2017年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ・A」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2017年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ・数学A」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問・第２問は必答、第３問〜第５問は２問を選択して解答します（計４問・100点）。当サイトでは選択問題の３題すべてを解説しています。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 数と式（x² ＋ 4/x² ＝ 9 から３乗・４乗へ）
x² ＋ 4/x² ＝ 9 という条件から出発して、x ＋ 2/x、x³ ＋ 8/x³、x⁴ ＋ 16/x⁴ と次数を上げていく設問です。「2乗すると x² と 4/x² のほかに定数が出てくる」という形を、そのつど使い回すのがポイントです。
アイ：正解 13（配点3）
＜問題要旨＞
x は正の実数で x² ＋ 4/x² ＝ 9 を満たすとき、(x ＋ 2/x)² の値を求めます。
＜考え方＞
展開すると x² と 4/x² が現れ、残りは定数項になります。
(x + 2/x)² ＝ x² + 2 × x × (2/x) + 4/x²
＝ x² + 4/x² + 4
＝ 9 + 4
＝ 13
よって アイ ＝ 13
ウ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
x³ ＋ 8/x³ を (x ＋ 2/x)(x² ＋ 4/x² − ウ) の形に表したときの ウ を求めます。
＜考え方＞
a³ ＋ b³ ＝ (a ＋ b)(a² − ab ＋ b²) に a ＝ x、b ＝ 2/x を当てはめます。ab の値が ウ になります。
a ＝ x, b ＝ 2/x とおくと
ab ＝ x × 2/x ＝ 2
a² + b² ＝ x² + 4/x²
a³ + b³ ＝ (a + b)(a² − ab + b²)
＝ (x + 2/x)(x² + 4/x² − 2)
よって ウ ＝ 2
エ√オカ：正解 7√13（配点3）
＜問題要旨＞
x³ ＋ 8/x³ の値を求めます。
＜考え方＞
前問で作った式に、x ＋ 2/x ＝ √13 と x² ＋ 4/x² ＝ 9 を代入します。x が正であることから、x ＋ 2/x は正の平方根をとります。
x > 0 より x + 2/x > 0 で、(x + 2/x)² ＝ 13 だから
x + 2/x ＝ √13
x³ + 8/x³ ＝ (x + 2/x)(x² + 4/x² − 2)
＝ √13 × (9 − 2)
＝ 7√13
よって エ√オカ ＝ 7√13
キク：正解 73（配点3）
＜問題要旨＞
x⁴ ＋ 16/x⁴ の値を求めます。
＜考え方＞
今度は x² ＋ 4/x² を2乗します。ここでも 2 × x² × 4/x² ＝ 8 という定数が出てきます。
(x² + 4/x²)² ＝ x⁴ + 2 × x² × (4/x²) + 16/x⁴
＝ x⁴ + 16/x⁴ + 8
左辺は 9² ＝ 81 だから
x⁴ + 16/x⁴ ＝ 81 − 8 ＝ 73
よって キク ＝ 73
第１問 〔２〕 集合と命題（必要条件・十分条件と対偶）
p：x ＝ 1、q：x² ＝ 1 という単純な2つの条件で、必要条件・十分条件を判定します。「p または q の否定」のように組み合わさった条件は、まず x がどんな範囲かに言い換えてしまうと迷いません。
ケ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
「q は p であるための ケ 」に当てはまるものを、必要条件・十分条件の4つの選択肢から選びます。
＜考え方＞
「q は p であるための」という言い方では、q が仮定の側です。q ⟹ p が真なら十分条件、p ⟹ q が真なら必要条件になります。両方向を別々に調べます。
p ⟹ q : x ＝ 1 ならば x² ＝ 1 … 真 q ⟹ p : x² ＝ 1 ならば x ＝ 1 … 偽（x ＝ −1 が反例） p ⟹ q が真だから q は p であるための必要条件 q ⟹ p は偽だから十分条件ではない よって ケ ＝ ⓪
コ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
「p の否定は q であるための コ 」に当てはまるものを選びます。
＜考え方＞
p の否定は「x ≠ 1」です。この条件と q（x ＝ ±1）の間で、両方向の含意を調べます。
p の否定 ：x ≠ 1 q ：x² ＝ 1 すなわち x ＝ 1 または x ＝ −1 (x ≠ 1) ⟹ (x² ＝ 1) … 偽（x ＝ 2 が反例） (x² ＝ 1) ⟹ (x ≠ 1) … 偽（x ＝ 1 が反例） どちらも偽なので、必要条件でも十分条件でもない よって コ ＝ ③
サ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
「(p または q の否定) は q であるための サ 」に当てはまるものを選びます。
＜考え方＞
まず「p または (q でない)」がどんな x の範囲になるかを整理します。x ＝ 1 を含み、x ≠ ±1 も含むので、結局 x ＝ −1 だけが除かれます。
p ：x ＝ 1
q の否定 ：x² ≠ 1 すなわち x ≠ 1 かつ x ≠ −1
p または (q の否定) ＝ 「x ＝ 1」または「x ≠ ±1」
＝ 「x ≠ −1」
(x ≠ −1) ⟹ (x² ＝ 1) … 偽（x ＝ 2 が反例）
(x² ＝ 1) ⟹ (x ≠ −1) … 偽（x ＝ −1 が反例）
どちらも偽なので、必要条件でも十分条件でもない
よって サ ＝ ③
シ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
「(p の否定 かつ q) は q であるための シ 」に当てはまるものを選びます。
＜考え方＞
「x ≠ 1 かつ x ＝ ±1」を満たす x は −1 だけです。ここまで絞れれば含意の判定はすぐつきます。
(p の否定) かつ q ＝ 「x ≠ 1」かつ「x ＝ ±1」
＝ 「x ＝ −1」
(x ＝ −1) ⟹ (x² ＝ 1) … 真
(x² ＝ 1) ⟹ (x ＝ −1) … 偽（x ＝ 1 が反例）
よって十分条件だが必要条件ではない
シ ＝ ①
ス：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
r：x > 0 とするとき、3つの命題 A「(p かつ q) ⟹ r」、B「q ⟹ r」、C「(q の否定) ⟹ (p の否定)」の真偽の組合せを選びます。
＜考え方＞
A は仮定を x の条件に直せばすぐ判定できます。C は「p ⟹ q」の対偶になっていることに気づくと、計算せずに真と分かります。
A : (p かつ q) ＝ 「x ＝ 1 かつ x² ＝ 1」＝ 「x ＝ 1」
x ＝ 1 ならば x > 0 … 真
B : x² ＝ 1 ならば x > 0 … 偽（x ＝ −1 が反例）
C : (q の否定) ⟹ (p の否定) は 「p ⟹ q」の対偶
p ⟹ q は真だから、その対偶である C も真
A は真, B は偽, C は真
よって ス ＝ ②
第１問 〔３〕 ２次関数（係数に a を含む放物線の頂点）
係数に文字 a を含む2次関数の頂点を求め、a が動くとその頂点がどこまで動くかを調べる設問です。頂点の y 座標は t ＝ a² と置き換えると、t についての2次関数になります。t ≧ 0 という範囲の制約を落とさないことが最後の山場です。
セ，ソ：正解 3，5（配点2）
＜問題要旨＞
g(x) ＝ x² − 2(3a² ＋ 5a)x ＋ 18a⁴ ＋ 30a³ ＋ 49a² ＋ 16 のグラフの頂点の x 座標を、a の式で表します。
＜考え方＞
x² − 2mx ＋ … の形なので、平方完成するまでもなく頂点の x 座標は m です。
g(x) ＝ x² − 2(3a² + 5a)x + (定数項)
＝ {x − (3a² + 5a)}² − (3a² + 5a)² + (定数項)
頂点の x 座標 ＝ 3a² + 5a
よって セ ＝ 3, ソ ＝ 5
タ，チツ，テト：正解 9，24，16（配点2）
＜問題要旨＞
頂点の y 座標を a の式で表します。
＜考え方＞
上の平方完成の残り、つまり (定数項) − (3a² ＋ 5a)² を計算します。(3a² ＋ 5a)² の展開で a³ の項が消えるのがポイントです。
(3a² + 5a)² ＝ 9a⁴ + 30a³ + 25a² 頂点の y 座標 ＝ (18a⁴ + 30a³ + 49a² + 16) − (9a⁴ + 30a³ + 25a²) ＝ 9a⁴ + 24a² + 16 よって タ ＝ 9, チツ ＝ 24, テト ＝ 16
ナニ／ヌネ：正解 25／12（配点3）
＜問題要旨＞
a が実数全体を動くときの、頂点の x 座標の最小値を求めます。答えは −ナニ／ヌネ の形です。
＜考え方＞
頂点の x 座標 3a² ＋ 5a を、a について平方完成します。a² の係数が 3 なので、まず 3 でくくります。
3a² + 5a ＝ 3(a² + (5/3)a)
＝ 3{(a + 5/6)² − 25/36}
＝ 3(a + 5/6)² − 25/12
a ＝ −5/6 のとき最小値 −25/12
よって ナニ／ヌネ ＝ 25／12（最小値は −25/12）
ノハ：正解 16（配点3）
＜問題要旨＞
a が実数全体を動くときの、頂点の y 座標の最小値を求めます。
＜考え方＞
t ＝ a² とおくと y ＝ 9t² ＋ 24t ＋ 16 ＝ (3t ＋ 4)² と完全平方になります。ここで t ＝ a² は 0 以上しかとれないので、t ＝ 0 のときが最小です。9t² ＋ 24t ＋ 16 の頂点（t ＝ −4/3）は範囲の外にあります。
t ＝ a² とおくと t ≧ 0 y ＝ 9t² + 24t + 16 ＝ (3t + 4)² t ≧ 0 では 3t + 4 ≧ 4 で、t ＝ 0 のとき最小 y の最小値 ＝ 4² ＝ 16 （このとき a ＝ 0） よって ノハ ＝ 16
第２問 〔１〕 図形と計量（余弦定理・正弦定理と面積）
AB ＝ √3 − 1、BC ＝ √3 ＋ 1 という、足すと √3 が消え、掛けると 2 になる2辺が与えられています。この打ち消し合いのおかげで、余弦定理も正弦定理も数値がきれいに収まります。後半は面積から辺の長さを逆算します。
√ア：正解 √6（配点3）
＜問題要旨＞
AB ＝ √3 − 1、BC ＝ √3 ＋ 1、∠ABC ＝ 60° の △ABC で、AC の長さを求めます。
＜考え方＞
2辺とその間の角が分かっているので余弦定理です。AB² と BC² を足すと √3 の項が打ち消し合い、AB × BC は 2 になります。
AB² ＝ (√3 − 1)² ＝ 4 − 2√3
BC² ＝ (√3 + 1)² ＝ 4 + 2√3
AB × BC ＝ (√3 − 1)(√3 + 1) ＝ 3 − 1 ＝ 2
AC² ＝ AB² + BC² − 2 × AB × BC × cos60°
＝ (4 − 2√3) + (4 + 2√3) − 2 × 2 × (1/2)
＝ 8 − 2 ＝ 6
AC ＝ √6
よって ア ＝ 6
√イ：正解 √2（配点3）
＜問題要旨＞
△ABC の外接円の半径を求めます。
＜考え方＞
向かい合う辺と角の組（AC と ∠ABC）が分かっているので、正弦定理をそのまま当てはめます。
正弦定理より AC / sin∠ABC ＝ 2R 2R ＝ √6 ÷ sin60° ＝ √6 ÷ (√3/2) ＝ 2√6/√3 ＝ 2√2 R ＝ √2 よって イ ＝ 2
(√ウ＋√エ)／オ：正解 (√2＋√6)／4（配点3）
＜問題要旨＞
sin∠BAC の値を求めます。
＜考え方＞
∠BAC と向かい合うのは辺 BC です。外接円の半径が出ているので、BC に正弦定理を当てはめ、最後に分母を有理化します。
正弦定理より
BC / sin∠BAC ＝ 2R ＝ 2√2
sin∠BAC ＝ BC / (2√2)
＝ (√3 + 1)/(2√2)
＝ (√3 + 1) × √2 / 4
＝ (√6 + √2)/4
よって (√ウ + √エ)/オ ＝ (√2 + √6)/4
(カ√キ−ク)／ケ：正解 (2√3−2)／3（配点3）
＜問題要旨＞
辺 AC 上に点 D を、△ABD の面積が √2/6 になるようにとるとき、AB・AD の値を求めます。
＜考え方＞
D は辺 AC 上にあるので、∠BAD は ∠BAC と同じ角です。面積の公式に前問の sin∠BAC をそのまま入れて、AB・AD について解きます。
D は辺 AC 上にあるから ∠BAD ＝ ∠BAC
△ABD ＝ (1/2) × AB × AD × sin∠BAC ＝ √2/6
(1/2) × AB・AD × (√6 + √2)/4 ＝ √2/6
AB・AD ＝ (√2/6) × 8/(√6 + √2)
＝ (4√2/3) × (√6 − √2)/{(√6 + √2)(√6 − √2)}
＝ (4√2/3) × (√6 − √2)/4
＝ √2(√6 − √2)/3
＝ (√12 − 2)/3
＝ (2√3 − 2)/3
よって (カ√キ − ク)/ケ ＝ (2√3 − 2)/3
コ／サ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
AD の長さを求めます。
＜考え方＞
前問で求めた AB・AD を AB ＝ √3 − 1 で割るだけです。分子を 2(√3 − 1) と見ると、約分できることがすぐ分かります。
AB・AD ＝ (2√3 − 2)/3 ＝ 2(√3 − 1)/3
AD ＝ AB・AD ÷ AB
＝ {2(√3 − 1)/3} ÷ (√3 − 1)
＝ 2/3
よって コ/サ ＝ 2/3
第２問 〔２〕 データの分析（スキージャンプの得点）
スキージャンプ58本のジャンプについて、飛距離から決まる得点 X、空中姿勢から決まる得点 Y、飛び出す速度 V を扱います。前半は散布図の読み取り、中盤は「変量を1次式で変換すると分散・共分散・相関係数がどう変わるか」、後半はヒストグラムと箱ひげ図の対応です。計算はほとんどなく、定義を正確に覚えているかで差がつきます。
シ，ス，セ：正解 ①，④，⑥（配点6）
＜問題要旨＞
図1の3つの散布図（X と V、Y と V、X と Y）から読み取れる正しい記述を3つ選びます。
＜考え方＞
「相関が強い」は点の集まり方、「最大」「最小」「すべて」を含む記述は該当する点を1つずつ確かめます。とくに⑤のように「すべて」と言い切る記述は、反例を1つ見つければ切れます。
⓪ X と V は大きく散らばり、X と Y は右上がりに集まっている → X と V のほうが強い、は誤り ① X と Y の散布図は右上がり → 正の相関がある … 正しい ② V が最大（約94.2）のジャンプの X は約59。X の最大は約87 … 誤り ③ V が最大のジャンプの Y は約51.5。Y の最大は約58.5 … 誤り ④ Y が最小（約50）のジャンプの X は約56.5。X の最小は約53 … 正しい ⑤ X が80以上の5点のうち、X ＝ 87 の点は V が93より小さい … 誤り ⑥ V が94以上の点は2つで、Y はどちらも55未満 … 正しい よって シ, ス, セ ＝ ①, ④, ⑥
ソ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
X ＝ 1.80 ×(D − 125.0)＋ 60.0 のとき、X の分散は D の分散の何倍かを選びます。
＜考え方＞
変量を a 倍して定数を足したとき、定数は散らばりに影響せず、分散は a² 倍になります。
X ＝ 1.80 × D + (定数) 分散は a 倍すると a² 倍、定数を足しても変わらない 1.80² ＝ 3.24 よって ソ ＝ ④（3.24）
タ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
X と Y の共分散は、D と Y の共分散の何倍かを選びます。
＜考え方＞
共分散は「2つの変量それぞれの偏差の積の平均」です。片方だけを 1.80 倍すると、偏差の積も 1.80 倍になります。
X の偏差 ＝ 1.80 ×（D の偏差）
共分散 ＝（X の偏差）×（Y の偏差）の平均
＝ 1.80 ×｛（D の偏差）×（Y の偏差）の平均｝
＝ 1.80 ×（D と Y の共分散）
よって タ ＝ ③（1.80）
チ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
X と Y の相関係数は、D と Y の相関係数の何倍かを選びます。
＜考え方＞
相関係数は共分散を2つの標準偏差の積で割ったものです。分子も分母も同じ 1.80 倍になるので、値は変わりません。
相関係数 ＝ 共分散 ÷（X の標準偏差 × Y の標準偏差） 分子（共分散）は 1.80 倍 X の標準偏差も 1.80 倍（分散が 1.80² 倍だから） 分子と分母が同じ倍率なので相関係数は変わらない よって チ ＝ ②（1）
ツ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
1回目の X ＋ Y について、ヒストグラム（図2のA・B）と箱ひげ図（図3のa・b）の正しい組合せを選びます。
＜考え方＞
手がかりは「1回目の X ＋ Y の最小値は108.0」という一文だけです。最小値が108なら、105以上110未満の階級に最小のデータが入り、それより下の階級の度数は0になります。箱ひげ図も左端が108のものを選びます。
ヒストグラム
A：105以上110未満に1個、それより下は度数0
→ 最小値は105以上110未満 … 合う
B：100以上105未満に1個
→ 最小値は105未満 … 合わない
箱ひげ図
a：左端（最小値）が約108 … 合う
b：左端が約104 … 合わない
よって 1回目は A と a の組合せ
ツ ＝ ⓪
テ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
図3の2つの箱ひげ図から読み取れる正しい記述を選びます。
＜考え方＞
前問から a が1回目、b が2回目と決まっています。四分位範囲は箱の横幅、中央値は箱の中の縦線、最大値・最小値はひげの両端で比べます。
a（1回目）：最小 約108、Q1 約115.5、中央値 約124、Q3 約129.5、最大 約143.5 b（2回目）：最小 約104、Q1 約110、中央値 約114、Q3 約125、最大 約141.5 ⓪ 四分位範囲は a 約14 < b 約15 … 誤り ① 中央値は a 約124 > b 約114 … 正しい ② 最大値は a 約143.5 > b 約141.5 … 誤り ③ 最小値は a 約108 > b 約104 … 誤り よって テ ＝ ①
第３問 〔選択問題〕 場合の数と確率（4本のくじを3人が順に引く）
あたり2本・はずれ2本の4本を A、B、C が順に1本ずつ引きます。「少なくとも一方があたり」という事象を、排反な事象の和に分解して扱うのが全体の流れです。最後は3つの条件付き確率を比べますが、実は全部同じ値になります。
ア／イ：正解 5／6（配点2）
＜問題要旨＞
「A、B の少なくとも一方があたりを引く」事象 E₁ の確率を求めます。
＜考え方＞
「少なくとも一方」は余事象「2人ともはずれ」を考えるのが定石です。1度引いたくじは戻さないので、2人目の分母は3になります。
余事象は「A も B もはずれ」 P(A も B もはずれ) ＝ (2/4) × (1/3) ＝ 1/6 P(E₁) ＝ 1 − 1/6 ＝ 5/6 よって ア/イ ＝ 5/6
ウ，エ，オ：正解 ①，③，⑤（配点3）
＜問題要旨＞
「A、B、C の3人で2本のあたりを引く」事象 E を、排反な3つの事象の和事象として表します。
＜考え方＞
3人が3本引いてあたりが2本ということは、3人のうちちょうど1人だけがはずれを引いたということです。「誰がはずれか」で3通りに分かれ、これらは互いに排反になります。
3人で2本のあたりを引く ⟺ 3人が引いた3本の内訳が「あたり2・はずれ1」 ⟺ 3人のうちちょうど1人だけがはずれ ①「A だけがはずれ」 ③「B だけがはずれ」 ⑤「C だけがはずれ」 この3つは互いに排反で、和がちょうど E （⓪②④は「A がはずれ」のような書き方で、 2人以上がはずれの場合も含むため排反にならない） よって ウ, エ, オ ＝ ①, ③, ⑤
カ／キ：正解 1／2（配点2）
＜問題要旨＞
事象 E の確率を求めます。
＜考え方＞
3人で2本のあたりを引くということは、引かれずに残る最後の1本がはずれだということです。4本のうちどれが残るかは同じ確からしさなので、数え上げずに答えが出ます。
3人で2本のあたりを引く ⟺ 最後に残る1本がはずれ 4本のうち最後に残る1本は、どの本も同じ確からしさ はずれは2本だから P(E) ＝ 2/4 ＝ 1/2 よって カ/キ ＝ 1/2
ク／ケ：正解 3／5（配点2）
＜問題要旨＞
事象 E₁ が起こったときに事象 E が起こる条件付き確率を求めます。
＜考え方＞
E が起これば A、B の少なくとも一方は必ずあたりなので、E は E₁ に含まれます。したがって E と E₁ の共通部分は E そのものです。
E は「3人のうち1人だけがはずれ」
A だけはずれ → B はあたり
B だけはずれ → A はあたり
C だけはずれ → A も B もあたり
いずれも E₁ が起こるので、E は E₁ に含まれる
P(E ∩ E₁) ＝ P(E) ＝ 1/2
P(E | E₁) ＝ P(E ∩ E₁) / P(E₁)
＝ (1/2) ÷ (5/6)
＝ 3/5
よって ク/ケ ＝ 3/5
コ，サ，シ：正解 ⓪，③，⑤（配点3）
＜問題要旨＞
「B、C の少なくとも一方があたりを引く」事象 E₂ を、排反な3つの事象の和事象として表します。
＜考え方＞
A がはずれを引くと、残り3本のはずれは1本だけなので、B と C の少なくとも一方は必ずあたりになります。つまり「A がはずれ」はまるごと E₂ に含まれます。残るのは A があたりの場合で、B か C の一方だけがはずれのときです。
⓪「A がはずれ」 → 残り3本はあたり2・はずれ1 → B と C が2本引けば必ず一方はあたり → まるごと E₂ に含まれる A があたりのとき、残り3本はあたり1・はずれ2 B あたり・C はずれ → ⑤「C だけがはずれ」 B はずれ・C あたり → ③「B だけがはずれ」 B も C もはずれ → E₂ ではない ⓪, ③, ⑤ は互いに排反で、和がちょうど E₂ よって コ, サ, シ ＝ ⓪, ③, ⑤
ス／セ：正解 5／6（配点2）
＜問題要旨＞
事象 E₂ の確率を求めます。
＜考え方＞
余事象「B も C もはずれ」を考えます。はずれは2本しかないので、このとき A は必ずあたりを引いています。
余事象は「B も C もはずれ」 このとき A はあたりを引いている P ＝ (2/4) × (2/3) × (1/2) ＝ 1/6 （A あたり → B はずれ → C はずれ） P(E₂) ＝ 1 − 1/6 ＝ 5/6 よって ス/セ ＝ 5/6
ソ／タ：正解 5／6（配点2）
＜問題要旨＞
「A、C の少なくとも一方があたりを引く」事象 E₃ の確率を求めます。
＜考え方＞
同じように余事象「A も C もはずれ」を考えます。このとき B があたりです。引く順番が違うだけで、確率の式は E₂ のときと同じ形になります。
余事象は「A も C もはずれ」 このとき B はあたりを引いている P ＝ (2/4) × (2/3) × (1/2) ＝ 1/6 （A はずれ → B あたり → C はずれ） P(E₃) ＝ 1 − 1/6 ＝ 5/6 よって ソ/タ ＝ 5/6
チ：正解 ⑥（配点4）
＜問題要旨＞
p₁ ＝ P(E|E₁)、p₂ ＝ P(E|E₂)、p₃ ＝ P(E|E₃) の大小関係を選びます。
＜考え方＞
E はどの2人を取り出しても「少なくとも一方はあたり」を満たすので、E₁、E₂、E₃ のどれにも含まれます。つまり3つの条件付き確率は分子がすべて P(E)。分母もここまでの計算ですべて 5/6 と分かっています。
E は「1人だけがはずれ」なので、 どの2人を選んでも少なくとも一方はあたり → E は E₁, E₂, E₃ のいずれにも含まれる → 分子はいずれも P(E) ＝ 1/2 P(E₁) ＝ P(E₂) ＝ P(E₃) ＝ 5/6 p₁ ＝ p₂ ＝ p₃ ＝ (1/2) ÷ (5/6) ＝ 3/5 よって チ ＝ ⑥
第４問 〔選択問題〕 整数の性質（倍数の判定と約数の個数）
前半は4の倍数・9の倍数の判定法を使って、虫食いの数字を決めていきます。後半は 1188 の約数を数え、最後は「すべての約数の積」を2進法で表したときの末尾の0の個数まで問われます。素因数分解した形を最後まで持ち歩くのがコツです。
ア，イ：正解 2，6（配点2）
＜問題要旨＞
百の位が3、十の位が7、一の位が a の3桁の自然数 37a が4で割り切れるような a を求めます。
＜考え方＞
4の倍数かどうかは下2桁だけで決まります。ここでは 70 ＋ a が4の倍数になる a を探します。
4で割り切れる ⟺ 下2桁が4で割り切れる 下2桁は 70 + a 70 ＝ 4 × 17 + 2 だから 70 + a が4の倍数 ⟺ a + 2 が4の倍数 a は 0 〜 9 の数字だから a ＝ 2, 6 （372 ＝ 4 × 93、376 ＝ 4 × 94） よって ア, イ ＝ 2, 6
ウ：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
千の位が7、百の位が b、十の位が5、一の位が c の4桁の自然数 7b5c が、4でも9でも割り切れる (b, c) の組の個数を求めます。
＜考え方＞
4の倍数は下2桁、9の倍数は各位の和で判定します。先に c を2通りに絞ってから、それぞれで b を決めると手早く済みます。
［4の倍数］下2桁 50 + c が4の倍数 50 ＝ 4 × 12 + 2 だから c + 2 が4の倍数 c ＝ 2, 6 ［9の倍数］各位の和 7 + b + 5 + c ＝ 12 + b + c が9の倍数 c ＝ 2 のとき 14 + b が9の倍数 → b ＝ 4 c ＝ 6 のとき 18 + b が9の倍数 → b ＝ 0, 9 (b, c) ＝ (4, 2), (0, 6), (9, 6) の3組 よって ウ ＝ 3
エ，オ：正解 0，6（配点2）
＜問題要旨＞
3組のうち、7b5c の値が最小になる b, c を求めます。
＜考え方＞
千の位と十の位は共通なので、百の位 b が小さいものが最小です。
(b, c) ＝ (4, 2) → 7452 (b, c) ＝ (0, 6) → 7056 (b, c) ＝ (9, 6) → 7956 最小は 7056 よって エ ＝ 0, オ ＝ 6
カ，キ：正解 9，6（配点2）
＜問題要旨＞
3組のうち、7b5c の値が最大になる b, c を求めます。
＜考え方＞
同じく百の位 b で比べます。
3つの値は 7452, 7056, 7956 最大は 7956 よって カ ＝ 9, キ ＝ 6
ク，ケ，コサ：正解 0，6，14（配点3）
＜問題要旨＞
7b5c ＝ (6 × n)² となる b, c と自然数 n を求めます。
＜考え方＞
候補は前問までの3つの数だけです。それぞれが平方数かどうかを、近い整数の2乗と比べて確かめます。
候補は 7452, 7056, 7956 7056 ＝ 84² （84 ＝ 6 × 14） 7452 : 86² ＝ 7396, 87² ＝ 7569 → 平方数でない 7956 : 89² ＝ 7921, 90² ＝ 8100 → 平方数でない よって 7b5c ＝ 7056 ＝ (6 × 14)² ク ＝ 0, ケ ＝ 6, コサ ＝ 14
シス：正解 24（配点2）
＜問題要旨＞
1188 の正の約数の個数を求めます。
＜考え方＞
素因数分解して、各素因数の指数に1を足したものを掛け合わせます。
1188 ＝ 4 × 297
＝ 2² × 27 × 11
＝ 2² × 3³ × 11
約数の個数 ＝ (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1)
＝ 3 × 4 × 2 ＝ 24
よって シス ＝ 24
セソ：正解 16（配点2）
＜問題要旨＞
1188 の正の約数のうち、2の倍数であるものの個数を求めます。
＜考え方＞
約数を 2^p × 3^q × 11^r と書くと、2の倍数になるのは p が1以上のときです。p の選び方だけが減ります。
約数は 2^p × 3^q × 11^r と書ける p ＝ 0, 1, 2 ／ q ＝ 0, 1, 2, 3 ／ r ＝ 0, 1 2の倍数 ⟺ p ≧ 1 すなわち p ＝ 1, 2 の2通り 個数 ＝ 2 × 4 × 2 ＝ 16 よって セソ ＝ 16
タ：正解 8（配点2）
＜問題要旨＞
1188 の正の約数のうち、4の倍数であるものの個数を求めます。
＜考え方＞
同じ考え方で、4の倍数になるのは p が2以上のときです。1188 に含まれる2は2個までなので p ＝ 2 だけです。
4の倍数 ⟺ p ≧ 2 すなわち p ＝ 2 の1通り 個数 ＝ 1 × 4 × 2 ＝ 8 よって タ ＝ 8
チツ：正解 24（配点3）
＜問題要旨＞
1188 のすべての正の約数の積を2進法で表すと、末尾に0が何個連続して並ぶかを求めます。
＜考え方＞
2進法で末尾に0が k 個並ぶのは、その数が 2^k で割り切れて 2^(k+1) では割り切れないとき、つまり素因数2をちょうど k 個もつときです。約数の積は、小さい順と大きい順に組にすると計算できます。
約数を小さい順と大きい順に組にすると 1 × 1188, 2 × 594, 3 × 396, … どの組も積は 1188 約数は24個だから12組できる （すべての約数の積）＝ 1188¹² 1188 ＝ 2² × 3³ × 11 だから 1188¹² ＝ 2²⁴ × 3³⁶ × 11¹² 素因数2の個数はちょうど24 よって2進法で表すと末尾に0が24個並ぶ チツ ＝ 24
第５問 〔選択問題〕 図形の性質（方べきの定理・メネラウスの定理と内心）
AB ＝ 3、BC ＝ 8、AC ＝ 7 の三角形が舞台です。前半は円がからむので方べきの定理、そこからメネラウスの定理へつなぎます。後半は同じ三角形で ∠ABC ＝ 60° を出し、内接円の半径と内心までの距離を求めます。前半と後半で使う道具がはっきり分かれています。
アイ：正解 28（配点3）
＜問題要旨＞
辺 AC 上に AD ＝ 3 となる点 D をとり、△ABD の外接円と直線 BC の交点で B と異なるものを E とするとき、BC・CE の値を求めます。
＜考え方＞
円は A、B、D、E の4点を通ります。点 C から出る2本の直線がそれぞれ円と2点で交わっているので、方べきの定理がそのまま使えます。
円は A, B, D, E を通る 点 C を通る2直線 直線 CA … 円と A, D で交わる 直線 CB … 円と B, E で交わる 方べきの定理より CA × CD ＝ CB × CE CD ＝ AC − AD ＝ 7 − 3 ＝ 4 CA × CD ＝ 7 × 4 ＝ 28 よって BC・CE ＝ 28（アイ ＝ 28）
ウ／エ：正解 7／2（配点3）
＜問題要旨＞
CE の長さを求めます。
＜考え方＞
前問の積の値を BC ＝ 8 で割るだけです。
BC × CE ＝ 28、BC ＝ 8 だから CE ＝ 28 ÷ 8 ＝ 7/2 よって ウ/エ ＝ 7/2
オカ／キ：正解 12／7（配点3）
＜問題要旨＞
直線 AB と直線 DE の交点を F とするとき、BF/AF の値を求めます。
＜考え方＞
D は辺 AC 上、E は辺 BC 上、F は直線 AB 上にあり、この3点は一直線に並んでいます。△ABC と直線 DEF にメネラウスの定理を当てはめます。先に BE を出しておきます。
CE ＝ 7/2 で E は線分 BC 上にあるから BE ＝ BC − CE ＝ 8 − 7/2 ＝ 9/2 △ABC と直線 D-E-F にメネラウスの定理 (AF/FB) × (BE/EC) × (CD/DA) ＝ 1 (AF/FB) × (9/2)/(7/2) × (4/3) ＝ 1 (AF/FB) × (9/7) × (4/3) ＝ 1 (AF/FB) × (12/7) ＝ 1 AF/FB ＝ 7/12 よって BF/AF ＝ 12/7
クケ／コ：正解 21／5（配点3）
＜問題要旨＞
AF の長さを求めます。
＜考え方＞
BF/AF ＝ 12/7 は1より大きいので BF のほうが長く、F は辺 AB の A 側の延長上にあります。したがって BF ＝ AB ＋ AF と書けます。
BF/AF ＝ 12/7 > 1 だから BF > AF よって F は辺 AB の A 側の延長上にあり BF ＝ AB + AF ＝ 3 + AF (3 + AF)/AF ＝ 12/7 7(3 + AF) ＝ 12 AF 21 + 7 AF ＝ 12 AF 21 ＝ 5 AF AF ＝ 21/5 よって クケ/コ ＝ 21/5
サシ：正解 60（配点2）
＜問題要旨＞
∠ABC の大きさを求めます。
＜考え方＞
3辺の長さが分かっているので、余弦定理で cos∠ABC を出します。
余弦定理より AC² ＝ AB² + BC² − 2 × AB × BC × cos∠ABC 49 ＝ 9 + 64 − 2 × 3 × 8 × cos∠ABC 49 ＝ 73 − 48 cos∠ABC 48 cos∠ABC ＝ 24 cos∠ABC ＝ 1/2 0° < ∠ABC < 180° だから ∠ABC ＝ 60° よって サシ ＝ 60
ス√セ／ソ：正解 2√3／3（配点3）
＜問題要旨＞
△ABC の内接円の半径を求めます。
＜考え方＞
面積を2通りに表します。2辺と間の角から面積を出し、内接円の半径 r と周の半分 s を使った S ＝ r s と等しいとおきます。
S ＝ (1/2) × AB × BC × sin60° ＝ (1/2) × 3 × 8 × (√3/2) ＝ 6√3 s ＝ (3 + 8 + 7)/2 ＝ 9 S ＝ r s より 6√3 ＝ 9 r r ＝ 6√3/9 ＝ 2√3/3 よって ス√セ/ソ ＝ 2√3/3
タ√チ／ツ：正解 4√3／3（配点3）
＜問題要旨＞
△ABC の内心を I とするとき、BI の長さを求めます。
＜考え方＞
内心は角の二等分線上にあります。I から辺 BC に垂線を下ろすと、その長さが内接円の半径 r で、∠IBC は ∠ABC の半分の30°の直角三角形ができます。
内心 I は ∠ABC の二等分線上にある I から辺 BC に下ろした垂線の足を H とすると IH ＝ r ＝ 2√3/3 ∠IBH ＝ 60° ÷ 2 ＝ 30° 直角三角形 IBH で sin30° ＝ IH / BI BI ＝ IH ÷ sin30° ＝ (2√3/3) ÷ (1/2) ＝ 4√3/3 よって タ√チ/ツ ＝ 4√3/3
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。