する2整数の中に必ず2の倍数がある 連続する3整数の中に必ず3の倍数がある → a(a+1)(a+2) はつねに 6 の倍数 a = 1 のとき 1·2·3 = 6 → すべての a で成り立つ m は 6 の約数に限られる 最大のものは m = 6
タ，チ，ツテ：正解 3，2，23（配点2）
＜問題要旨＞
6762 を素因数分解します。
＜考え方＞
小さい素数から順に割っていきます。
6762 = 2 × 3381 = 2 × 3 × 1127 = 2 × 3 × 7 × 161 = 2 × 3 × 7 × 7 × 23 = 2 × 3 × 7² × 23
トナニ：正解 343（配点3）
＜問題要旨＞
b(b＋1)(b＋2) が 6762 の倍数となる最小の自然数 b を求めます。
＜考え方＞
連続3整数の積は自動的に 2×3 の倍数なので、残るのは 7² と 23。連続3整数の中に7の倍数は高々1個しかないので、そのどれかが 49 の倍数でなければなりません。ここで (2) の結果がそのまま効いてきます。
6762 = 2 × 3 × 7² × 23 連続3整数の積は必ず 2 × 3 の倍数 → 残る条件は 7² と 23 連続する3整数のうち7の倍数は高々1個 → b, b+1, b+2 のいずれかが 49 の倍数 また b, b+1, b+2 のいずれかが 23 の倍数 つまり「49の倍数 A」と「23の倍数 B」が幅3の窓に同居する |A − B| = 0 は 49 と 23 が互いに素なので不可 |A − B| = 1 のとき最小は A = 392, B = 391 → b = 391 |A − B| = 2 のとき最小は A = 343, B = 345 → b = 343 b = 343 （343 = 7³ は 49 の倍数、345 = 23 × 15）
第５問 図形の性質（内接円・チェバの定理と円周角）
AB＝4, BC＝7, AC＝5 の三角形の内接円まわりです。「頂点から内接円への接線の長さ＝s−(向かい合う辺)」を知っていれば AD も BQ も暗算で出ます。最後の ∠DFE は、中心角 ∠DIE＝180°−∠BAC を円周角の定理で半分にするのが決め手です。
√ア／イ：正解 √6／2（配点4）
＜問題要旨＞
△ABC の内接円の半径を求めます。
＜考え方＞
面積 ＝ (内接円の半径) × (周の半分) を使います。
sin∠BAC = 2√6/5 が与えられているので △ABC = (1/2)·AB·AC·sin∠BAC = (1/2)·4·5·(2√6/5) = 4√6 s = (4 + 7 + 5)/2 = 8 △ABC = r·s より 4√6 = 8r r = √6/2
ウ：正解 1（配点3）
＜問題要旨＞
内接円と辺 AB の接点を D とするときの AD の長さを求めます。
＜考え方＞
頂点から内接円に引いた2本の接線の長さは等しいので、AD ＝ s − BC です。
接線の長さは等しいので AD = AE, BD = BF, CE = CF AD + BD = 4, BD + CF = 7, CE + AD = 5 AD = s − BC = 8 − 7 = 1
エ√オカ／キ：正解 2√15／5（配点3）
＜問題要旨＞
内接円と辺 AB, AC の接点 D, E について DE の長さを求めます。
＜考え方＞
AD＝AE＝1 の二等辺三角形 ADE に余弦定理を使います。∠DAE は ∠BAC そのものです。
AD = AE = 1, cos∠DAE = cos∠BAC = −1/5 DE² = 1² + 1² − 2·1·1·(−1/5) = 2 + 2/5 = 12/5 DE = √(12/5) = 2√3/√5 = 2√15/5
ク／ケ：正解 3／4（配点2）
＜問題要旨＞
線分 BE と線分 CD の交点を P、直線 AP と辺 BC の交点を Q とするとき、BQ/CQ を求めます。
＜考え方＞
AQ, BE, CD が1点 P で交わるので、チェバの定理が使えます。BD, CE も接線の長さから出します。
BD = AB − AD = 4 − 1 = 3 CE = AC − AE = 5 − 1 = 4 チェバの定理 (AD/DB)·(BQ/QC)·(CE/EA) = 1 (1/3)·(BQ/CQ)·(4/1) = 1 BQ/CQ = 3/4
コ：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
BQ の長さを求めます。
＜考え方＞
BQ : CQ ＝ 3 : 4 で BC ＝ 7 なので、そのまま比例配分です。
BQ = BC × 3/(3 + 4) = 7 × 3/7 = 3
√サ／シ：正解 √6／2（配点3）
＜問題要旨＞
△ABC の内心を I とするとき、IQ の長さを求めます。
＜考え方＞
内接円と辺 BC の接点の位置を計算すると、それが Q と一致します（P はジェルゴンヌ点）。すると IQ は内接円の半径そのものです。
内接円と辺 BC の接点を F0 とすると BF0 = s − AC = 8 − 5 = 3 BQ = 3 なので Q は F0 と一致する （AQ, BE, CD が1点で交わる = P はジェルゴンヌ点） よって IQ ⊥ BC で IQ は内接円の半径 IQ = √6/2
√スセ／ソ：正解 √15／5（配点3）
＜問題要旨＞
直線 CP と内接円との交点で D と異なる点を F とするとき、cos∠DFE を求めます。
＜考え方＞
∠DFE は弦 DE に対する円周角。中心 I から見た中心角 ∠DIE は、四角形 ADIE の内角の和から 180°−∠BAC と分かります。
ID ⊥ AB, IE ⊥ AC なので四角形 ADIE で ∠DIE = 360° − 90° − 90° − ∠BAC = 180° − ∠BAC F は弧 DE のうち A 側でない方にあるので、円周角の定理より ∠DFE = (1/2)∠DIE = 90° − (1/2)∠BAC cos∠DFE = cos(90° − ∠BAC/2) = sin(∠BAC/2) sin²(∠BAC/2) = (1 − cos∠BAC)/2 = (1 + 1/5)/2 = 3/5 sin(∠BAC/2) = √(3/5) = √15/5
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。