2020年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2020年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。なお第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と共通の問題です。
第１問 〔１〕 三角関数（合成と、解と係数の関係）
(1) は加法定理で展開してから合成し直すという二段構えです。(2) は sinθ と cosθ を２次方程式の解とみなす設問で、sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 が「和と積の関係」に変わるところが山場になります。
√ア／イ，ウ：正解 √3／2，3（配点2）
＜問題要旨＞
√3 cos(θ − π/3) を加法定理で展開します。
＜考え方＞
cos(π/3) ＝ 1/2, sin(π/3) ＝ √3/2 を代入して整理します。
√3 cos(θ − π/3) = √3 (cosθ cos(π/3) + sinθ sin(π/3)) = √3 ( (1/2)cosθ + (√3/2)sinθ ) = (√3/2) cosθ + (3/2) sinθ
sin(θ＋π／エ)：正解 sin(θ＋π／3)（配点2）
＜問題要旨＞
① sinθ ＞ √3 cos(θ − π/3) を合成した形に変形します。
＜考え方＞
展開した式を移項すると sinθ の係数が 1 − 3/2 ＝ −1/2 になります。全体を整理すると、ちょうど sin(θ ＋ π/3) の形が現れます。
sinθ − { (√3/2)cosθ + (3/2)sinθ } > 0
−(1/2)sinθ − (√3/2)cosθ > 0
(1/2)sinθ + (√3/2)cosθ < 0
sinθ cos(π/3) + cosθ sin(π/3) < 0
sin(θ + π/3) < 0
オ／カ，キ／ク：正解 2／3，5／3（配点3）
＜問題要旨＞
①を満たす θ の範囲を求めます。
＜考え方＞
0 ≦ θ ＜ 2π なので θ ＋ π/3 の動く範囲を出し、その中で sin が負になる区間を取ります。
0 ≦ θ < 2π → π/3 ≦ θ + π/3 < 2π + π/3 この範囲で sin(θ + π/3) < 0 となるのは π < θ + π/3 < 2π θ について解いて (2/3)π < θ < (5/3)π
ケコ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
sinθ と cosθ が 25x² − 35x ＋ k ＝ 0 の解であるときの k を求めます。
＜考え方＞
解と係数の関係で和と積を書き出し、sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 を「和の 2 乗 − 2×積」の形で使います。
sinθ + cosθ = 35/25 = 7/5 sinθ cosθ = k/25 (sinθ + cosθ)² = 1 + 2 sinθ cosθ (7/5)² = 1 + 2k/25 49/25 − 1 = 2k/25 24/25 = 2k/25 k = 12
サ／シ：正解 4／5（配点2）
＜問題要旨＞
さらに sinθ ≧ cosθ のときの sinθ を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 12 を代入した２次方程式を解き、大きい方が sinθ です。
25x² − 35x + 12 = 0 x = (35 ± √(1225 − 1200)) / 50 = (35 ± 5)/50 x = 4/5, 3/5 sinθ ≧ cosθ より sinθ = 4/5
ス／セ：正解 3／5（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの cosθ を求めます。
＜考え方＞
残った方の解が cosθ です。0 ≦ θ ≦ π/2 なのでどちらも正で、矛盾しません。
ソ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
そのとき θ が属する範囲を選びます。
＜考え方＞
sinθ ＝ 0.8 の θ を、値のわかる角と比べて挟みます。sin は 0 ≦ θ ≦ π/2 で単調に増加します。
sin(π/4) = √2/2 ≒ 0.707 sinθ = 4/5 = 0.8 sin(π/3) = √3/2 ≒ 0.866 0.707 < 0.8 < 0.866 なので π/4 ≦ θ < π/3
第１問 〔２〕 指数・対数（対称式と、連立不等式の整数解）
(1) は t^(1/3) と t^(−1/3) を２文字とみた対称式の問題です。積が 1 になることを使うと、３乗の差の因数分解が一気に片づきます。(2) は対数を X, Y に置き換えて、ただの１次不等式の領域問題に翻訳する設問です。
タチ：正解 11（配点3）
＜問題要旨＞
t^(1/3) − t^(−1/3) ＝ −3 のとき t^(2/3) ＋ t^(−2/3) を求めます。
＜考え方＞
a ＝ t^(1/3), b ＝ t^(−1/3) とおくと ab ＝ 1 です。与式を 2 乗します。
(a − b)² = a² − 2ab + b² = a² + b² − 2 (−3)² = a² + b² − 2 a² + b² = 11 すなわち t^(2/3) + t^(−2/3) = 11
√ツテ：正解 √13（配点2）
＜問題要旨＞
t^(1/3) ＋ t^(−1/3) の値を求めます。
＜考え方＞
和の 2 乗は、差の 2 乗に 4ab を足したものです。t ＞ 0 なので a ＋ b ＞ 0 に注意します。
(a + b)² = a² + b² + 2ab = 11 + 2 = 13 a > 0, b > 0 より a + b > 0 a + b = √13
トナニ：正解 −36（配点2）
＜問題要旨＞
t − t^(−1) の値を求めます。
＜考え方＞
これは a³ − b³ です。３乗の差の因数分解 a³ − b³ ＝ (a − b)(a² ＋ ab ＋ b²) を使います。
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) a² + b² = 11, ab = 1 より a² + ab + b² = 12 a − b = −3 t − t⁻¹ = (−3) × 12 = −36
ヌX＋Y≦ネノ：正解 2X＋Y≦10（配点2）
＜問題要旨＞
② log₃(x√y) ≦ 5 を X ＝ log₃x, Y ＝ log₃y で表します。
＜考え方＞
積の対数は和、√y は y の 1/2 乗なので係数 1/2 が出ます。最後に分母を払います。
log₃(x√y) = log₃x + (1/2)log₃y = X + Y/2 ≦ 5 両辺を 2 倍して 2X + Y ≦ 10
ハX−Y≧ヒフ：正解 3X−Y≧−4（配点2）
＜問題要旨＞
③ log₈₁(y/x³) ≦ 1 を同じく X, Y で表します。
＜考え方＞
底 81 は 3⁴ なので、底の変換で 1/4 が出ます。不等号の向きは変わりません。
log₈₁(y/x³) = (1/4) log₃(y/x³) = (1/4)(Y − 3X) ≦ 1 Y − 3X ≦ 4 両辺に −1 を掛けて 3X − Y ≧ −4
ヘ：正解 7（配点2）
＜問題要旨＞
④ と ⑤ を満たすとき、Y のとり得る最大の整数の値を求めます。
＜考え方＞
X を消去します。２つの不等式をそれぞれ X について解き、その両方を満たす X が存在する条件を書きます。
④ 2X + Y ≦ 10 → X ≦ (10 − Y)/2 ⑤ 3X − Y ≧ −4 → X ≧ (Y − 4)/3 このような X が存在する条件は (Y − 4)/3 ≦ (10 − Y)/2 2(Y − 4) ≦ 3(10 − Y) 2Y − 8 ≦ 30 − 3Y 5Y ≦ 38 → Y ≦ 7.6 最大の整数は Y = 7
ホ：正解 5（配点2）
＜問題要旨＞
さらに log₃y ＝ 7 のとき、x のとり得る最大の整数の値を求めます。
＜考え方＞
Y ＝ 7 を２つの不等式に入れて X の範囲を出し、x ＝ 3^X に戻します。
Y = 7 のとき ④ 2X + 7 ≦ 10 → X ≦ 3/2 ⑤ 3X − 7 ≧ −4 → X ≧ 1 1 ≦ X ≦ 3/2、すなわち 1 ≦ log₃x ≦ 1.5 3 ≦ x ≦ 3^1.5 = 3√3 ≒ 5.196 最大の整数は x = 5
第２問 (1) 微分（２つの放物線に共通な接線）
２つの放物線に共通な接線を、それぞれの接点をパラメータで置いて「同じ直線になる」と連立する定番の解法です。傾きと切片の２式から t と s が決まり、最後は驚くほど簡単な y ＝ 2x ＋ 1 に落ち着きます。
アt＋イ：正解 2t＋2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ が C：y ＝ x² ＋ 2x ＋ 1 と点 (t, t²＋2t＋1) で接するときの、ℓ の傾きを求めます。
＜考え方＞
C を微分して x ＝ t を代入するだけです。
y' = 2x + 2 → 傾き = 2t + 2
ウ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの ℓ の方程式の定数項を求めます。
＜考え方＞
接点を通る直線の式を立てて展開します。
y = (2t + 2)(x − t) + t² + 2t + 1 = (2t + 2)x − 2t² − 2t + t² + 2t + 1 = (2t + 2)x − t² + 1
エs−オa＋カ：正解 2s−4a＋2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ が D：y ＝ f(x) と点 (s, f(s)) で接するときの傾きを求めます。
＜考え方＞
f(x) ＝ x² − (4a−2)x ＋ 4a² ＋ 1 を微分して x ＝ s を代入します。
f'(x) = 2x − (4a − 2) 傾き = 2s − 4a + 2
キa²＋ク：正解 4a²＋1（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの ℓ の方程式の定数項を求めます。
＜考え方＞
同じく接点を通る直線の式を展開します。s の 1 次の項がきれいに消えます。
y = (2s − 4a + 2)(x − s) + f(s)
= (2s − 4a + 2)x − 2s² + 4as − 2s
+ s² − (4a − 2)s + 4a² + 1
= (2s − 4a + 2)x − s² + 4a² + 1
ケ，コ：正解 0，2（配点3）
＜問題要旨＞
① と ② が同じ直線であることから t と s を求めます。
＜考え方＞
傾きどうし、定数項どうしを比べて連立します。a ＞ 0 であることが最後に効きます。
傾き : 2t + 2 = 2s − 4a + 2 → t = s − 2a 定数項: −t² + 1 = −s² + 4a² + 1 → s² − t² = 4a² (s − t)(s + t) = 4a²、s − t = 2a なので 2a(s + t) = 4a²、a > 0 より s + t = 2a t = s − 2a と s + t = 2a を連立して s = 2a, t = 0
サx＋シ：正解 2x＋1（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ の方程式を求めます。
＜考え方＞
t ＝ 0 を ① に代入するだけです。a を含まない形になるのが面白いところです。
y = (2·0 + 2)x − 0² + 1 = 2x + 1
第２問 (2)〜(4) 積分（囲まれた図形の面積と、その最大値）
接線 ℓ を引いた差をとると、C − ℓ ＝ x²、D − ℓ ＝ (x − 2a)² というきわめて簡単な形になります。ここまで整理できれば、面積の計算はすべて「２乗の積分」で済みます。(3) は 0 ≦ x ≦ 1 という窓の中に図形がどこまで入るかで場合分けするのがポイントです。
ス：正解 a（配点2）
＜問題要旨＞
２つの放物線 C, D の交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
x² の項が同じなので、引き算すると 1 次方程式になります。
x² + 2x + 1 = x² − (4a − 2)x + 4a² + 1 2x = −(4a − 2)x + 4a² 4ax = 4a² x = a （a > 0）
a^セ／ソ：正解 a³／3（配点3）
＜問題要旨＞
C と ℓ、および直線 x ＝ a で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
C − ℓ を計算すると x² だけが残ります。C と ℓ は x ＝ 0 で接しているので、積分区間は 0 から a です。
C − ℓ = (x² + 2x + 1) − (2x + 1) = x² S = ∫[0→a] x² dx = [x³/3]₀^a = a³/3
タ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 1 の部分の面積 T が a によらず一定になるのは a がどの値より大きいときかを求めます。
＜考え方＞
D − ℓ ＝ (x − 2a)² なので、D は x ＝ 2a で ℓ に接します。囲まれた図形は 0 ≦ x ≦ 2a の範囲にあり、境界は x ＝ a で C から D に切り替わります。窓 0 ≦ x ≦ 1 が「C の側」だけで収まるのは a ≧ 1 のときです。
D − ℓ = x² − 4ax + 4a² = (x − 2a)² C − D = 4a(x − a) → x < a では C が下、x > a では D が下 図形は 0 ≦ x ≦ 2a に広がり、x = a で境界が入れ替わる a > 1 なら 0 ≦ x ≦ 1 はすべて「C と ℓ の間」
チ／ツ：正解 1／3（配点3）
＜問題要旨＞
そのときの T の値を求めます。
＜考え方＞
a ＞ 1 のときは、0 から 1 まで x² を積分するだけです。
T = ∫[0→1] x² dx = 1/3
テ，ト，ナ，ニ／ヌ：正解 2，4，2，1／3（配点3）
＜問題要旨＞
1/2 ≦ a ≦ 1 のときの T を a で表します。
＜考え方＞
この範囲では a ≦ 1 ≦ 2a なので、窓の中で境界が C から D に切り替わります。２つに分けて積分します。
T = ∫[0→a] x² dx + ∫[a→1] (x − 2a)² dx
= a³/3 + [ (x − 2a)³/3 ]ₐ¹
= a³/3 + { (1 − 2a)³ − (−a)³ } / 3
= { 2a³ + (1 − 2a)³ } / 3
(1 − 2a)³ = 1 − 6a + 12a² − 8a³ より
= ( −6a³ + 12a² − 6a + 1 ) / 3
= −2a³ + 4a² − 2a + 1/3
ネ／ノ：正解 2／3（配点3）
＜問題要旨＞
U ＝ 2T − 3S が最大になる a を求めます。
＜考え方＞
S と T を代入して U を a の３次関数にし、微分して増減を調べます。定義域 1/2 ≦ a ≦ 1 の中にある極大点が答えです。
U = 2(−2a³ + 4a² − 2a + 1/3) − 3(a³/3) = −4a³ + 8a² − 4a + 2/3 − a³ = −5a³ + 8a² − 4a + 2/3 U′ = −15a² + 16a − 4 = −(15a² − 16a + 4) 15a² − 16a + 4 = 0 → a = (16 ± 4)/30 = 2/3, 2/5 1/2 ≦ a ≦ 1 に入るのは a = 2/3 a の前後で U′ は正から負に変わるので、ここで最大
ハ／ヒフ：正解 2／27（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの U の最大値を求めます。
＜考え方＞
a ＝ 2/3 を代入します。分母を 27 にそろえると計算しやすくなります。
U(2/3) = −5(8/27) + 8(4/9) − 4(2/3) + 2/3
= −40/27 + 96/27 − 72/27 + 18/27
= 2/27
第３問 図形と方程式（円と直線の位置関係、線分比で面積を出す）
点 A(0, 6) を通る傾き m の直線と、x 軸に接する円との位置関係を追う設問です。中心と直線の距離を半径と比べる、という一本の方針ですべて片づきます。最後は「同じ高さの三角形の面積比は底辺の比」を使い、x 座標の差の比だけで面積を出すのが気持ちのよいところです。
ア：正解 6（配点1）
＜問題要旨＞
点 A(0, 6) を通る傾き m の直線 ℓ の方程式を求めます。
＜考え方＞
y 切片がそのまま A の y 座標です。
y = mx + 6
イ，ウ：正解 2，4（配点2）
＜問題要旨＞
中心が (0, 2) で x 軸に接する円 C の方程式を求めます。
＜考え方＞
x 軸に接するということは、中心から x 軸までの距離が半径ということです。中心の y 座標が 2 なので半径は 2 です。
x² + (y − 2)² = 2² = 4
√エ：正解 √3（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ と C が接するときの m を求めます。
＜考え方＞
中心 (0, 2) から直線までの距離が半径 2 に等しくなる条件を書きます。
ℓ : mx − y + 6 = 0 |m·0 − 2 + 6| / √(m² + 1) = 2 4 / √(m² + 1) = 2 √(m² + 1) = 2 m² = 3 → m = ±√3
(√オ，カ)：正解 (√3，3)（配点2）
＜問題要旨＞
m ＝ −√3 のときの接点の座標を求めます。
＜考え方＞
接点は中心から直線に下ろした垂線の足です。点と直線の距離の公式と同じ形で、垂線の足の座標が求まります。
ℓ : √3 x + y − 6 = 0、中心 P(0, 2) (√3·0 + 2 − 6) / (3 + 1) = −1 接点 = P − (−1)(√3, 1) = (0, 2) + (√3, 1) = (√3, 3) （検算）x² + (y−2)² = 3 + 1 = 4 ○
キ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ と C が異なる 2 点で交わるような m のうち、最小の正の整数を求めます。
＜考え方＞
距離が半径より小さければ 2 点で交わります。接するときの条件を不等式にするだけです。
4 / √(m² + 1) < 2 √(m² + 1) > 2 m² > 3 → |m| > √3 ≒ 1.732 最小の正の整数は m = 2
クケ：正解 −2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ が点 B(3, 0) を通るときの m を求めます。
＜考え方＞
B の座標を ℓ の式に代入します。
0 = 3m + 6 → m = −2
(コ／サ，シス／セ)：正解 (6／5，18／5)（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの ℓ と C の交点のうち、A に近い方 D の座標を求めます。
＜考え方＞
ℓ の式を C に代入して x の２次方程式を解きます。A(0,6) に近いのは x 座標が小さい方です。
x² + (−2x + 6 − 2)² = 4 x² + (−2x + 4)² = 4 x² + 4x² − 16x + 16 = 4 5x² − 16x + 12 = 0 x = (16 ± 4)/10 = 2, 6/5 x = 6/5 のとき y = −12/5 + 6 = 18/5 D(6/5, 18/5)
(ソ，タ)：正解 (2，2)（配点2）
＜問題要旨＞
もう一方の交点 E の座標を求めます。
＜考え方＞
残る解 x ＝ 2 を代入します。
x = 2 のとき y = −4 + 6 = 2 E(2, 2)
チ：正解 9（配点1）
＜問題要旨＞
△OAB の面積を求めます。
＜考え方＞
O(0,0), A(0,6), B(3,0) で、OA が y 軸上、OB が x 軸上なので直角三角形です。
(1/2) × 6 × 3 = 9
ツ，テ：正解 6，4（配点2）
＜問題要旨＞
AD : DE : EB を求めます。
＜考え方＞
A, D, E, B はすべて直線 ℓ 上にあるので、長さの比は x 座標の差の比に一致します。
x 座標 : A 0, D 6/5, E 2, B 3 AD = 6/5 − 0 = 6/5 DE = 2 − 6/5 = 4/5 EB = 3 − 2 = 5/5 AD : DE : EB = 6 : 4 : 5
トナ／ニ：正解 12／5（配点2）
＜問題要旨＞
△ODE の面積 S を求めます。
＜考え方＞
△ODE と △OAB は、頂点 O から直線 ℓ までの距離を共通の高さとする三角形です。よって面積比は底辺 DE と AB の比に一致します。
AB = AD + DE + EB = 6 + 4 + 5 = 15（比の値） DE = 4 S = 9 × 4/15 = 36/15 = 12/5
第４問 複素数と方程式（相反型の４次方程式と、剰余の定理）
(1) は x² で割って t ＝ x ＋ 3/x とおく、いわゆる相反方程式の型です。(2) は α を代入するのではなく、α が満たす２次式で P(x) を割って余りだけ計算する、という剰余の定理の使い方が問われています。
アt²−イt−ウ：正解 2t²−7t−4（配点3）
＜問題要旨＞
① の左辺を t ＝ x ＋ 3/x を用いて表します。
＜考え方＞
t を 2 乗すると x² と 9/x² が現れます。定数 6 が出てくるので、それを差し引いて調整します。
t² = x² + 2·x·(3/x) + 9/x² = x² + 9/x² + 6 → x² + 9/x² = t² − 6 ① = 2x² − 7x + 8 − 21/x + 18/x² = 2(x² + 9/x²) − 7(x + 3/x) + 8 = 2(t² − 6) − 7t + 8 = 2t² − 7t − 4
エ，オカ／キ：正解 4，−1／2（配点2）
＜問題要旨＞
2t² − 7t − 4 ＝ 0 を解きます。
＜考え方＞
たすき掛けで因数分解できます。
2t² − 7t − 4 = (2t + 1)(t − 4) = 0 t = 4, t = −1/2
ク，ケ：正解 1，3（配点1）
＜問題要旨＞
t ＝ 4 のときの x を求めます。
＜考え方＞
x ＋ 3/x ＝ 4 の両辺に x を掛けて２次方程式にします。
x² − 4x + 3 = 0 (x − 1)(x − 3) = 0 x = 1, 3
(コサ±√シス i)／セ：正解 (−1±√47 i)／4（配点2）
＜問題要旨＞
t ＝ −1/2 のときの x を求めます。
＜考え方＞
同じく分母を払って２次方程式にします。判別式が負なので虚数解です。
x + 3/x = −1/2 2x² + x + 6 = 0 x = (−1 ± √(1 − 48)) / 4 = (−1 ± √47 i) / 4
ソタ：正解 −3（配点2）
＜問題要旨＞
α ＝ 1 − √3 i について (α − 1)² を求めます。
＜考え方＞
α − 1 ＝ −√3 i なので、2 乗すると i² ＝ −1 が効いてきます。
(α − 1)² = (−√3 i)² = 3 i² = −3
α²−チα＋ツ：正解 α²−2α＋4（配点3）
＜問題要旨＞
α が満たす２次方程式を求めます。
＜考え方＞
上の式を展開して整理するだけです。
α² − 2α + 1 = −3 α² − 2α + 4 = 0
テx²−トx−ナ：正解 2x²−3x−6（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) を x² − 2x ＋ 4 で割った商を求めます。
＜考え方＞
普通に多項式の割り算を実行します。
2x⁴ − 7x³ + 8x² − 21x + 18 ÷ (x² − 2x + 4) 2x² ×(x²−2x+4) = 2x⁴ − 4x³ + 8x² 残り : −3x³ + 0x² − 21x + 18 −3x ×(x²−2x+4) = −3x³ + 6x² − 12x 残り : −6x² − 9x + 18 −6 ×(x²−2x+4) = −6x² + 12x − 24 残り : −21x + 42 商 = 2x² − 3x − 6
ニヌネ(x−ノ)：正解 −21(x−2)（配点2）
＜問題要旨＞
そのときの余りを求めます。
＜考え方＞
上の割り算で最後に残った式です。
余り = −21x + 42 = −21(x − 2)
ハヒ(フ＋√3 i)：正解 21(1＋√3 i)（配点3）
＜問題要旨＞
P(α) の値を求めます。
＜考え方＞
P(x) ＝ (x²−2x+4)×（商）＋（余り）と書けます。α は x² − 2x ＋ 4 ＝ 0 を満たすので、第 1 項が 0 になり、余りだけが残ります。
P(α) = (α² − 2α + 4)(2α² − 3α − 6) + (−21)(α − 2) = 0 + (−21)(α − 2) α − 2 = (1 − √3 i) − 2 = −1 − √3 i P(α) = −21(−1 − √3 i) = 21(1 + √3 i)
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。