2024年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2024年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅰ・数学A」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 式の計算（２つの等式を同時に満たす x, y）
連立の見た目をしていますが、①は移項すると完全平方になるという仕掛けです。そこに気づくと y ＝ 7x が一発で出て、あとは②に代入して有理化するだけになります。
ア：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
50(x² ＋ y²) − (x ＋ 7y)² を (ア x − y)² の形に変形する設問です。
＜考え方＞
素直に展開して整理します。
50(x² ＋ y²) − (x ＋ 7y)² ＝ 50x² ＋ 50y² − (x² ＋ 14xy ＋ 49y²) ＝ 49x² − 14xy ＋ y² ＝ (7x)² − 2·(7x)·y ＋ y² ＝ (7x − y)²
ア＝⑦。①はこの式が 0 になることを意味するので、7x − y ＝ 0、すなわち y ＝ 7x が導かれます。
イ，ウ：正解 ⑦, ④（配点2）
＜問題要旨＞
x の値を求める設問です。
＜考え方＞
y ＝ 7x を②に代入し、分母を有理化します。
−4√3 x ＋ y ＝ 1 に y ＝ 7x を代入 −4√3 x ＋ 7x ＝ 1 (7 − 4√3)x ＝ 1 x ＝ 1／(7 − 4√3)
分母を有理化する
x ＝ (7 ＋ 4√3) ／ {(7 − 4√3)(7 ＋ 4√3)}
分母 ＝ 7² − (4√3)² ＝ 49 − 48 ＝ 1
x ＝ 7 ＋ 4√3
イ＝⑦、ウ＝④。（このとき y ＝ 7x ＝ 49 ＋ 28√3 です。）
エ，オ，カ：正解 ①, ②, ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
x² ＋ y² − 50 を 400(エオ ＋ カ√3) の形で表す設問です。
＜考え方＞
y ＝ 7x を使うと x² ＋ y² が x² だけの式になります。x を２乗するのは最後にまわします。
x² ＋ y² ＝ x² ＋ (7x)² ＝ 50x² x² ＋ y² − 50 ＝ 50x² − 50 ＝ 50(x² − 1)
x ＝ 7 ＋ 4√3 より
x² ＝ 49 ＋ 56√3 ＋ 48 ＝ 97 ＋ 56√3
x² − 1 ＝ 96 ＋ 56√3
50(96 ＋ 56√3) ＝ 4800 ＋ 2800√3
＝ 400(12 ＋ 7√3)
エオ＝12、カ＝⑦、すなわち エ＝①、オ＝②、カ＝⑦。
第１問 〔２〕 １次不等式（高速道路を使うほうが速くなる条件）
２つの経路の所要時間を x の式で表し、不等式にして解く設問です。数式は最後まで１次のままなので、道のりを正しく数え上げられるかだけが勝負になります。
キ，ク，ケ，コ：正解 ⑦, ⑤, ③, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
経路２を選んだとき、一般道路（道路あ）を走っている時間を求める設問です。
＜考え方＞
経路２で道路あ を走るのは「P → A」と「B → Q」の２区間です。それぞれの道のりを x で表します。
道路あ での位置関係（A からの道のり）
A ─── P ─── Q ─────── B
0 10 10+x 75
P → A の道のり ＝ 10 km
B → Q の道のり ＝ 75 − (10 ＋ x) ＝ 65 − x km
合計 ＝ 10 ＋ (65 − x) ＝ 75 − x km
道路あ の制限速度は時速 30 km なので、時間は (75 − x)／30 時間。キク＝75、ケコ＝30、すなわち キ＝⑦、ク＝⑤、ケ＝③、コ＝⓪。
サ，シ：正解 ③, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
経路２で高速道路（道路い）を走っている時間を求める設問です。
＜考え方＞
道路い は A から B まで 48 km、時速 80 km です。x は出てきません。
48 ／ 80 ＝ 3 ／ 5 時間
サ／シ＝3／5、すなわち サ＝③、シ＝⑤。したがって経路２の所要時間は (75 − x)／30 ＋ 3／5 時間です。
ス，セ，ソ：正解 ⓪, ③, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
「経路２のほうが短い時間で Q に到着できる」ことを表す不等式を立てる設問です。
＜考え方＞
経路１は道路あ を x km 走るだけなので x／30 時間。これより経路２が小さいという不等式にします。
（経路２の時間）< （経路１の時間） (75 − x)／30 ＋ 3／5 < x／30
ス＝⓪（＜）、セソ＝30、すなわち ス＝⓪、セ＝③、ソ＝⓪。
※ 「速い」を不等号の向きに直すとき、時間は小さいほうが速いことに注意してください。
タ，チ，ツ：正解 ④, ⑥, ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
立てた不等式を解いて、経路２が有利になる道のりの範囲を求める設問です。
＜考え方＞
分母をはらってから整理します。
(75 − x)／30 ＋ 3／5 < x／30
両辺に 30 を掛けて
(75 − x) ＋ 18 < x
93 < 2x
46.5 < x
タチ．ツ＝46.5、すなわち タ＝④、チ＝⑥、ツ＝⑤。
※ 問題文の条件 x < 65 と合わせると 46.5 < x < 65 です。この範囲なら経路２のほうが速く着けます。
第１問 〔３〕 三角比（正弦定理・余弦定理と三角形の合同条件）
外接円の半径と面積から三角形を決めていく設問です。sin の値が同じでも角が２通りあるという事実が、最後の合同条件の真偽判定にそのまま効いてきます。
テ，ト：正解 ②, ④（配点3）
＜問題要旨＞
BC ＝ 4、外接円の半径 4√3／3 のときの ∠BAC を求める設問です。
＜考え方＞
正弦定理で sin∠BAC を出します。sin の値が同じ角は 0°〜180° に２つあります。
正弦定理 BC ／ sin∠BAC ＝ 2R
sin∠BAC ＝ BC ／ (2R)
＝ 4 ／ (2 × 4√3／3)
＝ 4 ／ (8√3／3)
＝ 12 ／ (8√3)
＝ 3 ／ (2√3) ＝ √3 ／ 2
0° < ∠BAC < 180° で sin ＝ √3／2 となるのは
∠BAC ＝ 60° または 120°
小さいほうが 60°、大きいほうが 120°。テ＝②、ト＝④。
ナ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
△ABC の面積が 3√3／4 のときの AB・AC の値を求める設問です。
＜考え方＞
面積公式 S ＝ (1／2)·AB·AC·sin∠BAC を使います。sin∠BAC は 60° でも 120° でも √3／2 なので、場合分けは不要です。
(1／2) × AB·AC × (√3／2) ＝ 3√3／4 AB·AC × (√3／4) ＝ 3√3／4 AB·AC ＝ 3
ナ＝③。
ニ，ヌ：正解 ①, ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
∠BAC ＝ 60° のときの AB² ＋ AC² を求める設問です。
＜考え方＞
余弦定理を AB² ＋ AC² について解きます。
BC² ＝ AB² ＋ AC² − 2·AB·AC·cos60° 16 ＝ AB² ＋ AC² − 2 × 3 × (1／2) 16 ＝ AB² ＋ AC² − 3 AB² ＋ AC² ＝ 19
ニヌ＝19、すなわち ニ＝①、ヌ＝⑨。
ネ，ノ，ハ：正解 ②, ⑤, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
(AB ＋ AC)² を求め、そこから AC を AB で表す設問です。
＜考え方＞
２乗の和と積がわかっているので、和の２乗の展開式を使います。
(AB ＋ AC)² ＝ AB² ＋ AC² ＋ 2·AB·AC
＝ 19 ＋ 2 × 3
＝ 25
AB ＋ AC > 0 より AB ＋ AC ＝ 5
よって AC ＝ 5 − AB
ネノ＝25、ハ＝⑤、すなわち ネ＝②、ノ＝⑤、ハ＝⑤。
ヒ，フ，ヘ：正解 ⑤, ①, ③（配点3）
＜問題要旨＞
AB の値を求める設問です。
＜考え方＞
AC ＝ 5 − AB を AB·AC ＝ 3 に代入して、AB の２次方程式にします。
AB(5 − AB) ＝ 3
AB² − 5AB ＋ 3 ＝ 0
AB ＝ (5 ± √(25 − 12)) ／ 2
＝ (5 ± √13) ／ 2
ヒ＝⑤、フヘ＝13、すなわち ヒ＝⑤、フ＝①、ヘ＝③。
※ AB と AC は 5 − AB で入れ替わるだけなので、２つの解は同じ三角形の２辺を表しています。三角形は１つに決まります。
ホ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
三角形の合同条件についての命題 (a)(b) の真偽を判定する、第１問の結論です。
＜考え方＞
ここまでの計算そのものが (a) の反例になっています。
■ (a) 一組の辺・面積・外接円の半径が等しい
(1) の設定はまさにこれ。BC ＝ 4、
面積 3√3／4、外接円の半径 4√3／3。
ところが ∠BAC ＝ 60° の三角形と
∠BAC ＝ 120° の三角形の２つがあり
60° → AB ＝ (5 ± √13)／2
120° → AB ＝ (√19 ± √7)／2
辺の長さが違うので合同ではない → 偽
■ (b) 一組の角・面積・外接円の半径が等しい
角 A と外接円の半径 R が決まると
正弦定理より a ＝ 2R sinA が決まる
面積 S ＝ (1／2)bc sinA より bc が決まる
余弦定理 a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cosA より
b² ＋ c² が決まり、(b ＋ c)² も決まる
b ＋ c と bc が決まれば b, c は
（入れ替えを除いて）一通りに定まる → 真
(a) 偽・(b) 真 の組合せは②です。ホ＝②。
※ (a) が偽になるのは、sin から角を決めるときに 60° と 120° の２通りが残るからです。角そのものを与える (b) では、その曖昧さが消えます。
第２問 〔１〕 ２次関数（絶対値を含む関数のグラフ）
絶対値の中身の符号で場合分けし、区間ごとに直線か放物線かを判定する設問です。後半では太郎さんと花子さんが「計算せずに概形を見抜く手順」を整理してくれるので、その手順を３つの関数に当てはめるだけになります。
ア，イ，ウ：正解 −, ④, ②（配点2）
＜問題要旨＞
２次不等式 x² ＋ 2x − 8 < 0 を解く設問です。
＜考え方＞
因数分解します。
x² ＋ 2x − 8 ＝ (x ＋ 4)(x − 2) < 0 −4 < x < 2
アイ＝−4、ウ＝②、すなわち ア＝−、イ＝④、ウ＝②。この範囲で絶対値の中身が負になります。
エ，オ，カ，キ：正解 ①, −, ⑤, ④（配点3）
＜問題要旨＞
y ＝ (1／4)x² − (1／2)x − 1 の頂点の座標を求める設問です。
＜考え方＞
x² の係数 1／4 でくくってから平方完成します。
y ＝ (1／4)x² − (1／2)x − 1
＝ (1／4)(x² − 2x) − 1
＝ (1／4){(x − 1)² − 1} − 1
＝ (1／4)(x − 1)² − 1／4 − 1
＝ (1／4)(x − 1)² − 5／4
頂点 (1, −5／4)
エ＝①、オカ／キ＝−5／4、すなわち エ＝①、オ＝−、カ＝⑤、キ＝④。
ク：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
①のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
区間ごとの式と、つなぎ目 x ＝ −4, 2 での y の値を押さえます。
■ −4 < x < 2 のとき
y ＝ −x ＋ 1 （右下がりの直線）
x ＝ −4 → y ＝ 5
x ＝ 2 → y ＝ −1
■ x ≦ −4, 2 ≦ x のとき
y ＝ (1／4)x² − (1／2)x − 1 （下に凸の放物線）
x ＝ −4 → 4 ＋ 2 − 1 ＝ 5 ✓ つながる
x ＝ 2 → 1 − 1 − 1 ＝ −1 ✓ つながる
放物線の頂点は x ＝ 1 なので
x ≦ −4 の部分は右下がり（左上から下りてくる）
2 ≦ x の部分は右上がり（右上へ上がる）
→ 全体は「両側が下に凸の放物線、
真ん中が右下がりの直線」
この形は①です。ク＝①。
※ ⓪は真ん中の線分が右上がりで、①は右下がりです。つなぎ目の y の値（5 と −1）を比べれば一瞬で区別できます。
ケ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
②の関数 y ＝ −(1／8)|x² − 9| − (1／8)x² ＋ x のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
会話文の手順どおり、絶対値の中身の符号で場合分けして、x² の項が残るかどうかを見ます。
■ x² − 9 < 0（−3 < x < 3）のとき
|x² − 9| ＝ 9 − x²
y ＝ −(1／8)(9 − x²) − (1／8)x² ＋ x
＝ −9／8 ＋ x²／8 − x²／8 ＋ x
＝ x − 9／8
→ x² が消えて、傾き正の１次関数
■ x² − 9 > 0 のとき
|x² − 9| ＝ x² − 9
y ＝ −(1／8)(x² − 9) − (1／8)x² ＋ x
＝ −x²／4 ＋ x ＋ 9／8
→ x² の係数が負 ＝ 上に凸の放物線
真ん中が右上がりの直線、両側が上に凸の放物線。これは③です。ケ＝③。
コ：正解 ⑧（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ (1／8)|x² − 9| − (1／8)x² ＋ x のグラフの概形を選ぶ設問です。ケと絶対値の符号だけが違います。
＜考え方＞
同じ手順で場合分けします。今度は中と外が入れかわります。
■ −3 < x < 3 のとき
y ＝ (1／8)(9 − x²) − (1／8)x² ＋ x
＝ −x²／4 ＋ x ＋ 9／8
→ 上に凸の放物線
■ |x| > 3 のとき
y ＝ (1／8)(x² − 9) − (1／8)x² ＋ x
＝ x − 9／8
→ 傾き正の直線
真ん中が上に凸の放物線でふくらみ、両側が右上がりの直線。これは⑧です。コ＝⑧。
※ ⑥は真ん中が下にへこむ形です。中央部が上に凸か下に凸かで見分けます。
サ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
y ＝ (1／8)|x² ＋ 2√5 x − 4| ＋ (1／8)(x² ＋ 2√5 x) のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
x² ＋ 2√5 x をひとかたまり u と見ると、構造がはっきりします。
u ＝ x² ＋ 2√5 x とおくと
y ＝ (1／8)|u − 4| ＋ (1／8)u
■ u − 4 < 0 のとき
y ＝ (1／8)(4 − u) ＋ u／8 ＝ 4／8 ＝ 1／2
→ u が消えて、y は定数（水平な線分）
■ u − 4 > 0 のとき
y ＝ (1／8)(u − 4) ＋ u／8 ＝ u／4 − 1／2
→ u ＝ x² ＋ 2√5x なので下に凸の放物線
なお u − 4 ＝ x² ＋ 2√5x − 4 ＝ 0 の解は x ＝ (−2√5 ± 6)／2 ＝ −√5 ± 3 この間で水平、外側で下に凸の放物線
真ん中が水平な線分、両側が下に凸の放物線。これは②です。サ＝②。
第２問 〔２〕 データの分析（最小値と最大値を除外した評点）
採点で最小値と最大値を１個ずつ除く、という実際の競技でよくある方式を題材にした設問です。後半は文字式のまま平均と分散を扱うので、定義に戻って自分で式を組み立てられるかが問われます。
シ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
「元の評点」1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5 について、「調整後の評点」の平均 ȳ を求める設問です。
＜考え方＞
最小値 1 と最大値 5 を１個ずつ除いた 8 個の平均をとります。
調整後の評点： 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4 合計 ＝ 2×2 ＋ 3×4 ＋ 4×2 ＝ 4 ＋ 12 ＋ 8 ＝ 24 ȳ ＝ 24 ／ 8 ＝ 3
シ＝③。（元の平均 x̄ ＝ 3 と同じ値になっています。）
ス，セ：正解 ⓪, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
「調整後の評点」の分散 t² を求める設問です。
＜考え方＞
平均が 3 なので、偏差の２乗の平均をとります。
偏差： 2→−1（2個）, 3→0（4個）, 4→＋1（2個）
偏差の2乗の和
＝ 1×2 ＋ 0×4 ＋ 1×2 ＝ 4
t² ＝ 4 ／ 8 ＝ 0.5
ス．セ＝0.5、すなわち ス＝⓪、セ＝⑤。
※ 元の分散 s² ＝ 1.2 より小さくなっています。両端を除くとばらつきが小さくなる、というこの方式のねらいがここに表れています。
ソ，タ：正解 ⑤, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
x̄ を z̄ と ȳ で表す設問です。
＜考え方＞
A と B をそれぞれ z̄、ȳ で書き直して、x̄ ＝ (A ＋ B)／n に代入します。
z̄ ＝ A／2 → A ＝ 2z̄
ȳ ＝ B／(n−2) → B ＝ (n − 2)ȳ
x̄ ＝ (A ＋ B)／n
＝ { 2z̄ ＋ (n − 2)ȳ } ／ n
＝ (2／n)·z̄ ＋ {(n − 2)／n}·ȳ
ソ＝⑤（2／n）、タ＝⑥（(n−2)／n）。
※ 2／n と (n−2)／n を足すと 1 になります。x̄ は z̄ と ȳ を個数の比で重みづけした平均だ、という意味です。
チ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
x̄ ≦ ȳ が成り立つための必要十分条件を選ぶ設問です。
＜考え方＞
ソタで得た式をそのまま不等式に入れて、整理します。
(2／n)z̄ ＋ {(n−2)／n}ȳ ≦ ȳ
(2／n)z̄ ≦ ȳ − {(n−2)／n}ȳ
右辺 ＝ {(n − (n−2))／n}ȳ ＝ (2／n)ȳ
(2／n)z̄ ≦ (2／n)ȳ
2／n > 0 なので両辺を割って
z̄ ≦ ȳ
チ＝②。
※ 「除外した２個の平均が、残した評点の平均以下なら、全体の平均も下がる」という自然な内容です。
ツ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
「調整後の評点」が m 個の a と (8 − m) 個の b であるときの t² を、m, a, b で表す設問です。第２問の山場です。
＜考え方＞
各値の偏差を a − b でくくって表すのがコツです。
ȳ ＝ { ma ＋ (8−m)b } ／ 8
a の偏差
a − ȳ ＝ { 8a − ma − (8−m)b } ／ 8
＝ (8−m)(a − b) ／ 8
b の偏差
b − ȳ ＝ { 8b − ma − (8−m)b } ／ 8
＝ m(b − a) ／ 8
t² ＝ (1／8)[ m(a−ȳ)² ＋ (8−m)(b−ȳ)² ]
＝ (1／8) × (a−b)²／64 ×
[ m(8−m)² ＋ (8−m)m² ]
角かっこ ＝ m(8−m){ (8−m) ＋ m } ＝ 8m(8−m)
t² ＝ (1／8) × (a−b)²／64 × 8m(8−m)
＝ m(8−m)(a−b)² ／ 64
ツ＝④。
※ 分母が 64 になるところが分かれ目です。8 で割る操作が２回（分散の定義と偏差の分母）入り、最後に 8 が１つ約分されて 64 が残ります。
テ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
表１の４人のうち t² が最も大きい選手を選ぶ、第２問の結論です。
＜考え方＞
各選手について最小値と最大値を１個ずつ除き、残り 8 個の分散を出します。ツの公式が使えるのは値が２種類の選手だけなので、素直に計算するほうが確実です。
■ あ 1,4,4,4,4,5,5,5,5,5 → 4,4,4,4,5,5,5,5
平均 4.5
偏差² の和 ＝ 0.25 × 8 ＝ 2
t² ＝ 2／8 ＝ 0.25
■ い 1,3,3,4,4,4,4,4,4,5 → 3,3,4,4,4,4,4,4
平均 3.75
偏差² の和 ＝ 0.5625×2 ＋ 0.0625×6 ＝ 1.5
t² ＝ 1.5／8 ＝ 0.1875
■ う 1,2,2,2,2,4,4,4,4,4 → 2,2,2,2,4,4,4,4
平均 3
偏差² の和 ＝ 1 × 8 ＝ 8
t² ＝ 8／8 ＝ 1 ← 最大
■ え 1,1,1,1,1,1,1,3,3,4 → 1,1,1,1,1,1,3,3
平均 1.5
偏差² の和 ＝ 0.25×6 ＋ 2.25×2 ＝ 6
t² ＝ 6／8 ＝ 0.75
最も大きいのは「う」。テ＝②。
※ 「う」は 2 と 4 の２種類だけなのでツの式が使えます。m ＝ 4、a ＝ 2、b ＝ 4 として 4×4×4／64 ＝ 1 ✓ と検算できます。
第３問（選択問題） 場合の数と確率（壁にタイルを貼る）
4×4 の壁にタイルを 1 枚ずつ貼っていき、配置が枝分かれしていく様子を追う設問です。その時点で貼れる候補が何箇所あるかを数えれば、各枝の確率が決まります。図１の枝分かれ図をていねいに読むことが、そのまま得点になります。
ア，イ：正解 ①, ②（配点2）
＜問題要旨＞
２枚目を貼った時点で配置が A（横に２枚）となる確率を求める設問です。
＜考え方＞
問題文にあるとおり、２枚目の候補は「１枚目のすぐ右」と「１枚目のすぐ上」の２箇所です。
候補は 2 箇所、どちらも確率 1／2 A ＝ すぐ右に貼った場合 P(A) ＝ 1／2
ア／イ＝1／2、すなわち ア＝①、イ＝②。
ウ，エ，オ，カ：正解 ①, ②, ①, ④（配点2）
＜問題要旨＞
３枚目を貼った時点で配置が B（横に３枚）となる確率を求める設問です。
＜考え方＞
B に至るのは A を経由する道だけです。A から先の候補数を数えます。
A ＝ 左下に横2枚。次の候補は
・その右（横に3枚目）
・左端の1つ上
の 2 箇所（右上の位置は、左隣が空いていて
貼れない）
よって A から B へ進む確率は 1／2
P(B) ＝ P(A) × 1／2
＝ 1／2 × 1／2
＝ 1／4
ウ／エ＝1／2、オ／カ＝1／4、すなわち ウ＝①、エ＝②、オ＝①、カ＝④。
キ，ク：正解 ①, ②（配点2）
＜問題要旨＞
３枚目の配置が C（L 字型）となる確率を求める設問です。
＜考え方＞
C には２つの経路があります。A から上に伸ばす場合と、縦２枚から右に伸ばす場合です。
■ A（横2枚）→ C
P ＝ 1／2 × 1／2 ＝ 1／4
■ 縦2枚 → C
縦2枚からの候補も2箇所なので
P ＝ 1／2 × 1／2 ＝ 1／4
P(C) ＝ 1／4 ＋ 1／4 ＝ 1／2
キ／ク＝1／2、すなわち キ＝①、ク＝②。
※ 3枚の配置は B（横3枚）・C（L字）・D（縦3枚）の3通りで、確率は 1／4、1／2、1／4 です。合計 1 になることを確かめておくと安心です。
ケ，コ，サ，シ：正解 ③, ⑦, ②, ④（配点3）
＜問題要旨＞
４枚目の配置が E となる確率を求める設問です。
＜考え方＞
まず E がどの配置から来られるかを図１で確かめ、そのうえで各経路の確率を足します。
E ＝ 下段に3枚 ＋ 左端の1つ上に1枚 ■ B（横3枚）から左端の上に貼る → E ○ ■ C（L字）から下段3枚目に貼る → E ○ ■ D（縦3枚）からは、下段に3枚並ばない → × よって B と C だけ → ケ ＝ ③
■ B からの候補は 2 箇所（右へ／左端の上へ）
■ C からの候補は 3 箇所
（下段3枚目／2段目の右／左端の上）
P(E) ＝ P(B)×1／2 ＋ P(C)×1／3
＝ (1／4)(1／2) ＋ (1／2)(1／3)
＝ 1／8 ＋ 1／6
＝ 3／24 ＋ 4／24 ＝ 7／24
ケ＝③、コ／サシ＝7／24、すなわち ケ＝③、コ＝⑦、サ＝②、シ＝④。
ス，セ，ソ：正解 ①, ①, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
４枚目の配置が F（2×2 の正方形）となる確率を求める設問です。
＜考え方＞
2×2 の正方形をつくるには、直前が L 字（C）である必要があります。
■ B（横3枚）からは 2×2 にならない → × ■ C（L字）から 2段目の右に貼る → F ○ ■ D（縦3枚）からは 2×2 にならない → × よって C だけ → ス ＝ ①
P(F) ＝ P(C) × 1／3
＝ (1／2)(1／3)
＝ 1／6
ス＝①、セ／ソ＝1／6、すなわち ス＝①、セ＝①、ソ＝⑥。
タ，チ：正解 ⑤, ⑦（配点4）
＜問題要旨＞
４枚目が E であったとき、２枚目が A である条件付き確率を求める設問です。
＜考え方＞
E に至るすべての経路を書き出し、そのうち A を通るものの割合を出します。
E に至る経路（分母）
① A → B → E ： 1／2 × 1／2 × 1／2 ＝ 1／8
② A → C → E ： 1／2 × 1／2 × 1／3 ＝ 1／12
③ 縦2枚 → C → E ： 1／2 × 1／2 × 1／3 ＝ 1／12
P(E) ＝ 1／8 ＋ 1／12 ＋ 1／12
＝ 3／24 ＋ 2／24 ＋ 2／24 ＝ 7／24 ✓
A を通るもの（分子）＝ ① ＋ ②
＝ 1／8 ＋ 1／12 ＝ 3／24 ＋ 2／24 ＝ 5／24
条件付き確率 ＝ (5／24) ／ (7／24) ＝ 5／7
タ／チ＝5／7、すなわち タ＝⑤、チ＝⑦。
ツ，テ，ト：正解 ⑤, ②, ⑦（配点4）
＜問題要旨＞
６枚目を貼った時点で図２の階段形（下段3枚・2段目2枚・3段目1枚）になる確率を求める、第３問の結論です。
＜考え方＞
各段の枚数の組で状態を表し、5枚目までの確率を順に計算します。候補の数＝段の長さの種類の数＋1 と数えられます（ただし壁は4×4なので、長さ4の段はそれ以上伸ばせません）。
状態を（下段, 2段目, 3段目, …）で表す ■ 4枚目までの確率（ケコサシ・スセソで計算済み） (4) ＝ 1／8 (3,1) ＝ E ＝ 7／24 (2,2) ＝ F ＝ 1／6 (2,1,1) ＝ 7／24 (1,1,1,1) ＝ 1／8 合計 1 ✓
■ 5枚目
(4) の候補は (4,1) の1箇所だけ
(3,1) の候補は (4,1) (3,2) (3,1,1) の3箇所
(2,2) の候補は (3,2) (2,2,1) の2箇所
(2,1,1) の候補は (3,1,1) (2,2,1) (2,1,1,1) の3箇所
(1,1,1,1) の候補は (2,1,1,1) の1箇所だけ
P(3,2) ＝ (7／24)(1／3) ＋ (1／6)(1／2)
＝ 7／72 ＋ 6／72 ＝ 13／72
P(3,1,1) ＝ (7／24)(1／3) ＋ (7／24)(1／3)
＝ 14／72
P(2,2,1) ＝ (1／6)(1／2) ＋ (7／24)(1／3)
＝ 6／72 ＋ 7／72 ＝ 13／72
■ 6枚目で (3,2,1) になる
直前としてあり得るのは
(3,2) ・ (3,1,1) ・ (2,2,1)
の3つで、いずれも候補は3箇所
P ＝ (13／72 ＋ 14／72 ＋ 13／72) × 1／3
＝ (40／72) × 1／3
＝ 40／216
＝ 5／27
ツ／テト＝5／27、すなわち ツ＝⑤、テ＝②、ト＝⑦。
※ 4枚目の (4) と (1,1,1,1) は候補が1箇所しかありません。壁が 4×4 なので、長さ4の段はそれ以上伸ばせず、4段目より上もないからです。ここを2箇所と数えると答えが合わなくなります。
第４問（選択問題） 整数の性質（不定方程式と７進法）
前半は「積の形にして約数を数える」という不定方程式の定石、後半は７進法での桁の入れ替えです。後半は文字が多くて手が止まりやすいですが、X ＝ 48(a − c) という１本の式にたどり着けば、あとは 49 ＝ 7² を使った書き換えだけになります。
ア，イ，ウ：正解 ③, ②, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
2xy − 4x − 3y ＝ 0 を積の形に変形する設問です。
＜考え方＞
x を含む項と y を含む項でくくり、あとから定数を足して積の形をつくります。
2xy − 4x − 3y ＝ 0
(2x − 3)(y − 2) を展開すると
＝ 2xy − 4x − 3y ＋ 6
よって
2xy − 4x − 3y ＝ (2x − 3)(y − 2) − 6
これが 0 なので
(2x − 3)(y − 2) ＝ 6
ア＝③、イ＝②、ウ＝⑥。
エ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
①を満たす整数 x, y の組の個数を求める設問です。
＜考え方＞
ここが最大のポイントです。2x − 3 は必ず奇数なので、6 の約数のうち奇数のものしか選べません。
6 の約数（負も含む）
±1, ±2, ±3, ±6
このうち奇数は 1, −1, 3, −3 の4個
2x − 3 ＝ 1 → x ＝ 2, y − 2 ＝ 6 → y ＝ 8 2x − 3 ＝ −1 → x ＝ 1, y − 2 ＝ −6 → y ＝ −4 2x − 3 ＝ 3 → x ＝ 3, y − 2 ＝ 2 → y ＝ 4 2x − 3 ＝ −3 → x ＝ 0, y − 2 ＝ −2 → y ＝ 0 4 組
エ＝④。
※ ±2 や ±6 を入れると 2x − 3 が偶数になり、x が整数になりません。ここを見落とすと 8 組と答えてしまいます。
オ，カ：正解 ②, ⑧（配点3）
＜問題要旨＞
４組のうち xy が最大になるものを求める設問です。
＜考え方＞
エで書き出した４組について xy を計算して比べます。
(x, y) ＝ (2, 8) → xy ＝ 16 ← 最大 (x, y) ＝ (1, −4) → xy ＝ −4 (x, y) ＝ (3, 4) → xy ＝ 12 (x, y) ＝ (0, 0) → xy ＝ 0
オ＝②、カ＝⑧。
キ：正解 ③（配点3）
＜問題要旨＞
2xy − 4x − 3y ＝ 3a の整数解がちょうど 8 個になる最小の a（a は 0 以上の整数）を求める設問です。
＜考え方＞
同じ変形をすると右辺が変わるだけです。解の個数は右辺の奇数の約数の個数で決まります。
(2x − 3)(y − 2) ＝ 3a ＋ 6 ＝ 3(a ＋ 2)
N ＝ 3(a ＋ 2) とおくと
解の個数 ＝ N の奇数の約数の個数 × 2
（正負の両方があるため）
8 個 ⟺ 正の奇数の約数が 4 個
N は 3 の倍数で N ≧ 6。小さい順に調べる
N ＝ 6 ＝ 2×3 → 奇数部分 3、約数2個 ×
N ＝ 9 ＝ 3² → 奇数部分 9、約数3個 ×
N ＝ 12 ＝ 2²×3 → 奇数部分 3、約数2個 ×
N ＝ 15 ＝ 3×5 → 奇数部分15、約数4個 ○
N ＝ 15 のとき 3(a ＋ 2) ＝ 15
a ＋ 2 ＝ 5
a ＝ 3
キ＝③。
ク：正解 ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
M ＝ abc(7)、N ＝ cba(7) について X ＝ M − N を 7² の項で表す設問です。
＜考え方＞
７進法の各桁を 10 進法の式に直して引き算します。真ん中の b は打ち消し合います。
M ＝ 49a ＋ 7b ＋ c
N ＝ 49c ＋ 7b ＋ a
X ＝ M − N
＝ 49a ＋ c − 49c − a
＝ 48(a − c)
これを 7² の形に合わせると
48(a − c) ＝ 49(a − c) − (a − c)
＝ (a − c)×7² ＋ (c − a)
ク＝⑤（a − c）。
ケ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
同じ式の定数項にあたる部分を答える設問です。
＜考え方＞
クで導いた式の後半をそのまま読みます。
X ＝ (a − c)×7² ＋ (c − a)
ケ＝②（c − a）。
※ c − a は負の数です。このままでは７進法の桁として使えないので、次のコで繰り下がりの処理をします。
コ：正解 ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
X を７進法の各桁が 0 以上 6 以下になる形に書き換える設問です。
＜考え方＞
7² の位から 1 つ借りて、7 の位と 1 の位に配ります。恒等式として係数を合わせます。
(a−c)×7² ＋ (c−a)
＝ (a−c−1)×7² ＋ 49 ＋ (c−a)
49 を「コ × 7 ＋ 7」の形にしたいので
49 ＝ コ × 7 ＋ 7
42 ＝ コ × 7
コ ＝ 6
よって
X ＝ (a−c−1)×7² ＋ 6×7 ＋ {7 ＋ (c−a)}
7進法で X ＝ def(7) と書くと
d ＝ a − c − 1, e ＝ 6, f ＝ 7 − (a − c)
コ＝⑥。
※ 条件 c ＋ 1 < a より a − c ≧ 2、また 3 ≦ a ≦ 6、1 ≦ c ≦ 4 より a − c ≦ 5 です。したがって d は 1〜4、f は 2〜5 となり、どちらもきちんと７進法の桁におさまります。
サ，シ，ス，セ：正解 ①, ⓪, ⑤, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
Y ＝ fed(7) として X ＋ Y を７進法で表す、第４問の結論です。
＜考え方＞
X ＋ Y を d, e, f で表すと、d ＋ f がひとかたまりで現れます。そしてこれが定数になるのがこの問題の仕掛けです。
X ＝ 49d ＋ 7e ＋ f
Y ＝ 49f ＋ 7e ＋ d
X ＋ Y ＝ 50d ＋ 14e ＋ 50f
＝ 50(d ＋ f) ＋ 14e
ここで
d ＋ f ＝ (a − c − 1) ＋ {7 − (a − c)} ＝ 6
e ＝ 6
どちらも a, c によらない定数！
X ＋ Y ＝ 50×6 ＋ 14×6 ＝ 300 ＋ 84 ＝ 384
384 を7進法に直す 384 ÷ 343 ＝ 1 あまり 41 41 ÷ 49 ＝ 0 あまり 41 41 ÷ 7 ＝ 5 あまり 6 384 ＝ 1056(7) 検算： 343 ＋ 0 ＋ 35 ＋ 6 ＝ 384 ✓
p ＝ 1、q ＝ 0、r ＝ 5、s ＝ 6。サ＝①、シ＝⓪、ス＝⑤、セ＝⑥。
※ a, c がどんな値でも X ＋ Y は必ず 1056(7) になります。「桁を入れ替えて足すと決まった数になる」という、７進法版のよく知られた現象です。
第５問（選択問題） 図形の性質（外心・垂心・内心）
外心 O に関する対称点 P, Q, R を導入して、垂心 H の性質を調べる設問です。鍵になるのは「直径に対する円周角は 90°」という一点で、これが垂線と平行線を次々と生み出します。
ア：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
直線 AC と垂直な直線を、AR、CP のほかに１つ選ぶ設問です。
＜考え方＞
まず AR と CP がなぜ AC と垂直なのかを確認すると、選ぶべきものが見えてきます。
R は C の O に関する対称点 → CR は外接円の直径 → ∠CAR ＝ 90°（直径に対する円周角） → AR ⊥ AC P は A の O に関する対称点 → AP は直径 → ∠ACP ＝ 90° → CP ⊥ AC
残る1つは「AC に下ろした垂線」
E は直線 BH と直線 AC の交点で、
BE は B から AC への垂線。
H はその垂線上にあるので
BH ⊥ AC
ア＝②（BH）。
イ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
同じことを直線 BC について行う設問です。
＜考え方＞
アと同じ３点セット（頂点からの垂線・対称点を結ぶ２本）を、BC について並べます。
AH ⊥ BC （A から BC への垂線）
BR ⊥ BC
R は C の対称点、CR は直径
→ ∠CBR ＝ 90°
残る1つは Q（B の対称点）を使うもの
BQ は直径 → ∠BCQ ＝ 90°
→ CQ ⊥ BC
イ＝⑥（CQ）。
ウ，エ：正解 ⑤, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
BD : DC ＝ 4 : 1、AE : EC ＝ 2 : 3 のときの AH : HD を求める設問です。
＜考え方＞
問題文の指示どおり、△ADC と直線 BE にメネラウスの定理を使います。直線 BE は辺 DC の延長上の B、辺 CA 上の E、辺 AD 上の H を通ります。
△ADC と直線 B–H–E について (DB／BC) × (CE／EA) × (AH／HD) ＝ 1
BD : DC ＝ 4 : 1 より
DB ＝ 4, BC ＝ BD ＋ DC ＝ 5
AE : EC ＝ 2 : 3 より
CE／EA ＝ 3／2
(4／5) × (3／2) × (AH／HD) ＝ 1
(6／5) × (AH／HD) ＝ 1
AH／HD ＝ 5／6
ウ／エ＝5／6、すなわち ウ＝⑤、エ＝⑥。
オ，カ，キ：正解 ④, ①, ①（配点3）
＜問題要旨＞
△ARB の面積が △ABC の面積の何倍かを求める設問です。
＜考え方＞
(i) で見た垂直関係から、AHBR が平行四辺形になることに気づくのがポイントです。
AR ⊥ AC かつ BH ⊥ AC → AR ∥ BH
BR ⊥ BC かつ AH ⊥ BC → BR ∥ AH
よって四角形 AHBR は平行四辺形。
対角線 AB で二等分されるので
△ARB の面積 ＝ △AHB の面積
△AHB の面積を求める
△ABD ／ △ABC ＝ BD／BC ＝ 4／5
AH : HD ＝ 5 : 6 より AD ＝ 11、HD ＝ 6
△HBD ／ △ABD ＝ HD／AD ＝ 6／11
△HBD ＝ (4／5)(6／11) △ABC ＝ 24／55 △ABC
△AHB ＝ △ABD − △HBD
＝ (44／55 − 24／55) △ABC
＝ 20／55 △ABC ＝ (4／11) △ABC
オ／カキ＝4／11、すなわち オ＝④、カ＝①、キ＝①。
ク，ケ：正解 ①, ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
△ABP と相似な三角形を選び、その根拠となる角の等式を答える設問です。
＜考え方＞
まず △ABP が直角三角形であることを確認し、同じく直角三角形になるものを探します。
AP は直径なので ∠ABP ＝ 90°
→ △ABP は B が直角の直角三角形
一方、D は A から BC に下ろした垂線の足だから
∠ADC ＝ 90°
→ △ADC は D が直角の直角三角形
残る1組の角を比べる
∠APB と ∠ACB は、同じ弧 AB に対する
円周角なので等しい。
△ADC の中でその角は ∠ACD（＝∠ACB）。
∠APB ＝ ∠ACD
直角がそれぞれ等しく、もう１組の角も等しいので相似です。ク＝①（△ADC）、ケ＝⓪（∠ACD）。
コ：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
外心 O、垂心 H、内心 I についての命題 (a)(b) の真偽を判定する設問です。
＜考え方＞
(a) は「AO と AH が ∠A の二等分線について対称（等角共役）」という有名な性質です。(b) はそこから一歩踏み込んで、点そのものが対称かを問うています。
■ (a) 直線 AO と直線 AH は直線 AI に関して対称
∠BAO ＝ 90° − ∠ACB
（O は外心。△OAB は二等辺三角形で
∠AOB ＝ 2∠ACB だから）
∠CAH ＝ 90° − ∠ACB
（AH ⊥ BC。直角三角形 ADC で
∠CAD ＝ 90° − ∠ACD だから）
よって ∠BAO ＝ ∠CAH。
AI は ∠BAC の二等分線なので、
AO と AH は AI について対称 → 真
■ (b) 外心 O と垂心 H が直線 AI に関して対称 対称であるためには、AI からの角が等しいだけでなく AO ＝ AH でなければならない。 AO は外接円の半径で一定だが、AH は 三角形の形によって変わり、一般に一致しない。 → 偽
(a) 真・(b) 偽 の組合せは①です。コ＝①。
サ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
∠BAC が鈍角である鈍角三角形のとき、∠BAP と等しい角を選ぶ設問です。
＜考え方＞
直角三角形 ABP と直角三角形 ADC で、それぞれ残りの角を計算します。
△ABP で ∠ABP ＝ 90° なので
∠BAP ＝ 90° − ∠APB
＝ 90° − ∠ACB
（∠APB と ∠ACB は弧 AB の円周角）
一方 AD ⊥ BC の直角三角形 ADC で
∠CAD ＝ 90° − ∠ACD ＝ 90° − ∠ACB
よって ∠BAP ＝ ∠CAD
サ＝②（∠CAD）。
※ D は直線 AH と直線 BC の交点なので、∠CAD と ∠CAH は同じ角を指しています。
シ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
∠OAI ＋ シ ＝ 180° が成り立つ角を選ぶ、第５問の結論です。
＜考え方＞
鋭角三角形なら (2) のとおり ∠OAI ＝ ∠HAI ですが、∠BAC が鈍角になるとO と H が A から見て反対側に移るため、２つの角は等しくならず、足して 180° になります。
鋭角三角形のとき
AO と AH は AI について対称
→ ∠OAI ＝ ∠HAI
∠BAC が鈍角のとき
外心 O は BC に関して A と反対側へ、
垂心 H は BC に関して A と同じ側の外へ出る。
AO と AH は AI をはさんで
「反対向き」に開くことになり
∠OAI ＋ ∠HAI ＝ 180°
シ＝②（∠HAI）。
※ 具体例で確かめられます。∠BAC ＝ 120° の三角形を外接円の半径 1 で作って計算すると、∠OAI ≒ 10°、∠HAI ≒ 170° となり、和はちょうど 180° になります。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。