2024年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅰ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2024年度 大学入学共通テスト 追試験「数学Ⅰ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 式の計算（２つの等式を同時に満たす x, y）
連立の見た目をしていますが、①は移項すると完全平方になるという仕掛けです。そこに気づくと y ＝ 7x が一発で出て、あとは②に代入して有理化するだけになります。
ア：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
50(x² ＋ y²) − (x ＋ 7y)² を (ア x − y)² の形に変形する設問です。
＜考え方＞
素直に展開して整理します。
50(x² ＋ y²) − (x ＋ 7y)² ＝ 50x² ＋ 50y² − (x² ＋ 14xy ＋ 49y²) ＝ 49x² − 14xy ＋ y² ＝ (7x)² − 2·(7x)·y ＋ y² ＝ (7x − y)²
ア＝⑦。①はこの式が 0 になることを意味するので、7x − y ＝ 0、すなわち y ＝ 7x が導かれます。
イ，ウ：正解 ⑦, ④（配点2）
＜問題要旨＞
x の値を求める設問です。
＜考え方＞
y ＝ 7x を②に代入し、分母を有理化します。
−4√3 x ＋ y ＝ 1 に y ＝ 7x を代入 −4√3 x ＋ 7x ＝ 1 (7 − 4√3)x ＝ 1 x ＝ 1／(7 − 4√3)
分母を有理化する
x ＝ (7 ＋ 4√3) ／ {(7 − 4√3)(7 ＋ 4√3)}
分母 ＝ 7² − (4√3)² ＝ 49 − 48 ＝ 1
x ＝ 7 ＋ 4√3
イ＝⑦、ウ＝④。（このとき y ＝ 7x ＝ 49 ＋ 28√3 です。）
エ，オ，カ：正解 ①, ②, ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
x² ＋ y² − 50 を 400(エオ ＋ カ√3) の形で表す設問です。
＜考え方＞
y ＝ 7x を使うと x² ＋ y² が x² だけの式になります。x を２乗するのは最後にまわします。
x² ＋ y² ＝ x² ＋ (7x)² ＝ 50x² x² ＋ y² − 50 ＝ 50x² − 50 ＝ 50(x² − 1)
x ＝ 7 ＋ 4√3 より
x² ＝ 49 ＋ 56√3 ＋ 48 ＝ 97 ＋ 56√3
x² − 1 ＝ 96 ＋ 56√3
50(96 ＋ 56√3) ＝ 4800 ＋ 2800√3
＝ 400(12 ＋ 7√3)
エオ＝12、カ＝⑦、すなわち エ＝①、オ＝②、カ＝⑦。
第１問 〔２〕 １次不等式（高速道路を使うほうが速くなる条件）
２つの経路の所要時間を x の式で表し、不等式にして解く設問です。数式は最後まで１次のままなので、道のりを正しく数え上げられるかだけが勝負になります。
キ，ク，ケ，コ：正解 ⑦, ⑤, ③, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
経路２を選んだとき、一般道路（道路あ）を走っている時間を求める設問です。
＜考え方＞
経路２で道路あ を走るのは「P → A」と「B → Q」の２区間です。それぞれの道のりを x で表します。
道路あ での位置関係（A からの道のり）
A ─── P ─── Q ─────── B
0 10 10+x 75
P → A の道のり ＝ 10 km
B → Q の道のり ＝ 75 − (10 ＋ x) ＝ 65 − x km
合計 ＝ 10 ＋ (65 − x) ＝ 75 − x km
道路あ の制限速度は時速 30 km なので、時間は (75 − x)／30 時間。キク＝75、ケコ＝30、すなわち キ＝⑦、ク＝⑤、ケ＝③、コ＝⓪。
サ，シ：正解 ③, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
経路２で高速道路（道路い）を走っている時間を求める設問です。
＜考え方＞
道路い は A から B まで 48 km、時速 80 km です。x は出てきません。
48 ／ 80 ＝ 3 ／ 5 時間
サ／シ＝3／5、すなわち サ＝③、シ＝⑤。したがって経路２の所要時間は (75 − x)／30 ＋ 3／5 時間です。
ス，セ，ソ：正解 ⓪, ③, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
「経路２のほうが短い時間で Q に到着できる」ことを表す不等式を立てる設問です。
＜考え方＞
経路１は道路あ を x km 走るだけなので x／30 時間。これより経路２が小さいという不等式にします。
（経路２の時間）< （経路１の時間） (75 − x)／30 ＋ 3／5 < x／30
ス＝⓪（＜）、セソ＝30、すなわち ス＝⓪、セ＝③、ソ＝⓪。
※ 「速い」を不等号の向きに直すとき、時間は小さいほうが速いことに注意してください。
タ，チ，ツ：正解 ④, ⑥, ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
立てた不等式を解いて、経路２が有利になる道のりの範囲を求める設問です。
＜考え方＞
分母をはらってから整理します。
(75 − x)／30 ＋ 3／5 < x／30
両辺に 30 を掛けて
(75 − x) ＋ 18 < x
93 < 2x
46.5 < x
タチ．ツ＝46.5、すなわち タ＝④、チ＝⑥、ツ＝⑤。
※ 問題文の条件 x < 65 と合わせると 46.5 < x < 65 です。この範囲なら経路２のほうが速く着けます。
第１問 〔３〕 集合（ベン図と要素の決定）
前半はベン図の読み取り、後半は文字を含む集合の要素を条件から絞り込む設問です。ド・モルガンの法則で補集合を union の形に直すと、図でも計算でも見通しがよくなります。
テ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
Ā ∩ (B̄ ∩ C̄) がベン図のどの部分かを選ぶ設問です。
＜考え方＞
３つの補集合の共通部分なので、ド・モルガンの法則で「和集合の補集合」にまとめます。
Ā ∩ B̄ ∩ C̄ ＝ (A ∪ B ∪ C) の補集合 → A, B, C のどの円にも入らない部分 → 3つの円の外側、U の内側
テ＝⓪。
ト：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
A ∩ (B̄ ∩ C̄) がどの部分かを選ぶ設問です。
＜考え方＞
テと同じくまとめてから、A との共通部分をとります。
A ∩ B̄ ∩ C̄ ＝ A ∩ (B ∪ C) の補集合 → A には入るが、B にも C にも入らない部分 → A だけの部分（A から B, C と重なる所を除く）
ト＝②。
ナ，ニ，ヌ：正解 −, ②, ②（配点1）
＜問題要旨＞
A ＝ {0, a−3, a+3} が U ＝ {−5, …, 5} の部分集合になるための a の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
いちばん小さい要素と、いちばん大きい要素が U におさまればよいことになります。
a − 3 ≧ −5 → a ≧ −2 a ＋ 3 ≦ 5 → a ≦ 2 よって −2 ≦ a ≦ 2
ナニ＝−2、ヌ＝②、すなわち ナ＝−、ニ＝②、ヌ＝②。
ネ，ノ，ハ：正解 −, ③, ②（配点1）
＜問題要旨＞
B ＝ {b−2, b+3} が U の部分集合になるための b の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
同じ手順です。
b − 2 ≧ −5 → b ≧ −3 b ＋ 3 ≦ 5 → b ≦ 2 よって −3 ≦ b ≦ 2
ネノ＝−3、ハ＝②、すなわち ネ＝−、ノ＝③、ハ＝②。
ヒ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
条件 Ā ∩ (B̄ ∩ C̄) ＝ {−5, −4, −3, −2} を満たす a を求める設問です。
＜考え方＞
テで見たとおり、この左辺は (A ∪ B ∪ C) の補集合です。したがって A ∪ B ∪ C が何になるかが確定します。
(A ∪ B ∪ C) の補集合 ＝ {−5, −4, −3, −2}
A ∪ B ∪ C ＝ U から4個を除いた
{−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
特に A は {−5, −4, −3, −2} の
どれも含んではいけない。
A ＝ {0, a−3, a+3} を −2 ≦ a ≦ 2 で調べる
a ＝ −2 → A ＝ {0, −5, 1} −5 を含む ×
a ＝ −1 → A ＝ {0, −4, 2} −4 を含む ×
a ＝ 0 → A ＝ {0, −3, 3} −3 を含む ×
a ＝ 1 → A ＝ {0, −2, 4} −2 を含む ×
a ＝ 2 → A ＝ {0, −1, 5} ○
ヒ＝②。このとき A ∪ C ＝ {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} となり、必要な要素はすべてそろいます。
あとは B が {−5,−4,−3,−2} を含まなければよい
b ＝ −3 → B ＝ {−5, 0} ×
b ＝ −2 → B ＝ {−4, 1} ×
b ＝ −1 → B ＝ {−3, 2} ×
b ＝ 0 → B ＝ {−2, 3} ×
b ＝ 1 → B ＝ {−1, 4} ○
b ＝ 2 → B ＝ { 0, 5} ○
b は 2 通り（問題文の記述と一致）
フ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
A ∩ (B̄ ∩ C̄) の要素の個数が１個になる b を求める設問です。
＜考え方＞
トで見たとおり、これは「A のうち B にも C にも入らない要素」の集合です。b の候補は 1 と 2 の２つだけなので、両方試します。
A ＝ {−1, 0, 5}, C ＝ {1, 2, 3, 4}
（A と C に共通の要素はない）
■ b ＝ 1 のとき B ＝ {−1, 4}
A から −1 を除いて {0, 5} … 2個
■ b ＝ 2 のとき B ＝ {0, 5}
A から 0 と 5 を除いて {−1} … 1個
１個になるのは b ＝ 2。フ＝②。
ヘ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
同じ集合の要素が２個になる b を求める設問です。
＜考え方＞
フで作った表のもう一方です。
b ＝ 1 のとき A ∩ (B̄ ∩ C̄) ＝ {0, 5} … 2個
ヘ＝①。
第２問 〔１〕 三角比（sinθ cosθ ＝ k を満たす θ）
sinθ cosθ の値だけを与えて θ を追い込む設問です。(sinθ − cosθ)² を作ると sinθcosθ だけで表せるという定石が中心にあります。
ア，イ：正解 ②, ②（配点2）
＜問題要旨＞
sinθ cosθ ＝ k（k は負）を満たす θ が鋭角・直角・鈍角のどれかを判定し、sinθ と cosθ の大小を答える設問です。
＜考え方＞
0° < θ < 180° では sinθ > 0 が常に成り立つことから出発します。
0° < θ < 180° より sinθ > 0
sinθ·cosθ ＝ k < 0 なので
cosθ ＝ k ／ sinθ < 0
cosθ < 0 となるのは θ が鈍角のとき
また sinθ > 0 > cosθ なので sinθ > cosθ。ア＝②（鈍角）、イ＝②（＞）。
ウ，エ，オ：正解 ①, ⑥, ⑨（配点3）
＜問題要旨＞
k ＝ −7／18 のときの (sinθ − cosθ)² を求める設問です。
＜考え方＞
展開して sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 を使えば、sinθcosθ だけの式になります。
(sinθ − cosθ)² ＝ sin²θ − 2sinθcosθ ＋ cos²θ ＝ 1 − 2sinθcosθ ＝ 1 − 2k ＝ 1 − 2×(−7／18) ＝ 1 ＋ 7／9 ＝ 16／9
ウエ／オ＝16／9、すなわち ウ＝①、エ＝⑥、オ＝⑨。
カ，キ，ク，ケ：正解 −, ④, ②, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
cosθ の値を求める設問です。
＜考え方＞
ウエオから sinθ − cosθ の値が出ます。アイで sinθ > cosθ とわかっているので、正のほうだけを採用します。
(sinθ − cosθ)² ＝ 16／9
sinθ − cosθ > 0 なので
sinθ − cosθ ＝ 4／3
sinθ ＝ cosθ ＋ 4／3
これを sinθcosθ ＝ −7／18 に代入
(cosθ ＋ 4／3)cosθ ＝ −7／18
cos²θ ＋ (4／3)cosθ ＋ 7／18 ＝ 0
両辺を18倍して
18cos²θ ＋ 24cosθ ＋ 7 ＝ 0
cosθ ＝ (−24 ± √(576 − 504)) ／ 36
＝ (−24 ± √72) ／ 36
＝ (−24 ± 6√2) ／ 36
＝ (−4 ± √2) ／ 6
カキ＝−4、ク＝②、ケ＝⑥、すなわち カ＝−、キ＝④、ク＝②、ケ＝⑥。
コ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
２つの θ のうち小さいほうがどの範囲にあるかを答える、第２問前半の結論です。
＜考え方＞
cosθ は 0° < θ < 180° で単調に減少します。したがって cosθ が大きいほうが θ は小さいことになります。
cosθ ＝ (−4 ＋ √2)／6 ≒ (−4 ＋ 1.41)／6 ≒ −0.43 cosθ ＝ (−4 − √2)／6 ≒ (−4 − 1.41)／6 ≒ −0.90 大きいほう（＝θ が小さいほう）は −0.43
cos 90° ＝ 0 cos120° ＝ −0.5 −0.5 < −0.43 < 0 なので 90° < θ < 120°
コ＝④（90°以上120°未満）。
※ もう一方は cosθ ≒ −0.90 で、cos150° ＝ −0.87 と比べると θ ≒ 154° です。
第２問 〔２〕 三角比（正弦定理・余弦定理と三角形の合同条件）
外接円の半径と面積から三角形を決めていく設問です。sin の値が同じでも角が２通りあるという事実が、最後の合同条件の真偽判定にそのまま効いてきます。
サ，シ：正解 ②, ④（配点3）
＜問題要旨＞
BC ＝ 4、外接円の半径 4√3／3 のときの ∠BAC を求める設問です。
＜考え方＞
正弦定理で sin∠BAC を出します。sin の値が同じ角は 0°〜180° に２つあります。
正弦定理 BC ／ sin∠BAC ＝ 2R
sin∠BAC ＝ 4 ／ (2 × 4√3／3)
＝ 12 ／ (8√3)
＝ √3 ／ 2
0° < ∠BAC < 180° より
∠BAC ＝ 60° または 120°
小さいほうが 60°、大きいほうが 120°。サ＝②、シ＝④。
ス：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
△ABC の面積が 3√3／4 のときの AB・AC の値を求める設問です。
＜考え方＞
面積公式を使います。sin∠BAC は 60° でも 120° でも √3／2 なので、場合分けは不要です。
(1／2) × AB·AC × (√3／2) ＝ 3√3／4 AB·AC × (√3／4) ＝ 3√3／4 AB·AC ＝ 3
ス＝③。
セ，ソ：正解 ①, ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
∠BAC ＝ 60° のときの AB² ＋ AC² を求める設問です。
＜考え方＞
余弦定理を AB² ＋ AC² について解きます。
BC² ＝ AB² ＋ AC² − 2·AB·AC·cos60° 16 ＝ AB² ＋ AC² − 2 × 3 × (1／2) 16 ＝ AB² ＋ AC² − 3 AB² ＋ AC² ＝ 19
セソ＝19、すなわち セ＝①、ソ＝⑨。
タ，チ，ツ：正解 ②, ⑤, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
(AB ＋ AC)² を求め、そこから AC を AB で表す設問です。
＜考え方＞
２乗の和と積がわかっているので、和の２乗の展開式を使います。
(AB ＋ AC)² ＝ AB² ＋ AC² ＋ 2·AB·AC
＝ 19 ＋ 2 × 3 ＝ 25
AB ＋ AC > 0 より AB ＋ AC ＝ 5
よって AC ＝ 5 − AB
タチ＝25、ツ＝⑤、すなわち タ＝②、チ＝⑤、ツ＝⑤。
テ，ト，ナ：正解 ⑤, ①, ③（配点3）
＜問題要旨＞
AB の値を求める設問です。
＜考え方＞
AC ＝ 5 − AB を AB·AC ＝ 3 に代入して、AB の２次方程式にします。
AB(5 − AB) ＝ 3
AB² − 5AB ＋ 3 ＝ 0
AB ＝ (5 ± √(25 − 12)) ／ 2
＝ (5 ± √13) ／ 2
テ＝⑤、トナ＝13、すなわち テ＝⑤、ト＝①、ナ＝③。
※ AB と AC は 5 − AB で入れ替わるだけなので、２つの解は同じ三角形の２辺を表しています。三角形は１つに決まります。
ニ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
三角形の合同条件についての命題 (a)(b) の真偽を判定する、第２問の結論です。
＜考え方＞
ここまでの計算そのものが (a) の反例になっています。
■ (a) 一組の辺・面積・外接円の半径が等しい
(1) の設定はまさにこれ。BC ＝ 4、
面積 3√3／4、外接円の半径 4√3／3。
ところが ∠BAC ＝ 60° の三角形と
∠BAC ＝ 120° の三角形の２つがあり
60° → AB ＝ (5 ± √13)／2
120° → AB ＝ (√19 ± √7)／2
辺の長さが違うので合同ではない → 偽
■ (b) 一組の角・面積・外接円の半径が等しい
角 A と外接円の半径 R が決まると
正弦定理より a ＝ 2R sinA が決まる
面積 S ＝ (1／2)bc sinA より bc が決まる
余弦定理 a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cosA より
b² ＋ c² が決まり、(b ＋ c)² も決まる
b ＋ c と bc が決まれば b, c は
（入れ替えを除いて）一通りに定まる → 真
(a) 偽・(b) 真 の組合せは②です。ニ＝②。
※ (a) が偽になるのは、sin から角を決めるときに 60° と 120° の２通りが残るからです。角そのものを与える (b) では、その曖昧さが消えます。
第３問 〔１〕 ２次関数（放物線の平行移動と内接する長方形）
放物線を c だけずらしたとき、x 軸との交わり方がどう変わるかを追い、最後は長方形の面積の最大値を求める設問です。平行移動した式は展開せず、頂点の形のまま扱うと計算がぐっと軽くなります。
ア，イ，ウ：正解 ②, ②, ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
c ＝ −1 のときの H の方程式を求める設問です。
＜考え方＞
G を x 軸方向に 4c、y 軸方向に c² − 8c + 6 だけ平行移動するので、x を x − 4c に置き換え、定数を足します。
G ： y ＝ (1／4)x² ＋ 1
H ： y ＝ (1／4)(x − 4c)² ＋ 1 ＋ (c² − 8c ＋ 6)
c ＝ −1 を代入すると
4c ＝ −4, c² − 8c ＋ 6 ＝ 1 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 15
H ： y ＝ (1／4)(x ＋ 4)² ＋ 16
展開して ＝ (1／4)(x² ＋ 8x ＋ 16) ＋ 16 ＝ (1／4)x² ＋ 2x ＋ 4 ＋ 16 ＝ (1／4)x² ＋ 2x ＋ 20
ア＝②、イウ＝20、すなわち ア＝②、イ＝②、ウ＝⓪。
エ，オ：正解 ①, ⑦（配点3）
＜問題要旨＞
H と x 軸の共有点が２個になる c の範囲を求める設問です。
＜考え方＞
H は下に凸なので、頂点の y 座標が負であれば x 軸と２点で交わります。頂点の形のままなら y 座標がすぐ読めます。
H ： y ＝ (1／4)(x − 4c)² ＋ (c² − 8c ＋ 7)
頂点の y 座標 ＝ c² − 8c ＋ 7
これが負であればよい
c² − 8c ＋ 7 < 0
(c − 1)(c − 7) < 0
1 < c < 7
エ＝①、オ＝⑦。
カ，キ，ク，ケ：正解 ①, ⑥, −, ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
c ＝ 4 のときの H の頂点 P の座標を求める設問です。
＜考え方＞
エオで整理した頂点の形にそのまま代入します。
4c ＝ 16 c² − 8c ＋ 7 ＝ 16 − 32 ＋ 7 ＝ −9 H ： y ＝ (1／4)(x − 16)² − 9 頂点 P(16, −9)
カキ＝16、クケ＝−9、すなわち カ＝①、キ＝⑥、ク＝−、ケ＝⑨。
コ，サ，シ，ス：正解 ①, ⓪, ②, ②（配点3）
＜問題要旨＞
H と x 軸との共有点 A, B の座標を求める設問です。
＜考え方＞
頂点の形のまま y ＝ 0 とおくのが最短です。
(1／4)(x − 16)² − 9 ＝ 0 (x − 16)² ＝ 36 x − 16 ＝ ±6 x ＝ 10 または 22
A(10, 0)、B(22, 0)、すなわち コ＝①、サ＝⓪、シ＝②、ス＝②。
セ，ソ：正解 ②, ⑦（配点4）
＜問題要旨＞
線分 AB 上に一辺があり、線分 PA・PB 上に頂点を１つずつもつ長方形 S の面積の最大値を求める、第３問前半の結論です。
＜考え方＞
長方形の高さを h とおいて、幅を h の式で表します。放物線ではなく線分 PA、PB（直線）の上に頂点があることに注意してください。
P(16, −9), A(10, 0), B(22, 0)
長方形の下辺の高さを y ＝ −h（0 < h < 9）とする
直線 AP：A(10,0) から P(16,−9) へ
x 方向に ＋6 進むと y 方向に −9
y ＝ −h のとき x ＝ 10 ＋ (6／9)h ＝ 10 ＋ (2／3)h
直線 BP：B(22,0) から P(16,−9) へ
y ＝ −h のとき x ＝ 22 − (2／3)h
幅 ＝ (22 − (2／3)h) − (10 ＋ (2／3)h)
＝ 12 − (4／3)h
高さ ＝ h
面積 T ＝ h{12 − (4／3)h}
＝ −(4／3)h² ＋ 12h
＝ −(4／3)(h² − 9h)
＝ −(4／3)(h − 9／2)² ＋ 27
h ＝ 9／2（＝4.5）は 0 < h < 9 の範囲内なので、最大値は 27。セソ＝27、すなわち セ＝②、ソ＝⑦。
※ このとき幅は 12 − 6 ＝ 6、高さは 4.5 で、6 × 4.5 ＝ 27 ✓ と検算できます。
第３問 〔２〕 ２次関数（絶対値を含む関数のグラフ）
絶対値の中身の符号で場合分けし、区間ごとに直線か放物線かを判定する設問です。後半では太郎さんと花子さんが「計算せずに概形を見抜く手順」を整理してくれるので、その手順を３つの関数に当てはめるだけになります。
タ，チ，ツ：正解 −, ④, ②（配点2）
＜問題要旨＞
２次不等式 x² ＋ 2x − 8 < 0 を解く設問です。
＜考え方＞
因数分解します。
x² ＋ 2x − 8 ＝ (x ＋ 4)(x − 2) < 0 −4 < x < 2
タチ＝−4、ツ＝②、すなわち タ＝−、チ＝④、ツ＝②。この範囲で絶対値の中身が負になります。
テ，ト，ナ，ニ：正解 ①, −, ⑤, ④（配点3）
＜問題要旨＞
y ＝ (1／4)x² − (1／2)x − 1 の頂点の座標を求める設問です。
＜考え方＞
x² の係数 1／4 でくくってから平方完成します。
y ＝ (1／4)(x² − 2x) − 1
＝ (1／4){(x − 1)² − 1} − 1
＝ (1／4)(x − 1)² − 1／4 − 1
＝ (1／4)(x − 1)² − 5／4
頂点 (1, −5／4)
テ＝①、トナ／ニ＝−5／4、すなわち テ＝①、ト＝−、ナ＝⑤、ニ＝④。
ヌ：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
①のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
区間ごとの式と、つなぎ目 x ＝ −4, 2 での y の値を押さえます。
■ −4 < x < 2 のとき
y ＝ −x ＋ 1 （右下がりの直線）
x ＝ −4 → y ＝ 5
x ＝ 2 → y ＝ −1
■ x ≦ −4, 2 ≦ x のとき
y ＝ (1／4)x² − (1／2)x − 1 （下に凸の放物線）
x ＝ −4 → 4 ＋ 2 − 1 ＝ 5 ✓ つながる
x ＝ 2 → 1 − 1 − 1 ＝ −1 ✓ つながる
放物線の頂点は x ＝ 1 なので
x ≦ −4 の部分は左上から下りてくる
2 ≦ x の部分は右上へ上がる
→ 全体は「両側が下に凸の放物線、
真ん中が右下がりの直線」
この形は①です。ヌ＝①。
※ ⓪は真ん中の線分が右上がりで、①は右下がりです。つなぎ目の y の値（5 と −1）を比べれば一瞬で区別できます。
ネ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
②の関数 y ＝ −(1／8)|x² − 9| − (1／8)x² ＋ x のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
会話文の手順どおり、絶対値の中身の符号で場合分けして、x² の項が残るかどうかを見ます。
■ x² − 9 < 0（−3 < x < 3）のとき
|x² − 9| ＝ 9 − x²
y ＝ −(1／8)(9 − x²) − (1／8)x² ＋ x
＝ −9／8 ＋ x²／8 − x²／8 ＋ x
＝ x − 9／8
→ x² が消えて、傾き正の１次関数
■ x² − 9 > 0 のとき
y ＝ −(1／8)(x² − 9) − (1／8)x² ＋ x
＝ −x²／4 ＋ x ＋ 9／8
→ x² の係数が負 ＝ 上に凸の放物線
真ん中が右上がりの直線、両側が上に凸の放物線。これは③です。ネ＝③。
ノ：正解 ⑧（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ (1／8)|x² − 9| − (1／8)x² ＋ x のグラフの概形を選ぶ設問です。ネと絶対値の符号だけが違います。
＜考え方＞
同じ手順で場合分けします。今度は中と外が入れかわります。
■ −3 < x < 3 のとき
y ＝ (1／8)(9 − x²) − (1／8)x² ＋ x
＝ −x²／4 ＋ x ＋ 9／8
→ 上に凸の放物線
■ |x| > 3 のとき
y ＝ (1／8)(x² − 9) − (1／8)x² ＋ x
＝ x − 9／8
→ 傾き正の直線
真ん中が上に凸の放物線でふくらみ、両側が右上がりの直線。これは⑧です。ノ＝⑧。
※ ⑥は真ん中が下にへこむ形です。中央部が上に凸か下に凸かで見分けます。
ハ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
y ＝ (1／8)|x² ＋ 2√5 x − 4| ＋ (1／8)(x² ＋ 2√5 x) のグラフの概形を選ぶ、第３問の結論です。
＜考え方＞
x² ＋ 2√5 x をひとかたまり u と見ると、構造がはっきりします。
u ＝ x² ＋ 2√5 x とおくと
y ＝ (1／8)|u − 4| ＋ (1／8)u
■ u − 4 < 0 のとき
y ＝ (1／8)(4 − u) ＋ u／8 ＝ 4／8 ＝ 1／2
→ u が消えて、y は定数（水平な線分）
■ u − 4 > 0 のとき
y ＝ (1／8)(u − 4) ＋ u／8 ＝ u／4 − 1／2
→ u ＝ x² ＋ 2√5x なので下に凸の放物線
なお u − 4 ＝ x² ＋ 2√5x − 4 ＝ 0 の解は x ＝ (−2√5 ± 6)／2 ＝ −√5 ± 3 この間で水平、外側で下に凸の放物線
真ん中が水平な線分、両側が下に凸の放物線。これは②です。ハ＝②。
第４問 〔１〕 データの分析（最小値と最大値を除外した評点）
採点で最小値と最大値を１個ずつ除く、という実際の競技でよくある方式を題材にした設問です。後半は文字式のまま平均を扱うので、定義に戻って自分で式を組み立てられるかが問われます。
ア：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
「元の評点」1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5 について、「調整後の評点」の平均 ȳ を求める設問です。
＜考え方＞
最小値 1 と最大値 5 を１個ずつ除いた 8 個の平均をとります。
調整後の評点： 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4 合計 ＝ 2×2 ＋ 3×4 ＋ 4×2 ＝ 24 ȳ ＝ 24 ／ 8 ＝ 3
ア＝③。（元の平均 x̄ ＝ 3 と同じ値になっています。）
イ，ウ：正解 ⓪, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
「調整後の評点」の分散 t² を求める設問です。
＜考え方＞
平均が 3 なので、偏差の２乗の平均をとります。
偏差： 2→−1（2個）, 3→0（4個）, 4→＋1（2個） 偏差の2乗の和 ＝ 1×2 ＋ 0×4 ＋ 1×2 ＝ 4 t² ＝ 4 ／ 8 ＝ 0.5
イ．ウ＝0.5、すなわち イ＝⓪、ウ＝⑤。
※ 元の分散 s² ＝ 1.2 より小さくなっています。両端を除くとばらつきが小さくなる、というこの方式のねらいがここに表れています。
エ，オ：正解 ⑤, ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
x̄ を z̄ と ȳ で表す設問です。
＜考え方＞
A と B をそれぞれ z̄、ȳ で書き直して、x̄ ＝ (A ＋ B)／n に代入します。
z̄ ＝ A／2 → A ＝ 2z̄
ȳ ＝ B／(n−2) → B ＝ (n − 2)ȳ
x̄ ＝ (A ＋ B)／n
＝ { 2z̄ ＋ (n − 2)ȳ } ／ n
＝ (2／n)·z̄ ＋ {(n − 2)／n}·ȳ
エ＝⑤（2／n）、オ＝⑥（(n−2)／n）。
※ 2／n と (n−2)／n を足すと 1 になります。x̄ は z̄ と ȳ を個数の比で重みづけした平均だ、という意味です。
カ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
x̄ ≦ ȳ が成り立つための必要十分条件を選ぶ設問です。
＜考え方＞
エオで得た式をそのまま不等式に入れて、整理します。
(2／n)z̄ ＋ {(n−2)／n}ȳ ≦ ȳ
(2／n)z̄ ≦ ȳ − {(n−2)／n}ȳ
右辺 ＝ {(n − (n−2))／n}ȳ ＝ (2／n)ȳ
2／n > 0 なので両辺を割って
z̄ ≦ ȳ
カ＝②。
※ 「除外した２個の平均が、残した評点の平均以下なら、全体の平均も下がる」という自然な内容です。
キ：正解 ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
n ＝ 5、x2 ＝ x3 ＝ x4 ＝ 3 のとき、x̄ ≦ ȳ となる (x1, x5) の組の個数を求める設問です。
＜考え方＞
カで得た「x̄ ≦ ȳ ⟺ z̄ ≦ ȳ」を使うと、数え上げがとても簡単になります。
ȳ ＝ (x₂ ＋ x₃ ＋ x₄)／3 ＝ 3
z̄ ＝ (x₁ ＋ x₅)／2
条件 z̄ ≦ ȳ ⟺ (x₁ ＋ x₅)／2 ≦ 3
⟺ x₁ ＋ x₅ ≦ 6
評点は 1〜5 で、小さい順に並んでいるので
x₁ ≦ x₂ ＝ 3 → x₁ ∈ {1, 2, 3}
x₅ ≧ x₄ ＝ 3 → x₅ ∈ {3, 4, 5}
x₁ ＋ x₅ ≦ 6 を満たす組 x₁ ＝ 1 → x₅ ＝ 3, 4, 5 （和 4, 5, 6）… 3組 x₁ ＝ 2 → x₅ ＝ 3, 4 （和 5, 6） … 2組 x₁ ＝ 3 → x₅ ＝ 3 （和 6） … 1組 合計 6 組
キ＝⑥。
第４問 〔２〕 データの分析（共分散と相関係数）
３組のデータに、y だけを a ずらした３組を加えて６組にしたとき、共分散と相関係数がどう変わるかを調べる設問です。Σ(xi − x̄) ＝ 0 という基本事実が、そのまま答えを決めます。
ク：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
データ Z′ の v の平均 v̄ を、ȳ と a で表す設問です。
＜考え方＞
６個の v の合計を素直に足します。
v の値は
y₁, y₂, y₃, y₁＋a, y₂＋a, y₃＋a
合計 ＝ 2(y₁ ＋ y₂ ＋ y₃) ＋ 3a
v̄ ＝ { 2(y₁ ＋ y₂ ＋ y₃) ＋ 3a } ／ 6
＝ (y₁ ＋ y₂ ＋ y₃)／3 ＋ a／2
＝ ȳ ＋ a／2
ク＝②（a／2）。
※ ū のほうは、x が 2 回ずつ現れるだけなので ū ＝ x̄ のまま変わりません。
ケ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
データ Z′ の共分散 suv を sxy で表す設問です。
＜考え方＞
６項を「元の３組」と「a を足した３組」に分けて、それぞれ計算します。ずれ ±a／2 の項は、偏差の和が 0 になるので消えます。
v̄ ＝ ȳ ＋ a／2 なので
■ 後半3組（v ＝ yᵢ ＋ a）
(xᵢ − x̄)(yᵢ ＋ a − ȳ − a／2)
＝ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ＋ (a／2)(xᵢ − x̄)
和をとると
Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ＋ (a／2)Σ(xᵢ − x̄)
Σ(xᵢ − x̄) ＝ 0 なので第2項は消えて
＝ 3 s_xy
■ 前半3組（v ＝ yᵢ）
(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ − a／2)
＝ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) − (a／2)(xᵢ − x̄)
同じ理由で第2項は消えて ＝ 3 s_xy
s_uv ＝ (1／6)(3 s_xy ＋ 3 s_xy) ＝ s_xy
ケ＝⓪（sxy）。共分散は変わりません。
コ，サ：正解 ⓪, ④（配点2）
＜問題要旨＞
相関係数 r と r′ の関係として正しいものを２つ選ぶ、第４問の結論です。
＜考え方＞
相関係数は「共分散 ÷（２つの標準偏差の積）」です。ケで分子は変わらないとわかったので、分母がどう変わるかだけを見ます。
r ＝ s_xy ／ (s_x · s_y)
r′ ＝ s_uv ／ (s_u · s_v) ＝ s_xy ／ (s_u · s_v)
■ s_u について
u は x₁, x₂, x₃ が2回ずつ並ぶだけ
→ 散らばり方は変わらず s_u ＝ s_x
■ s_v について
Σ(vᵢ − v̄)²
＝ Σ(yᵢ − ȳ − a／2)² ＋ Σ(yᵢ − ȳ ＋ a／2)²
＝ 2Σ(yᵢ − ȳ)² ＋ 6·(a²／4)
s_v² ＝ (1／6){ 6 s_y² ＋ (3／2)a² }
＝ s_y² ＋ a²／4
a ≠ 0 なので s_v > s_y
よって r′ ＝ r × (s_y ／ s_v) で 0 < s_y／s_v < 1 → r′ は r と同じ符号で、絶対値は小さくなる
したがって「r > 0 ならば r′ > 0」と「r ＝ 0 ならば r′ ＝ 0」が正しい選択肢です。コ，サ＝⓪, ④（順序は問われません）。
※ y を a だけずらしたデータを混ぜると、y 方向のばらつきだけが増えます。共分散は同じでも標準偏差が大きくなるので、相関は「弱まる」わけです。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。