2025年度 大学入学共通テスト 本試験 旧数学Ⅰ 解答・解説

＜問題要旨＞
a＝1 のときの①を b について整理した②を因数分解する問題です。x と b の２文字を含む式は、次数の低い文字について整理するのが定石です。

＜考え方＞
②は b について１次式なので、b がかかっている部分とそうでない部分に分けます。

② ＝ (4x² − 1)b ＋ 16x − 8

  4x² − 1 ＝ (2x − 1)(2x ＋ 1)
  16x − 8 ＝ 8(2x − 1)

両方の項に (2x − 1) が共通因数として現れることに気づけるかがポイントです。

② ＝ (2x − 1)(2x ＋ 1)b ＋ 8(2x − 1)
   ＝ (2x − 1){ (2x ＋ 1)b ＋ 8 }
   ＝ (2x − 1)(2bx ＋ b ＋ 8)

よって ア＝②、イ＝⑧。

＜問題要旨＞
b＝2 を代入した①を、a を含んだまま因数分解します。文字が残っていてもたすき掛けの要領で分解できます。

b ＝ 2 を①に代入すると

  (2a ＋ 4·2 − 2)x² ＋ (5a ＋ 11)x − 2 − 8
  ＝ (2a ＋ 6)x² ＋ (5a ＋ 11)x − 10

定数項が −10、x² の係数が 2(a ＋ 3) であることから (2x ＋ 5){(a ＋ 3)x − 2} を予想し、展開して確かめます。

(2x ＋ 5){(a ＋ 3)x − 2}
＝ 2(a ＋ 3)x² − 4x ＋ 5(a ＋ 3)x − 10
＝ (2a ＋ 6)x² ＋ (5a ＋ 11)x − 10   ← 一致

よって ウ＝②、エ＝⑤、オ＝③、カ＝②。

＜考え方＞
(2x ＋ 5){(a ＋ 3)x − 2}＝0 の解は x＝−5/2 と x＝2/(a ＋ 3)。後者に a＝2√2 を代入して有理化します。

2 ÷ (2√2 ＋ 3)

＝ 2(2√2 − 3) ÷ {(2√2 ＋ 3)(2√2 − 3)}
＝ 2(2√2 − 3) ÷ (8 − 9)
＝ 2(2√2 − 3) ÷ (−1)
＝ 6 − 4√2

よって キ＝⑥、ク＝④。

＜問題要旨＞
第１問で最も差がつく設問です。x² の係数が 0 になる場合を見落とさないことと、重解になる場合を思いつけるかが鍵です。

＜十分性の確認＞

a ＝ −3 のとき
  (2·(−3) ＋ 6)x² ＋ (5·(−3) ＋ 11)x − 10
  ＝ 0·x² − 4x − 10 ＝ 0
  → x ＝ −5/2

２次の係数が 0 になって１次方程式となり、解は x＝−5/2 だけ。よって十分条件です。

＜必要性の検討＞
a ≠ −3 のとき解は x＝−5/2 と x＝2/(a ＋ 3)。この２つが一致すれば（重解になれば）解は x＝−5/2 だけになります。

2/(a ＋ 3) ＝ −5/2
  4 ＝ −5(a ＋ 3)
  5a ＝ −19
  a ＝ −19/5

a＝−19/5 のときも解は x＝−5/2 のみ。つまり必要条件ではありません。よって ケ＝①（十分条件であるが，必要条件ではない）。

＜問題要旨＞
(A∩B)∪(Ā∩B̄) がどんな領域かを言葉に翻訳できるかが問われます。

＜考え方＞
A∩B は「AにもBにも入る」領域、Ā∩B̄ は「AにもBにも入らない」領域です。この２つの和集合は、「AとBの所属が一致する」領域を意味します。

A∩B    … 二つの円の重なり部分
Ā∩B̄   … 二つの円の外側（長方形の残り）

和集合 … 重なり部分 ＋ 外側

逆に含まれないのは「片方だけに入る」三日月形の２か所です。重なり部分と外側の両方に斜線が引かれている図を選びます。よって コ＝②。

＜考え方＞
P＝{2,3,5,8,9}、Q＝{1,3,4,5,9} の共通部分を書き出します。

P ＝ {2, 3, 5, 8, 9}
Q ＝ {1, 3, 4, 5, 9}

P∩Q ＝ {3, 5, 9}

小さい順に並べるので サ＝③、シ＝⑤、ス＝⑨。

＜考え方＞
まず補集合を求めます。全体集合は U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} です。

P̄ ＝ {0, 1, 4, 6, 7}
Q̄ ＝ {0, 2, 6, 7, 8}

P̄∩Q̄ ＝ {0, 6, 7}

なお、ド・モルガンの法則を使えば P̄∩Q̄ ＝ (P∪Q)‾ なので、P∪Q＝{1,2,3,4,5,8,9} の補集合として求めることもできます。よって セ＝⓪、ソ＝⑥、タ＝⑦。

＜考え方＞
コで確認したとおり (A∩B)∪(Ā∩B̄) は「AとBの所属が一致する要素の集合」です。これが U 全体に等しいとは、すべての要素で所属が一致する、つまり A＝B ということです。

A ＝ {1, 4, 5, 7} なので B ＝ {1, 4, 5, 7}

よって チ＝②。

＜考え方＞
逆に空集合になるとは、どの要素でも所属が一致しない、つまり B が A の補集合であるということです。

Ā ＝ U − {1, 4, 5, 7}
  ＝ {0, 2, 3, 6, 8, 9}

よって ツ＝⑥。

＜問題要旨＞
台形から垂線を下ろすと長方形と２つの直角三角形に分かれます。この分解ができるかが全てです。

＜考え方＞
AP⊥BC、DQ⊥BC で AD∥BC なので、四角形APQDは長方形です。したがって PQ＝AD＝1。

BP ＋ PQ ＋ QC ＝ BC
  BP ＋ 1 ＋ CQ ＝ 12
  BP ＋ CQ ＝ 11   → アイ ＝ 11

次に tan を使います。

tan∠ABC ＝ AP / BP ＝ 3/4
  → BP ＝ (4/3) AP   → ウ/エ ＝ 4/3

よって ア＝①、イ＝①、ウ＝④、エ＝③。

＜考え方＞
CQ も AP で表し、BP＋CQ＝11 に代入します。長方形なので DQ＝AP であることを使います。

tan∠BCD ＝ DQ / CQ ＝ 2
  → CQ ＝ DQ/2 ＝ AP/2

BP ＋ CQ ＝ 11 に代入
  (4/3)AP ＋ (1/2)AP ＝ 11
  (8/6 ＋ 3/6)AP ＝ 11
  (11/6)AP ＝ 11
  AP ＝ 6

よって オ＝⑥。

＜考え方＞
座標を置くと見通しがよくなります。B(0,0)、C(12,0) とすると BP＝(4/3)·6＝8 より A(8,6)、CQ＝3 より D(9,6) です。

∠BCR は ∠BCA のこと（R は対角線AC上）
  C(12,0) から A(8,6) へのベクトルは (−4, 6)
  tan∠BCA ＝ 6/4 ＝ 3/2

∠CBR は ∠CBD のこと（R は対角線BD上）
  B(0,0) から D(9,6) へのベクトルは (9, 6)
  tan∠CBD ＝ 6/9 ＝ 2/3

よって カ＝③、キ＝②、ク＝②、ケ＝③。

＜問題要旨＞
２つの tan が互いに逆数になっていることに気づけば、角度を求めずに判定できます。

＜考え方＞
tan∠BCR＝3/2、tan∠CBR＝2/3 で、積が 1 です。tanθ·tanφ＝1 のとき θ＋φ＝90° が成り立ちます。

△BRC の内角の和より
  ∠BRC ＝ 180° − ∠RBC − ∠RCB
        ＝ 180° − 90°
        ＝ 90°

よって コ＝③（90°に等しい）。

＜問題要旨＞
中心から弦に下ろした垂線が弦を二等分することを使い、弦PAの長さを角αで表します。

＜考え方＞
OA⊥ℓ より ∠OAB＝90° なので ∠OAH＝90°−α、したがって直角三角形OAHで ∠AOH＝α です。

△OAH は ∠OHA ＝ 90° の直角三角形
  OA ＝ 2（円Oの半径）, ∠AOH ＝ α

  AH ＝ OA · sin∠AOH ＝ 2 sin α

垂線は弦を二等分するので
  PA ＝ 2AH ＝ 4 sin α

よって サ＝②、シ＝④。

＜考え方＞
円O′について同じ議論を繰り返します。半径が 4 に変わるだけです。

BH′ ＝ 4 sin β
PB ＝ 2BH′ ＝ 8 sin β

よって ス＝⑧。

＜問題要旨＞
正弦定理を正しく対応させられるかを問う設問です。辺と向かい合う角を取り違えないことが全てです。

△PAB において
  辺PA と向かい合う角は ∠PBA ＝ β
  辺PB と向かい合う角は ∠PAB ＝ α

正弦定理：PA / sin β ＝ PB / sin α ＝ 2R₁

解答群は ⓪α、①β なので セ＝①（β）、ソ＝⓪（α）。

＜考え方＞
PA sin α ＝ PB sin β に①と②を代入します。

(4 sin α)·sin α ＝ (8 sin β)·sin β
  4 sin²α ＝ 8 sin²β
  sin²α ＝ 2 sin²β
  sin α ＝ √2 sin β   （α, β は鋭角なので sin は正）

したがって PB ＝ √2 PA

よって タ＝②。

＜考え方＞
正弦定理 PA / sin β ＝ 2R₁ に PA ＝ 4 sin α ＝ 4√2 sin β を代入します。

2R₁ ＝ 4√2 sin β ÷ sin β ＝ 4√2
  R₁ ＝ 2√2

R₁ が α、β の値によらず一定になることがこの問題の核心で、次の設問の伏線です。よって チ＝②、ツ＝②。

＜問題要旨＞
(1)の議論が点Qでもそのまま通用することに気づけるかを問う設問です。

＜考え方＞
R₁＝2√2 を導いた過程では、点Pが「２円の交点である」という事実しか使っていません。同じ議論を点Qに対して行えば R₂＝2√2 が得られます。

R₁ ＝ R₂ ＝ 2√2   → テ ＝ ①（＝）

△PAB と △QAB は辺ABを共有するので
  AB / sin∠APB ＝ 2R₁
  AB / sin∠AQB ＝ 2R₂

R₁ ＝ R₂ だから sin∠APB ＝ sin∠AQB → ト ＝ ①（＝）

よって テ＝①、ト＝①。

＜考え方＞
AB＝2√7 と R₁＝2√2 を正弦定理に入れるだけです。

AB / sin∠APB ＝ 2R₁ ＝ 4√2

  sin∠APB ＝ 2√7 ÷ (4√2)
          ＝ √7 ÷ (2√2)
          ＝ √14 / 4

よって ナ＝①、ニ＝④、ヌ＝④。

＜問題要旨＞
第２問の最終問題です。sin が等しいのに角が異なるという条件から、∠APB が鋭角であることを特定できるかが問われます。

＜考え方＞
sin∠APB＝sin∠AQB かつ ∠APB≠∠AQB なので、この２角は補角の関係にあります。

∠APB ＋ ∠AQB ＝ 180°
問題の条件 ∠APB ＜ ∠AQB より ∠APB ＜ 90°（鋭角）

よって cos∠APB は正：
  cos∠APB ＝ √(1 − 14/16) ＝ √2 / 4

△PABに余弦定理を適用します。PB＝√2 PA を使うと PA だけの式になります。

AB² ＝ PA² ＋ PB² − 2·PA·PB·cos∠APB

  28 ＝ PA² ＋ 2PA² − 2·PA·(√2 PA)·(√2/4)
  28 ＝ 3PA² − PA²
  PA² ＝ 14
  PA ＝ √14

よって ネ＝①、ノ＝④。なお ∠AQB は鈍角なので cos∠AQB＝−√2/4 となり、同様の計算で QA＝√7 が確かめられます。

＜考え方＞
平方完成します。x² の係数 3 でくくるのを忘れないようにします。

f(x) ＝ 3x² ＋ 18x ＋ 20
    ＝ 3(x² ＋ 6x) ＋ 20
    ＝ 3(x ＋ 3)² − 27 ＋ 20
    ＝ 3(x ＋ 3)² − 7

頂点 (−3, −7)

よって アイ＝−3、ウエ＝−7。

＜問題要旨
解を求めずに符号を判定させる、この大問のテーマが最初に出てきます。

＜考え方＞
頂点の y座標が −7 ＜ 0 で下に凸なので、x軸と２点で交わります。あとは解の符号です。解と係数の関係を使います。

２解の和 ＝ −18/3 ＝ −6  ＜ 0
２解の積 ＝  20/3      ＞ 0

積が正 → 同符号
和が負 → ともに負

グラフで考えても同じです。頂点の x座標が −3（負）で、f(0)＝20 ＞ 0 なので、２つの交点はどちらも y軸より左にあります。よって オ＝②（異なる二つの負の解をもつ）。

＜考え方＞
x軸方向に s、y軸方向に −5 の平行移動なので、f(x) の x を x−s に置き換えて 5 を引きます。

g(x) ＝ f(x − s) − 5

f(x − s) ＝ 3(x − s)² ＋ 18(x − s) ＋ 20
       ＝ 3x² − 6sx ＋ 3s² ＋ 18x − 18s ＋ 20

g(x) ＝ 3x² ＋ (18 − 6s)x ＋ (3s² − 18s ＋ 15)
    ＝ 3x² ＋ (18 − 6s)x ＋ 3(s² − 6s ＋ 5)

よって カ＝⑥、キ＝③、ク＝⑥、ケ＝⑤。

＜問題要旨＞
会話文の「解を具体的に求める必要はない」がヒントです。判別式も軸も不要で、y切片の符号だけで決まります。

＜考え方＞
下に凸の放物線が正の解と負の解を一つずつもつのは、グラフが y軸を負の位置で横切るとき、つまり g(0) ＜ 0 のときだけです。

g(0) ＝ 3(s² − 6s ＋ 5) ＜ 0
  s² − 6s ＋ 5 ＜ 0
  (s − 1)(s − 5) ＜ 0
  1 ＜ s ＜ 5

よって コ＝①、サ＝⑤。

＜問題要旨＞
今度は「異なる二つの正の解」なので、判別式・軸・y切片の３条件すべてが必要になります。前問との違いを意識できるかが問われます。

＜考え方＞
まず h(x) を求めます。x軸方向に t、y軸方向に t²−6t の平行移動です。

h(x) ＝ f(x − t) ＋ (t² − 6t)
    ＝ 3x² ＋ (18 − 6t)x ＋ (3t² − 18t ＋ 20) ＋ (t² − 6t)
    ＝ 3x² ＋ (18 − 6t)x ＋ (4t² − 24t ＋ 20)

３つの条件を順に立てます。

【y切片】h(0) ＞ 0
  4(t² − 6t ＋ 5) ＞ 0
  (t − 1)(t − 5) ＞ 0
  t ＜ 1 または t ＞ 5

【軸】軸 ＞ 0
  軸：x ＝ −(18 − 6t)/6 ＝ t − 3
  t − 3 ＞ 0 → t ＞ 3

【判別式】D ＞ 0
  (18 − 6t)² − 4·3·(4t² − 24t ＋ 20) ＞ 0
  −12t² ＋ 72t ＋ 84 ＞ 0
  t² − 6t − 7 ＜ 0
  (t − 7)(t ＋ 1) ＜ 0
  −1 ＜ t ＜ 7

３つの共通部分をとります。

(t ＜ 1 または t ＞ 5) かつ t ＞ 3 かつ −1 ＜ t ＜ 7
  → 5 ＜ t ＜ 7

よって シ＝⑤、ス＝⑦。

＜考え方＞
仮定1より C₁ は点(0, 1)を通ります。y＝ax²＋bx＋c に x＝0 を代入すると y＝c なので、セ＝①。

＜考え方＞
C₁ は x軸と点(−5/2, 0)、(1/2, 0) で交わるので、因数分解された形で表せます。

y ＝ a(x ＋ 5/2)(x − 1/2)

点(0, 1)を通るので
  a·(5/2)·(−1/2) ＝ 1
  a ＝ −4/5

y ＝ −(4/5)(x ＋ 5/2)(x − 1/2)
  ＝ −(4/5)x² − (8/5)x ＋ 1

よって ソ＝④、タ＝⑤、チ＝⑧、ツ＝⑤。

＜考え方＞
頂点の x座標は２つの交点の中点、つまり x＝(−5/2＋1/2)÷2＝−1 です。

y(−1) ＝ −(4/5)·1 − (8/5)·(−1) ＋ 1
     ＝ −4/5 ＋ 8/5 ＋ 1
     ＝ 9/5

よって テ＝⑨、ト＝⑤（小さな噴水の高さは 9/5 メートル）。

＜問題要旨＞
対称性に気づけるかどうかで所要時間が大きく変わります。

＜考え方＞
C₃ は C₁ を y軸に関して折り返したものなので、頂点は (1, 9/5)。仮定2より C₂ は P₂(3/2, 0)、(1, 9/5)、(−1, 9/5) を通ります。

(−1, 9/5) と (1, 9/5) は y座標が等しいので、C₂ の軸は y軸です。したがって y＝px²＋q とおけます。

x ＝ 1：  p ＋ q ＝ 9/5      …(あ)
x ＝ 3/2：(9/4)p ＋ q ＝ 0    …(い)

(い) − (あ)：
  (5/4)p ＝ −9/5
  p ＝ −36/25

q ＝ 9/5 ＋ 36/25 ＝ 81/25

軸が y軸なので頂点の y座標は q そのものです。よって ナ＝⑧、ニ＝①、ヌ＝②、ネ＝⑤（81/25）。

(81/25) ÷ (9/5) ＝ (81/25)·(5/9) ＝ 9/5 ＝ 1.8

1.8倍なので最も近いのは「およそ2倍」。よって ノ＝⓪。

＜考え方＞
C₂′ も (±1, 9/5) を通るので軸は y軸、頂点の y座標が 5 だから y＝p′x²＋5 とおけます。

x ＝ 1 のとき
  p′ ＋ 5 ＝ 9/5
  p′ ＝ −16/5

x軸との交点（y ＝ 0）は
  −(16/5)x² ＋ 5 ＝ 0
  x² ＝ 25/16
  x ＝ ±5/4

P₂′ は x軸の正の部分にあるので P₂′(5/4, 0)

P₂ は (3/2, 0)＝(6/4, 0) なので差は 1/4。P₂′ の方が原点に近い、つまり P₁ の側です。よって ハ＝①、ヒ＝④、フ＝⓪（P₁）。

＜問題要旨＞
ヒストグラムの最頻値は度数が最大の階級の階級値です。度数そのものと取り違えないよう注意します。

図1（総平均時間）
  24〜28：6,  28〜32：10,  32〜36：15 ← 最大
  36〜40：8,  40〜44：4,   44〜48：4

最頻値 ＝ (32 ＋ 36) ÷ 2 ＝ 34

図2（行動者平均時間）
  56〜64：11, 64〜72：20 ← 最大, 72〜80：6 …

最頻値 ＝ (64 ＋ 72) ÷ 2 ＝ 68

よって アイ＝34、ウエ＝68。

＜考え方＞
各階級のデータがすべて階級値に等しいと仮定して平均値を計算します。度数の合計は47（都道府県数）です。

26×6 ＋ 30×10 ＋ 34×15 ＋ 38×8 ＋ 42×4 ＋ 46×4
＝ 156 ＋ 300 ＋ 510 ＋ 304 ＋ 168 ＋ 184
＝ 1622

m ＝ 1622 ÷ 47 ＝ 34.51…

34 ≦ m ＜ 35

よって オ＝③、カ＝④。

＜問題要旨＞
箱ひげ図から最大値・第3四分位数・四分位範囲を読み取ります。H ＝ 最大値 − 第3四分位数 の定義を正確に押さえます。

【(a)】
  令和3年 総平均時間の最大値   ≒ 43分
  令和3年 行動者平均時間の最小値 ≒ 53分
  43 ＜ 53 → 正

【(b)】
  平成28年 総平均時間の箱の幅   ≒ 38 − 28 ＝ 10
  平成28年 行動者平均時間の箱の幅 ≒ 77 − 62 ＝ 15
  10 ＜ 15 → 正

【(c)】H ＝ 最大値 − 第3四分位数
  H₁ ≒ 52 − 38 ＝ 14      H₂ ≒ 43 − 36 ＝  7
  H₃ ≒ 110 − 77 ＝ 33     H₄ ≒ 103 − 75 ＝ 28

  H₂/H₁ ≒ 0.5,  H₄/H₃ ≒ 0.85
  0.5 ＞ 0.85 は成り立たない → 誤

(a)正・(b)正・(c)誤 の組合せなので キ＝①。

＜考え方＞
図5で、横軸60以下かつ縦軸75以下の長方形領域に入る点を数えます。

該当領域（x ≦ 60 かつ y ≦ 75）にある点
  約(56, 66) / 約(57, 72) / 約(58, 72) / 約(59, 67)

合計 4 個

x＝60 付近には y≒89 の点もありますが、縦軸の条件を満たさないため除きます。よって ク＝④。

＜問題要旨＞
この大問の核心です。２つの平均の定義の違いを式で捉えられるかが問われます。

総平均時間   ＝ 合計時間 ÷ 調査対象者全員の人数
行動者平均時間 ＝ 合計時間 ÷ （時間が0でない人の人数）

したがって
  行動者平均時間 ＝ 総平均時間 × (全員の人数 ÷ 行動者の人数)

総平均時間が同じ４県のうち、行動者平均時間が最も大きいのは行動者の割合が最も小さい県、つまり「通勤・通学」に費やした時間が0である人の割合が最も大きい県です。よって ケ＝⓪。

相関係数＝共分散÷(２つの標準偏差の積)。表1の値を代入します。

r ＝ 64.4 ÷ (11.8 × 7.9)
  ＝ 64.4 ÷ 93.22
  ＝ 0.690…

最も近いのは 0.69。よって コ＝④。なお相関係数は必ず −1 以上 1 以下なので、⑥ 1.02 や ⑦ 1.45 はありえません。

＜問題要旨＞
ここからが旧数学Ⅰ独自の設問です。0を含めて計算した分散と、0を除いて計算した分散の差を具体例で確かめます。定義どおり計算すれば確実に取れます。

＜考え方＞
まず6個すべてを使った分散 s_T² を求めます。

データ：1, 2, 3, 0, 0, 0

平均 ＝ (1＋2＋3＋0＋0＋0) ÷ 6 ＝ 1

s_T² ＝ {(1−1)² ＋ (2−1)² ＋ (3−1)² ＋ (0−1)²×3} ÷ 6
    ＝ (0 ＋ 1 ＋ 4 ＋ 3) ÷ 6
    ＝ 8/6 ＝ 4/3

次に、0を除いた3個だけの分散 s_P² を求めます。

データ：1, 2, 3

平均 ＝ 2
s_P² ＝ {(1−2)² ＋ (2−2)² ＋ (3−2)²} ÷ 3
    ＝ 2/3

s_T² − s_P² ＝ 4/3 − 2/3 ＝ 2/3

よって サ＝④、シ＝③、ス＝②、セ＝③。

＜問題要旨＞
0の個数だけを増やしたとき、差がどう変わるかを見ます。「0が増えれば差も大きくなる」と直感で答えると誤答します。

＜考え方＞
正の値は 1, 2, 3 のままなので s_P² ＝ 2/3 は変わりません。全体の平均だけが小さくなります。

データ：1, 2, 3, 0 が9個（計12個）

平均 ＝ 6 ÷ 12 ＝ 1/2

s_T² ＝ {(1−1/2)² ＋ (2−1/2)² ＋ (3−1/2)² ＋ (0−1/2)²×9} ÷ 12
    ＝ {1/4 ＋ 9/4 ＋ 25/4 ＋ 9/4} ÷ 12
    ＝ (44/4) ÷ 12
    ＝ 11/12

s_T² − s_P² ＝ 11/12 − 2/3 ＝ 11/12 − 8/12 ＝ 1/4

(a)は 2/3 ≒ 0.67、(b)は 1/4 ＝ 0.25 なので、0が少ない(a)の方が差は大きいことになります。

直感に反しますが、理由は明快です。0の個数が増えるほどデータ全体が0の近くに密集し、全体の分散 s_T² 自体が小さくなっていくからです。一方 s_P² は 2/3 のまま変わりません。よって ソ＝①、タ＝④、チ＝⓪（(a)）。