2022年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2022年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。なお第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と共通の問題です。
第１問 〔１〕 図形と方程式（円と、円外の点から引いた接線）
円の外の点 A(−8, 0) から引いた２本の接線を、判別式で求める方法と２倍角の公式で求める方法の２通りで扱う設問です。x 軸がそのまま接線の一本になっていることに気づけるかが出発点になります。
ア，イ：正解 2，5（配点1）
＜問題要旨＞
x² ＋ y² − 4x − 10y ＋ 4 ≦ 0 が表す領域 D の中心を求めます。
＜考え方＞
x と y のそれぞれで平方完成します。
x² − 4x ＋ y² − 10y ＋ 4 ≦ 0 (x − 2)² − 4 ＋ (y − 5)² − 25 ＋ 4 ≦ 0 (x − 2)² ＋ (y − 5)² ≦ 25 中心 (2, 5)
よって ア＝2、イ＝5。
ウ：正解 5（配点1）
＜問題要旨＞
同じ領域の半径を求めます。
＜考え方＞
右辺が r² です。
(x − 2)² ＋ (y − 5)² ≦ 25 ＝ 5² 半径 5
よって ウ＝5。
エ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
領域 D が円のどの部分かを選びます。
＜考え方＞
不等号が ≦ であることに注目します。
(x − 2)² ＋ (y − 5)² ≦ 25 ＝ のとき円周、＜ のとき内部 ≦ なので 周および内部
よって エ＝③。
オ：正解 0（配点2）
＜問題要旨＞
点 A(−8, 0) を通る C の接線の一つを求めます。
＜考え方＞
中心 (2, 5) から x 軸までの距離が、ちょうど半径に等しいことに気づきます。
中心 (2, 5) から直線 y ＝ 0 までの距離は |5| ＝ 5 ＝ 半径 → x 軸は円 C の接線 A(−8, 0) は x 軸上の点なので y ＝ 0 は A を通る接線
よって オ＝0。
カ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
太郎さんの方法で、２次方程式がどうなるときの k が接線の傾きかを選びます。
＜考え方＞
「接する」＝「共有点がちょうど1個」です。
直線と円が接する ⟺ 共有点がただ1つ ⟺ 代入して得た２次方程式が重解をもつ
よって カ＝⓪（重解をもつ）。
キ／ク：正解 1／2（配点1）
＜問題要旨＞
x 軸と直線 AQ のなす角を θ としたときの tanθ を求めます。
＜考え方＞
A(−8, 0) と Q(2, 5) を結ぶ直線の傾きがそのまま tanθ です。
直線 AQ の傾き ＝ (5 − 0)/(2 − (−8)) ＝ 5/10 ＝ 1/2 tanθ ＝ 1/2
よって キ＝1、ク＝2。
ケ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ 0 と異なる接線の傾きを、θ を用いて表します。
＜考え方＞
直線 AQ は円の中心を通るので、２本の接線は AQ について対称です。
直線 AQ は中心 Q を通るので ２本の接線は AQ に関して対称 一方の接線（x 軸）と AQ のなす角が θ → もう一方の接線と x 軸のなす角は 2θ 傾きは tan2θ
よって ケ＝①（2θ）。
コ／サ：正解 4／3（配点2）
＜問題要旨＞
もう一方の接線の傾き k₀ を求めます。
＜考え方＞
２倍角の公式 tan2θ ＝ 2tanθ/(1 − tan²θ) を使います。
k₀ ＝ tan2θ ＝ 2tanθ/(1 − tan²θ) ＝ 2(1/2)/(1 − 1/4) ＝ 1/(3/4) ＝ 4/3
よって コ＝4、サ＝3。
シ：正解 ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
直線 ℓ と領域 D が共有点をもつ k の範囲を選びます。
＜考え方＞
２本の接線の傾き 0 と k₀ が境目です。接する場合も共有点をもつので等号を含みます。
A を通る接線の傾きは 0 と k₀ ＝ 4/3 傾きを 0 から 4/3 まで動かすと 直線は円をかすめて通る 接する場合も共有点をもつので 0 ≦ k ≦ k₀
よって シ＝⑤。
第１問 〔２〕 対数（log_a b と log_b a の大小）
log_a b ＝ t とおくと log_b a ＝ 1/t という関係が全体の骨格です。あとは t ＞ 1/t を解いた結果を、底が 1 より大きいか小さいかで b の範囲に翻訳します。
ス：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
log₃9 の値を求めます。
＜考え方＞
9 を 3 のべき乗に直します。
9 ＝ 3² なので log₃9 ＝ 2 （このとき log₉3 ＝ 1/2 で log₃9 ＞ log₉3 が成り立つ）
よって ス＝2。
セ：正解 8（配点3）
＜問題要旨＞
log_{1/4}□ ＝ −3/2 となる □ を求めます。
＜考え方＞
対数の定義に戻して指数の計算にします。
log_{1/4}x ＝ −3/2
x ＝ (1/4)^(−3/2) ＝ 4^(3/2) ＝ 8
検算： log₈(1/4)
＝ log₂(1/4)/log₂8
＝ (−2)/3 ＝ −2/3 ✓
−3/2 ＜ −2/3 なので
log_{1/4}8 ＜ log₈(1/4) が成り立つ
よって セ＝8。
ソ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
log_a b ＝ t を指数の式に直します。
＜考え方＞
対数の定義そのものです。
log_a b ＝ t ⟺ a^t ＝ b
よって ソ＝①。
タ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
そこから得られる式を選びます。
＜考え方＞
a^t ＝ b の両辺を 1/t 乗します。
a^t ＝ b の両辺を 1/t 乗して a ＝ b^(1/t) これは log_b a ＝ 1/t と同じこと
よって タ＝①。
チ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
a ＞ 1 のとき、log_a b ＞ log_b a を満たす b の範囲を選びます。
＜考え方＞
t ＝ log_a b の範囲（−1 ＜ t ＜ 0 または 1 ＜ t）を、b の範囲に翻訳します。a ＞ 1 なので log_a b は b の増加関数です。
−1 ＜ t ＜ 0 のとき a^(−1) ＜ b ＜ a^0 1/a ＜ b ＜ 1 1 ＜ t のとき a^1 ＜ b a ＜ b
よって チ＝③（1/a ＜ b ＜ 1, a ＜ b）。
ツ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
0 ＜ a ＜ 1 のときの同じ範囲を選びます。
＜考え方＞
こんどは log_a b が b の減少関数なので、不等号の向きが逆になります。
−1 ＜ t ＜ 0 のとき a^0 ＜ b ＜ a^(−1)（減少なので反転） 1 ＜ b ＜ 1/a 1 ＜ t のとき b ＜ a^1、かつ b ＞ 0 0 ＜ b ＜ a
よって ツ＝⓪（0 ＜ b ＜ a, 1 ＜ b ＜ 1/a）。
テ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
p ＝ 12/13、q ＝ 12/11、r ＝ 14/13 のときの大小関係を選びます。
＜考え方＞
底が p（0 ＜ p ＜ 1）なので、ツ の結果に b ＝ q, r を当てはめます。境目の 1/p の値を正確に出すのがポイントです。
p ＝ 12/13 ＝ 0.923…（0 ＜ p ＜ 1） 1/p ＝ 13/12 ＝ 1.0833… ツより log_p b ＞ log_b p となるのは 0 ＜ b ＜ p または 1 ＜ b ＜ 1/p 【b ＝ q ＝ 12/11 ＝ 1.0909…】 1 ＜ 1.0909 だが 1.0833 を超えている → 範囲に入らない → log_p q ＜ log_q p 【b ＝ r ＝ 14/13 ＝ 1.0769…】 1 ＜ 1.0769 ＜ 1.0833 ✓ → 範囲に入る → log_p r ＞ log_r p
よって テ＝②。
第２問 〔１〕 微分（３次関数のグラフと、方程式の実数解の個数）
f(x) ＝ x³ − 6ax ＋ 16 を、a の値によって形が変わる３次関数として追う設問です。極値の有無は a の符号、実数解の個数は極小値の符号で決まります。(3) は「ならば」の向きを取り違えないことが要になります。
ア：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
a ＝ 0 のときの y ＝ f(x) のグラフの概形を選びます。
＜考え方＞
f(x) ＝ x³ ＋ 16 の導関数を調べます。
a ＝ 0 のとき f(x) ＝ x³ ＋ 16 f′(x) ＝ 3x² ≧ 0（等号は x ＝ 0 のみ） → 単調増加だが x ＝ 0 で接線が水平 → 原点付近に平らな部分ができる y 切片は f(0) ＝ 16 ＞ 0
よって ア＝①。
イ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
a ＜ 0 のときのグラフの概形を選びます。
＜考え方＞
f′(x) の符号を調べます。
f′(x) ＝ 3x² − 6a ＝ 3(x² − 2a) a ＜ 0 のとき −2a ＞ 0 なので x² − 2a ＞ 0 がつねに成り立つ → f′(x) ＞ 0 で、平らな部分もない → 単調増加 y 切片は 16 ＞ 0
よって イ＝⓪。
ウ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
a ＞ 0 のとき、y ＝ f(x) と y ＝ p が3個の共有点をもつ p の範囲の下限を選びます。
＜考え方＞
3個の共有点をもつのは「極小値 ＜ p ＜ 極大値」のときです。
f′(x) ＝ 3(x² − 2a) ＝ 0 → x ＝ ±√(2a) 極小値 f(√(2a)) ＝ (2a)^(3/2) − 6a√(2a) ＋ 16 ＝ 2√2 a^(3/2) − 6√2 a^(3/2) ＋ 16 ＝ −4√2 a^(3/2) ＋ 16
よって ウ＝③。
エ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
同じ範囲の上限を選びます。
＜考え方＞
極大値です。
極大値 f(−√(2a)) ＝ −2√2 a^(3/2) ＋ 6√2 a^(3/2) ＋ 16 ＝ 4√2 a^(3/2) ＋ 16
よって エ＝②。
オカ√キ：正解 −2√2（配点2）
＜問題要旨＞
p が極小値のとき、共有点の x 座標のうち小さい方 q を求めます。
＜考え方＞
接する方の x 座標 r ＝ √(2a) が重解なので、３次方程式の解と係数の関係が使えます。
f(x) ＝ p は x² の係数が 0 の3次方程式 x³ − 6ax ＋ 16 − p ＝ 0 解は r（重解）と q なので 2r ＋ q ＝ 0（x² の係数が 0） r ＝ √(2a) ＝ √2 a^(1/2) より q ＝ −2√2 a^(1/2)
よって オカ＝−2、キ＝2。
ク：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
接する方の x 座標 r を求めます。
＜考え方＞
極小値をとる x そのものです。
r ＝ √(2a) ＝ √2 ・ a^(1/2)
よって ク＝2。
ケ，コ：正解 ①，④（配点6・各3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ 0 の異なる実数解の個数 n について、正しい記述を２つ選びます。
＜考え方＞
a の値ごとに n を確定させてから、選択肢の「ならば」の向きを一つずつ確かめます。
f(0) ＝ 16 ＞ 0 に注意する
【a ≦ 0】単調増加 → n ＝ 1
【a ＞ 0】極大値 4√2a^(3/2) ＋ 16 ＞ 0 はつねに成立
極小値 −4√2a^(3/2) ＋ 16 の符号で決まる
極小値 ＞ 0 ⟺ a^(3/2) ＜ 2√2 ＝ 2^(3/2)
⟺ a ＜ 2 → n ＝ 1
極小値 ＝ 0 ⟺ a ＝ 2 → n ＝ 2
極小値 ＜ 0 ⟺ a ＞ 2 → n ＝ 3
選択肢の判定
⓪ n＝1 ならば a＜0 … a＝1 で n＝1 → 偽
① a＜0 ならば n＝1 … 真 ✓
② n＝2 ならば a＜0 … n＝2 は a＝2 → 偽
③ a＜0 ならば n＝2 … 偽
④ n＝3 ならば a＞0 … n＝3 は a＞2 → 真 ✓
⑤ a＞0 ならば n＝3 … a＝1 で n＝1 → 偽
よって ケ，コ＝①，④（順序は問わない）。
第２問 〔２〕 積分（２曲線で囲まれた面積の比較）
２つの３次曲線で囲まれた面積 S と T を比べる設問です。S と T を別々に計算するのではなく、S − T を一つの定積分にまとめるという誘導に乗ると計算量が激減します。
サ，シス：正解 b，2b（配点2）
＜問題要旨＞
C₁ と C₂ の交点の x 座標 α, β を求めます。
＜考え方＞
g(x) − h(x) を計算して因数分解します。
g(x) − h(x) ＝ (x³ − 3bx ＋ 3b²) − (x³ − x² ＋ b²) ＝ x² − 3bx ＋ 2b² ＝ (x − b)(x − 2b) b ＞ 0 より α ＝ b、β ＝ 2b
よって サ＝b、シス＝2b。
セ，ソ：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
S と T の被積分関数をそれぞれ選びます。
＜考え方＞
どちらの曲線が上にあるかを、g − h の符号で判定します。
g(x) − h(x) ＝ (x − b)(x − 2b) α ≦ x ≦ β（b ≦ x ≦ 2b）では (x−b)(x−2b) ≦ 0 → g ≦ h → C₂ が上 → 被積分関数は h − g β ≦ x ≦ t（x ＞ 2b）では (x−b)(x−2b) ＞ 0 → g ＞ h → C₁ が上 → 被積分関数は g − h
よって セ＝②（h − g）、ソ＝①（g − h）。
タ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
S − T を一つの定積分で表したときの被積分関数を選びます。
＜考え方＞
マイナスを積分の中に入れると、２つの区間がつながります。
S ＝ ∫_α^β (h − g) dx
T ＝ ∫_β^t (g − h) dx
S − T ＝ ∫_α^β (h−g) dx − ∫_β^t (g−h) dx
＝ ∫_α^β (h−g) dx ＋ ∫_β^t (h−g) dx
＝ ∫_α^t (h − g) dx
区間が α から t までひとつながりになる
よって タ＝②（h − g）。
チツ／テ，ト，ナニ，ヌ：正解 −1／6，9，12，5（配点4）
＜問題要旨＞
S − T を t と b で表します。
＜考え方＞
∫_b^t −(x−b)(x−2b) dx を展開して計算します。
S − T ＝ ∫_b^t −(x² − 3bx ＋ 2b²) dx
＝ −[x³/3 − (3b/2)x² ＋ 2b²x]_b^t
x ＝ b での値は
b³/3 − (3/2)b³ ＋ 2b³ ＝ (5/6)b³
＝ −{t³/3 − (3b/2)t² ＋ 2b²t − (5/6)b³}
＝ −(1/6){2t³ − 9bt² ＋ 12b²t − 5b³}
よって チツ＝−1、テ＝6、ト＝9、ナニ＝12、ヌ＝5。
ネ／ノ：正解 5／2（配点2）
＜問題要旨＞
S ＝ T となる t を求めます。
＜考え方＞
S − T ＝ 0 とおいて３次方程式を解きます。t ＝ b が解になることに気づけば因数分解できます。
2t³ − 9bt² ＋ 12b²t − 5b³ ＝ 0 t ＝ b を代入すると 2 − 9 ＋ 12 − 5 ＝ 0 ✓ → (t − b) を因数にもつ 割り算して (t − b)(2t² − 7bt ＋ 5b²) ＝ 0 (t − b)(t − b)(2t − 5b) ＝ 0 (t − b)²(2t − 5b) ＝ 0 t ＝ b（重解）または t ＝ 5b/2 条件は t ＞ β ＝ 2b なので t ＝ (5/2)b
よって ネ＝5、ノ＝2。
第３問 三角関数（２倍角の公式と、角の範囲の絞り込み）
4cos2θ ＋ 2cosθ ＋ 3 ＝ 0 を、t ＝ cosθ とおいて t の２次方程式に直すのが前半です。後半は cosβ ＝ 1/4 という「きれいな角ではない」β を、２倍角の公式を２回使って 4β の位置を突き止め、そこから逆算して β を挟み込みます。
ア t²−イ：正解 2t²−1（配点2）
＜問題要旨＞
ｔ ＝ cosθ とおいたとき、cos2θ を t で表します。
＜考え方＞
２倍角の公式 cos2θ ＝ 2cos²θ − 1 に cosθ ＝ t を代入するだけです。よって cos2θ ＝ 2t² − 1。
ウ t²＋エ t−1：正解 8t²＋2t−1（配点1）
＜問題要旨＞
① 4cos2θ ＋ 2cosθ ＋ 3 ＝ 0 を、t についての２次方程式に直します。
＜考え方＞
cos2θ ＝ 2t² − 1、cosθ ＝ t を代入して整理します。
4(2t² − 1) + 2t + 3 = 8t² − 4 + 2t + 3 = 8t² + 2t − 1 = 0
オカ／キ：正解 −1／2（配点2）
＜問題要旨＞
8t² ＋ 2t − 1 ＝ 0 の解を求めます。
＜考え方＞
たすき掛けで (4t − 1)(2t ＋ 1) ＝ 0 と因数分解でき、t ＝ 1/4, −1/2。t ＝ cosθ の値域 −1 ≤ t ≤ 1 をどちらも満たします。空欄は 1/4 と並記されているので、残る −1/2 が入ります。
ク／ケ：正解 2／3（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≤ α ≤ π かつ cosα ＝ −1/2 を満たす α を求めます。
＜考え方＞
cos の値が −1/2 になる 0 以上 π 以下の角は 2π/3 だけです。よって α ＝ (2/3)π。
コ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
cos(π/6) の値を解答群から選びます。
＜考え方＞
cos(π/6) ＝ √3/2 なので ③ です。
サ：正解 ⑤（配点1）
＜問題要旨＞
cos(π/4) の値を解答群から選びます。
＜考え方＞
cos(π/4) ＝ √2/2 なので ⑤ です。
シ：正解 ⑦（配点1）
＜問題要旨＞
cos(π/3) の値を解答群から選びます。
＜考え方＞
cos(π/3) ＝ 1/2 なので ⑦ です。
ス：正解 ③（配点3）
＜問題要旨＞
cosβ ＝ 1/4（0 ≤ β ≤ π）から、β の属する範囲を選びます。
＜考え方＞
0 ≤ β ≤ π で cos は単調に減少します。したがって cos の値が小さいほど β は大きくなります。
cos(π/3) = 1/2 = 0.5 cosβ = 1/4 = 0.25 cos(π/2) = 0 0 < 1/4 < 1/2 なので π/3 < β < π/2
選択肢では ③ です。
セソ／タ：正解 −7／8（配点1）
＜問題要旨＞
cos2β を求めます。
＜考え方＞
２倍角の公式に cosβ ＝ 1/4 を代入します。
cos2β = 2cos²β − 1 = 2·(1/4)² − 1 = 1/8 − 1 = −7/8
チツ／テト：正解 17／32（配点1）
＜問題要旨＞
cos4β を求めます。
＜考え方＞
2β をもう一度２倍します。cos2β ＝ −7/8 を代入します。
cos4β = 2cos²2β − 1 = 2·(49/64) − 1 = 49/32 − 1 = 17/32
ナ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
4β の動径がどの象限にあるかを答えます。
＜考え方＞
まず β の範囲から 4β の範囲を出し、そこに cos4β の符号を重ねます。
π/3 < β < π/2 → (4/3)π < 4β < 2π この区間のうち cos が正になるのは (3/2)π < 4β < 2π cos4β = 17/32 > 0 なので 4β は第４象限
ニ：正解 ⑧（配点3）
＜問題要旨＞
β の範囲をさらに細かく絞ります。
＜考え方＞
4β は (3/2)π ＜ 4β ＜ 2π にあり、この区間で cos は単調に増加します。cos4β ＝ 17/32 を、値のわかる角の cos と比べます。
cos(5π/3) = 1/2 = 16/32 cos4β = 17/32 cos(7π/4) = √2/2 ≒ 22.6/32 16/32 < 17/32 < √2/2 なので (5/3)π < 4β < (7/4)π 4 で割って (5/12)π < β < (7/16)π
選択肢では ⑧ です。
第４問 複素数と方程式（４次式が２次式で割り切れる条件と、解の個数）
P(x) が Q(x) ＝ x² − x ＋ 2 で割り切れるという条件から、商 R(x) と n を m で表すのが前半です。後半は P(x) ＝ Q(x)R(x) と分解できることを使います。Q(x) ＝ 0 の虚数解２個は m によらず必ず存在するので、解の個数の場合分けはすべて R(x) の判別式だけで決まります。
（ア±√イ i）／ウ：正解 （1±√7 i）／2（配点2）
＜問題要旨＞
Q(x) ＝ x² − x ＋ 2 ＝ 0 の解を求めます。
＜考え方＞
解の公式に当てはめます。判別式が負なので、異なる２つの虚数解になります。
x = (1 ± √(1 − 8)) / 2 = (1 ± √(−7)) / 2 = (1 ± √7 i) / 2
エ m＋オ：正解 2m＋6（配点3）
＜問題要旨＞
P(x) が Q(x) で割り切れるとき、n を m で表します。
＜考え方＞
P(x) も Q(x) も最高次の係数が 1 なので、商は R(x) ＝ x² ＋ ax ＋ b とおけます。Q(x)R(x) を展開して P(x) と係数を比べます。
(x² − x + 2)(x² + ax + b) = x⁴ + (a−1)x³ + (b−a+2)x² + (2a−b)x + 2b P(x) = x⁴ + (m−1)x³ + 5x² + (m−3)x + n との比較 x³ : a − 1 = m − 1 → a = m x² : b − a + 2 = 5 → b = m + 3 x¹ : 2a − b = m − 3 → 2m − (m+3) = m − 3 （自動的に成立） x⁰ : 2b = n → n = 2(m + 3) = 2m + 6
カ：正解 3（配点3）
＜問題要旨＞
商 R(x) ＝ x² ＋ mx ＋ m ＋ カ の定数項を答えます。
＜考え方＞
上の係数比較で得た a ＝ m, b ＝ m ＋ 3 をそのまま使います。R(x) ＝ x² ＋ mx ＋ m ＋ 3 なので カ ＝ 3 です。
キク＜m＜ケ：正解 −2＜m＜6（配点2）
＜問題要旨＞
R(x) ＝ 0 が異なる２つの虚数解をもつ m の範囲を求めます。
＜考え方＞
判別式が負であればよいので、m の２次不等式を解きます。
D = m² − 4(m + 3) = m² − 4m − 12 < 0 (m + 2)(m − 6) < 0 −2 < m < 6
コ：正解 −（配点1）
＜問題要旨＞
R(x) ＝ 0 の２解 α, β について α ＋ β を m で表します。
＜考え方＞
解と係数の関係より α ＋ β ＝ −m。空欄には符号の「−」が入ります。
サ：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
αβ を m で表します。
＜考え方＞
解と係数の関係より αβ は定数項そのもので、αβ ＝ m ＋ 3。よって サ ＝ 3 です。
シ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
αβ(α＋β) ＝ −10 のときの m を求めます。
＜考え方＞
前２問の結果を代入して m の２次方程式にします。範囲 −2 ＜ m ＜ 6 で絞るのを忘れないようにします。
(m + 3)·(−m) = −10 m² + 3m − 10 = 0 (m + 5)(m − 2) = 0 → m = −5, 2 −2 < m < 6 より m = 2
スセ±ソ i：正解 −1±2i（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの R(x) ＝ 0 の虚数解を求めます。
＜考え方＞
m ＝ 2 を R(x) ＝ x² ＋ mx ＋ m ＋ 3 に代入して解きます。
R(x) = x² + 2x + 5 = 0 (x + 1)² = −4 x = −1 ± 2i
タチ，ツ：正解 −2，6（配点1）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 0 の異なる解が全部で３個になる m を求めます。
＜考え方＞
P(x) ＝ Q(x)R(x) であり、Q(x) ＝ 0 の解は m によらず異なる２つの虚数解です。解が全部で３個になるのは、R(x) ＝ 0 が重解（実数）をもつ場合です。実数解は Q(x) ＝ 0 の虚数解と重なりようがないので、2 ＋ 1 ＝ 3 個になります。
D = m² − 4m − 12 = 0 (m + 2)(m − 6) = 0 m = −2, 6
テ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
そのとき３個の解のうち虚数解は何個かを答えます。
＜考え方＞
R(x) ＝ 0 の重解は実数なので、虚数解は Q(x) ＝ 0 から来る２個だけです。
トナ：正解 −1（配点2）
＜問題要旨＞
異なる解が全部で２個になる m を求めます。
＜考え方＞
解が２個しかないのは、R(x) ＝ 0 の解が Q(x) ＝ 0 の解と完全に一致するとき、すなわち R(x) ＝ Q(x) となるときです。
x² + mx + (m + 3) = x² − x + 2 x の係数 : m = −1 定数項 : m + 3 = 2 → m = −1 （両方とも一致） m = −1
ニ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
m ＜ −2 または 6 ＜ m のとき、４個の解のうち虚数解が何個かを答えます。
＜考え方＞
この範囲では判別式 m² − 4m − 12 ＞ 0 なので、R(x) ＝ 0 は異なる２つの実数解をもちます。虚数解は Q(x) ＝ 0 から来る２個だけです。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。