2025年度 大学入学共通テスト 本試験 数学Ⅰ・A 解答・解説

＜問題要旨＞
a＝1 のときの①を b について整理した②を因数分解する問題です。x と b の２文字を含む式を扱うときは、次数の低い文字について整理するという定石が使えるかが問われています。

＜考え方＞
②は b について１次式なので、b がかかっている部分とそうでない部分に分けます。

② ＝ (4x² − 1)b ＋ 16x − 8

  4x² − 1 ＝ (2x − 1)(2x ＋ 1)
  16x − 8 ＝ 8(2x − 1)

ここで両方の項に (2x − 1) が共通因数として現れることに気づけるかがポイントです。

② ＝ (2x − 1)(2x ＋ 1)b ＋ 8(2x − 1)
   ＝ (2x − 1){ (2x ＋ 1)b ＋ 8 }
   ＝ (2x − 1)(2bx ＋ b ＋ 8)

問題の形 (2x − 1)(＜ア＞bx ＋ b ＋ ＜イ＞) と比べて、ア＝②、イ＝⑧。

＜問題要旨＞
b＝2 を代入した①を、a を含んだまま因数分解する問題です。文字が残っていてもたすき掛けの要領で分解できることを確認させています。

＜考え方＞

b ＝ 2 を①に代入すると

  (2a ＋ 4·2 − 2)x² ＋ (5a ＋ 11)x − 2 − 8
  ＝ (2a ＋ 6)x² ＋ (5a ＋ 11)x − 10

定数項が −10、x² の係数が 2(a ＋ 3) であることから (2x ＋ 5){(a ＋ 3)x − 2} の形を予想し、展開して確かめます。

(2x ＋ 5){(a ＋ 3)x − 2}
＝ 2(a ＋ 3)x² − 4x ＋ 5(a ＋ 3)x − 10
＝ (2a ＋ 6)x² ＋ (5a ＋ 15 − 4)x − 10
＝ (2a ＋ 6)x² ＋ (5a ＋ 11)x − 10   ← 一致

よって ウ＝②、エ＝⑤、オ＝③、カ＝②。

＜問題要旨＞
因数分解の結果に a＝2√2 を代入し、分母を有理化する計算問題です。

＜考え方＞
(2x ＋ 5){(a ＋ 3)x − 2}＝0 の解は x＝−5/2 と x＝2/(a ＋ 3) の２つです。後者に a＝2√2 を代入します。

2 ÷ (2√2 ＋ 3)

分母を有理化する（2√2 − 3 を掛ける）

＝ 2(2√2 − 3) ÷ {(2√2 ＋ 3)(2√2 − 3)}
＝ 2(2√2 − 3) ÷ (8 − 9)
＝ 2(2√2 − 3) ÷ (−1)
＝ −4√2 ＋ 6
＝ 6 − 4√2

問題の形 ＜キ＞−＜ク＞√2 と比べて、キ＝⑥、ク＝④。

＜問題要旨＞
第１問で最も差がつく設問です。x² の係数が 0 になる場合を見落とさないことと、重解になる場合を思いつけるかが鍵になります。

＜十分性の確認＞

a ＝ −3 のとき

  (2·(−3) ＋ 6)x² ＋ (5·(−3) ＋ 11)x − 10
  ＝ 0·x² − 4x − 10 ＝ 0
  → −4x ＝ 10
  → x ＝ −5/2

２次の係数が 0 になって１次方程式となり、解は x＝−5/2 だけです。よって十分条件です。

＜必要性の検討＞
a ≠ −3 のとき①は２次方程式で、解は x＝−5/2 と x＝2/(a ＋ 3) です。この２つが一致すれば（重解になれば）、解は x＝−5/2 だけになります。

2/(a ＋ 3) ＝ −5/2

  4 ＝ −5(a ＋ 3)
  4 ＝ −5a − 15
  5a ＝ −19
  a ＝ −19/5

a＝−19/5 のときも解は x＝−5/2 のみです。つまり a＝−3 は必要条件ではありません。よってケ＝①（十分条件であるが，必要条件ではない）。

＜問題要旨＞
中心から弦に下ろした垂線が弦を二等分することを使い、弦PAの長さを角αで表す問題です。

＜考え方＞
円Oの中心Oから弦PAに下ろした垂線の足がHです。OA⊥ℓ より ∠OAB＝90° なので ∠OAH＝90°−α、したがって直角三角形OAHにおいて ∠AOH＝α となります。

△OAH は ∠OHA ＝ 90° の直角三角形
  OA ＝ 2（円Oの半径）, ∠AOH ＝ α

  AH ＝ OA · sin∠AOH ＝ 2 sin α

垂線は弦を二等分するので
  PA ＝ 2AH ＝ 4 sin α

よって コ＝②、サ＝④。

＜考え方＞
円O′について、まったく同じ議論を繰り返します。半径が 4 に変わるだけです。

BH′ ＝ 4 sin β
PB ＝ 2BH′ ＝ 8 sin β

よって シ＝⑧。

＜問題要旨＞
正弦定理を正しく対応させられるかを問う設問です。辺と向かい合う角を取り違えないことが全てです。

＜考え方＞
△PABにおいて、辺PAと向かい合う角は ∠PBA＝β、辺PBと向かい合う角は ∠PAB＝α です。

正弦定理：
  PA / sin β ＝ PB / sin α ＝ 2R₁

解答群は ⓪α、①β なので、ス＝①（β）、セ＝⓪（α）。

＜考え方＞
正弦定理から得られる PA sin α ＝ PB sin β に、①と②を代入します。

(4 sin α)·sin α ＝ (8 sin β)·sin β
  4 sin²α ＝ 8 sin²β
  sin²α ＝ 2 sin²β
  sin α ＝ √2 sin β   （α, β は鋭角なので sin は正）

したがって PB ＝ √2 PA

よって ソ＝②。

＜考え方＞
正弦定理 PA / sin β ＝ 2R₁ に PA ＝ 4 sin α ＝ 4√2 sin β を代入します。

2R₁ ＝ 4√2 sin β ÷ sin β ＝ 4√2
  R₁ ＝ 2√2

R₁ が α、β の値によらず一定になることがこの問題の核心で、次の設問の伏線になっています。よって タ＝②、チ＝②。

＜問題要旨＞
(1)の議論が点Qでもそのまま通用することに気づけるかを問う設問です。

＜考え方＞
R₁＝2√2 を導いた過程では、点Pが「２円の交点である」という事実しか使っていません。同じ議論を点Qに対して行えば R₂＝2√2 が得られます。

R₁ ＝ R₂ ＝ 2√2   → ツ ＝ ①（＝）

△PAB と △QAB は辺ABを共有するので、正弦定理より
  AB / sin∠APB ＝ 2R₁
  AB / sin∠AQB ＝ 2R₂

R₁ ＝ R₂ だから sin∠APB ＝ sin∠AQB → テ ＝ ①（＝）

よって ツ＝①、テ＝①。

＜考え方＞
AB＝2√7 と R₁＝2√2 を正弦定理に入れるだけです。

AB / sin∠APB ＝ 2R₁ ＝ 4√2

  sin∠APB ＝ 2√7 ÷ (4√2)
          ＝ √7 ÷ (2√2)
          ＝ √14 / 4

問題の形 √＜トナ＞ / ＜ニ＞ と比べて、ト＝①、ナ＝④、ニ＝④。

＜問題要旨＞
第１問の最終問題です。sin が等しいのに角が異なるという条件から、∠APB が鋭角であることを特定できるかが問われます。

＜考え方＞
sin∠APB＝sin∠AQB かつ ∠APB≠∠AQB なので、この２角は補角の関係にあります。

∠APB ＋ ∠AQB ＝ 180°
問題の条件 ∠APB ＜ ∠AQB より ∠APB ＜ 90°（鋭角）

よって cos∠APB は正：
  cos∠APB ＝ √(1 − 14/16) ＝ √(2/16) ＝ √2 / 4

△PABに余弦定理を適用します。PB＝√2 PA を使うと PA だけの式になります。

AB² ＝ PA² ＋ PB² − 2·PA·PB·cos∠APB

  28 ＝ PA² ＋ 2PA² − 2·PA·(√2 PA)·(√2/4)
  28 ＝ 3PA² − PA²
  28 ＝ 2PA²
  PA² ＝ 14
  PA ＝ √14

よって ヌ＝①、ネ＝④。なお ∠AQB は鈍角なので cos∠AQB＝−√2/4 となり、同様の計算で QA＝√7 が確かめられます。

＜考え方＞
仮定1より C₁ は点(0, 1)を通ります。y＝ax²＋bx＋c に x＝0 を代入すると y＝c なので、ア＝①。

＜考え方＞
C₁ は x軸と点(−5/2, 0)、(1/2, 0) で交わるので、因数分解された形で表せます。

y ＝ a(x ＋ 5/2)(x − 1/2)

点(0, 1)を通るので
  a·(5/2)·(−1/2) ＝ 1
  −5a/4 ＝ 1
  a ＝ −4/5

よって
  y ＝ −(4/5)(x ＋ 5/2)(x − 1/2)
    ＝ −(4/5)(x² ＋ 2x − 5/4)
    ＝ −(4/5)x² − (8/5)x ＋ 1

よって イ＝④、ウ＝⑤、エ＝⑧、オ＝⑤。

＜考え方＞
頂点の x座標は２つの交点の中点、つまり x＝(−5/2＋1/2)÷2＝−1 です。

y(−1) ＝ −(4/5)·1 − (8/5)·(−1) ＋ 1
     ＝ −4/5 ＋ 8/5 ＋ 1
     ＝ 4/5 ＋ 1
     ＝ 9/5

よって カ＝⑨、キ＝⑤（小さな噴水の高さは 9/5 メートル）。

＜問題要旨＞
対称性に気づけるかどうかで所要時間が大きく変わります。C₂ が通る３点を求めてから式を立てます。

＜考え方＞
C₃ は C₁ を y軸に関して折り返したものなので、頂点は (1, 9/5) です。仮定2より C₂ は P₂(3/2, 0)、C₃の頂点(1, 9/5)、C₁の頂点(−1, 9/5) を通ります。

(−1, 9/5) と (1, 9/5) は y座標が等しいので、C₂ の軸は y軸（x＝0）です。したがって y＝px²＋q とおけます。

x ＝ 1 のとき：  p ＋ q ＝ 9/5     …(あ)
x ＝ 3/2 のとき：(9/4)p ＋ q ＝ 0   …(い)

(い) − (あ)：
  (9/4 − 1)p ＝ −9/5
  (5/4)p ＝ −9/5
  p ＝ −36/25

(あ)より
  q ＝ 9/5 ＋ 36/25 ＝ 45/25 ＋ 36/25 ＝ 81/25

軸が y軸なので頂点の y座標は q そのものです。よって ク＝⑧、ケ＝①、コ＝②、サ＝⑤（81/25）。

＜考え方＞

(81/25) ÷ (9/5) ＝ (81/25)·(5/9) ＝ 9/5 ＝ 1.8

1.8倍なので、最も近いのは「およそ2倍」。よって シ＝⓪。

＜問題要旨＞
頂点の高さを 5 に変えたとき、水が出る位置がどう動くかを求めます。前問と同じく軸が y軸であることを使うのが近道です。

＜考え方＞
C₂′ も C₁、C₃ の頂点(±1, 9/5)を通るので軸は y軸、頂点の y座標が 5 だから y＝p′x²＋5 とおけます。

x ＝ 1 のとき
  p′ ＋ 5 ＝ 9/5
  p′ ＝ 9/5 − 5 ＝ −16/5

x軸との交点（y ＝ 0）は
  −(16/5)x² ＋ 5 ＝ 0
  x² ＝ 25/16
  x ＝ ±5/4

P₂′ は x軸の正の部分にあるので P₂′(5/4, 0)

P₂ は (3/2, 0)＝(6/4, 0) なので、差は 6/4 − 5/4 ＝ 1/4。P₂′ の方が原点に近い、つまり P₁ の側にあります。よって ス＝①、セ＝④、ソ＝⓪（P₁）。

＜考え方＞
(a) 日本人宿泊者数が2500を超えるのは表1より P45（2831）、P46（2839）、P47（5226）の３県です。このうち散布図で外国人宿泊者数が100を超えているのは２県なので、(a)は正。

(b) 破線は y＝10x（日本人が外国人のちょうど10倍）を表します。「10倍未満」とは破線より下側にある点のことです。散布図では大半の点が破線より上側（左上）に集まっているため、下側にある県は半数に届きません。よって(b)も正。

したがって タ＝⓪（(a)正・(b)正）。

＜問題要旨＞
データ数が47個（奇数）のときの四分位数の求め方を正しく理解しているかが問われます。

＜考え方＞
47個なので中央値は小さい方から24番目（P24）。第1四分位数は下位23個（P1〜P23）の中央値、第3四分位数は上位23個（P25〜P47）の中央値です。

第1四分位数 ＝ P12 ＝ 351
第3四分位数 ＝ P36 ＝ 1251

四分位範囲 ＝ 1251 − 351 ＝ 900

よって チ＝④（900）。

＜考え方＞
まず日本人宿泊者数について外れ値の基準を計算します。

下側：351 − 1.5×900 ＝ 351 − 1350 ＝ −999
  → 負の値なので該当なし

上側：1251 ＋ 1.5×900 ＝ 1251 ＋ 1350 ＝ 2601
  → 2601以上は P45(2831), P46(2839), P47(5226) の3県

この3県はいずれも表1で ＊ 印（外国人宿泊者数の外れ値）が付いています。したがって両方で外れ値となるのは ツ＝③ 県です。

＜問題要旨＞
和の分散の公式を、その場で導けるかを問う設問です。公式を暗記していなくても、問題文の誘導 zᵢ − z̄ ＝ (xᵢ − x̄) ＋ (yᵢ − ȳ) から導けます。

sz² ＝ (1/n)Σ(zᵢ − z̄)²
   ＝ (1/n)Σ{(xᵢ − x̄) ＋ (yᵢ − ȳ)}²
   ＝ (1/n)Σ{(xᵢ − x̄)² ＋ 2(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ＋ (yᵢ − ȳ)²}
   ＝ sx² ＋ 2sxy ＋ sy²

よって テ＝④（sx² ＋ sy² ＋ 2sxy）。

＜考え方＞
正の相関があるということは共分散 sxy が正だということです。

sz² ＝ sx² ＋ sy² ＋ 2sxy   （sxy ＞ 0）
  → sz² ＞ sx² ＋ sy²

よって ト＝⓪。

＜考え方＞
実験結果の表から、表が23枚以上となった割合をすべて足します。

23枚：2.4 ％
24枚：0.9 ％
25枚：0.5 ％
26枚：0.4 ％
27枚：0.0 ％
28枚：0.1 ％
29枚以上：0.0 ％

合計 ＝ 2.4 ＋ 0.9 ＋ 0.5 ＋ 0.4 ＋ 0.0 ＋ 0.1 ＝ 4.3 ％

よって ナ＝④、ニ＝③。

＜問題要旨＞
仮説検定の結論を、方針の文言どおりに読み取れるかが問われます。

＜考え方＞
方針では「確率が5％未満であれば仮説は誤っていると判断する」とあります。求めた確率は 4.3％ で 5％未満です。

4.3 ％ ＜ 5 ％
  → 「割合は等しい」という仮説は誤っていると判断する（ヌ ＝ ⓪）
  → キャンペーンAの方がよいと思っている人が多いといえる（ネ ＝ ⓪）

よって ヌ＝⓪、ネ＝⓪。

＜問題要旨＞
「３直線が１点で交わる」ことの証明の穴埋めです。どの面とどの面が、どの辺を共有しているかを正確に把握できているかが問われます。

＜考え方＞
辺ADを共有している面を探します。ADを含む面は四角形ABEDと四角形ACFDの２つです。したがって直線ADは平面ABEDと平面ACFDの交線であり、ア＝②（ACFD）。

同様に、辺BEを含む面は四角形ABEDと四角形BCFEなので、イ＝③（BCFE）。

平面ACFDと平面BCFEはどちらも点C、点Fを含むので、その交線は直線CFです。これで点Pが直線CF上にもあることが示されます。

＜考え方＞
４点A、B、E、Dが同一円周上にあるので、四角形ABEDは円に内接します。直線ADと直線BEは向かい合う辺の延長で、その交点がPです。

△PABと△PEDは相似で、対応する辺の比は AB : ED ＝ 3 : 9 ＝ 1 : 3。よってウ＝③。

相似比より
  PE ＝ 3PA,  PD ＝ 3PB

PE ＝ PB ＋ BE ＝ PB ＋ 11 だから
  3PA ＝ PB ＋ 11    → エオ ＝ 11

PD ＝ PA ＋ AD ＝ PA ＋ 7 だから
  3PB ＝ PA ＋ 7     → カ ＝ 7

よって エ＝①、オ＝①、カ＝⑦。

＜考え方＞
前問で得た２式を連立します。

3PA ＝ PB ＋ 11   …(あ)
3PB ＝ PA ＋ 7    …(い)

(い)より PA ＝ 3PB − 7 を(あ)に代入
  3(3PB − 7) ＝ PB ＋ 11
  9PB − 21 ＝ PB ＋ 11
  8PB ＝ 32
  PB ＝ 4

よって PA ＝ 3·4 − 7 ＝ 5

よって キ＝⑤、ク＝④。

＜考え方＞
４点B、C、F、Eは同一円周上にあり、点Pは直線BEと直線CFの交点です。方べきの定理が使えます。

PE ＝ PB ＋ 11 ＝ 4 ＋ 11 ＝ 15

方べきの定理：PB · PE ＝ PC · PF
  4 × 15 ＝ PC × (PC ＋ 17)
  60 ＝ PC² ＋ 17PC
  PC² ＋ 17PC − 60 ＝ 0

  PC ＝ (−17 ＋ √(289 ＋ 240)) / 2
     ＝ (−17 ＋ √529) / 2
     ＝ (−17 ＋ 23) / 2 ＝ 3

よって ケ＝③。

＜考え方＞
相似な三角形の比を、平面BCFEと平面ACFDそれぞれで使います。PF＝PC＋CF＝3＋17＝20、PD＝3PB＝12 です。

【平面BCFE】△PBC ∽ △PFE
  BC : FE ＝ PB : PF ＝ 4 : 20 ＝ 1 : 5
  BC ＝ 3（正三角形ABCの一辺）だから
  EF ＝ 5 × 3 ＝ 15

【平面ACFD】△PAC ∽ △PFD
  AC : FD ＝ PA : PF ＝ 5 : 20 ＝ 1 : 4
  AC ＝ 3 だから
  DF ＝ 4 × 3 ＝ 12

よって コ＝①、サ＝⑤、シ＝①、ス＝②。

＜問題要旨＞
第３問で最も難しい設問です。三平方の定理の逆で直角を見つけ、そこから「直線と平面の垂直」を導きます。

＜考え方＞
まず △EDF に注目します。DE＝9、DF＝12、EF＝15 です。

9² ＋ 12² ＝ 81 ＋ 144 ＝ 225 ＝ 15²
  → ∠EDF ＝ 90°  （DE ⊥ DF）

次に △ADE を調べます。AEは四角形ABEDの対角線なので、△PAE に余弦定理を使って求めます。△PABは PA＝5、PB＝4、AB＝3 の三角形なので cos∠APB＝4/5 です。

AE² ＝ PA² ＋ PE² − 2·PA·PE·cos∠APB
   ＝ 25 ＋ 225 − 2·5·15·(4/5)
   ＝ 250 − 120 ＝ 130

△ADE で AD ＝ 7, DE ＝ 9, AE² ＝ 130
  7² ＋ 9² ＝ 49 ＋ 81 ＝ 130 ＝ AE²
  → ∠ADE ＝ 90°  （DE ⊥ DA）

DEは、平面ACFD上で交わる２直線 DA と DF の両方に垂直です。したがって直線DEは平面ACFDに垂直で、(b)は真。

平面ACFDに垂直なら、その平面上のすべての直線と垂直です。直線ACは平面ACFD上にあるので、(c)も真。

(a)については、平面ABEDと平面DEFの交線はDEです。DEに垂直な直線は平面ABED上ではDA、平面DEF上ではDFなので、２平面のなす角は∠ADFに等しくなります。∠ADFは90°ではない（計算すると鈍角）ため、(a)は偽です。

(a)偽・(b)真・(c)真 の組合せなので、セ＝④。

＜考え方＞
「1回目に当たる」と「1回目は外れて2回目に当たる」は互いに排反なので、足すだけです。

3/16 ＋ 1/8 ＝ 3/16 ＋ 2/16 ＝ 5/16

よって ア＝⑤、イ＝①、ウ＝⑥。

＜考え方＞
「1回目、2回目ともに当たりが出ない」は「1回目または2回目に当たりが出る」の余事象です。

1 − 5/16 ＝ 11/16

よって エ＝①、オ＝①、カ＝①、キ＝⑥。

＜考え方＞
「1回も当たりが出ない」は、「1回目・2回目ともに外れ」から「3回目に当たる」場合を除いたものです。

11/16 − 1/16 ＝ 10/16 ＝ 5/8

よって ク＝⑤、ケ＝⑧。

＜問題要旨＞
期待値の計算そのものは簡単ですが、「景品を受け取る確率」＝「3回のうちいずれかで当たる確率」と正しく捉えられるかがポイントです。

＜考え方＞

当たりが出る確率
  ＝ 3/16 ＋ 1/8 ＋ 1/16
  ＝ 3/16 ＋ 2/16 ＋ 1/16 ＝ 6/16 ＝ 3/8

（前問の「1回も当たらない確率 5/8」の余事象としても求まる）

期待値 E[X] ＝ 1200 × 3/8 ＋ 0 × 5/8 ＝ 450

よって コ＝④、サ＝⑤、シ＝⓪（450円）。

＜考え方＞
450円 は 500円 未満です。問題文の判断基準は「期待値が参加料未満であれば妥当」なので、

450 ＜ 500  → ス ＝ ⓪（未満である）
            → セ ＝ ⓪（妥当である）

よって ス＝⓪、セ＝⓪。

＜問題要旨＞
支払い方法2では、当たった時点でくじを引くのをやめるため、支払う回数そのものが確率変数になる点が新しい要素です。

＜考え方＞
Yのとる値と、それぞれの確率を対応させます。

Y ＝ 170（1回で当たり）      確率 3/16
Y ＝ 340（2回目で当たり）    確率 2/16
Y ＝ 510（2回とも外れ）      確率 11/16

（確率の合計 ＝ 3/16 ＋ 2/16 ＋ 11/16 ＝ 1 ✓）

E[Y] ＝ 170·(3/16) ＋ 340·(2/16) ＋ 510·(11/16)
    ＝ (510 ＋ 680 ＋ 5610) / 16
    ＝ 6800 / 16 ＝ 425

3回目に当たっても外れても、くじを3回引くことに変わりはないので、Y＝510 の確率は「2回とも外れ」の 11/16 になります。ここを 1/16 と 10/16 に分けて考える必要はありません。よって ソ＝④、タ＝②、チ＝⑤。

＜考え方＞

E[X] ＝ 450,  E[Y] ＝ 425
  450 ≧ 425  → ツ ＝ ①（以上である）
             → テ ＝ ①（妥当ではない）

よって ツ＝①、テ＝①。

＜問題要旨＞
第４問の最終問題です。くじ引き料 a を文字のまま期待値を立て、不等式を解きます。

＜考え方＞
くじ引き料が a 円のときの Y の期待値を、上と同じ形で立てます。

E[Y] ＝ a·(3/16) ＋ 2a·(2/16) ＋ 3a·(11/16)
    ＝ a(3 ＋ 4 ＋ 33) / 16
    ＝ 40a / 16 ＝ 5a / 2

妥当と判断するのは E[X] ＜ E[Y] のとき：
  450 ＜ 5a/2
  900 ＜ 5a
  a ＞ 180

よって妥当と判断するのは a ＞ 180 のとき、妥当ではないと判断するのは a ≦ 180 のときです。ト＝①、ナ＝⑧、ニ＝⓪。