2026年度 大学入学共通テスト 本試験 数学Ⅰ・A 解答・解説

＜考え方＞
集合の定義に戻る。「k と a が 1 以外の正の公約数をもつ」は「k が a の素因数のどれかで割り切れる」と同じ意味である。a ＝ 3 の素因数は 3 だけなので、A は U に属する 3 の倍数全体になる。

a ＝ 3 の素因数は 3 だけ
A ＝ {k｜k∈U，k は 3 で割り切れる}
　 ＝ {3, 6, 9, 12, 15, 18}
よって ア＝⑥

U は 2 以上 20 以下なので 21 以降は入らない。問題文の例「a ＝ 9 のとき A ＝ {3, 6, 9, 12, 15, 18}」と同じ集合になるのは、9 の素因数も 3 だけだからである。

＜考え方＞
同じ言い換えを b ＝ 4 に使う。4 の素因数は 2 だけなので、B は U に属する偶数全体になる。

b ＝ 4 の素因数は 2 だけ
B ＝ {k｜k∈U，k は 2 で割り切れる}
　 ＝ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
よって イ＝⑧

4 の倍数 {4, 8, 12, 16, 20} だけを選ぶと ⑤ になってしまう。条件は「b の倍数」ではなく「b と公約数をもつ」なので、2 の倍数すべてが入る。

＜考え方＞
A が 3 の倍数全体、B が偶数全体と分かっているので、A∩B は 6 の倍数、A∩B̄ は奇数の 3 の倍数になる。補集合は必ず全体集合 U の中で考える。

A ＝ {3, 6, 9, 12, 15, 18}，B ＝ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A∩B ＝ A の中の偶数 ＝ 6 の倍数 ＝ {6, 12, 18}
B̄ ＝ U の中の奇数
A∩B̄ ＝ A の中の奇数 ＝ {3, 9, 15}
よって ウ＝③、エ＝②

A∩B を「3 の倍数かつ 2 の倍数」＝「6 の倍数」と言い換えると数えるのが速い。A∩B と A∩B̄ を合わせると A に戻ることも確認に使える。

＜考え方＞
「Ā の要素に 2 の倍数も 3 の倍数もない」を「U に属する 2 の倍数と 3 の倍数がすべて A に入る」と裏返すのが要点。2 ∈ A から a は偶数、3 ∈ A から a は 3 の倍数と決まる。

条件は「U に属する 2 の倍数と 3 の倍数がすべて A に入る」と同じ
2 ∈ A より a と 2 は 1 以外の公約数をもつ ⇒ a は偶数
3 ∈ A より a と 3 は 1 以外の公約数をもつ ⇒ a は 3 の倍数
よって a は 6 の倍数，2 ≦ a ≦ 9 より a ＝ 6
確認：a ＝ 6 のとき A ＝ {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
　　　Ā ＝ {5, 7, 11, 13, 17, 19}（2 の倍数も 3 の倍数もない）
よって オ＝6

a の範囲が 2 以上 9 以下なので 6 の倍数は 6 だけ。求めた a で Ā を実際に書き出して確かめると取り違えを防げる。

＜考え方＞
A∩B̄ ＝ {5} を「5 ∈ A」「10, 15, 20 ∈ B」「5 ∉ B」の 3 条件に分解する。5 ∈ A から a が一意に決まり、残りの条件で b が決まる。

5 ∈ A より a と 5 は 1 以外の公約数をもつ ⇒ a は 5 の倍数
2 ≦ a ≦ 9 より a ＝ 5，このとき A ＝ {5, 10, 15, 20}
A∩B̄ ＝ {5} より 10, 15, 20 ∈ B かつ 5 ∉ B
　5 ∉ B ⇒ b は 5 の倍数でない
　10 ∈ B ⇒ b は 2 か 5 の倍数 ⇒ b は偶数
　15 ∈ B ⇒ b は 3 か 5 の倍数 ⇒ b は 3 の倍数
b は 6 の倍数で 5 の倍数でない，2 ≦ b ≦ 9 より b ＝ 6
確認：b ＝ 6 のとき B は 2 の倍数と 3 の倍数の全体
　　　10, 15, 20 ∈ B，5 ∉ B となり条件を満たす
よって カ＝5、キ＝6

20 ∈ B も b ＝ 6 で満たされる（20 と 6 の公約数は 2）。b から先に決めようとすると候補が絞れないので、a から入るのが筋。

＜考え方＞
三角形の面積公式 S ＝ (1/2)·（はさむ 2 辺の積）·sin（はさむ角）に戻る。△ABD で ∠A ＝ ∠BAD をはさむ 2 辺は AB と AD である。

△ABD で ∠A ＝ ∠BAD をはさむ 2 辺は AB と AD
S₁ ＝ (1/2)·AB·AD·sin A ＝ (AB·AD)/2 · sin A
よって ク＝①

対角線 BD は面積の式には出てこない。「BD を共通の 1 辺とする」は四角形の分け方の説明であって、公式に使う 2 辺ではない。

＜考え方＞
同じ公式を △BCD に使う。∠C ＝ ∠BCD をはさむ 2 辺は CB と CD である。

△BCD で ∠C ＝ ∠BCD をはさむ 2 辺は CB（＝BC）と CD
S₂ ＝ (1/2)·BC·CD·sin C ＝ (BC·CD)/2 · sin C
よって ケ＝④

選択肢に AB·CD や AD·BC もあるが、これらは 1 つの頂点で交わらない 2 辺なので、面積公式のはさむ 2 辺にはならない。

＜考え方＞
四角形の内角の和が 360° であることと、与えられた A＋C ＝ B＋D を連立する。A＋C ＝ 180° が出れば sin C ＝ sin(180°−A) ＝ sin A となり、S₁ と S₂ を sin A だけでまとめられる。

四角形の内角の和より A＋B＋C＋D ＝ 360°
条件 A＋C ＝ B＋D を代入して 2(A＋C) ＝ 360°
　A＋C ＝ 180°　⇒ コ＝④
このとき C ＝ 180°−A なので sin C ＝ sin(180°−A) ＝ sin A
S ＝ S₁＋S₂ ＝ (AB·AD)/2 · sin A ＋ (BC·CD)/2 · sin C
　 ＝ (AB·AD ＋ BC·CD)/2 · sin A
よって コ＝④、サ＝②

A＋C ＝ 180° は「円に内接する四角形」の条件でもある。sin は一致するが cos C ＝ −cos A で符号が変わるので、一致するのは sin だけであることに注意する。

＜考え方＞
円外の 1 点から引いた 2 本の接線の長さは等しい、接点と中心を結ぶ半径は接線に垂直、という 2 つの性質に戻る。四角形PMOK の面積を「直角三角形 2 つの和」と「①の公式」の 2 通りで表せば sin P が求まる。

P から円 O に引いた 2 本の接線の接点が M, K なので PM ＝ PK ＝ 12
OM ⊥ PQ，OK ⊥ PK で OM ＝ OK ＝ 6
四角形PMOK ＝ △PMO ＋ △PKO
　△PMO ＝ (1/2)·PM·OM ＝ (1/2)·12·6 ＝ 36
　△PKO ＝ (1/2)·PK·OK ＝ (1/2)·12·6 ＝ 36
四角形PMOK ＝ 36 ＋ 36 ＝ 72　⇒ シス＝72
四角形PMOK で ∠M ＝ ∠K ＝ 90° だから ∠M＋∠K ＝ 180°
内角の和より ∠P＋∠O ＝ 180° ＝ ∠M＋∠K となり①が使える
　（A→P，B→M，C→O，D→K と対応させる）
　72 ＝ (PM·PK ＋ MO·OK)/2 · sin P ＝ (12·12 ＋ 6·6)/2 · sin P ＝ 90 sin P
　sin P ＝ 72/90 ＝ 4/5
よって シ＝7、ス＝2、セ＝4、ソ＝5

①を使う前に条件 A＋C ＝ B＋D が成り立つ理由（2 つの接点で直角になること）を確かめておくと、次の四角形QLOM でも同じ手順をそのまま使える。

＜考え方＞
四角形QLOM にまったく同じ手順を当てる。Q からの接線の長さが等しいので QL ＝ QM ＝ 9、接点での半径は OL ＝ OM ＝ 6 で ∠L ＝ ∠M ＝ 90°。

QL ＝ QM ＝ 9，OL ＝ OM ＝ 6，∠L ＝ ∠M ＝ 90°
四角形QLOM ＝ (1/2)·9·6 ＋ (1/2)·9·6 ＝ 27 ＋ 27 ＝ 54
①より 54 ＝ (QL·QM ＋ LO·OM)/2 · sin Q ＝ (81 ＋ 36)/2 · sin Q ＝ (117/2) sin Q
　sin Q ＝ 108/117 ＝ 12/13
よって タ＝1、チ＝2、ツ＝1、テ＝3

108/117 は 9 で約分して 12/13 になる。約分を忘れると 2 桁ずつの枠に収まらないので、枠の桁数そのものが答えの確認になる。

＜考え方＞
△PQR で正弦定理を使う。辺の比は向かい合う角の正弦の比になるので、PR の対角 Q、QR の対角 P を取り違えないことが要点。

△PQR で正弦定理より PR/sin Q ＝ QR/sin P
　PR : QR ＝ sin Q : sin P ＝ 12/13 : 4/5
両方を 65 倍して分母を払うと
　＝ 60 : 52 ＝ 15 : 13
よって ト＝1、ナ＝5、ニ＝1、ヌ＝3

PR の対角は Q、QR の対角は P なので、比を作ると記号が入れ替わる。sin P : sin Q と書いてしまうと 13 : 15 と逆の答えになる。

＜考え方＞
R が直線PQ に関して O と同じ側にあるので、円 O は △PQR の 3 辺すべてに接する内接円である。接線の長さが等しいことから RK ＝ RL ＝ x とおき、前問で出した PR : QR ＝ 15 : 13 の式を立てる。

円 O は直線PQ，PR，QR に接し，R と同じ側にあるので △PQR の内接円
接線の長さが等しいので RK ＝ RL ＝ x とおくと
　PR ＝ PK ＋ KR ＝ 12 ＋ x，QR ＝ QL ＋ LR ＝ 9 ＋ x
PR : QR ＝ 15 : 13 より
　13(12 ＋ x) ＝ 15(9 ＋ x)
　156 ＋ 13x ＝ 135 ＋ 15x
　21 ＝ 2x
　x ＝ 21/2
よって ネ＝2、ノ＝1、ハ＝2

PQ ＝ PM ＋ MQ ＝ 12 ＋ 9 ＝ 21 も分かるので、△PQR の 3 辺は 21、45/2、39/2 とすべて求まる。

＜考え方＞
この設問の分かれ目は「交点 R が直線PQ に関して点 O と反対側にある」の読み方である。円 O は辺PQ には接するが △PQR の内部にはなく、他の 2 辺の延長に接している（∠R 内の傍接円）。接点 K, L は円と同じ側、つまり R の反対側にあるので、線分RK は直線PQ を P で、線分RL は直線PQ を Q で横切る。したがって RK ＝ RP ＋ PK、RL ＝ RQ ＋ QL となり、(i)の内接円のときの RK ＝ RP − PK とは式が逆になる。

PM ＝ PK ＝ 4√2，QM ＝ QL ＝ 3√2，OM ＝ OK ＝ OL ＝ 6
(i)と同じ手順で ∠KPM，∠LQM の正弦を求める
　四角形PMOK ＝ (1/2)·4√2·6 ＋ (1/2)·4√2·6 ＝ 24√2
　①より 24√2 ＝ (4√2·4√2 ＋ 6·6)/2 · sin∠KPM ＝ (32 ＋ 36)/2 · sin∠KPM ＝ 34 sin∠KPM
　　sin∠KPM ＝ 24√2/34 ＝ 12√2/17
　四角形QLOM ＝ (1/2)·3√2·6 ＋ (1/2)·3√2·6 ＝ 18√2
　①より 18√2 ＝ (3√2·3√2 ＋ 6·6)/2 · sin∠LQM ＝ (18 ＋ 36)/2 · sin∠LQM ＝ 27 sin∠LQM
　　sin∠LQM ＝ 18√2/27 ＝ 2√2/3
R は直線PQ に関して O と反対側，接点 K, L は O と同じ側
　⇒ 半直線PK と半直線PR は逆向き，半直線QL と半直線QR は逆向き
　∠RPQ ＝ 180°−∠KPM，∠RQP ＝ 180°−∠LQM
　sin∠RPQ ＝ sin∠KPM ＝ 12√2/17，sin∠RQP ＝ sin∠LQM ＝ 2√2/3
△PQR で正弦定理より
　PR : QR ＝ sin∠RQP : sin∠RPQ ＝ 2√2/3 : 12√2/17
　両方を 51/√2 倍して ＝ 34 : 36 ＝ 17 : 18
また RK ＝ RP ＋ PK，RL ＝ RQ ＋ QL で RK ＝ RL だから
　RP ＋ 4√2 ＝ RQ ＋ 3√2　すなわち RQ ＝ RP ＋ √2
PR : QR ＝ 17 : 18 より QR ＝ (18/17)PR，これを代入して
　(18/17)PR ＝ PR ＋ √2
　(1/17)PR ＝ √2
　PR ＝ 17√2，QR ＝ 18√2
RL ＝ RQ ＋ QL ＝ 18√2 ＋ 3√2 ＝ 21√2
よって ヒ＝2、フ＝1、ヘ＝2

内接円なら RK ＝ RP − PK、傍接円なら RK ＝ RP ＋ PK。どちらになるかは R と O が直線PQ の同じ側か反対側かだけで決まる。答えの枠が「ヒフ√ヘ」と根号の形になっていることも、(i)と状況が違うことに気づく手がかりになる。

＜考え方＞
2 次関数の最大・最小は平方完成して頂点を出し、定義域の両端の値と比べる。下に凸のグラフでは、最大は定義域の端のうち頂点から遠い方でとる。

y ＝ 2x² − 8x ＋ 5 ＝ 2(x² − 4x) ＋ 5 ＝ 2(x − 2)² − 8 ＋ 5 ＝ 2(x − 2)² − 3
下に凸，頂点 (2, −3)
x ＝ 0 のとき y ＝ 5
x ＝ 3 のとき y ＝ 2·9 − 24 ＋ 5 ＝ −1
頂点 x ＝ 2 からの距離は |0 − 2| ＝ 2，|3 − 2| ＝ 1 なので x ＝ 0 の方が遠い
x ＝ 0 で最大値 5
よって ア＝0、イ＝5

端点の値を両方計算してしまえば迷わない。x ＝ 3 の値 −1 を最大値と書かないよう、大小をその場で比べておく。

＜考え方＞
同じ平方完成の結果をそのまま使う。頂点の x 座標 2 が定義域 0 ≦ x ≦ 3 に入っているので、最小値は頂点の y 座標になる。

y ＝ 2(x − 2)² − 3，下に凸，頂点 (2, −3)
0 ≦ 2 ≦ 3 なので頂点が定義域に入る
x ＝ 2 で最小値 −3
よって ウ＝2、エオ＝−3

エオは 2 枠で −3 を表す形なので、エに −、オに 3 をマークする。頂点が定義域の外にあるときは最小値も端点で決まるので、まず頂点の位置を確認する。

＜考え方＞
最大値を定義域の内部の点 x ＝ −1 でとるなら、グラフは上に凸で、その点が頂点である。頂点の座標は（最大値をとる x, 最大値）になる。

−3 ≦ x ≦ 0 の内部の点 x ＝ −1 で最大値 3 をとる
　⇒ グラフは上に凸で，頂点は (−1, 3)
よって カ＝③

選択肢には (−3, −5) もあるが、これは最小値をとる端点であって頂点ではない。上に凸のグラフの頂点は最大値の位置である。

＜考え方＞
頂点が分かったので f(x) ＝ a(x ＋ 1)² ＋ 3 と置き、もう 1 つの条件 f(−3) ＝ −5 で a を決める。最後に枠の形（x² の係数が 2 枠、x の係数の前に − がある）に合わせて書き直す。

頂点 (−1, 3) より f(x) ＝ a(x ＋ 1)² ＋ 3（上に凸なので a ＜ 0）
x ＝ −3 で最小値 −5 より f(−3) ＝ 4a ＋ 3 ＝ −5
　4a ＝ −8
　a ＝ −2（a ＜ 0 を満たす）
f(x) ＝ −2(x ＋ 1)² ＋ 3 ＝ −2(x² ＋ 2x ＋ 1) ＋ 3 ＝ −2x² − 4x ＋ 1
枠の形 f(x) ＝ キク x² − ケ x ＋ コ に合わせると
　キク ＝ −2，−ケ x ＝ −4x より ケ ＝ 4，コ ＝ 1
よって キ＝−、ク＝2、ケ＝4、コ＝1

枠がはじめから「− ケ x」となっているので、ケには符号を付けずに 4 を入れる。f(0) ＝ 1 で −5 より大きいことも確かめれば、最小値が x ＝ −3 側でとられることと矛盾しない。

＜考え方＞
条件 2 の 4 行を「頂点の位置」と「端点の値」に翻訳する。a ≧ 3 でつねに m ＝ −2、0 ＜ a ＜ 3 では m ＞ −2 なので、最小値 −2 は x ＝ 3 でとる頂点の値であり、グラフは下に凸と決まる。あとは最大値の条件で係数を決める。

・0 ＜ a ＜ 3 なら m ＞ −2，a ≧ 3 なら m ＝ −2
　⇒ 区間 0 ≦ x ≦ a が x ＝ 3 を含むかどうかで最小値が変わる
　⇒ x ＝ 3 が最小値 −2 をとる点，すなわち頂点は (3, −2) で下に凸
　　⇒ サ＝⓪
g(x) ＝ k(x − 3)² − 2（k ＞ 0）とおく
・0 ＜ a ≦ 6 なら M ＝ 7
　下に凸なので最大は端点，0 ＜ a ≦ 6 では x ＝ 0 の方が頂点から遠い
　⇒ M ＝ g(0) ＝ 7
　9k − 2 ＝ 7
　9k ＝ 9
　k ＝ 1
g(x) ＝ (x − 3)² − 2 ＝ x² − 6x ＋ 7
確認：g(6) ＝ 36 − 36 ＋ 7 ＝ 7 ＝ g(0) なので a ＞ 6 では M ＝ g(a) ＞ 7
よって サ＝⓪、シ＝⑥

「0 ＜ a ≦ 6 で M ＝ 7」「a ＞ 6 で M ＞ 7」の境目 a ＝ 6 は、頂点 x ＝ 3 に関して x ＝ 0 と対称な点である。この対称性が k を決めたあとの検算になる。

＜考え方＞
条件 3 を「長さ 2 の区間 b−1 ≦ x ≦ b＋1 が h(x) ≧ 0 となる範囲と共通部分をもつ ⇔ 1 ≦ b ≦ 7」と読み替える。h(x) ≧ 0 となる x の範囲を左右に 1 ずつ広げたものが 1 ≦ b ≦ 7 になるので、その両端から x 軸との共有点が決まる。

M ≧ 0 ⇔ 区間 b−1 ≦ x ≦ b＋1 の中に h(x) ≧ 0 となる x がある
h(x) ≧ 0 となる x の集合を S とすると
　M ≧ 0 ⇔ S の中に b との距離が 1 以下の点がある
　　　　 ⇔ b は S を左右に 1 ずつ広げた範囲に入る
条件3より，この広げた範囲が 1 ≦ b ≦ 7（長さ 6）
・下に凸だと S は限りなく広がり，広げた範囲も限りがないので不適
・S が 1 点だけだと広げた範囲の長さは 2 で，6 にならないので不適
・上に凸で x 軸と 2 点で交わるとき S ＝ p ≦ x ≦ q（p ＜ q）
　広げた範囲は p−1 ≦ b ≦ q＋1 なので
　p − 1 ＝ 1，q ＋ 1 ＝ 7
　p ＝ 2，q ＝ 6
よって ス＝2、セ＝6（順序は問わない）

h(x) が一つに決まらないのに共有点だけ決まるのは、h(x) ＝ a(x − 2)(x − 6)（a ＜ 0）の形ならどの a でも条件 3 が成り立つからである。上に凸という判断を先に済ませるのが近道。

＜考え方＞
(a)は 2 つの散布図で 460 の横線より上にある点を実際に数えて比べる。(b)は T前後 が T前 と T後 の平均であることに戻れば、並んだ 2 つの条件が実は同じ条件だと分かる。

(a) T前 ＜ 470 の選手にしぼり，460 の横線より上の点を数える
　図1（縦軸 T後）で 460 の線より上の点
　　T前 が 443 付近の点 1 個
　　T前 が 450 付近に重なって見える点 2 個
　　A の点（T前 は 453 付近，T後 は 476 付近）1 個
　　T前 が 457 付近の点 1 個（460 の線のすぐ上）
　　T前 が 461 付近に重なって見える点 2 個
　　計 7 人（T前 が 485 付近の点は T前 ≧ 470 なので数えない）
　図2（縦軸 T前後）で 460 の線より上の点
　　A の点（T前後 は 464 付近）1 個
　　T前 が 461 付近に重なって見える点 2 個
　　計 3 人
　　（T前 が 450 付近の 2 個と 457 付近の 1 個は 460 の線のすぐ下なので数えない）
　7 ≠ 3 なので (a) は誤
(b) T前後 ＝ (T前 ＋ T後)/2 なので
　T前 ＜ T前後 ⇔ 2T前 ＜ T前 ＋ T後 ⇔ T前 ＜ T後
　T後 ＞ T前後 ⇔ T前 ＋ T後 ＜ 2T後 ⇔ T前 ＜ T後
　2 つの条件は同じ条件で，A の点は図1 で T前 が 453 付近，T後 が 476 付近だから T前 ＜ T後
　よって (b) は正
よって ソ＝②

(a)は T前 が 460 より小さい選手では T前後 ≧ 460 の方が厳しい条件になる。どちらの条件が厳しいかを先に見当づけると、数え漏らしに気づきやすい。

＜考え方＞
相関係数 ＝ 共分散 ÷（2 つの標準偏差の積）という定義に代入するだけ。相関係数は必ず −1 以上 1 以下なので、1 を超える選択肢は最初に外せる。

相関係数 r ＝ (共分散)/((T前 の標準偏差)·(T前後 の標準偏差))
　8.3 × 9.3 ＝ 77.19
　r ＝ 72.9/77.19 ＝ 0.944…
最も近い選択肢は 0.94
よって タ＝⑥

1.06、1.38、4.14 は相関係数になり得ない。図2 が右上がりに強く並んでいることからも 1 に近い正の値と見当がつく。

＜考え方＞
外れ値の 2 つの境界値の差をとると、四分位範囲だけの式になる。第 1 四分位数や第 3 四分位数を個別に求める必要はない。

四分位範囲を R とすると
　下の境界 ＝ Q₁ − 1.5R，上の境界 ＝ Q₃ ＋ 1.5R
（上の境界）−（下の境界）＝ (Q₃ − Q₁) ＋ 3R ＝ R ＋ 3R ＝ 4R
与えられた 2 つの値から
　4R ＝ 29.835 − 29.315 ＝ 0.520
　R ＝ 0.130
よって チ＝1、ツ＝3

差をとると Q₃ − Q₁ ＝ R がそのまま現れるのが要点。外れ値が下に 2 個、上に 1 個という情報は答えには使わない。

＜考え方＞
(a)は「29 秒より速いタイム」が白丸だけかどうかを、箱ひげ図の左のひげの先（外れ値を除いた最小値）で確かめる。下から 2 行の 26 位・21 位は左のひげが 27 秒台前半まで伸びており、29 秒より速いのに外れ値ではないタイムが実際にあるので (a) は誤。(b)は分散と四分位範囲が別の散らばりの指標であることに戻り、反例を 1 組さがす。図3 は上から分散が小さい順なので下の行ほど分散は大きいが、上から 5 行目の 4 位は箱の幅が上から 2〜4 行目の 6 位・14 位・12 位よりはっきり狭い。分散は大きいのに四分位範囲は小さいので (b) は正。したがって組合せは②。

「分散が大きければ四分位範囲も大きい」は成り立たない。分散は外れ値を含む 30 個すべてから計算され、四分位範囲は中央付近の半分だけで決まるので、順序が入れ替わることがある。

＜考え方＞
図3 の行の並びが「上から分散が小さい順」なので、上から 14 行のうち 1 位〜8 位が何人いるかを数えるだけ。割合の比較では分母が 8 と 20 で違うことに注意する。

図3 の上から 14 行の順位を順に読むと
　1位，6位，14位，12位，4位，3位，2位，20位，9位，19位，15位，24位，8位，5位
このうち決勝進出グループ（1 位〜8 位）は
　1位，6位，4位，3位，2位，8位，5位 の 7 人
　n ＝ 7
確認：8 − n ＝ 1（15 行目以降にいる 1 位〜8 位 は 7 位 の 1 人だけ）
　　　14 − n ＝ 7，6 ＋ n ＝ 13 で表2 の 20 人と合う
P ＝ n/8 ＝ 7/8 ＝ 0.875
Q ＝ (14 − n)/20 ＝ 7/20 ＝ 0.35
0.875 ＞ 0.35 より P ＞ Q
よって ト＝7、ナ＝②

8 − n ＝ 1 を別に数えて確かめると、14 行の読み取りミスに気づける。人数はどちらも 7 人だが、分母が 8 と 20 で違うので割合は等しくならない。

＜考え方＞
I は △ABC の内心であり、内心は 3 つの内角の二等分線の交点である。したがって直線BI は ∠ABC を 2 等分する。⓪は BI が直線AC と垂直になる理由がない。①は BI と AC がどちらも平面ABC 上にあるのでねじれの位置ではない。③は BI が辺AC の中点を通るのは AB ＝ BC のときで、AB ＝ 10、BC ＝ 12 なので成り立たない。よって②。

内心は内角の二等分線の交点、外心は各辺の垂直二等分線の交点、重心は中線の交点。どの心の性質を使うのかを最初に確かめておくと選択肢が一気に落ちる。

＜考え方＞
三角形の内角の二等分線が対辺を分ける比の性質を △ABD で使う。AD の長さは、二等辺三角形の対称性から D が BC の中点になることを使って出す。

AB ＝ AC ＝ 10 の二等辺三角形で，AI は ∠A の二等分線
　⇒ 直線AI は BC の垂直二等分線なので D は BC の中点
　BD ＝ DC ＝ 6，∠ADB ＝ 90°
AD ＝ √(AB² − BD²) ＝ √(100 − 36) ＝ √64 ＝ 8
△ABD で BI は ∠ABD の二等分線だから
　AI : ID ＝ BA : BD ＝ 10 : 6 ＝ 5 : 3
AD ＝ 8 を 5 : 3 に分けて
　AI ＝ 8 × 5/8 ＝ 5，ID ＝ 8 × 3/8 ＝ 3
よって イ＝5、ウ＝3

内接円の半径 r で検算できる。△ABC の面積は (1/2)·12·8 ＝ 48、s ＝ (10 ＋ 10 ＋ 12)/2 ＝ 16 なので r ＝ 48/16 ＝ 3 となり、ID ＝ 3 と一致する。

＜考え方＞
まず P, E, A, I, D がすべて 1 つの平面（直線AD と点 P で決まる平面）の上にあることを押さえる。条件 ∠PED ＝ ∠PID は「線分PD を E と I から同じ側で見た角が等しい」ことなので、円周角の定理の逆から 4 点 E, I, D, P が同一円周上にあると分かる。あとは点 A の方べきの定理。

E は辺PA 上，A・I・D は一直線上なので
　P, E, A, I, D は直線AD と点 P で決まる 1 つの平面上にある
∠PED ＝ ∠PID は，線分PD を E と I から同じ側で見た角が等しいということ
　⇒ 円周角の定理の逆より 4 点 E, I, D, P は同一円周上にある　⇒ エ＝④
この円について点 A の方べきの定理を使う
　直線AEP と直線AID はどちらも A を通り，この円と 2 点で交わるので
　AE·AP ＝ AI·AD ＝ 5 × 8 ＝ 40
よって エ＝④、オ＝4、カ＝0

A と G はどちらも I, D と同じ直線上にあるので、この 3 点と同じ円周上に並ぶことはない。B と C は平面PAD 上にないので候補から外れる。選択肢を 1 つずつ落とせば P に決まる。

＜考え方＞
仮定 1 の比を使うので、D, F, E が一直線上にあることに着目して △API にメネラウスの定理を当てる。この直線は辺AP を E、辺PI を F、辺IA の延長を D で切っている。

D, F, E は一直線上にあり，この直線は
　△API の辺AP を E で，辺PI を F で，辺IA の延長を D で切る
メネラウスの定理より
　(AE/EP)·(PF/FI)·(ID/DA) ＝ 1
仮定1より IF : FP ＝ 3 : 2 なので PF/FI ＝ 2/3
(1)より ID ＝ 3，DA ＝ 8 なので ID/DA ＝ 3/8
　(AE/EP) × (2/3) × (3/8) ＝ 1
　(AE/EP) × (1/4) ＝ 1
　AE/EP ＝ 4
　PE : EA ＝ 1 : 4
よって キ＝1、ク＝4

メネラウスの定理は「切られている 3 直線が辺またはその延長になっている三角形」を探して当てる。ここでは A, P, I が頂点で、D は辺IA の延長上にある。

＜考え方＞
(1)で得た AE·AP ＝ 40 に PE : EA ＝ 1 : 4 を入れる。AE が AP の 4/5 倍と書けるので AP² が決まる。

PE : EA ＝ 1 : 4 より AE ＝ (4/5)AP
(1)より AE·AP ＝ 40 なので
　(4/5)AP · AP ＝ 40
　(4/5)AP² ＝ 40
　AP² ＝ 50
　AP ＝ 5√2（AP ＞ 0）
よって ケ＝5、コ＝2

AE ＝ (4/5)·5√2 ＝ 4√2、PE ＝ √2 となり、AE·AP ＝ 4√2 × 5√2 ＝ 40 と合う。AE と PE のどちらが 4 倍かを取り違えないよう、比の向きを確認する。

＜考え方＞
PG が底面に垂直なので、三角錐PABC の高さは PG そのもの。G が △IBC の重心であることから AG を出し、直角三角形APG で PG を求める。

G は △IBC の重心，D は BC の中点なので G は中線ID を 2 : 1 に内分する点
　ID ＝ 3 より IG ＝ 2，GD ＝ 1
　AG ＝ AI ＋ IG ＝ 5 ＋ 2 ＝ 7（AG ＝ AD − GD ＝ 8 − 1 ＝ 7 でも同じ）
PG ⊥ 平面ABC より PG ⊥ AG なので △APG は ∠AGP ＝ 90° の直角三角形
　PG ＝ √(AP² − AG²) ＝ √(50 − 49) ＝ 1
△ABC ＝ (1/2)·BC·AD ＝ (1/2)·12·8 ＝ 48
V₁ ＝ (1/3)·48·1 ＝ 16
よって サ＝1、シ＝6

重心は中線を頂点から 2 : 1 に内分する。G が直線AD 上にあることに気づけば、AG も PG も 1 つの直角三角形で片づく。

＜考え方＞
仮定が変わっても筋道は同じ。メネラウスの定理で PE : EA を出し、AE·AP ＝ 40 から AP、直角三角形APG から高さ PG を求める。AE·AP ＝ 40 と AG ＝ 7 は仮定に関係なく決まるので、IF : FP が実質的に三角錐の高さを決める条件になっている。

仮定2より IF : FP ＝ 1 : 3 なので PF/FI ＝ 3
メネラウスの定理（△API と直線DFE）より
　(AE/EP) × 3 × (3/8) ＝ 1
　(AE/EP) × (9/8) ＝ 1
　AE/EP ＝ 8/9
　PE : EA ＝ 9 : 8 なので AE ＝ (8/17)AP
AE·AP ＝ 40 より
　(8/17)AP² ＝ 40
　AP² ＝ 85
高さ PG ＝ √(AP² − AG²) ＝ √(85 − 49) ＝ √36 ＝ 6
V₂ ＝ (1/3)·48·6 ＝ 96
V₂ : V₁ ＝ 96 : 16 ＝ 6 : 1
96 ＞ 16 より V₂ は V₁ より大きい
よって ス＝6、セ＝1、ソ＝②

変わるのは PE : EA だけで、AE·AP ＝ 40 と AG ＝ 7 は共通。F が P に近づくほど AP が長くなり、高さも体積も大きくなる。

＜考え方＞
各対戦の結果は互いに影響しないので、独立な試行の確率の積で求める。A が 2 勝 0 敗なら勝ち数が一番多い人は A だけなので、抽選を経ずに優勝が決まる。

A が B に勝つ確率は 2/3，A が C に勝つ確率は 2/3
（A が 2 勝 0 敗）＝ (2/3) × (2/3) ＝ 4/9
このとき A の 2 勝が単独最多なので抽選はなく，A が優勝する
よって ア＝4、イ＝9

B と C の対戦は A が 2 勝 0 敗かどうかに関係しないので、確率を掛ける必要がない（掛けても和が 1 になるので結果は同じ）。

＜考え方＞
表2 は 3 つの対戦の勝敗をすべて指定しているので、3 つの確率の積になる。抽選の確率は勝ち数が一番多い人の人数 n で決まり、ここでは 3 人なので 1/3。

表2 の対戦結果は「A が B に勝つ」「A が C に負ける」「B が C に勝つ」
　(2/3) × (1/3) × (1/2) ＝ 2/18 ＝ 1/9
この対戦結果では A, B, C がすべて 1 勝 1 敗で，勝ち数が一番多い人は 3 人
　抽選で A が選ばれる確率は 1/3
　(1/9) × (1/3) ＝ 1/27
よって ウ＝1、エ＝9、オ＝1、カ＝3

A が負ける確率は 1 − 2/3 ＝ 1/3。A 以外どうしの対戦はどちらが勝つ確率も 1/2 なので、B が C に勝つ確率は 1/2 である。

＜考え方＞
A が 1 勝 1 敗で優勝するには B も C も 1 勝 1 敗でなければならない。A が勝つ相手が B か C の 2 通りで、どちらも確率は同じ形になる。

A が 1 勝 1 敗で優勝する対戦結果は，A が勝つ相手が B か C の 2 通り
・A が B に勝ち C に負けるとき，B が C に勝つ（表2）
・A が C に勝ち B に負けるとき，C が B に勝つ
どちらも確率は (2/3) × (1/3) × (1/2) ＝ 1/9，抽選で A が選ばれる確率は 1/3
　2 × (1/9) × (1/3) ＝ 2/27
よって キ＝2、ク＝2、ケ＝7

(i)と合わせると、3 人でリーグ戦を行うとき A が優勝する確率は 4/9 ＋ 2/27 ＝ 12/27 ＋ 2/27 ＝ 14/27 となる。この値を(2)の最後で 4 人の場合と比べる。

＜考え方＞
D が全敗とは、D が 3 つの対戦すべてに負けること。A 対 D だけは A の勝率 2/3 を使い、B 対 D と C 対 D は 1/2 を使う。

D が全敗 ⇔ A が D に勝ち，B が D に勝ち，C が D に勝つ
　(2/3) × (1/2) × (1/2) ＝ 2/12 ＝ 1/6
よって コ＝1、サ＝6

D が負ける確率を一律 1/2 として (1/2)³ ＝ 1/8 とするのが典型的な誤り。A が相手のときだけ確率が違うことを忘れない。

＜考え方＞
D が全敗のとき、残るのは A, B, C どうしの 3 試合で、確率の設定は(1)の 3 人リーグとまったく同じ。D は 0 勝なので抽選の対象にもならず、(1)(ii)で求めた 2/27 がそのまま使える。

D が全敗のとき D は 0 勝で抽選の対象外
　A, B, C はそれぞれ D に勝って 1 勝を持っている
A が 2 勝 1 敗で優勝するには，A, B, C どうしの 3 試合で A が 1 勝 1 敗であることが必要
　このとき B, C も 1 勝 1 敗でなければ A は優勝できない
　これは(1)の(ii)と同じ状況なので，その確率は 2/27
D が全敗で，かつ A が 2 勝 1 敗で優勝する確率
　(1/6) × (2/27) ＝ 2/162 ＝ 1/81
全敗する人は B, C, D の 3 通りで，2 人以上が同時に全敗することはないので
　3 × (1/81) ＝ 3/81 ＝ 1/27
よって シ＝1、ス＝2、セ＝7

A, B, C の中で A が 1 勝 1 敗のとき、B と C の勝ち数の和は 4 になる。一方が 3 勝だと A は優勝できないので、B も C も 2 勝、つまり 3 人とも 1 勝 1 敗に限られる。

＜考え方＞
A が B に負け C, D に勝つ場合を固定し、残る 3 試合（B 対 C、B 対 D、C 対 D）の 2³ ＝ 8 通りを書き出す。そこから「B が単独最多になる」ものと「全敗する人が出る」ものを落とす。

A が B に負け C, D に勝つので A は 2 勝 1 敗，B は A に勝って 1 勝
残る 3 試合の勝敗は 2³ ＝ 8 通り，勝ち数を（A, B, C, D）で書くと
①B→C，B→D，C→D：(2, 3, 1, 0) B が単独最多で D が全敗 → 不適
②B→C，B→D，D→C：(2, 3, 0, 1) B が単独最多で C が全敗 → 不適
③B→C，D→B，C→D：(2, 2, 1, 1) 全敗なし，A と B が最多 → 適
④B→C，D→B，D→C：(2, 2, 0, 2) C が全敗 → 不適
⑤C→B，B→D，C→D：(2, 2, 2, 0) D が全敗 → 不適
⑥C→B，B→D，D→C：(2, 2, 1, 1) 全敗なし，A と B が最多 → 適
⑦C→B，D→B，C→D：(2, 1, 2, 1) 全敗なし，A と C が最多 → 適
⑧C→B，D→B，D→C：(2, 1, 1, 2) 全敗なし，A と D が最多 → 適
適するのは ③⑥⑦⑧ の 4 通り
よって ソ＝4

落ちるのは B が 3 勝になる 2 通りと、C または D が全敗になる 2 通り。適する 4 通りではいつも A ともう 1 人の 2 人が並ぶので、抽選はすべて 2 人から 1 人を選ぶ形になる。

＜考え方＞
A の 3 試合の確率、残り 3 試合が前問の 4 通りになる確率、抽選で A が選ばれる確率 1/2 を掛ける。最後に A が負ける相手が B, C, D の 3 通りあることを掛ける。

A が B に負け C, D に勝つ確率
　(1/3) × (2/3) × (2/3) ＝ 4/27
残る 3 試合はどの結果も確率 (1/2)³ ＝ 1/8 で，適するのは 4 通り
　4 × (1/8) ＝ 1/2
どの場合も勝ち数が一番多い人は 2 人なので，抽選で A が選ばれる確率は 1/2
　(4/27) × (1/2) × (1/2) ＝ 4/108 ＝ 1/27
A が負ける相手は B, C, D の 3 通りで，同時には起こらないので
　3 × (1/27) ＝ 1/9
よって タ＝1、チ＝9

(i)と合わせると、A が 2 勝 1 敗で優勝する確率は 1/27 ＋ 1/9 ＝ 1/27 ＋ 3/27 ＝ 4/27 になる。全敗者がいるときは抽選が 3 人、いないときは 2 人であることが違いの正体。

＜考え方＞
A が優勝するのは 3 勝 0 敗か 2 勝 1 敗のときだけである。3 勝 0 敗の確率を足して合計を出し、(1)で求めた 14/27 と分母をそろえて比べる。

A が 3 勝 0 敗 ＝ (2/3)³ ＝ 8/27（単独最多なので抽選なしで優勝）
A が 2 勝 1 敗で優勝 ＝ 1/27 ＋ 1/9 ＝ 4/27
A が 1 勝 2 敗以下では優勝しない
　（勝ち数の合計は 6 で，A が 1 勝なら残り 5 勝を 3 人で分けるので 2 勝以上の人がいる）
4 人のとき A が優勝する確率
　8/27 ＋ 4/27 ＝ 12/27 ＝ 4/9
3 人のときは(1)より 14/27，4 人のときは 12/27 なので
　14/27 − 12/27 ＝ 2/27
4 人のときの方が 2/27 だけ小さい
よって ツ＝4、テ＝9、ト＝2、ナ＝2、ニ＝7、ヌ＝⓪

4/9 と 14/27 を比べるときは分母を 27 にそろえる。人数が増えると A より勝ち数の多い人が現れる機会が増えるので、A の優勝確率は下がる。