2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2018年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅰ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 数と式（６つの因数を X＝x(5−x) でまとめる）
6つの１次式の積という、そのまま展開したら手が止まる式です。与えられた恒等式 (x＋n)(n＋5−x)＝x(5−x)＋n²＋5n が「3組の組み合わせ方」を教えてくれているので、それに従って x(5−x)＝X でくくり直すのが筋。(2) はその X の２次方程式が重解をもつのがポイントです。
ア：正解 5（配点2）
＜問題要旨＞
(x＋n)(n＋5−x) を展開したときの n の係数を求めます。
＜考え方＞
そのまま展開して x の項と n の項に整理します。
(x + n)(n + 5 − x) = xn + 5x − x² + n² + 5n − nx = 5x − x² + n² + 5n = x(5 − x) + n² + 5n よって n の係数は 5
イ，ウエ：正解 6，14（配点4）
＜問題要旨＞
X＝x(5−x) とおいたときの A を X の式で表します。
＜考え方＞
A の6つの因数を「x と 5−x」「x＋1 と 6−x」「x＋2 と 7−x」の3組に分けます。それぞれ上の恒等式で n＝0, 1, 2 の場合です。
A = x(x + 1)(x + 2)(5 − x)(6 − x)(7 − x)
= {x(5 − x)}·{(x + 1)(6 − x)}·{(x + 2)(7 − x)}
(x + 1)(6 − x) は n = 1 の場合
= x(5 − x) + 1² + 5·1 = X + 6
(x + 2)(7 − x) は n = 2 の場合
= x(5 − x) + 2² + 5·2 = X + 14
A = X(X + 6)(X + 14)
オ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
x＝(5＋√17)/2 のときの X の値を求めます。
＜考え方＞
x を代入して計算してもよいのですが、x が満たす２次方程式を作るほうが速いです。
x = (5 + √17)/2 より 2x − 5 = √17 両辺を2乗して 4x² − 20x + 25 = 17 4x² − 20x + 8 = 0 x² − 5x + 2 = 0 よって 5x − x² = 2 X = x(5 − x) = 5x − x² = 2
カ：正解 8（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの A の値を 2 の何乗かで表します。
＜考え方＞
X＝2 を A＝X(X＋6)(X＋14) に代入します。
A = X(X + 6)(X + 14) = 2 × (2 + 6) × (2 + 14) = 2 × 8 × 16 = 2 × 2³ × 2⁴ = 2⁸
キクケ：正解 −10（配点3）
＜問題要旨＞
(x＋1)(x＋2)(6−x)(7−x)＝−16 を満たすとき、x(5−x) の値を求めます。
＜考え方＞
左辺は A から x(5−x) の因数だけを外した形。(1) の結果を使えば (X＋6)(X＋14) と書けます。展開すると X の２次方程式になり、しかも重解をもちます。
(x + 1)(x + 2)(6 − x)(7 − x)
= {(x + 1)(6 − x)}{(x + 2)(7 − x)}
= (X + 6)(X + 14)
(X + 6)(X + 14) = −16
X² + 20X + 84 = −16
X² + 20X + 100 = 0
(X + 10)² = 0
X = x(5 − x) = −10
(コ±√サシ)／ス：正解 (5±√65)／2（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの x の値を求めます。
＜考え方＞
x(5−x)＝−10 を x の２次方程式に直して解の公式です。
x(5 − x) = −10 5x − x² = −10 x² − 5x − 10 = 0 x = (5 ± √(25 + 40))/2 = (5 ± √65)/2
第１問 〔２〕 集合と命題（20以下の自然数の集合と必要十分条件）
U＝{1, 2, …, 20} の中で、A（20の約数）、B（3の倍数）、C（偶数）を具体的に書き出してしまうのが確実です。(2) は絶対値と√(x²)＝|x| をていねいにほどけば、p が「q または r」とぴったり同じ集合になることが見えます。
セ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
(a) A ⊂ C と (b) A ∩ B ＝ ∅ の正誤の組合せを選びます。
＜考え方＞
３つの集合を要素で書き出して確かめます。A には奇数 1, 5 が含まれる点がポイントです。
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20} （20 の約数）
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} （3 の倍数）
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} （偶数）
(a) A ⊂ C ？ … A には 1, 5（奇数）があるので C に含まれない → 誤
(b) A ∩ B = ∅ ？ … 共通の要素はない → 正
(a) 誤, (b) 正 → ②
ソ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
(c) (A ∪ C) ∩ B ＝ {6, 12, 18} と (d) (Ā ∩ C) ∪ B ＝ Ā ∩ (B ∪ C) の正誤の組合せを選びます。
＜考え方＞
(c) は書き出せばすぐ。(d) は分配法則で右辺を展開し、(b) で示した A ∩ B ＝ ∅（つまり B ⊂ Ā）を使います。
(c) A ∪ C = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
(A ∪ C) ∩ B = {6, 12, 18} → 正
(d) 分配法則より
Ā ∩ (B ∪ C) = (Ā ∩ B) ∪ (Ā ∩ C)
(b) より A ∩ B = ∅、つまり B ⊂ Ā なので Ā ∩ B = B
よって右辺 = B ∪ (Ā ∩ C) = 左辺 → 正
(c) 正, (d) 正 → ⓪
タ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
「q または r」は p であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
p を絶対値の場合分けで解き、q, r の合併と比べます。
p : |x − 2| > 2 ⟺ x − 2 > 2 または x − 2 < −2 ⟺ x > 4 または x < 0 q または r : x < 0 または x > 4 両者は同じ条件なので必要十分条件 → ②
チ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
s は r であるための何条件かを選びます。
＜考え方＞
√(x²)＝|x| に注意して s をほどきます。s の表す範囲は r より広いので、必要条件にはなっても十分条件にはなりません。
s : √(x²) > 4 ⟺ |x| > 4 ⟺ x > 4 または x < −4 r : x > 4 r ⇒ s … 成立 s ⇒ r … 反例 x = −5（s は成立、r は不成立） 必要条件であるが十分条件ではない → ⓪
第２問 ２次関数（区間の最小値と x 軸との交点間の距離）
a ＞ 0 の２次関数で、まず区間 0 ≦ x ≦ 4 における最小値、次に x 軸との2交点の距離 L を扱います。(2) の L は「解の差＝√D/a」。L の条件を L² の不等式に直すと、2 ＜ L のほうは２次不等式、L ＜ 4 のほうは１次不等式になり、思ったより素直に解けます。
ア＋イ／a：正解 1＋3／a（配点2）
＜問題要旨＞
y＝f(x) のグラフの頂点の x 座標 p を求めます。
＜考え方＞
x² の係数が a、x の係数が −2(a+3) なので、頂点の x 座標は −(x の係数)/(2a) です。
f(x) = ax² − 2(a + 3)x − 3a + 21 p = 2(a + 3)/(2a) = (a + 3)/a = 1 + 3/a
ウ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 4 における最小値が f(4) となる a の範囲を求めます。
＜考え方＞
a ＞ 0 なので下に凸。最小値が右端 f(4) になるのは、頂点が区間の右外（p ≧ 4）にあるときです。
下に凸なので、区間 [0, 4] での最小値が f(4) となるのは p ≧ 4 のとき 1 + 3/a ≧ 4 3/a ≧ 3 a > 0 なので 3 ≧ 3a a ≦ 1 よって 0 < a ≦ 1
エ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 4 における最小値が f(p) となる a の範囲を求めます。
＜考え方＞
最小値が頂点の値になるのは、頂点が区間の中にあるとき（0 ≦ p ≦ 4）です。p ＞ 1 はつねに成り立つので、条件は p ≦ 4 だけになります。
p = 1 + 3/a は a > 0 のとき つねに p > 1 ≧ 0 最小値が f(p) となるのは 0 ≦ p ≦ 4、すなわち p ≦ 4 1 + 3/a ≦ 4 a ≧ 1 よって 1 ≦ a
オ／カ：正解 4／5（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 4 における最小値が 1 となる a の値のうち、0 ＜ a ≦ 1 の場合を求めます。
＜考え方＞
この範囲では最小値は f(4)。f(4) を計算して 1 とおきます。
f(4) = 16a − 8(a + 3) − 3a + 21 = 16a − 8a − 24 − 3a + 21 = 5a − 3 5a − 3 = 1 a = 4/5 0 < 4/5 ≦ 1 を満たすので適する
(キ＋√クケ)／コ：正解 (7＋√13)／4（配点2）
＜問題要旨＞
同じく a ≧ 1 の場合を求めます。
＜考え方＞
この範囲では最小値は f(p)。f(p) は「定数項 − (x の係数)²/(4a)」で求まります。得られた２解のうち a ≧ 1 を満たすものだけを採ります。
f(p) = (−3a + 21) − {2(a + 3)}²/(4a)
= −3a + 21 − (a + 3)²/a
= {−3a² + 21a − (a² + 6a + 9)}/a
= (−4a² + 15a − 9)/a
(−4a² + 15a − 9)/a = 1
−4a² + 15a − 9 = a
4a² − 14a + 9 = 0
a = (14 ± √(196 − 144))/8 = (14 ± 2√13)/8 = (7 ± √13)/4
√13 = 3.60… より
(7 − √13)/4 = 0.84… は a ≧ 1 を満たさず不適
(7 + √13)/4 = 2.65… は適する
サ／シ：正解 3／4（配点3）
＜問題要旨＞
グラフが x 軸と異なる2点で交わる a の範囲のうち、小さいほうの区間の上限を求めます。
＜考え方＞
判別式 ＞ 0 を解きます。x の係数が偶数なので D/4 で計算すると楽です。
f(x) = ax² − 2(a + 3)x − 3a + 21 D/4 = (a + 3)² − a(−3a + 21) = a² + 6a + 9 + 3a² − 21a = 4a² − 15a + 9 > 0 4a² − 15a + 9 = 0 の解は a = (15 ± √(225 − 144))/8 = (15 ± 9)/8 = 3, 3/4 4(a − 3/4)(a − 3) > 0 より a < 3/4 または a > 3 a > 0 とあわせて 0 < a < 3/4 または 3 < a
ス：正解 3（配点3）
＜問題要旨＞
同じく、大きいほうの区間の下限を求めます。
＜考え方＞
上で求めた２次不等式の大きいほうの解です。
4a² − 15a + 9 > 0 の解のうち大きいほう 3 < a
セ／ソ：正解 3／5（配点3）
＜問題要旨＞
2 ＜ L ＜ 4 となる a の範囲のうち、小さいほうの区間の下限を求めます。
＜考え方＞
L は２解の差なので L＝√D/a（a ＞ 0）。L ＜ 4 を L² ＜ 16 に直すと a² の項が消えて１次不等式になります。
ax² + bx + c = 0 の２解の差は √(b² − 4ac)/|a| b² − 4ac = 4(4a² − 15a + 9) なので L = 2√(4a² − 15a + 9)/a （a > 0） L² = 4(4a² − 15a + 9)/a² [L < 4] 4(4a² − 15a + 9)/a² < 16 4a² − 15a + 9 < 4a² −15a + 9 < 0 a > 3/5
(タ−√チツ)／テ：正解 (5−√13)／2（配点3）
＜問題要旨＞
同じく、小さいほうの区間の上限を求めます。
＜考え方＞
2 ＜ L を L² ＞ 4 に直すと２次不等式になります。得られた範囲を、交点が2個ある条件（0 ＜ a ＜ 3/4）と L ＜ 4 の条件（a ＞ 3/5）と重ねます。
[2 < L] 4(4a² − 15a + 9)/a² > 4 4a² − 15a + 9 > a² 3a² − 15a + 9 > 0 a² − 5a + 3 > 0 a = (5 ± √13)/2 が境界（(5−√13)/2 = 0.697…, (5+√13)/2 = 4.303…） a < (5 − √13)/2 または a > (5 + √13)/2 0 < a < 3/4 の区間では a > 3/5 かつ a < (5 − √13)/2 （(5 − √13)/2 = 0.697… < 3/4 = 0.75 なので上限はこちら） 3/5 < a < (5 − √13)/2
(ト＋√ナニ)／ヌ：正解 (5＋√13)／2（配点3）
＜問題要旨＞
同じく、大きいほうの区間の下限を求めます。
＜考え方＞
3 ＜ a の区間で、同じ二つの条件を重ねます。
3 < a の区間では a > 3/5 は自動的に成立 a > (5 + √13)/2 = 4.303… が効く （4.303… > 3 なのでこちらが下限） (5 + √13)/2 < a
第３問 図形と計量（垂線の足と外接円の半径）
AB＝6, BC＝√21, AC＝3 の三角形に、C から AB への垂線 CH を引き、その上に HD＝AH となる点 D をとります。A(0,0), B(6,0) と座標を置くと H(2,0), C(2,√5), D(2,2) となり、以降はすべて素直な計算に落ちます。最後の面積比は「共通の底辺 AF からの距離の比」で処理します。
ア／イ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
cos∠BAC を求めます。
＜考え方＞
余弦定理をそのまま使います。
cos∠BAC = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (36 + 9 − 21)/(2 × 6 × 3) = 24/36 = 2/3
√ウ／エ：正解 √5／3（配点3）
＜問題要旨＞
sin∠BAC を求めます。
＜考え方＞
三角形の内角なので sin は正です。
sin²∠BAC = 1 − (2/3)² = 1 − 4/9 = 5/9 sin∠BAC = √5/3
オ：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
C から辺 AB に下ろした垂線を CH とするときの AH を求めます。
＜考え方＞
直角三角形 ACH で AH ＝ AC·cos∠BAC です。
AH = AC · cos∠BAC = 3 × (2/3) = 2
√カ：正解 √5（配点3）
＜問題要旨＞
CH を求めます。
＜考え方＞
同じく CH ＝ AC·sin∠BAC です。
CH = AC · sin∠BAC = 3 × (√5/3) = √5
キ√ク：正解 2√2（配点3）
＜問題要旨＞
線分 CH 上に AH＝HD を満たす点 D をとるときの AD を求めます。
＜考え方＞
∠AHD＝90° の直角三角形 AHD で三平方の定理。HD＝AH＝2、CH＝√5 ＞ 2 なので D はちゃんと線分 CH 上にあります。
HD = AH = 2 （√5 = 2.23… > 2 なので D は線分 CH 上） ∠AHD = 90° AD = √(AH² + HD²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2
√ケ−コ：正解 √5−2（配点3）
＜問題要旨＞
CD を求めます。
＜考え方＞
D は線分 CH 上にあるので、CH から HD を引くだけです。
CD = CH − HD = √5 − 2
√サ−シ：正解 √5−2（配点3）
＜問題要旨＞
△ACD の面積を求めます。
＜考え方＞
CD を底辺とみると、A から直線 CH までの距離が高さ。それは AH ＝ 2 です。
底辺 CD = √5 − 2、高さ = AH = 2 △ACD = (1/2) × (√5 − 2) × 2 = √5 − 2
(√スセ−ソ√タ)／チ：正解 (√10−2√2)／6（配点3）
＜問題要旨＞
sin∠CAD を求めます。
＜考え方＞
△ACD の面積を「(1/2)·AC·AD·sin∠CAD」でも表し、上で求めた値と等しいとおきます。
△ACD = (1/2)·AC·AD·sin∠CAD √5 − 2 = (1/2) × 3 × 2√2 × sin∠CAD √5 − 2 = 3√2 sin∠CAD sin∠CAD = (√5 − 2)/(3√2) = (√5 − 2)√2/6 = (√10 − 2√2)/6
ツ√テ／ト：正解 3√2／2（配点3）
＜問題要旨＞
△ACD の外接円の半径を求めます。
＜考え方＞
正弦定理。∠CAD の対辺は CD です。分母と分子に共通の (√5−2) が現れて気持ちよく約分できます。
正弦定理より CD/sin∠CAD = 2R
2R = (√5 − 2) ÷ (√10 − 2√2)/6
= 6(√5 − 2)/(√10 − 2√2)
= 6(√5 − 2)/{√2(√5 − 2)}
= 6/√2 = 3√2
R = 3√2/2
(√ナ−ニ)／ヌ：正解 (√5−2)／3（配点3）
＜問題要旨＞
辺 AB の中点を E、直線 AD と辺 BC の交点を F とするとき、△ACF の面積と △AEF の面積の比を求めます。
＜考え方＞
△ACF と △AEF は辺 AF を共有しています。面積比は「C から直線 AF までの距離」と「E から直線 AF までの距離」の比。座標を置くと直線 AF は y＝x になり、点と直線の距離で一気に出ます。
A(0, 0), B(6, 0) とおくと H(2, 0), C(2, √5), D(2, 2) 直線 AD は 2点 (0,0), (2,2) を通るので y = x E は AB の中点なので E(3, 0) F は直線 y = x と辺 BC の交点 △ACF と △AEF は底辺 AF が共通なので (△ACF)/(△AEF) = (C と直線 AF の距離)/(E と直線 AF の距離) 直線 AF : x − y = 0 C(2, √5) との距離 = |2 − √5|/√2 = (√5 − 2)/√2 E(3, 0) との距離 = |3 − 0|/√2 = 3/√2 比 = (√5 − 2)/3
第４問 データの分析（陸上選手の身長・体重と BMI）
陸上選手4グループの身長・体重のデータです。(1)(2) は図の読み取り、(3) は相関係数、(4) は分散の別公式（２乗の平均 −（平均）²）を使います。(4) は X＝(H/100)² から H²＝10000X という変換に気づけるかどうかがすべてです。
ア，イ：正解 ①，⑥（配点6・各3／解答の順序は問わない）
＜問題要旨＞
図1（ヒストグラム）と図2（箱ひげ図）から読み取れる内容として正しいものを二つ選びます。
＜考え方＞
範囲・最大値・最小値は箱ひげ図のひげの両端、四分位範囲は箱の幅で読みます。②③のようにヒストグラムの階級を問うものは、累積度数を数えて確かめます。
図2 から読み取る五数（おおよそ） 男子短距離: 最小 152, Q1 176.5, 中央値 181, Q3 186, 最大 202 男子長距離: 最小 155, Q1 172, 中央値 176, Q3 181, 最大 198 女子短距離: 最小 145, Q1 165, 中央値 170, Q3 174, 最大 187 女子長距離: 最小 149, Q1 161, 中央値 165, Q3 170, 最大 186 ⓪ 範囲が最大なのは女子短距離？ 男子短距離 50 > 女子短距離 42 … 正しくない ① 四つとも四分位範囲が12未満？ 9.5 / 9 / 9 / 9 …いずれも12未満 … 正しい ← ② 男子長距離のヒストグラムで度数最大の階級に中央値？ 度数最大は 170〜175（70人）。累積は 165〜170 までで41人、 170〜175 までで111人。中央値は136番目なので 175〜180 の階級 … 正しくない ③ 女子長距離のヒストグラムで度数最大の階級に第1四分位数？ 度数最大は 165〜170（89人）。累積は 160〜165 までで104人。 第1四分位数は66番目なので 160〜165 の階級 … 正しくない ④ 最も身長の高い選手は男子長距離？ 男子短距離の最大 202 > 男子長距離の最大 198 … 正しくない ⑤ 最も身長の低い選手は女子長距離？ 女子短距離の最小 145 < 女子長距離の最小 149 … 正しくない ⑥ 男子短距離の中央値と男子長距離の第3四分位数がともに180以上182未満？ 181 と 181 …ともに範囲内 … 正しい ←
ウ，エ：正解 ④，⑤（配点6・各3／解答の順序は問わない）
＜問題要旨＞
図3（散布図）と図4（Z の箱ひげ図）から読み取れる内容として正しいものを二つ選びます。
＜考え方＞
l₁〜l₄ は W＝15X, 20X, 25X, 30X。点がこの直線の上にあれば Z＝W/X はその傾きより大きくなります。図4 の (a)〜(d) がどのグループかは、Z の最小値・最大値を散布図から見積もって突き合わせます。
図3 の補助直線と Z の関係 l₁: W = 15X → その直線上で Z = 15 l₂: 20, l₃: 25, l₄: 30 図4 の五数（おおよそ） (a) 最小 17.4, 中央値 23.0, 最大 30.0 (b) 最小 15.4, 中央値 20.7, 最大 27.2 (c) 最小 16.3, 中央値 20.5, 最大 28.6 (d) 最小 15.3, 中央値 18.7, 最大 22.2 散布図から見積もる Z の範囲 男子短距離: 約 17〜30 → (a) 男子長距離: 約 16.5〜28.5 → (c) 女子短距離: 約 15〜27 → (b) 女子長距離: 約 15〜23 → (d) ⓪ 四つとも X と W に負の相関？ …どれも右上がり（正の相関）… 正しくない ① Z の中央値が最大なのは男子長距離？ …最大は男子短距離(a) … 正しくない ② Z の範囲が最小なのは男子長距離？ …最小は女子長距離(d) … 正しくない ③ Z の四分位範囲が最小なのは男子短距離？ …(a)の箱が最も広い … 正しくない ④ 女子長距離のすべての Z は25未満？ 女子長距離の散布図の点はすべて l₃（W = 25X）より下 … 正しい ← ⑤ 男子長距離の Z の箱ひげ図は(c)？ …上の対応より … 正しい ←
オ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
女子長距離グループのデータについて、X と W の相関係数を求めます。
＜考え方＞
相関係数＝共分散÷(それぞれの標準偏差の積)。平均値は使いません。
相関係数 = (X と W の共分散)/(X の標準偏差 × W の標準偏差) = 0.754 / (0.200 × 5.36) = 0.754 / 1.072 = 0.70335… 最も近いのは 0.703 → ②
カ：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
女子長距離グループの身長のデータを各々2乗した値の平均値を求めます。
＜考え方＞
X＝(H/100)² を H² について解くと H²＝10000X。平均をとる操作は定数倍と交換できるので、X の平均を10000倍するだけです。
X = (H/100)² = H²/10000 より H² = 10000·X
(H² の平均) = 10000 × (X の平均)
= 10000 × 2.75
= 27500
→ ⑦
キ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
同じグループの身長の平均値が 165.7 のとき、身長の分散を求めます。
＜考え方＞
与えられた公式 s²＝(2乗の平均) − (平均)² に、上で求めた 27500 と 165.7² を入れます。
s² = (H² の平均) − (H の平均)² = 27500 − 165.7² = 27500 − 27456.49 = 43.51 最も近いのは 43.5 → ②
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。