2019年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2019年度 大学入試センター試験 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と同一の問題です。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（２倍角の公式と合成）
f(θ)＝3sin²θ＋4sinθcosθ−cos²θ を、２倍角の公式で sin2θ と cos2θ だけの式に直し、最後に合成する——という一本道の問題です。(3) の「とり得る最大の整数の値」は最大値そのものではないので、そこだけ注意します。
アイ：正解 −1（配点1）
＜問題要旨＞
f(0) の値を求めます。
＜考え方＞
θ＝0 を代入するだけです。
f(0) = 3·0² + 4·0·1 − 1² = −1
ウ＋√エ：正解 2＋√3（配点2）
＜問題要旨＞
f(π/3) の値を求めます。
＜考え方＞
sin(π/3)＝√3/2, cos(π/3)＝1/2 を代入します。
f(π/3) = 3·(√3/2)² + 4·(√3/2)·(1/2) − (1/2)²
= 3·(3/4) + √3 − 1/4
= 9/4 − 1/4 + √3
= 2 + √3
(cos2θ＋オ)／カ：正解 (cos2θ＋1)／2（配点2）
＜問題要旨＞
cos²θ を cos2θ で表します。
＜考え方＞
２倍角の公式 cos2θ＝2cos²θ−1 を cos²θ について解きます。
cos2θ = 2cos²θ − 1 2cos²θ = cos2θ + 1 cos²θ = (cos2θ + 1)/2
キ，ク，ケ：正解 2，2，1（配点3）
＜問題要旨＞
f(θ) を sin2θ と cos2θ を用いて表します。
＜考え方＞
sin²θ＝(1−cos2θ)/2、2sinθcosθ＝sin2θ、cos²θ＝(cos2θ+1)/2 をすべて代入します。
f(θ) = 3·(1 − cos2θ)/2 + 2·(2sinθcosθ) − (cos2θ + 1)/2 = 3/2 − (3/2)cos2θ + 2sin2θ − (1/2)cos2θ − 1/2 = 2sin2θ − 2cos2θ + 1 …①
コ，サ，シ：正解 2，2，4（配点3）
＜問題要旨＞
①を三角関数の合成で書き直します。
＜考え方＞
2sin2θ−2cos2θ の部分だけを合成します。係数が (2, −2) なので振幅は 2√2、位相のずれは π/4 です。
2sin2θ − 2cos2θ = √(2² + (−2)²) sin(2θ − α) ただし cosα = 2/(2√2) = 1/√2, sinα = 2/(2√2) = 1/√2 よって α = π/4 f(θ) = 2√2 sin(2θ − π/4) + 1
ス：正解 3（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ θ ≦ π における f(θ) のとり得る最大の整数の値 m を求めます。
＜考え方＞
2θ−π/4 の動く範囲に π/2 が含まれるので sin の最大値 1 が実現し、f の最大値は 2√2＋1。これを超えない最大の整数が m です。「最大値」ではなく「とり得る最大の整数」であることに注意します。
0 ≦ θ ≦ π のとき −π/4 ≦ 2θ − π/4 ≦ 7π/4 この範囲に π/2 が含まれるので sin(2θ − π/4) は 1 をとる f(θ) の最大値 = 2√2 + 1 = 3.828… f(θ) は連続なので 3 という値もとる とり得る最大の整数の値は m = 3
π／セ，π／ソ：正解 π／4，π／2（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ θ ≦ π で f(θ)＝3 となる θ を小さい順に求めます。
＜考え方＞
合成した式を使って sin(2θ−π/4)＝1/√2 の解を、2θ−π/4 の動く範囲の中で拾います。
2√2 sin(2θ − π/4) + 1 = 3 sin(2θ − π/4) = 1/√2 = √2/2 u = 2θ − π/4 とおくと −π/4 ≦ u ≦ 7π/4 sin u = √2/2 となるのは u = π/4, 3π/4 u = π/4 → 2θ = π/2 → θ = π/4 u = 3π/4 → 2θ = π → θ = π/2
第１問 〔２〕 指数・対数（連立方程式）
対数の連立方程式です。まず真数条件で範囲を押さえ、底の変換で②を y＝2x＋1 に直し、t＝(1/3)^x とおいて③を２次方程式にします。最後に t の範囲で解を選別するところが山場です。
タ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
真数の条件から x, y のとり得る値の範囲を選びます。
＜考え方＞
②に現れる対数の真数は x＋2 と y＋3。どちらも正でなければなりません。
log₂(x + 2) の真数条件： x + 2 > 0 → x > −2 log₄(y + 3) の真数条件： y + 3 > 0 → y > −3 → ②
チ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
底の変換公式で log₄(y＋3) を log₂ で表したときの分母を求めます。
＜考え方＞
底の変換公式 log_a b ＝ log_c b / log_c a を、底 4 から底 2 へ使います。
log₄(y + 3) = log₂(y + 3) / log₂4 log₂4 = 2 なので log₄(y + 3) = log₂(y + 3)/2
ツx＋テ：正解 2x＋1（配点2）
＜問題要旨＞
②から y を x の式で表します。
＜考え方＞
2log₄(y+3) が log₂(y+3) に化けるので、②は対数の差になります。
log₂(x + 2) − 2·{log₂(y + 3)/2} = −1
log₂(x + 2) − log₂(y + 3) = −1
log₂{(x + 2)/(y + 3)} = −1
(x + 2)/(y + 3) = 2⁻¹ = 1/2
2(x + 2) = y + 3
y = 2x + 1 …④
t²−トナt＋ニヌ：正解 t²−11t＋18（配点2）
＜問題要旨＞
t＝(1/3)^x とおいて③を t の方程式に直します。
＜考え方＞
④を代入してから、指数法則で (1/3)^{2x+1} と (1/3)^{x+1} を t で表します。
④より y = 2x + 1
(1/3)^{2x+1} − 11(1/3)^{x+1} + 6 = 0
(1/3)·{(1/3)^x}² − 11·(1/3)·(1/3)^x + 6 = 0
(1/3)t² − (11/3)t + 6 = 0
両辺を 3 倍して
t² − 11t + 18 = 0 …⑤
ネ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
t のとり得る値の範囲の下限を求めます。
＜考え方＞
指数関数の値はつねに正です。
t = (1/3)^x は指数関数なので t > 0
ノ：正解 9（配点1）
＜問題要旨＞
t のとり得る値の範囲の上限を求めます。
＜考え方＞
t＝(1/3)^x は減少関数なので、x ＞ −2 のとき t は (1/3)^{−2} より小さくなります。
t = (1/3)^x は底が 1 より小さいので減少関数 x > −2 のとき t < (1/3)⁻² = 3² = 9 よって 0 < t < 9 …⑥
ハ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
⑥の範囲で⑤を解きます。
＜考え方＞
因数分解して２解を出し、範囲外のものを落とします。
t² − 11t + 18 = 0 (t − 2)(t − 9) = 0 t = 2, 9 0 < t < 9 より t = 9 は不適 t = 2
log₃(ヒ／フ)：正解 log₃(1／2)（配点2）
＜問題要旨＞
x の値を求めます。
＜考え方＞
t の定義に戻します。底が 1/3 の指数方程式を、底 3 の対数に直して整理します。
(1/3)^x = 2
3^{−x} = 2
−x = log₃2
x = −log₃2 = log₃(1/2)
log₃(ヘ／ホ)：正解 log₃(3／4)（配点2）
＜問題要旨＞
y の値を求めます。
＜考え方＞
④に x を代入し、対数の性質でひとつの log₃ にまとめます。
y = 2x + 1 = 2log₃(1/2) + 1 = log₃(1/2)² + log₃3 = log₃(1/4) + log₃3 = log₃(3/4)
第２問 微分・積分（３次関数と放物線の接線）
３次関数 C：y＝x³＋px²＋qx と放物線 D：y＝−kx² が主役です。(2) で面積 S を a と k で表し、(3) で「A が C 上」「ℓ が C にも接する」の二条件から a² と k を確定させて S の値を出します。(3) の因数分解 (x−b)²(x＋2b) が最大のポイントです。
ア：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が x＝−1 で極値をとることから f′(−1) の値を求めます。
＜考え方＞
微分可能な関数が極値をとる点では導関数が 0 です。
f(x) = x³ + px² + qx が x = −1 で極値をとるので f'(−1) = 0
イ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
p の値を求めます。
＜考え方＞
f'(−1)＝0 と f(−1)＝2 の２式を連立します。
f'(x) = 3x² + 2px + q f'(−1) = 3 − 2p + q = 0 …(i) f(−1) = −1 + p − q = 2 …(ii) (i)より q = 2p − 3 (ii)に代入： −1 + p − (2p − 3) = 2 −p + 2 = 2 p = 0
ウエ：正解 −3（配点1）
＜問題要旨＞
q の値を求めます。
＜考え方＞
p が決まったので (i) に戻すだけです。
q = 2p − 3 = 2·0 − 3 = −3 よって f(x) = x³ − 3x
オ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
f(x) が極小値をとる x の値を求めます。
＜考え方＞
f'(x) を因数分解して増減を調べます。
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) x < −1 : f' > 0（増加） −1 < x < 1 : f' < 0（減少） x > 1 : f' > 0（増加） x = 1 で極小
カキ：正解 −2（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの極小値を求めます。
＜考え方＞
f(1) を計算します。
f(1) = 1³ − 3·1 = −2
クケ：正解 −2（配点2）
＜問題要旨＞
放物線 D 上の点 A(a, −ka²) における接線 ℓ の式の、x の係数を求めます。
＜考え方＞
D：y＝−kx² を微分して x＝a での傾きを出し、点 A を通る直線を書きます。
D: y = −kx², y' = −2kx 点 A における接線の傾きは −2ka ℓ: y = −2ka(x − a) + (−ka²) = −2kax + 2ka² − ka² = −2kax + ka² …①
ka^コ：正解 ka²（配点1）
＜問題要旨＞
接線 ℓ の式の定数項を求めます。
＜考え方＞
上の計算の定数項をそのまま読みます。
ℓ: y = −2kax + ka² 定数項は ka²
サ／シ：正解 a／2（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ と x 軸との交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
①で y＝0 とおいて解きます。k ＞ 0, a ＞ 0 なので割ってかまいません。
−2kax + ka² = 0 ka(−2x + a) = 0 k > 0, a > 0 より ka ≠ 0 x = a/2
(k／ス)a^セ：正解 (k／3)a³（配点2）
＜問題要旨＞
D と x 軸および直線 x＝a で囲まれた図形の面積を求めます。
＜考え方＞
D は x 軸の下側にあるので、|−kx²|＝kx² を 0 から a まで積分します。
∫₀^a {0 − (−kx²)} dx = ∫₀^a kx² dx
= [kx³/3]₀^a
= (k/3)a³
ソタ：正解 12（配点2）
＜問題要旨＞
D と ℓ および x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
上で求めた面積から、ℓ と x 軸と直線 x＝a が作る三角形の面積を引きます。三角形は底辺 a/2、高さ ka² です。
ℓ, x 軸, 直線 x = a で囲まれる三角形 頂点 (a/2, 0), (a, 0), (a, −ka²) 面積 = (1/2)·(a − a/2)·ka² = (1/2)·(a/2)·ka² = (k/4)a³ S = (k/3)a³ − (k/4)a³ = (4k − 3k)a³/12 = (k/12)a³
チ／ツ−テ：正解 3／a−a（配点3）
＜問題要旨＞
点 A が曲線 C 上にあるときの k を a で表します。
＜考え方＞
A(a, −ka²) を y＝x³−3x に代入します。a ＞ 0 なので a で割れます。
−ka² = a³ − 3a 両辺を a（≠0）で割って −ka = a² − 3 ka = 3 − a² k = (3 − a²)/a = 3/a − a
ト(b²−ナ)x：正解 3(b²−1)x（配点2）
＜問題要旨＞
ℓ と C の接点の x 座標を b とするとき、ℓ の方程式の x の係数を b で表します。
＜考え方＞
C の x＝b における接線を書きます。
f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3x² − 3 接線: y = (3b² − 3)(x − b) + (b³ − 3b) = (3b² − 3)x − 3b³ + 3b + b³ − 3b = 3(b² − 1)x − 2b³ …②
ニb³：正解 2b³（配点1）
＜問題要旨＞
同じく②の定数項を求めます。
＜考え方＞
上の計算の定数項をそのまま読みます。
②: y = 3(b² − 1)x − 2b³ 引かれている項は 2b³
(x−ヌ)²：正解 (x−b)²（配点1）
＜問題要旨＞
f(x)−g(x) の因数分解のうち、２乗になる因数を求めます。
＜考え方＞
x＝b で接するので (x−b)² を因数にもちます。
f(x) − g(x) = (x³ − 3x) − {3(b² − 1)x − 2b³}
= x³ − 3x − 3b²x + 3x + 2b³
= x³ − 3b²x + 2b³
= (x − b)²(x + 2b)
x＋ネb：正解 x＋2b（配点2）
＜問題要旨＞
同じく残りの１次因数を求めます。
＜考え方＞
展開して確かめます。ここから a と b の関係が出ます。
(x − b)²(x + 2b) = (x² − 2bx + b²)(x + 2b) = x³ + 2bx² − 2bx² − 4b²x + b²x + 2b³ = x³ − 3b²x + 2b³ （一致） f(x) − g(x) = 0 の解は x = b（重解）, x = −2b ℓ は D 上の点 A(a, …) を通るので a = −2b
ノハ／ヒ：正解 12／5（配点3）
＜問題要旨＞
a² の値を求めます。
＜考え方＞
①（−2ka）と②（3(b²−1)）はどちらも ℓ の傾き。等しいとおき、b＝−a/2 と k＝3/a−a を代入します。
①の傾き: −2ka ②の傾き: 3(b² − 1) a = −2b より b = −a/2, b² = a²/4 また k = 3/a − a なので ka = 3 − a² −2ka = 3(a²/4 − 1) −2(3 − a²) = (3/4)a² − 3 −6 + 2a² = (3/4)a² − 3 2a² − (3/4)a² = 3 (5/4)a² = 3 a² = 12/5
フ／ヘホ：正解 3／25（配点3）
＜問題要旨＞
S の値を求めます。
＜考え方＞
S＝(k/12)a³ に k＝(3−a²)/a を代入すると a³ の 1 つが約分され、a² だけの式になります。
k = (3 − a²)/a, a² = 12/5 より k = (3 − 12/5)/a = (3/5)/a S = (k/12)a³ = (1/12)·(3/5)/a·a³ = (1/12)·(3/5)·a² = (1/20)·a² = (1/20)·(12/5) = 12/100 = 3/25
第３問 図形と方程式（アポロニウスの円と接線）
２点からの距離の比が 2:1 である点の軌跡＝アポロニウスの円、という定番テーマです。(2) で求めた内分点 (0,1) と外分点 (8,5) は、実はこの円の直径の両端になっています。(4) は円の接線を「中心と接点を結ぶ半径に垂直」で押さえます。
x−アy＋イ：正解 x−2y＋2（配点2）
＜問題要旨＞
2点 A(−4, −1), B(2, 2) を通る直線の方程式を求めます。
＜考え方＞
傾きを出して点 A を通る直線を書き、指定の形に整理します。
傾き = (2 − (−1))/(2 − (−4)) = 3/6 = 1/2 y − (−1) = (1/2)(x − (−4)) 2(y + 1) = x + 4 2y + 2 = x + 4 x − 2y + 2 = 0
(ウ，エ)：正解 (0，1)（配点2）
＜問題要旨＞
線分 AB を 2:1 に内分する点の座標を求めます。
＜考え方＞
内分点の公式 ((n·x₁ + m·x₂)/(m+n), …) に m=2, n=1 を入れます。
内分点 = ((1·(−4) + 2·2)/3, (1·(−1) + 2·2)/3) = ((−4 + 4)/3, (−1 + 4)/3) = (0, 1)
(オ，カ)：正解 (8，5)（配点2）
＜問題要旨＞
線分 AB を 2:1 に外分する点の座標を求めます。
＜考え方＞
外分点の公式 ((−n·x₁ + m·x₂)/(m−n), …) に m=2, n=1 を入れます。
外分点 = ((−1·(−4) + 2·2)/(2 − 1), (−1·(−1) + 2·2)/(2 − 1)) = (4 + 4, 1 + 4) = (8, 5)
キ：正解 4（配点2）
＜問題要旨＞
AP : BP ＝ 2 : 1 を式にしたときの右辺の係数を求めます。
＜考え方＞
AP＝2BP の両辺を2乗すると AP²＝4BP² になります。
AP : BP = 2 : 1 より AP = 2BP
両辺を2乗して AP² = 4BP²
(x + 4)² + (y + 1)² = 4{(x − 2)² + (y − 2)²}
x²＋y²−クx−ケy＋コ：正解 x²＋y²−8x−6y＋5（配点2）
＜問題要旨＞
上の式を整理します。
＜考え方＞
両辺を展開して移項し、x²と y² の係数が 1 になるように 3 で割ります。
(左辺) = x² + 8x + 16 + y² + 2y + 1 (右辺) = 4(x² − 4x + 4 + y² − 4y + 4) = 4x² + 4y² − 16x − 16y + 32 0 = 3x² + 3y² − 24x − 18y + 15 両辺を 3 で割って x² + y² − 8x − 6y + 5 = 0
(サ，シ)：正解 (4，3)（配点1）
＜問題要旨＞
この軌跡（円 C）の中心の座標を求めます。
＜考え方＞
x, y それぞれについて平方完成します。
x² − 8x + y² − 6y + 5 = 0 (x − 4)² − 16 + (y − 3)² − 9 + 5 = 0 (x − 4)² + (y − 3)² = 20 中心 (4, 3)
ス√セ：正解 2√5（配点2）
＜問題要旨＞
円 C の半径を求めます。
＜考え方＞
平方完成した右辺の平方根です。
(x − 4)² + (y − 3)² = 20 半径 = √20 = 2√5 （参考：(2)の内分点 (0,1) と外分点 (8,5) は この円の直径の両端になっている）
(0，ソ)，(0，タ)：正解 (0，1)，(0，5)（配点1）
＜問題要旨＞
円 C と y 軸との交点の座標を求めます。
＜考え方＞
x＝0 を代入して y の２次方程式を解きます。
x = 0 を代入 0 + y² − 0 − 6y + 5 = 0 y² − 6y + 5 = 0 (y − 1)(y − 5) = 0 y = 1, 5 交点は (0, 1), (0, 5)
チツx＋テ：正解 −2x＋1（配点2）
＜問題要旨＞
点 (0, 1) における C の接線 ℓ₁ の方程式を求めます。
＜考え方＞
接線は中心と接点を結ぶ半径に垂直。半径の傾きの逆数の符号を変えたものが接線の傾きです。
中心 (4, 3) と接点 (0, 1) を結ぶ半径の傾き = (1 − 3)/(0 − 4) = (−2)/(−4) = 1/2 接線の傾き = −1/(1/2) = −2 ℓ₁: y = −2(x − 0) + 1 = −2x + 1
トx＋ナ：正解 2x＋5（配点2）
＜問題要旨＞
点 (0, 5) における C の接線 ℓ₂ の方程式を求めます。
＜考え方＞
同様に半径の傾きから接線の傾きを出します。
中心 (4, 3) と接点 (0, 5) を結ぶ半径の傾き = (5 − 3)/(0 − 4) = 2/(−4) = −1/2 接線の傾き = −1/(−1/2) = 2 ℓ₂: y = 2(x − 0) + 5 = 2x + 5
ニ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
y 軸と2直線 ℓ₁, ℓ₂ で囲まれた図形の面積を求めます。
＜考え方＞
三角形です。y 軸上の2点 (0,1), (0,5) を底辺とし、ℓ₁ と ℓ₂ の交点までの水平距離が高さになります。
ℓ₁ と ℓ₂ の交点 −2x + 1 = 2x + 5 −4x = 4 → x = −1, y = 3 交点は (−1, 3) 三角形の頂点は (0, 1), (0, 5), (−1, 3) 底辺（y 軸上）= 5 − 1 = 4 高さ = |−1 − 0| = 1 面積 = (1/2) × 4 × 1 = 2
第４問 高次方程式（４次式の因数分解と符号）
4次式 P(x)＝(x＋1)(x−3)Q(x) の Q(x)＝x²＋ax＋b を、判別式と符号で場合分けする問題です。(2) の三つの場合は「Q(x)＝0 の実数解が −1 だけ／3 だけ／−1 と 3」という分類。(3) は (x＋1)(x−3) が −1＜x＜3 で負になることに気づけば、Q(x) がどれでなければならないか一瞬で決まります。
x＋ア，x−イ：正解 x＋1，x−3（配点1）
＜問題要旨＞
因数定理により P(x) が割り切れる１次式を求めます。
＜考え方＞
P(α)＝0 ならば P(x) は x−α で割り切れます。実数解は −1 と 3 です。
P(−1) = 0 より P(x) は x − (−1) = x + 1 で割り切れる P(3) = 0 より P(x) は x − 3 で割り切れる x⁴ の係数が 1 なので P(x) = (x + 1)(x − 3)(x² + ax + b)
ウエ：正解 −a（配点1）
＜問題要旨＞
虚数解 α, β について α＋β を求めます。
＜考え方＞
α, β は Q(x)＝x²＋ax＋b＝0 の解なので、解と係数の関係が使えます。
x² + ax + b = 0 の２解が α, β 解と係数の関係より α + β = −a/1 = −a
オ：正解 b（配点1）
＜問題要旨＞
αβ を求めます。
＜考え方＞
同じく解と係数の関係です。
αβ = b/1 = b
a^カ−キb：正解 a²−4b（配点2）
＜問題要旨＞
Q(x)＝0 の判別式 D を a, b で表します。
＜考え方＞
２次方程式 x²＋ax＋b＝0 の判別式は a²−4b です。
Q(x) = x² + ax + b = 0 D = a² − 4·1·b = a² − 4b
ク：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
α, β が異なる二つの虚数解であるための D の条件を選びます。
＜考え方＞
２次方程式が異なる２つの虚数解をもつ ⟺ 判別式が負。
異なる二つの虚数解をもつ ⟺ D < 0 → ②
x²＋ケx＋コ：正解 x²＋2x＋1（配点2）
＜問題要旨＞
P(x)＝0 が虚数解をもたないときの Q(x) の一つ目の形を求めます。
＜考え方＞
P(x)＝0 の解が −1, 3 のみなので、Q(x)＝0 の実数解も −1 か 3 に限られます。まず −1 を重解にもつ場合です。
Q(x) = 0 の解が −1（重解）のとき Q(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1
サ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの Q(x) の値のようすを選びます。
＜考え方＞
(x＋1)² は完全平方なので、x＝−1 でだけ 0、他では正です。
Q(x) = (x + 1)² x = −1 のとき 0、その他の実数 x で正 → ①
x²−シx＋ス：正解 x²−6x＋9（配点2）
＜問題要旨＞
Q(x) の二つ目の形を求めます。
＜考え方＞
3 を重解にもつ場合です。
Q(x) = 0 の解が 3（重解）のとき Q(x) = (x − 3)² = x² − 6x + 9
セ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの Q(x) の値のようすを選びます。
＜考え方＞
(x−3)² も完全平方です。
Q(x) = (x − 3)² x = 3 のとき 0、その他の実数 x で正 → ②
x²−ソx−タ：正解 x²−2x−3（配点2）
＜問題要旨＞
Q(x) の三つ目の形を求めます。
＜考え方＞
−1 と 3 の両方を解にもつ場合です。
Q(x) = 0 の解が −1 と 3 のとき Q(x) = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3
チ：正解 ⑤（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの Q(x) の値のようすを選びます。
＜考え方＞
下に凸で２つの実数解をもつので、２解の間で負、外で 0 以上になります。「２点で 0 になり他は正」とする ③ ではないことに注意。
Q(x) = (x + 1)(x − 3) −1 < x < 3 のとき (x+1) > 0, (x−3) < 0 → 負 x ≦ −1 または x ≧ 3 のとき → 0 以上 → ⑤
ツ，テ，トナ，ニ：正解 4，2，12，9（配点4）
＜問題要旨＞
P(x) がすべての実数 x で 0 以上となるときの P(x) を求めます。
＜考え方＞
(x＋1)(x−3) は −1＜x＜3 で負。積 P(x) をつねに 0 以上にするには、Q(x) も同じ区間で負でなければなりません。それは三つの場合のうち⑤にあたるものだけです。
(x + 1)(x − 3) は −1 < x < 3 で負、その他で 0 以上 P(x) = (x + 1)(x − 3)·Q(x) ≧ 0 がすべての実数 x で成り立つには Q(x) も −1 < x < 3 で負、その他で 0 以上でなければならない → Q(x) = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) P(x) = (x + 1)²(x − 3)² = (x² − 2x − 3)² = x⁴ + 4x² + 9 − 4x³ − 6x² + 12x = x⁴ − 4x³ − 2x² + 12x + 9
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。