2026年度 大学入学共通テスト 本試験 数学Ⅰ 解答・解説

＜考え方＞
a ＝ 2 を①②に代入して、それぞれを x について解けばよい。どちらも1次不等式なので移項するだけで両端が出る。②は a−1 ＝ 1 ＞ 0 なので不等号の向きは変わらない。

a ＝ 2 を①に代入
x − √6·2 ＋ 1 ≧ 0
x ≧ 2√6 − 1

a ＝ 2 を②に代入
(2−1)x − 2·2² − 2 ＋ 3 ≦ 0
x − 8 − 2 ＋ 3 ≦ 0
x ≦ 7

2√6 − 1 ＝ 2×2.449… − 1 ＝ 3.89… ＜ 7 なので解は空でない
連立不等式の解は 2√6 − 1 ≦ x ≦ 7
よって ア＝2、イ＝1、ウ＝7

2√6 − 1 ≒ 3.9 なので、この解に含まれる整数は 4, 5, 6, 7 の4個。(3)で整数解が1個になる a を探す下準備になっている。

＜考え方＞
①は x について解くだけ。②は左辺を (a−1) でくくれる形に因数分解するのが目標で、定数部 −2a²−a＋3 を a の2次式として因数分解すると (a−1) が現れる。

①：x − √6a ＋ 1 ≧ 0
　　x ≧ √6a − 1　……　エ ＝ ①

②の定数部を因数分解する
−2a² − a ＋ 3 ＝ −(2a² ＋ a − 3) ＝ −(2a ＋ 3)(a − 1)
②：(a−1)x − (2a ＋ 3)(a − 1) ≦ 0
　　(a−1){x − (2a ＋ 3)} ≦ 0　……　オ ＝ ④
よって エ＝①、オ＝④

展開して (a−1)x − 2a² − a ＋ 3 に戻ることを確かめておくと安心。これで以降は (a−1) の符号だけで場合分けできる形になった。

＜考え方＞
a−1 ＞ 0 なら②の両辺を a−1 で割っても不等号の向きは変わらない。解が存在する条件は「①の下限 ≦ ②の上限」、すなわち √6a−1 ≦ 2a＋3 である。

a − 1 ＞ 0 のとき②は
x − (2a ＋ 3) ≦ 0
x ≦ 2a ＋ 3　……　カ ＝ ④

連立不等式を満たす実数 x があるための必要十分条件は
√6a − 1 ≦ 2a ＋ 3
(√6 − 2)a ≦ 4
√6 − 2 ＝ 0.449… ＞ 0 なので両辺を割って
a ≦ 4/(√6 − 2)
　 ＝ 4(√6 ＋ 2)/{(√6)² − 2²}
　 ＝ 4(√6 ＋ 2)/2
　 ＝ 2√6 ＋ 4
a − 1 ＞ 0 と合わせて
1 ＜ a ≦ 2√6 ＋ 4
よって カ＝④、キ＝2、ク＝4

2√6 ＋ 4 ≒ 8.90 である。分母の有理化で √6−2 の共役 √6＋2 を掛け、分母が (√6)²−2² ＝ 2 になるところが計算の山。

＜考え方＞
a−1 ＜ 0 なら②の両辺を a−1 で割ると不等号の向きが変わり x ≧ 2a＋3 になる。①の x ≧ √6a−1 と合わせて、2つの下限の大きい方が答えなので、差をとって大小を比べる。

a − 1 ＜ 0 のとき②は
x − (2a ＋ 3) ≧ 0
x ≧ 2a ＋ 3
①と合わせると x ≧ （√6a − 1 と 2a ＋ 3 の大きい方）

差をとる
(√6a − 1) − (2a ＋ 3) ＝ (√6 − 2)a − 4
a ＜ 1 で √6 − 2 ＞ 0 なので
(√6 − 2)a − 4 ＜ (√6 − 2)·1 − 4 ＝ √6 − 6 ＜ 0
よって √6a − 1 ＜ 2a ＋ 3
連立不等式の解は x ≧ 2a ＋ 3
よって ケ＝④

解が上に有界でない半直線になるので、これを満たす整数は無限にある。これが(3)の「a−1 ＜ 0 のときは整数が二つ以上ある」という記述の根拠。

＜考え方＞
a−1 ＞ 0 のとき解は √6a−1 ≦ x ≦ 2a＋3 で、a が整数なら右端 2a＋3 も整数だから必ず解に入る。したがって「整数がただ一つ」は「2a＋2 が解に入らない」と同じ条件になる。

a が整数のとき 2a ＋ 3 は整数で、解の右端だから必ず解に含まれる
整数解がただ一つ ⇔ 2a ＋ 2 が解に含まれない

2a ＋ 2 ＜ √6a − 1
3 ＜ (√6 − 2)a
a ＞ 3/(√6 − 2) ＝ 3(√6 ＋ 2)/2 ＝ (3√6 ＋ 6)/2 ＝ 6.67…

解が空でない条件 a ≦ 2√6 ＋ 4 ＝ 8.89… と合わせて
6.67… ＜ a ≦ 8.89…
a は整数なので a ＝ 7, 8

検算　a ＝ 7：16.14… ≦ x ≦ 17 → 整数は 17 だけ ✓
検算　a ＝ 8：18.59… ≦ x ≦ 19 → 整数は 19 だけ ✓
検算　a ＝ 6：13.69… ≦ x ≦ 15 → 整数は 14, 15 の2個（不適）
よって コ＝①

a ＝ 9 では 21.04… ≦ x ≦ 21 となり解そのものが存在しない。上限 2√6＋4 を落とすと a ＝ 9 まで拾ってしまい⑤を選びかねない。

＜考え方＞
3 の正の約数は 1 と 3 だけなので、「k と 3 が1以外の公約数をもつ」は「k が3の倍数」と同じ。U の中の3の倍数を全部書き出す。

3 の正の約数は 1 と 3 だけ
k と 3 が 1 以外の公約数をもつ ⇔ 3 が k を割る ⇔ k は 3 の倍数

U ＝ {2, 3, 4, …, 20} の中の 3 の倍数は
3, 6, 9, 12, 15, 18
A ＝ {3, 6, 9, 12, 15, 18}
よって サ＝⑥

問題文の例「a ＝ 9 のとき A ＝ {3, 6, 9, 12, 15, 18}」と同じ集合になる。9 の素因数も3だけだから当然で、この一致は読み違いの確認に使える。

＜考え方＞
4 ＝ 2² なので、k と 4 が1以外の公約数をもつのは 2 が k を割るとき、つまり k が偶数のときに限る。U の偶数を全部書き出す。

4 ＝ 2² なので 4 の 1 以外の正の約数は 2 と 4
k と 4 が 1 以外の公約数をもつ ⇔ 2 が k を割る ⇔ k は偶数

U の中の偶数は
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
B ＝ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
よって シ＝⑧

b ＝ 4 だからといって4の倍数 {4, 8, 12, 16, 20} だけを拾うのは誤り（それは選択肢⑤）。「1以外の公約数」でよいので公約数 2 で足りる。

＜考え方＞
A は3の倍数全体、B は偶数全体なので、A∩B は「3の倍数かつ偶数」＝6の倍数、A∩B̄ は「3の倍数かつ奇数」。書き出して拾えばよい。

A ＝ {3, 6, 9, 12, 15, 18}、B ＝ {2, 4, 6, …, 20}

A ∩ B は A のうち偶数のもの
A ∩ B ＝ {6, 12, 18}　……　ス ＝ ③

B̄ は U のうち奇数のもの
A ∩ B̄ は A のうち奇数のもの
A ∩ B̄ ＝ {3, 9, 15}　……　セ ＝ ②

（{6, 12, 18} と {3, 9, 15} を合わせると A に戻る）
よって ス＝③、セ＝②

A ∩ B̄ は A から A ∩ B を除いたものなので、要素の個数が 6 − 3 ＝ 3 になることも確認に使える。

＜考え方＞
「Ā の要素に2の倍数も3の倍数もない」は「U の2の倍数と3の倍数がすべて A に入る」と言い換えられる。とくに 2 ∈ A、3 ∈ A から a の条件が出る。

Ā の要素に 2 の倍数も 3 の倍数もない
⇔ U の 2 の倍数と 3 の倍数はすべて A に属する

2 ∈ A より a と 2 が 1 以外の公約数をもつので a は偶数
3 ∈ A より a と 3 が 1 以外の公約数をもつので a は 3 の倍数
よって a は 6 の倍数で、2 ≦ a ≦ 9 より a ＝ 6

検算　a ＝ 6 のとき
A ＝ {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
Ā ＝ {5, 7, 11, 13, 17, 19}
Ā に 2 の倍数も 3 の倍数もない ✓
よって ソ＝6

a ＝ 2 だと Ā に 3, 9, 15 が残り、a ＝ 3 だと Ā に偶数が残る。2の倍数と3の倍数を同時に消すには a が6の倍数でなければならない。

＜考え方＞
A ∩ B̄ ＝ {5} から 5 ∈ A、つまり a は5の倍数で a ＝ 5 と決まる。すると A ＝ {5, 10, 15, 20} なので、B は 10, 15, 20 を含み 5 を含まない集合でなければならない。

5 ∈ A より a と 5 が 1 以外の公約数をもつので a は 5 の倍数
2 ≦ a ≦ 9 より a ＝ 5
このとき A ＝ {5, 10, 15, 20}

A ∩ B̄ ＝ {5} より 10, 15, 20 ∈ B かつ 5 ∉ B
5 ∉ B より b は 5 の倍数でない
15 ∈ B より b は 3 または 5 の倍数、よって b は 3 の倍数
10 ∈ B より b は 2 または 5 の倍数、よって b は偶数
b は 6 の倍数で 2 ≦ b ≦ 9 より b ＝ 6

検算　b ＝ 6 のとき
B ＝ {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
5 ∉ B、A ∩ B ＝ {10, 15, 20}、A ∩ B̄ ＝ {5} ✓
よって タ＝5、チ＝6

20 ∈ B は b が偶数であることから自動的に満たされる。b ＝ 5 や b ＝ 10 にすると 5 ∈ B になって A ∩ B̄ ＝ {5} に反する。

＜考え方＞
△PBC で2辺 BP, BC とその挟む角の余弦がわかっているので、余弦定理がそのまま使える。P は半直線 BA 上にあるので ∠PBC ＝ ∠ABC であることに注意する。

P は半直線 BA 上にあるので ∠PBC ＝ ∠ABC、cos∠PBC ＝ 2√5/5

△PBC に余弦定理
CP² ＝ BP² ＋ BC² − 2·BP·BC·cos∠PBC
　　 ＝ 10² ＋ (3√5)² − 2·10·3√5·(2√5/5)
　　 ＝ 100 ＋ 45 − 60√5·(2√5/5)
60√5·(2√5/5) ＝ 60·2·5/5 ＝ 120
CP² ＝ 145 − 120 ＝ 25
CP ＞ 0 より CP ＝ 5
よって ア＝5

CP ＝ 5 は与えられた CA ＝ 5 と一致する。この一致がのちの カ と R₁ ＝ R₂ の根拠になるので、偶然だと思って流さないこと。

＜考え方＞
△PBC の3辺 BC, CP, BP がそろったので、∠BCP は余弦定理から出る。答えの形が −√イ/ウ なので、分母を有理化して √5/5 の形にそろえる。

△PBC の3辺は BC ＝ 3√5、CP ＝ 5、BP ＝ 10

cos∠BCP ＝ (BC² ＋ CP² − BP²)/(2·BC·CP)
　　　　 ＝ (45 ＋ 25 − 100)/(2·3√5·5)
　　　　 ＝ −30/(30√5)
　　　　 ＝ −1/√5
　　　　 ＝ −√5/5
よって イ＝5、ウ＝5

cos∠BCP が負なので ∠BCP は鈍角。−√5/5 ＝ −0.447… から ∠BCP ≒ 116.6° である。

＜考え方＞
0° ＜ θ ＜ 180° で cosθ は単調に減少する、という性質に戻せばよい。cos∠BCP ＝ −√5/5 と cos120° ＝ −1/2 の大小を比べる。

cos∠BCP ＝ −1/√5 ＝ −0.447…
cos∠BCQ ＝ cos120° ＝ −1/2 ＝ −0.5

1/5 ＜ 1/4 より 1/√5 ＜ 1/2、負号をつけると
−1/√5 ＞ −1/2
すなわち cos∠BCP ＞ cos∠BCQ

0° ＜ θ ＜ 180° で cosθ は単調に減少するので
∠BCP ＜ ∠BCQ
よって エ＝⓪

負の数どうしの大小は、絶対値を比べてから不等号を逆にする。1/√5 と 1/2 は2乗して 1/5 ＜ 1/4 と比べるのが確実。

＜考え方＞
半直線 BA 上を B から遠ざかるほど ∠BCX は大きくなるので、∠BCP ＜ ∠BCQ から BP ＜ BQ が出る。あとは C から直線 BA に下ろした垂線の足 H をとり、CX² ＝ CH² ＋ (BX − BH)² で長さを比べればよい。

sin∠ABC ＝ √(1 − (2√5/5)²) ＝ √(1 − 4/5) ＝ √5/5
C から直線 BA に垂線 CH を下ろすと
BH ＝ BC·cos∠ABC ＝ 3√5·(2√5/5) ＝ 6
CH ＝ BC·sin∠ABC ＝ 3√5·(√5/5) ＝ 3
半直線 BA 上の点 X について CX² ＝ 9 ＋ (BX − 6)²

∠BCP ＜ ∠BCQ より BP ＜ BQ、BP ＝ 10 ＞ 6 なので BQ ＞ 10
よって CP ＜ CQ　……　オ ＝ ⓪
CP ＝ 5 で CA ＝ 5 なので CP ＝ CA　……　カ ＝ ①
CQ ＞ CP ＝ CA より CQ ＞ CA　……　キ ＝ ②

検算　△BCQ で ∠BQC ＝ 180° − ∠ABC − 120° ＝ 33.4…°
　正弦定理 CQ ＝ BC·sin∠ABC/sin∠BQC ＝ 5.44… ＞ 5 ✓
よって オ＝⓪、カ＝①、キ＝②

カ は CA ＝ 5 が問題文で与えられているので、CP ＝ 5 を出した時点で決まる。BA そのものは 2（∠BCA が鋭角になる側）だが、ここでは使わなくても判定できる。

＜考え方＞
3つの三角形は辺 BC を共有するので、正弦定理 BC/sin(BC に向かい合う角) ＝ 2R に戻る。対角の正弦が大きいほど半径は小さい。CA ＝ CP から △CAP が二等辺になり、∠BAC と ∠BPC が補角になることが決め手。

正弦定理より
R₁ ＝ BC/(2sin∠BAC)、R₂ ＝ BC/(2sin∠BPC)、R₃ ＝ BC/(2sin∠BQC)

CA ＝ CP ＝ 5 より △CAP は二等辺三角形で ∠CAP ＝ ∠CPA
BA ＝ 2 ＜ BP ＝ 10 より A は線分 BP 上にあるので
∠BAC ＝ 180° − ∠CAP ＝ 180° − ∠CPA ＝ 180° − ∠BPC
よって sin∠BAC ＝ sin∠BPC、すなわち R₁ ＝ R₂

△BPC で cos∠BPC ＝ (100 ＋ 25 − 45)/(2·10·5) ＝ 4/5
∠BPC ＝ 36.8…°（sin∠BPC ＝ 3/5）
△BCQ で ∠BQC ＝ 180° − 26.5…° − 120° ＝ 33.4…°
ともに鋭角で ∠BQC ＜ ∠BPC なので sin∠BQC ＜ sin∠BPC
よって R₃ ＞ R₂

R₁ ＝ R₂ ＝ 3√5/(2·3/5) ＝ 5√5/2 ＝ 5.59…、R₃ ＝ 6.08…
R₁ ＝ R₂ ＜ R₃
よって ク＝③

BQ が BP より大きいと ∠BQC は小さくなる。鋭角の範囲では角が小さいほど正弦も小さく、半径は大きくなる——この向きを取り違えると⑧を選んでしまう。

＜考え方＞
三角形の面積は「2辺とその挟む角の正弦」で出る。△ABD の ∠A は四角形の内角 ∠DAB そのもので、これを挟む2辺は AB と AD である。

△ABD で ∠A を挟む 2 辺は AB と AD
S₁ ＝ (1/2)·AB·AD·sin A
　 ＝ (AB·AD/2)·sin A
よって ケ＝①

対角線 BD を「共通の1辺」と言われているので BD を含む式を選びたくなるが、sin A が掛かる式なら A を挟む2辺 AB, AD でなければならない。

＜考え方＞
△BCD の ∠C は四角形の内角 ∠BCD で、これを挟む2辺は CB と CD。ケ とまったく同じ形で書ける。

△BCD で ∠C を挟む 2 辺は BC と CD
S₂ ＝ (1/2)·BC·CD·sin C
　 ＝ (BC·CD/2)·sin C
よって コ＝④

ケ と コ は「その角を挟む2辺」を機械的に拾えばよい。BD を含む選択肢に引っぱられないこと。

＜考え方＞
四角形の内角の和が360°であることに戻る。A＋C ＝ B＋D と合わせると A＋C ＝ 180° になり、C ＝ 180°−A から sin C ＝ sin A となって S₁＋S₂ が sin A だけでまとめられる。

四角形の内角の和より
A ＋ B ＋ C ＋ D ＝ 360°
A ＋ C ＝ B ＋ D と合わせて
2(A ＋ C) ＝ 360°
A ＋ C ＝ 180°　……　サ ＝ ④

このとき C ＝ 180° − A なので
sin C ＝ sin(180° − A) ＝ sin A

S ＝ S₁ ＋ S₂
　 ＝ (AB·AD/2)sin A ＋ (BC·CD/2)sin C
　 ＝ (AB·AD ＋ BC·CD)/2 · sin A　……①
よって サ＝④、シ＝②

sin(180°−A) ＝ sin A（cos なら符号が変わるが sin は変わらない）がこの公式①の急所。(2)ではこの①を、直角を2つもつ四角形に当てて使う。

＜考え方＞
接点に引いた半径は接線と垂直なので、△PMO と △PKO はどちらも直角三角形。円外の1点からの2本の接線の長さが等しいこと（PM ＝ PK ＝ 12）と OM ＝ OK ＝ 6 から面積が出る。その値を①に当てれば sin P が決まる。

円外の点からの 2 本の接線の長さは等しいので PM ＝ PK ＝ 12
OM ⊥ PM、OK ⊥ PK、OM ＝ OK ＝ 6

四角形 PMOK ＝ △PMO ＋ △PKO
　 ＝ (1/2)·12·6 ＋ (1/2)·12·6
　 ＝ 36 ＋ 36 ＝ 72　……　スセ ＝ 72

四角形 PMOK は ∠M ＝ ∠K ＝ 90° なので
∠P ＋ ∠O ＝ 180° ＝ ∠M ＋ ∠K
よって①が使える（A→P, B→M, C→O, D→K と対応）
72 ＝ (PM·PK ＋ MO·OK)/2 · sin P
72 ＝ (12·12 ＋ 6·6)/2 · sin P
72 ＝ (144 ＋ 36)/2 · sin P ＝ 90·sin P
sin P ＝ 72/90 ＝ 4/5
よって ス＝7、セ＝2、ソ＝4、タ＝5

半角で確かめると tan(P/2) ＝ 6/12 ＝ 1/2 で、sin P ＝ 2·(1/2)/(1 ＋ (1/2)²) ＝ 4/5 と一致する。①を当てるには「対角の和が180°」の確認が必要で、ここでは直角2つがそれを保証している。

＜考え方＞
四角形 QLOM も ∠L ＝ ∠M ＝ 90° なので、スセ〜タ とまったく同じ手順が通る。接線の長さ QM ＝ QL ＝ 9 と半径 6 を入れるだけ。

QM ＝ QL ＝ 9、OL ＝ OM ＝ 6、∠L ＝ ∠M ＝ 90°

四角形 QLOM ＝ (1/2)·9·6 ＋ (1/2)·9·6 ＝ 27 ＋ 27 ＝ 54

①より
54 ＝ (QL·QM ＋ LO·OM)/2 · sin Q
54 ＝ (81 ＋ 36)/2 · sin Q ＝ (117/2)·sin Q
sin Q ＝ 108/117
108 と 117 を 9 で約分して
sin Q ＝ 12/13
よって チ＝1、ツ＝2、テ＝1、ト＝3

tan(Q/2) ＝ 6/9 ＝ 2/3 から sin Q ＝ 2·(2/3)/(1 ＋ 4/9) ＝ 12/13 と検算できる。108/117 を約分し忘れないこと。

＜考え方＞
△PQR に正弦定理を使うと、辺は向かい合う角の正弦に比例する。PR に向かい合うのは ∠Q、QR に向かい合うのは ∠P なので PR : QR ＝ sin Q : sin P。

△PQR で正弦定理
PR/sin Q ＝ QR/sin P
PR : QR ＝ sin Q : sin P ＝ 12/13 : 4/5

両方に 65 を掛けて
PR : QR ＝ 12·5 : 4·13 ＝ 60 : 52
4 で約分して
PR : QR ＝ 15 : 13
よって ナ＝1、ニ＝5、ヌ＝1、ネ＝3

「辺と、その辺に向かい合う角」の対応を取り違えると PR : QR ＝ sin P : sin Q と逆に置いてしまう。15 と 13 は互いに素なのでこれ以上約せない。

＜考え方＞
R が直線 PQ に関して O と同じ側なので、円 O は △PQR の内接円。R からの接線の長さを t ＝ RK ＝ RL とおくと PR ＝ 12＋t、QR ＝ 9＋t と書けるので、これを PR : QR ＝ 15 : 13 に入れる。

円 O は △PQR の内接円で、接点は PQ 上の M、PR 上の K、QR 上の L
R からの接線の長さを t ＝ RK ＝ RL とおくと
PR ＝ PK ＋ KR ＝ 12 ＋ t
QR ＝ QL ＋ LR ＝ 9 ＋ t

PR : QR ＝ 15 : 13 より
13(12 ＋ t) ＝ 15(9 ＋ t)
156 ＋ 13t ＝ 135 ＋ 15t
21 ＝ 2t
t ＝ 21/2
RL ＝ 21/2

検算　PQ ＝ 12 ＋ 9 ＝ 21、PR ＝ 22.5、QR ＝ 19.5
　s ＝ (21 ＋ 22.5 ＋ 19.5)/2 ＝ 31.5
　面積 ＝ √(31.5·10.5·9·12) ＝ 189
　内接円の半径 ＝ 189/31.5 ＝ 6 ✓
よって ノ＝2、ハ＝1、ヒ＝2

求めた3辺から cos P ＝ (21² ＋ 22.5² − 19.5²)/(2·21·22.5) ＝ 3/5 となり sin P ＝ 4/5 に戻る。半径が 6 に戻ることまで確かめると安全。

＜考え方＞
R が直線 PQ に関して O と反対側なので、円 O は内接円ではなく、辺 PQ に接する傍接円になる。すると K は半直線 RP を P の先へ、L は半直線 RQ を Q の先へ延長した上にあり、RL ＝ RQ＋QL と「足し算」になる。角の側も ∠RPQ ＝ 180°−∠KPM に変わる。

PM ＝ PK ＝ 4√2、QM ＝ QL ＝ 3√2、PQ ＝ PM ＋ MQ ＝ 7√2、半径 6

四角形 PMOK ＝ (1/2)·4√2·6 × 2 ＝ 24√2
①より 24√2 ＝ (PM·PK ＋ MO·OK)/2 · sin∠KPM
24√2 ＝ (32 ＋ 36)/2 · sin∠KPM ＝ 34·sin∠KPM
sin∠KPM ＝ 24√2/34 ＝ 12√2/17

四角形 QLOM ＝ (1/2)·3√2·6 × 2 ＝ 18√2
①より 18√2 ＝ (18 ＋ 36)/2 · sin∠LQM ＝ 27·sin∠LQM
sin∠LQM ＝ 18√2/27 ＝ 2√2/3

R は直線 PQ について O と反対側なので、K は半直線 RP を P の先へ、L は半直線 RQ を Q の先へ延長した上にある
よって ∠RPQ ＝ 180° − ∠KPM、∠RQP ＝ 180° − ∠LQM
sin∠RPQ ＝ sin∠KPM、sin∠RQP ＝ sin∠LQM

△PQR で正弦定理
PR : QR ＝ sin∠RQP : sin∠RPQ ＝ (2√2/3) : (12√2/17)
　 ＝ (2/3) : (12/17) ＝ 34 : 36 ＝ 17 : 18

また RK ＝ RP ＋ PK、RL ＝ RQ ＋ QL で RK ＝ RL なので
RP ＋ 4√2 ＝ RQ ＋ 3√2
RQ ＝ RP ＋ √2
RP : RQ ＝ 17 : 18 と合わせて RQ ＝ (18/17)RP
(18/17)RP ＝ RP ＋ √2
(1/17)RP ＝ √2
RP ＝ 17√2、RQ ＝ 18√2

RL ＝ RQ ＋ QL ＝ 18√2 ＋ 3√2 ＝ 21√2

検算　3 辺 7√2, 17√2, 18√2 について s ＝ 21√2
　面積 ＝ √(21√2·14√2·4√2·3√2) ＝ 84√2
　PQ に接する傍接円の半径 ＝ 84√2/(s − PQ) ＝ 84√2/(14√2) ＝ 6 ✓
よって フ＝2、ヘ＝1、ホ＝2

(i)では円 O が内接円なので RL ＝ RQ − QL、(ii)では傍接円なので RL ＝ RQ ＋ QL と符号が変わる。図の「R が O と反対側」という一文がこの切り替えの合図で、ここを見落とすとまったく別の値になる。

＜考え方＞
C₁ の式を作って x 軸との交点を求めるだけ。W₁ は2交点の x 座標の差、H₁ は頂点の y 座標の絶対値である。

C：y ＝ 3x² を y 軸方向に −3 だけ平行移動すると
C₁：y ＝ 3x² − 3

y ＝ 0 とおくと
3x² ＝ 3
x² ＝ 1
x ＝ ±1
A₁(−1, 0)、B₁(1, 0) より W₁ ＝ 1 − (−1) ＝ 2

C₁ の頂点は (0, −3) なので
H₁ ＝ |−3| ＝ 3
よって ア＝2、イ＝3

H は「距離」なので符号を落とさず絶対値をとる。頂点が x 軸より下にあっても H は正の値になる。

＜考え方＞
x 軸方向の平行移動ではグラフの形も x 軸との位置関係も変わらないので、W も H も変わらない。式を書いて確かめてもすぐ済む。

C₂ は C₁ を x 軸方向に 2 だけ平行移動したものなので
C₂：y ＝ 3(x − 2)² − 3

y ＝ 0 とおくと
(x − 2)² ＝ 1
x − 2 ＝ ±1
x ＝ 1, 3
W₂ ＝ 3 − 1 ＝ 2 ＝ W₁　……　ウ ＝ ①

C₂ の頂点は (2, −3) なので
H₂ ＝ 3 ＝ H₁　……　エ ＝ ①
よって ウ＝①、エ＝①

x 軸方向に動かしても「x 軸に対する形」は変わらないので W と H は両方とも不変。y 軸方向に動かすと両方が変わる。

＜考え方＞
C₃ は C を x 軸方向に 2 だけ動かしたものなので軸は x ＝ 2。A₃ と B₃ は軸に関して対称だから、B₃ の x 座標は「軸 ＋ W₃/2」で出る。W₃ は ア（＝2）の4倍で 8。

C₃：y ＝ 3(x − 2)² ＋ k なので軸は直線 x ＝ 2　……　オ ＝ 2

W₃ ＝ 4·ア ＝ 4·2 ＝ 8
A₃ と B₃ は軸 x ＝ 2 に関して対称で A₃B₃ ＝ 8、B₃ は x 座標の大きい方なので
B₃ の x 座標 ＝ 2 ＋ 8/2 ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6
B₃(6, 0)　……　カ ＝ 6
よって オ＝2、カ＝6

A₃ の x 座標は 2 − 4 ＝ −2 で、差は確かに 8 になる。「軸 ± W/2」という形は(2)でそのまま一般化される。

＜考え方＞
B₃(6, 0) が C₃ 上にあることを式に代入するだけ。

B₃(6, 0) は C₃：y ＝ 3(x − 2)² ＋ k 上にあるので
0 ＝ 3(6 − 2)² ＋ k
0 ＝ 3·16 ＋ k
k ＝ −48
k ＝ −キク より キク ＝ 48
よって キ＝4、ク＝8

k ＝ −48 は「k は負の定数」という条件を満たしている。このとき頂点は (2, −48) で H₃ ＝ 48。

＜考え方＞
頂点は (p, q) で、a ＞ 0 かつ x 軸と2点で交わるので q ＜ 0。したがって H ＝ |q| ＝ −q、すなわち q ＝ −H。B は軸から W/2 だけ右なので x 座標は p ＋ W/2。

①のグラフの頂点は (p, q)
a ＞ 0 で x 軸と異なる 2 点で交わるので頂点は x 軸より下にあり q ＜ 0
H ＝ |q| ＝ −q
よって q ＝ −H　……　ケ ＝ ①

A と B は軸 x ＝ p に関して対称で AB ＝ W、B は x 座標の大きい方なので
B の x 座標 ＝ p ＋ W/2　……　コ ＝ ④
よって ケ＝①、コ＝④

q ＝ H としてしまうと符号が合わない。a ＞ 0 のとき頂点が x 軸より下にあることを押さえておく。

＜考え方＞
B の座標を①に代入し、q ＝ −H を使って H だけの式に直す。W の2乗が出てくる形になる。

B(p ＋ W/2, 0) を①：y ＝ a(x − p)² ＋ q に代入
0 ＝ a(p ＋ W/2 − p)² ＋ q
0 ＝ a(W/2)² ＋ q
0 ＝ aW²/4 ＋ q

q ＝ −H を入れて
0 ＝ aW²/4 − H
H ＝ (a/4)W²　……②
よって サ＝⑤

H は W の2乗に比例する。〔１〕(1)で確かめると a ＝ 3、W₁ ＝ 2 のとき H ＝ (3/4)·4 ＝ 3 ＝ H₁ で一致する。

＜考え方＞
③を平方完成して a と q を読み取り、H ＝ −q を作る。次に②の H ＝ (a/4)W² に 2 ＜ W ＜ 4 を入れて H の範囲を出し、それを H ＝ 3t−1 と突き合わせる。

③：y ＝ 2x² − 4tx ＋ 2t² − 3t ＋ 1
　 ＝ 2(x² − 2tx ＋ t²) − 3t ＋ 1
　 ＝ 2(x − t)² ＋ (−3t ＋ 1)
a ＝ 2、p ＝ t、q ＝ −3t ＋ 1
x 軸と 2 点で交わるので q ＜ 0 で
H ＝ −q ＝ 3t − 1

②より H ＝ (2/4)W² ＝ W²/2
2 ＜ W ＜ 4 の各辺を 2 乗して
4 ＜ W² ＜ 16
2 で割って
2 ＜ W²/2 ＜ 8
2 ＜ H ＜ 8　……　シ ＝ 2、ス ＝ 8

H ＝ 3t − 1 を入れて
2 ＜ 3t − 1 ＜ 8
3 ＜ 3t ＜ 9
1 ＜ t ＜ 3

検算　t ＝ 2 のとき H ＝ 5、W ＝ √(4H/2) ＝ √10 ＝ 3.16… で 2 ＜ W ＜ 4 ✓
よって シ＝2、ス＝8、セ＝1、ソ＝3

1 ＜ t ＜ 3 の範囲では q ＝ 1 − 3t ＜ 0 が自動的に成り立つので、交点が2つという前提も満たされている。W から H に移るときは「2乗してから半分」を1段ずつ書くと範囲の取り違えを防げる。

＜考え方＞
平方完成して軸と定義域の位置関係を見る。下に凸なので最大値は定義域の両端のうち、軸から遠い方でとる。

y ＝ 2x² − 8x ＋ 5
　 ＝ 2(x² − 4x) ＋ 5
　 ＝ 2(x − 2)² − 8 ＋ 5
　 ＝ 2(x − 2)² − 3
軸は x ＝ 2 で、定義域 0 ≦ x ≦ 3 に含まれる

下に凸なので最大値は端点でとる
x ＝ 0：y ＝ 5
x ＝ 3：y ＝ 2·9 − 24 ＋ 5 ＝ −1
軸 x ＝ 2 から遠いのは x ＝ 0（距離 2）で、こちらが最大
最大値は x ＝ 0 のとき 5
よって タ＝0、チ＝5

区間の中央 x ＝ 1.5 より軸 x ＝ 2 が右にあるので、遠い端は左端 x ＝ 0。区間の中央と軸を比べるのが速い。

＜考え方＞
軸 x ＝ 2 が定義域 0 ≦ x ≦ 3 の内部にあるので、下に凸の最小値は頂点でとる。

y ＝ 2(x − 2)² − 3、軸 x ＝ 2 は 0 ≦ x ≦ 3 の内部にある
下に凸なので最小値は頂点の y 座標
x ＝ 2 のとき y ＝ −3
最小値は x ＝ 2 のとき −3
よって ツ＝2、テ＝−、ト＝3

最大値 5、最小値 −3 なので値域は −3 ≦ y ≦ 5。(2)ではこの「区間・最大値・最小値」を逆向きに使って関数を決める。

＜考え方＞
最大値をとる x ＝ −1 が定義域 −3 ≦ x ≦ 0 の内部にあることが決め手。定義域の内部の点で最大になるのは上に凸のときで、その点が頂点になる。

条件1 で最大値をとる x ＝ −1 は定義域 −3 ≦ x ≦ 0 の内部にある
下に凸の2次関数は区間の内部の点で最大値をとらないので、y ＝ f(x) は上に凸

上に凸の2次関数が内部の x ＝ −1 で最大値 3 をとるので、その点が頂点
頂点は (−1, 3)
よって ナ＝③

最小値 −5 をとる x ＝ −3 は端点なので、頂点の位置を決める材料にはならない。次の設問で係数を決めるのに使う。

＜考え方＞
頂点が (−1, 3) なので f(x) ＝ A(x＋1)²＋3 と置ける。残った条件 f(−3) ＝ −5 を代入して A を決め、展開すればよい。

頂点 (−1, 3) より f(x) ＝ A(x ＋ 1)² ＋ 3（上に凸なので A ＜ 0）

条件1 より x ＝ −3 で最小値 −5 なので f(−3) ＝ −5
A(−3 ＋ 1)² ＋ 3 ＝ −5
4A ＋ 3 ＝ −5
4A ＝ −8
A ＝ −2　（A ＜ 0 を満たす）

f(x) ＝ −2(x ＋ 1)² ＋ 3
　　 ＝ −2(x² ＋ 2x ＋ 1) ＋ 3
　　 ＝ −2x² − 4x − 2 ＋ 3
　　 ＝ −2x² − 4x ＋ 1

検算　f(−1) ＝ −2 ＋ 4 ＋ 1 ＝ 3（最大）
　f(−3) ＝ −18 ＋ 12 ＋ 1 ＝ −5（最小）
　f(0) ＝ 1 で −5 ≦ 1 ≦ 3 ✓
よって ニ＝−、ヌ＝2、ネ＝4、ノ＝1

空欄が f(x) ＝ □x² − □x ＋ □ の形なので、−4x は「−（4）x」として ネ ＝ 4 になる。マイナスを二重に入れないよう注意。

＜考え方＞
最小値の条件だけで凸の向きと頂点が決まる。「a ≧ 3 なら m ＝ −2、0 ＜ a ＜ 3 なら m ＞ −2」は、区間 0 ≦ x ≦ a が x ＝ 3 を含むかどうかで最小値が切り替わることを表すので、下に凸で頂点 (3, −2)。あとは最大値の条件 M ＝ 7 で係数を決める。

条件2 の前半：a ≧ 3 なら m ＝ −2、0 ＜ a ＜ 3 なら m ＞ −2
区間 0 ≦ x ≦ a が x ＝ 3 を含むかどうかで最小値が切り替わっているので
y ＝ g(x) は下に凸で、頂点は (3, −2)　……　ハ ＝ ⓪
g(x) ＝ A(x − 3)² − 2（A ＞ 0）と置ける

条件2 の後半：0 ＜ a ≦ 6 なら M ＝ 7
a が 3 より小さいとき 0 ≦ x ≦ a で g は減少するので最大値は g(0)
g(0) ＝ 9A − 2 ＝ 7
9A ＝ 9
A ＝ 1

g(x) ＝ (x − 3)² − 2 ＝ x² − 6x ＋ 7　……　ヒ ＝ ⑥

検算　g(0) ＝ 7、g(3) ＝ −2、g(6) ＝ 9 − 2 ＝ 7
　0 ＜ a ≦ 6 では g(a) ≦ 7 なので M ＝ max{g(0), g(a)} ＝ 7 ✓
　a ＞ 6 では g(a) ＞ 7 なので M ＞ 7 ✓
よって ハ＝⓪、ヒ＝⑥

選択肢⓪ 2x² − 12x ＋ 16 ＝ 2(x−3)² − 2 も頂点が (3, −2) なので最小値の条件は満たすが、g(0) ＝ 16 で M ＝ 7 にならない。最大値の条件まで通して初めて1つに絞れる。

＜考え方＞
M ≧ 0 は「区間 b−1 ≦ x ≦ b＋1 の中に h(x) ≧ 0 となる x が1つでもある」ことと同じ。h(x) ≧ 0 となる x の集合を S とすると、条件3 は「区間と S が交わる b の範囲が 1 ≦ b ≦ 7」と読める。あとは S の両端を逆算する。

M ≧ 0 ⇔ b − 1 ≦ x ≦ b ＋ 1 の中に h(x) ≧ 0 となる x が存在する
S ＝ {x | h(x) ≧ 0} とおく

h が下に凸だと S は左右に無限に広がり、条件を満たす b の範囲も無限になるので不適
h の x 軸との共有点が 1 個以下だと、b の範囲は幅 2 以下か空になるので不適
よって h は上に凸で x 軸と 2 点 r, s（r ＜ s）で交わり
S ＝ {x | r ≦ x ≦ s}

区間 b − 1 ≦ x ≦ b ＋ 1 と r ≦ x ≦ s が交わる条件は
b − 1 ≦ s かつ b ＋ 1 ≧ r
r − 1 ≦ b ≦ s ＋ 1

これが 1 ≦ b ≦ 7 と一致するので
r − 1 ＝ 1、s ＋ 1 ＝ 7
r ＝ 2、s ＝ 6

検算　h(x) ＝ −(x − 2)(x − 6) として
　b ＝ 1：区間 0 ≦ x ≦ 2 で M ＝ h(2) ＝ 0 ≧ 0 ✓
　b ＝ 7：区間 6 ≦ x ≦ 8 で M ＝ h(6) ＝ 0 ≧ 0 ✓
　b ＝ 0.9：区間 −0.1 ≦ x ≦ 1.9 で M ＝ h(1.9) ＝ −0.41 ＜ 0 ✓
よって フ＝2、ヘ＝6（順序は問わない）

h(x) 自体は一つに決まらない（−(x−2)(x−6) の正の定数倍はすべて条件3を満たす）。それでも x 軸との共有点だけは決まる、という会話文の指摘がそのまま答えになっている。

＜考え方＞
(a)は図1と図2でそれぞれ該当する点を数えて比べるしかない。(b)は T前後 ＝ (T前 ＋ T後)/2 という定義に戻せばよく、平均は必ず2つの値の間にあるので T前 ＜ T後 かどうかだけで決まる。

(a) T前 ＜ 470 は、右上に離れている T前 ≒ 485 の1点を除いた27人

図1 で、横軸 470 より左・縦軸 460 の線より上にある点を数える
　T前 ≒ 443 に1点
　T前 ≒ 450 のすぐ左右に2点
　A の点（T前 ≒ 453, T後 ≒ 476）
　T前 ≒ 457 に1点
　T前 ≒ 461 に2点
合わせて 7 人

図2 で、同じく 470 より左・460 の線より上にある点を数える
　A の点（T前 ≒ 453, T前後 ≒ 464）
　T前 ≒ 461 に2点
合わせて 3 人
（T前 ≒ 450, 452, 457 の3点は 460 の線のすぐ下にある）

7 ≠ 3 なので (a) は誤

(b) T前後 ＝ (T前 ＋ T後)/2 は2数の平均なので、必ず T前 と T後 の間にある
図1 の A は T前 ≒ 453、T後 ≒ 476 なので T前 ＜ T後
よって T前 ＜ T前後 ＜ T後
すなわち T前 ＜ T前後 かつ T後 ＞ T前後 で、(b) は正
（実際 (453 ＋ 476)/2 ≒ 464 で、図2 の A の位置と合う）

(a) 誤、(b) 正
よって ア＝②

図2 では 460 の線のすぐ下に3点あり、ここを「460以上」に数えると 6 人になって (a) が正に見えてしまう。線の上か下かは丸の中心の位置で判断する。

＜考え方＞
相関係数は「共分散 ÷ (2つの標準偏差の積)」という定義に戻すだけ。表1の値を代入して割り算する。

相関係数 ＝ 共分散/(T前 の標準偏差 × T前後 の標準偏差)
　 ＝ 72.9/(8.3 × 9.3)

8.3 × 9.3 ＝ 77.19
72.9/77.19 ＝ 0.944…

選択肢で最も近いのは 0.94
よって イ＝⑥

相関係数は必ず −1 以上 1 以下なので、⑦1.06、⑧1.38、⑨4.14 は値としてありえない。分母は標準偏差の「積」で、和や差ではない。

＜考え方＞
与えられた2つの値は「第1四分位数 − 1.5×四分位範囲」と「第3四分位数 ＋ 1.5×四分位範囲」。この2つの差を四分位範囲で表すと四分位範囲の4倍になるので、差を4で割れば答えが出る。

四分位範囲を R、第1四分位数を Q₁、第3四分位数を Q₃ とすると
Q₃ − Q₁ ＝ R

小さい方の値　Q₁ − 1.5R ＝ 29.315
大きい方の値　Q₃ ＋ 1.5R ＝ 29.835

差をとると
(Q₃ ＋ 1.5R) − (Q₁ − 1.5R) ＝ (Q₃ − Q₁) ＋ 3R ＝ R ＋ 3R ＝ 4R
4R ＝ 29.835 − 29.315 ＝ 0.520
R ＝ 0.130

検算　Q₁ ＝ 29.315 ＋ 1.5·0.13 ＝ 29.51
　Q₃ ＝ 29.51 ＋ 0.13 ＝ 29.64
　Q₃ ＋ 1.5·0.13 ＝ 29.64 ＋ 0.195 ＝ 29.835 ✓
よって ウ＝1、エ＝3

外れ値が何個あるかは四分位範囲の計算には関係しない。2つの境界の「差」だけで R が決まるのがこの設問の要で、Q₁ や Q₃ を先に求める必要はない。

＜考え方＞
(a)は「29秒より速いのに外れ値ではない値」を1つ見つければ崩れる。外れ値は白丸で描かれているので、白丸ではないひげの左端が29秒より左にある行を探す。(b)は図3が分散の小さい順に並んでいることを使い、下の行の箱が上の行の箱より短い例を1組見つければよい。

(a) 外れ値は白丸で示されているので、白丸ではないひげの左端が 29 秒より左にあれば反例になる

図3 の下から2行目（26位）は、ひげの左端が 27.7 秒あたりまで伸びている
最下行（21位）も、ひげの左端が 27.2 秒あたりまで伸びている
どちらも白丸ではないので外れ値ではない
つまり 29 秒より速く、しかも外れ値でないタイムが存在する
(a) は誤

(b) 図3 は上から分散が小さい順なので、下の行の選手のほうが分散は大きい
上から4行目（12位）の箱の幅は 29.8 から 30.2 で 0.4 秒ほど
上から5行目（4位）の箱の幅は 29.65 から 29.8 で 0.15 秒ほど
4位 のほうが分散は大きいのに、四分位範囲（箱の幅）は小さい
このような2人が実際に選べるので (b) は正

(a) 誤、(b) 正
よって オ＝②

分散と四分位範囲はどちらも散らばりの指標だが、分散は外れ値のような端の値に強く引っぱられる。だから箱の幅の順序と分散の順序は一致しない。

＜考え方＞
図3 の上から14行の「順位」を読み、そのうち1位から8位までが何人いるかを数える。n が決まれば表2の各欄が埋まり、P と Q を分数にして比べられる。

図3 の上から14行の順位を順に読むと
1位, 6位, 14位, 12位, 4位, 3位, 2位, 20位, 9位, 19位, 15位, 24位, 8位, 5位

このうち 1 位から 8 位までは
1位, 6位, 4位, 3位, 2位, 8位, 5位 の 7 人
n ＝ 7　……　カ ＝ 7

確認　8 − n ＝ 1 で、これは15行目の 7位 ただ1人に対応する
　14 − n ＝ 7、6 ＋ n ＝ 13、7 ＋ 13 ＝ 20 ✓

P ＝ n/8 ＝ 7/8 ＝ 0.875
Q ＝ (14 − n)/20 ＝ 7/20 ＝ 0.35
0.875 ＞ 0.35 より P ＞ Q　……　キ ＝ ②
よって カ＝7、キ＝②

P と Q は「人数」ではなく「割合」なので、分母が 8 と 20 で違う。どちらも 7 人だからといって等しいとしないこと。表2の残りの欄と合計が合うかを確かめると数え間違いを防げる。

＜考え方＞
共分散の定義式に x̄ ＝ ȳ ＝ 0 を入れると、そのまま x と y の積の平均、つまり ū になる。相関係数は共分散を標準偏差の積で割ったもので、標準偏差はどちらも1である。

共分散の定義
sxy ＝ (1/20){(x₁ − x̄)(y₁ − ȳ) ＋ … ＋ (x₂₀ − x̄)(y₂₀ − ȳ)}

x̄ ＝ ȳ ＝ 0 なので
sxy ＝ (1/20)(x₁y₁ ＋ … ＋ x₂₀y₂₀)

u₁ ＝ x₁×y₁, …, u₂₀ ＝ x₂₀×y₂₀ なので
sxy ＝ (1/20)(u₁ ＋ … ＋ u₂₀) ＝ ū

相関係数は
rxy ＝ sxy/(sx·sy)
sx² ＝ sy² ＝ 1 で標準偏差は正なので sx ＝ sy ＝ 1
rxy ＝ ū/(1·1) ＝ ū
よって ク＝③

rxy ＞ 0 という条件から ū ＞ 0、また相関係数は1以下なので 0 ＜ ū ≦ 1 が言える。この範囲は(2)の最後で rxz ≧ rxy を確かめるときに使う。

＜考え方＞
z̄ ＝ 0 なので分散は (1/20)Σz² で計算できる。(x ＋ y)² を展開すると x² の平均、xy の平均、y² の平均に分かれ、それぞれ 1、ū、1 になる。相関係数の分子 sxz も同じ要領で出る。

z ＝ (x ＋ y)/2、z̄ ＝ 0 なので
sz² ＝ (1/20)(z₁² ＋ … ＋ z₂₀²)
　　＝ (1/20)·Σ{(x ＋ y)/2}²
　　＝ (1/4)·(1/20)Σ(x² ＋ 2xy ＋ y²)

(1/20)Σx² ＝ sx² ＝ 1
(1/20)Σy² ＝ sy² ＝ 1
(1/20)Σxy ＝ sxy ＝ ū
を入れて
sz² ＝ (1/4)(1 ＋ 2ū ＋ 1)
　　＝ (2 ＋ 2ū)/4
　　＝ (1 ＋ ū)/2　……　ケ ＝ 1、コ ＝ 2

次に x と z の共分散は x̄ ＝ z̄ ＝ 0 より
sxz ＝ (1/20)Σxz
　　＝ (1/20)Σ{x(x ＋ y)/2}
　　＝ (1/2)(sx² ＋ sxy)
　　＝ (1 ＋ ū)/2

よって
rxz ＝ sxz/(sx·sz)
　　＝ {(1 ＋ ū)/2}/√{(1 ＋ ū)/2}
　　＝ √{(1 ＋ ū)/2}

検算　ū ＝ 1 のとき rxz ＝ 1 ＝ rxy
　ū ＝ 0.5 のとき rxz ＝ √0.75 ＝ 0.866 ＞ 0.5 ＝ rxy
　0 ＜ ū ≦ 1 で rxz ≧ rxy ✓
よって ケ＝1、コ＝2

分散を出すとき (x ＋ y)²/4 の 1/4 を落としやすい。rxz の式は sz² の平方根がそのまま現れる形なので、ケ・コ は sz² と同じ値になる。