2023年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2023年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と共通の問題です。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 三角関数（sin x と sin 2x、sin 3x と sin 4x の大小）
２倍角の公式と和積の変形を使って、２つの三角関数の大小を「積の符号」に置き換える設問です。差を因数分解し、それぞれの因数の符号で場合分けするという一本の方針で最後まで通せます。
ア：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
x ＝ π/6 のとき sin x と sin 2x のどちらが大きいかを判定します。
＜考え方＞
実際に値を代入して比べます。
sin(π/6) ＝ 1/2 ＝ 0.5 sin(2・π/6) ＝ sin(π/3) ＝ √3/2 ≒ 0.866 0.5 ＜ 0.866
よって ア＝⓪（<）。
イ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
x ＝ (2/3)π のときの同じ比較です。
＜考え方＞
2x ＝ (4/3)π は第３象限なので sin は負になります。
sin((2/3)π) ＝ √3/2 ≒ 0.866 sin((4/3)π) ＝ −√3/2 ≒ −0.866 0.866 ＞ −0.866
よって イ＝②（>）。
ウ，エ：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
sin 2x − sin x を sin x でくくった形に直します。
＜考え方＞
２倍角の公式 sin 2x ＝ 2 sin x cos x を使います。
sin 2x − sin x ＝ 2 sin x cos x − sin x ＝ sin x(2 cos x − 1)
よって ウ＝2、エ＝1。
オ：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ 2π で「sin x ＞ 0 かつ 2cos x − 1 ＞ 0」となる範囲を求めます。
＜考え方＞
２つの条件をそれぞれ解いて共通部分をとります。
sin x ＞ 0 → 0 ＜ x ＜ π 2 cos x − 1 ＞ 0 → cos x ＞ 1/2 → 0 ≦ x ＜ π/3 共通部分： 0 ＜ x ＜ π/3
よって オ＝3。
カ／キ：正解 5／3（配点2）
＜問題要旨＞
こんどは「sin x ＜ 0 かつ 2cos x − 1 ＜ 0」となる範囲です。
＜考え方＞
同じ要領で共通部分をとります。
sin x ＜ 0 → π ＜ x ＜ 2π cos x ＜ 1/2 → π/3 ＜ x ＜ (5/3)π 共通部分： π ＜ x ＜ (5/3)π
よって カ＝5、キ＝3。
ク，ケ：正解 ⓐ，⑦（配点2）
＜問題要旨＞
sin 4x − sin 3x ＞ 0 を、和積の形 2 cos α sin β ＞ 0 に直したときの α と β を求めます。
＜考え方＞
α ＋ β ＝ 4x、α − β ＝ 3x を連立します。
2α ＝ 7x → α ＝ (7/2)x 2β ＝ x → β ＝ x/2 sin 4x − sin 3x ＝ 2 cos(7x/2) sin(x/2)
よって ク＝ⓐ（(7/2)x）、ケ＝⑦（x/2）。
コ：正解 ⑦（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ π で sin 4x ＞ sin 3x となる範囲のうち、原点側の区間の右端を求めます。
＜考え方＞
この範囲では sin(x/2) ＞ 0 が常に成り立つので、cos(7x/2) ＞ 0 だけを考えればよくなります。
0 ＜ x ≦ π のとき x/2 ∈ (0, π/2] なので sin(x/2) ＞ 0
cos(7x/2) ＞ 0 の最初の区間は
0 ＜ 7x/2 ＜ π/2 → 0 ＜ x ＜ π/7
よって コ＝7。
サ／シ，ス／セ：正解 3／7，5／7（配点2）
＜問題要旨＞
cos(7x/2) ＞ 0 となる２つ目の区間を求めます。
＜考え方＞
cos が正になるのは 7x/2 が (3π/2, 5π/2) にあるときです。
3π/2 ＜ 7x/2 ＜ 5π/2 各辺を 2/7 倍して (3/7)π ＜ x ＜ (5/7)π
よって サ＝3、シ＝7、ス＝5、セ＝7。
ソ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x ≦ π で sin 3x ＞ sin 4x ＞ sin 2x が成り立つ範囲のうち、最初の区間の右端です。
＜考え方＞
sin 4x ＞ sin 2x の条件を(2)と同じ和積で作り、(3)の結果と重ねます。
sin 4x − sin 2x ＝ 2 cos 3x sin x
0 ＜ x ＜ π では sin x ＞ 0 なので cos 3x ＞ 0
→ 0 ＜ x ＜ π/6 または π/2 ＜ x ＜ (5/6)π
sin 3x ＞ sin 4x は(3)の補集合で
π/7 ＜ x ＜ (3/7)π または (5/7)π ＜ x ＜ π
重なる最初の区間： π/7 ＜ x ＜ π/6
よって ソ＝6。
タ／チ：正解 5／6（配点2）
＜問題要旨＞
同じ条件の２つ目の区間の右端です。
＜考え方＞
上でつくった２組の区間の、もう一方の重なりを見ます。
(5/7)π ＜ x ＜ π と π/2 ＜ x ＜ (5/6)π の共通部分は (5/7)π ＜ x ＜ (5/6)π
よって タ＝5、チ＝6。
第１問 〔２〕 対数（対数の定義と、log の値が無理数であることの証明）
対数の定義 logab ＝ x ⟺ ax ＝ b に立ち返る設問です。後半は「有理数と仮定して矛盾を導く」背理法の流れを、選択肢の形で追いかけます。
ツ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
logab ＝ x とおいたとき、これと同値な式を選びます。
＜考え方＞
対数の定義そのものを問う設問です。
log_a b ＝ x ⟺ a を x 乗すると b になる ⟺ a^x ＝ b
よって ツ＝②。
テ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
log525 の値を求めます。
＜考え方＞
25 ＝ 5² と書き直します。
25 ＝ 5² → log_5 25 ＝ 2
よって テ＝2。
ト／ナ：正解 3／2（配点2）
＜問題要旨＞
log927 の値を求めます。
＜考え方＞
9 も 27 も 3 のべき乗にそろえます。
9 ＝ 3²、27 ＝ 3³
log_9 27 ＝ x とおくと (3²)^x ＝ 3³
→ 2x ＝ 3 → x ＝ 3/2
よって ト＝3、ナ＝2。
ニ：正解 ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
log₂3 ＝ p/q（p, q は自然数）と仮定したとき、これを指数の形に直します。
＜考え方＞
(1)の定義を使って指数の等式に変えます。
log_2 3 ＝ p/q ⟺ 2^(p/q) ＝ 3 両辺を q 乗して 2^p ＝ 3^q
左辺は偶数、右辺は奇数なので、これを満たす自然数 p, q は存在しません。よって ニ＝⑤。
ヌ：正解 ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
a, b が 2 以上の自然数のとき、logab が「つねに無理数」といえるための条件を選びます。
＜考え方＞
(ii)で矛盾が出たのは「一方が偶数、他方が奇数」で偶奇が食い違ったからです。同じ矛盾が起きる条件を探します。
log_a b ＝ p/q とおくと a^p ＝ b^q
a が偶数・b が奇数（またはその逆）なら
左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾
a, b がともに偶数（例：log_2 4 ＝ 2）
a, b がともに奇数（例：log_3 9 ＝ 2）
のときは有理数になる場合がある
よって ヌ＝⑤（a と b のいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数）。
第２問 〔１〕 微分（３次関数の極値と、円錐に内接する円柱の体積の最大）
前半で f(x) ＝ x²(k − x) の極値を一般の k のまま求め、後半でその結果をそのまま流用して立体の体積の最大を求めます。(1)を丁寧にやっておけば(2)は代入するだけです。
ア：正解 ④（配点1）
＜問題要旨＞
y ＝ x²(k − x) のグラフと x 軸との共有点のうち、原点以外の点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
y ＝ 0 とおいて解きます。
x²(k − x) ＝ 0 x ＝ 0（重解） または x ＝ k
よって ア＝④（k）。
イウ，エ：正解 −3，2（配点3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ x²(k − x) の導関数を求めます。
＜考え方＞
展開してから項別に微分します。
f(x) ＝ kx² − x³
f′(x) ＝ 2kx − 3x²
＝ −3x² ＋ 2kx
よって イウ＝−3、エ＝2。
オ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が極小値をとる x を求めます。
＜考え方＞
f′(x) ＝ x(2k − 3x) の符号の変化を調べます。
f′(x) ＝ x(2k − 3x)、k ＞ 0 x ＜ 0 … f′ ＜ 0（減少） 0 ＜ x ＜ 2k/3 … f′ ＞ 0（増加） x ＝ 0 で 減少→増加 に変わる
よって オ＝⓪（0）。
カ：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
その極小値を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入します。
f(0) ＝ 0²(k − 0) ＝ 0
よって カ＝⓪（0）。
キ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が極大値をとる x を求めます。
＜考え方＞
f′(x) ＝ 0 のもう一方の解です。
x(2k − 3x) ＝ 0 → x ＝ 0, 2k/3 x ＝ 2k/3 で 増加→減少 に変わる
よって キ＝③（(2/3)k）。
ク：正解 ⑨（配点1）
＜問題要旨＞
その極大値を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 2k/3 を f(x) に代入します。
f(2k/3) ＝ (2k/3)²(k − 2k/3)
＝ (4k²/9)・(k/3)
＝ 4k³/27
よって ク＝⑨（(4/27)k³）。
ケ／コ，サ：正解 5／3，9（配点3）
＜問題要旨＞
底面の半径 9、高さ 15 の円錐に内接する円柱の体積 V を、円柱の底面の半径 x で表します。
＜考え方＞
円錐を軸を含む平面で切った断面で相似を使い、円柱の高さを x で表します。
断面で相似より 高さ ＝ 15・(9 − x)/9 ＝ (5/3)(9 − x) V ＝ πx² × (5/3)(9 − x) ＝ (5/3)πx²(9 − x)
よって ケ＝5、コ＝3、サ＝9。
シ：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
V が最大となる x を求めます。
＜考え方＞
(1)で求めた f(x) ＝ x²(k − x) の形に k ＝ 9 を当てはめます。
V ＝ (5/3)π f(x)、k ＝ 9 極大（＝最大）は x ＝ 2k/3 ＝ 2・9/3 ＝ 6
よって シ＝6。
スセソ：正解 180（配点2）
＜問題要旨＞
V の最大値を求めます。
＜考え方＞
(1)の極大値 4k³/27 に k ＝ 9 を代入します。
f(6) ＝ 4・9³/27 ＝ 4・729/27 ＝ 108 V ＝ (5/3)π × 108 ＝ 180π
よって スセソ＝180。
第２問 〔２〕 積分（定積分・不定積分と、桜の開花予想日）
気温を表す関数を積分した値が 400 に達したときに開花する、という設定で定積分を扱います。積分＝面積の足し算とみて、どこまで積み上げれば 400 を超えるかを追うのがポイントです。
タチツ：正解 180（配点3）
＜問題要旨＞
定積分 ∫₀³⁰ (x/5 ＋ 3) dx の値を求めます。
＜考え方＞
原始関数を求めて代入します。
∫ (x/5 ＋ 3) dx ＝ x²/10 ＋ 3x [x²/10 ＋ 3x]₀³⁰ ＝ 900/10 ＋ 90 ＝ 90 ＋ 90 ＝ 180
よって タチツ＝180。
テトナ，ニヌ，ネ：正解 300，12，5（配点3）
＜問題要旨＞
(1/100)x² − (1/6)x ＋ 5 の不定積分を求めます。
＜考え方＞
各項を xn → xn+1/(n+1) で積分します。
∫ (1/100)x² dx ＝ x³/300 ∫ (1/6)x dx ＝ x²/12 ∫ 5 dx ＝ 5x よって (1/300)x³ − (1/12)x² ＋ 5x ＋ C
よって テトナ＝300、ニヌ＝12、ネ＝5。
ノ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
f(x) ＝ x/5 ＋ 3 としたとき、S(t) ＝ 400 となる t を求めます。
＜考え方＞
S(t) を計算して２次方程式を解きます。
S(t) ＝ ∫₀ᵗ (x/5 ＋ 3) dx ＝ t²/10 ＋ 3t t²/10 ＋ 3t ＝ 400 t² ＋ 30t − 4000 ＝ 0 (t − 50)(t ＋ 80) ＝ 0 t ＞ 0 より t ＝ 50
よって ノ＝④（50日後）。
ハ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
x ≧ 30 で f(x) が増加するとき、∫₃₀⁴⁰ f(x)dx と ∫₄₀⁵⁰ f(x)dx の大小を判定します。
＜考え方＞
幅が同じ 10 の区間どうしの比較なので、高さ（関数の値）の大小だけで決まります。
30 ≦ x ≦ 40 の各点の値 ＜ 40 ≦ x ≦ 50 の対応する点の値 幅はどちらも 10 なので ∫₃₀⁴⁰ f(x)dx ＜ ∫₄₀⁵⁰ f(x)dx
よって ハ＝⓪（<）。
ヒ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
花子さんの設定（0 ≦ x ≦ 30 は１次関数、x ≧ 30 は２次関数）で、S(t) ＝ 400 となるのがいつかを選びます。
＜考え方＞
30日後・40日後・50日後の値を順に積み上げて 400 をまたぐ区間を探します。
S(30) ＝ 180 … 400 未満 S(40) ＝ 180 ＋ 115 ＝ 295 … 400 未満 ∫₄₀⁵⁰ f(x)dx ＝ [x³/300 − x²/12 ＋ 5x]₄₀⁵⁰ ＝ (416.6… − 208.3… ＋ 250) − (213.3… − 133.3… ＋ 200) ＝ 458.3… − 280 ＝ 178.3… S(50) ＝ 295 ＋ 178.3… ＝ 473.3… … 400 を超える
400 に達するのは 40日後より後、50日後より前。よって ヒ＝④。
第３問 図形と方程式（円の内分点の軌跡・三角形の重心の軌跡）
円上を動く点 P に連動して動く点の軌跡を求める設問です。(1)で計算による解き方を確認したあと、(2)(3)では「中心は中心へ、半径は同じ比で縮む」という見方に一般化します。
アイ，ウ：正解 10，5（配点2）
＜問題要旨＞
円 C₁：(x − 10)² ＋ (y − 5)² ＝ 25 の中心を求めます。
＜考え方＞
標準形 (x − a)² ＋ (y − b)² ＝ r² から読み取ります。
中心 (10, 5)
よって アイ＝10、ウ＝5。
エ：正解 5（配点2）
＜問題要旨＞
同じ円の半径を求めます。
＜考え方＞
右辺 25 が r² です。
r² ＝ 25 → r ＝ 5
よって エ＝5。
オ／カ：正解 2／5（配点1）
＜問題要旨＞
線分 OP を 2 : 3 に内分する点 Q(x, y) の x 座標を、P(s, t) を使って表します。
＜考え方＞
内分点の公式で、O が原点であることを使います。
OQ ＝ 2/(2＋3) OP ＝ (2/5)OP x ＝ (2/5)s
よって オ＝2、カ＝5。
キ／ク：正解 2／5（配点1）
＜問題要旨＞
同じく y 座標です。
＜考え方＞
x と同じ比率です。
y ＝ (2/5)t
よって キ＝2、ク＝5。
ケ，コ：正解 4，2（配点1）
＜問題要旨＞
点 Q が乗る円 C₂ の中心を求めます。
＜考え方＞
s ＝ (5/2)x、t ＝ (5/2)y を C₁ の式に代入します。
((5/2)x − 10)² ＋ ((5/2)y − 5)² ＝ 25
(5/2)²(x − 4)² ＋ (5/2)²(y − 2)² ＝ 25
(25/4){(x − 4)² ＋ (y − 2)²} ＝ 25
(x − 4)² ＋ (y − 2)² ＝ 4
よって ケ＝4、コ＝2。
サ：正解 2（配点1）
＜問題要旨＞
円 C₂ の半径を求めます。
＜考え方＞
上の式の右辺を r² の形にします。
(x − 4)² ＋ (y − 2)² ＝ 4 ＝ 2²
よって サ＝2。
シ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
円 C₂ の中心が、線分 OA（A は C₁ の中心）をどのような比に内分する点かを選びます。
＜考え方＞
O(0, 0)、A(10, 5)、C₂ の中心 (4, 2) を比べます。
(4, 2) ＝ (2/5)(10, 5) OA を 2 : 3 に内分する点
よって シ＝②（2 : 3）。
ス：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
OP を m : n に内分する点 R の軌跡の中心が、OA をどう内分するかを選びます。
＜考え方＞
(1)で 2 : 3 のとき 2 : 3 だったことを一般化します。
OR ＝ m/(m＋n) OP 中心 ＝ m/(m＋n) × A → OA を m : n に内分する点
よって ス＝②（m : n）。
セ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
その円の半径が、C₁ の半径の何倍かを選びます。
＜考え方＞
原点を中心とする m/(m＋n) 倍の相似拡大なので、半径も同じ倍率になります。
半径は m/(m ＋ n) 倍
よって セ＝④。
ソ：正解 ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
線分 DE の中点を M とするとき、△DEP の重心 G が線分 MP をどう内分するかを選びます。
＜考え方＞
重心の公式 G ＝ (D ＋ E ＋ P)/3 を M を使って書き直します。
D ＋ E ＝ 2M より G ＝ (2M ＋ P)/3 ＝ M ＋ (1/3)(P − M) → MP を 1 : 2 に内分する点
よって ソ＝⓪（1 : 2）。
タ，チ：正解 3，5（配点2）
＜問題要旨＞
D(1, 6)、E(3, 2)、C₃：(x − 5)² ＋ (y − 7)² ＝ 9 のときの、重心 G の軌跡の中心を求めます。
＜考え方＞
G ＝ (2M ＋ P)/3 で、P が C₃ の中心にきたときの位置が中心になります。
M ＝ ((1＋3)/2, (6＋2)/2) ＝ (2, 4) C₃ の中心 (5, 7) を P に代入して G ＝ (2(2,4) ＋ (5,7))/3 ＝ ((4＋5)/3, (8＋7)/3) ＝ (3, 5)
よって タ＝3、チ＝5。
ツ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
その軌跡の半径を求めます。
＜考え方＞
P → G は M を中心とする 1/3 倍の相似拡大なので、半径も 1/3 倍です。
C₃ の半径 3 × 1/3 ＝ 1
よって ツ＝1。
第４問 複素数と方程式（２つの３次方程式が共通解をもつ条件）
２つの３次方程式 S(x) ＝ 0、T(x) ＝ 0 の解を比べる設問です。虚数解は必ず共役な組で現れるので、実部と虚部を突き合わせるだけで p, r が決まります。
ア，イ：正解 4，4（配点1）
＜問題要旨＞
２次方程式 x² − 2(p ＋ 1)x ＋ 2p² − 2p ＋ 5 ＝ 0 が実数解をもつ条件を p の不等式で表します。
＜考え方＞
判別式 D/4 ≧ 0 を計算します。
D/4 ＝ (p ＋ 1)² − (2p² − 2p ＋ 5) ＝ p² ＋ 2p ＋ 1 − 2p² ＋ 2p − 5 ＝ −p² ＋ 4p − 4 D/4 ≧ 0 ⟺ p² − 4p ＋ 4 ≦ 0
よって ア＝4、イ＝4。
ウ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
その不等式を満たす p を求めます。
＜考え方＞
左辺が完全平方になることに注目します。
p² − 4p ＋ 4 ＝ (p − 2)² ≦ 0 (p − 2)² ≧ 0 なので (p − 2)² ＝ 0 → p ＝ 2
よって ウ＝2。
エ：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
p ＝ 2 のときの S(x) ＝ 0 の x ＝ 2 以外の解を求めます。
＜考え方＞
p ＝ 2 を①に代入します。
x² − 6x ＋ (8 − 4 ＋ 5) ＝ 0 x² − 6x ＋ 9 ＝ 0 (x − 3)² ＝ 0 x ＝ 3（重解）
よって エ＝3。
オ，カ：正解 1，2（配点2）
＜問題要旨＞
p ≠ 2 のときの S(x) ＝ 0 の虚数解を求めます。
＜考え方＞
解の公式に D/4 ＝ −(p − 2)² を代入します。
x ＝ (p ＋ 1) ± √(−(p − 2)²) ＝ (p ＋ 1) ± (p − 2)i ＝ p ＋ 1 ± (p − 2)i
よって オ＝1、カ＝2。
キ：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
x ＝ r が T(x) ＝ x³ ＋ x ＋ q ＝ 0 の解であるときの q を r で表します。
＜考え方＞
T(r) ＝ 0 を q について解きます。
r³ ＋ r ＋ q ＝ 0 q ＝ −r³ − r
よって キ＝3。
ク，ケ：正解 2，1（配点2）
＜問題要旨＞
T(x) を (x − r) で割った形に因数分解します。
＜考え方＞
T(x) ＝ x³ ＋ x − r³ − r を (x − r) でくくります。
x³ − r³ ＋ (x − r) ＝ (x − r)(x² ＋ rx ＋ r²) ＋ (x − r) ＝ (x − r)(x² ＋ rx ＋ r² ＋ 1)
よって ク＝2、ケ＝1。
コ，サ，シ：正解 ⓪，⑥，②（配点3）
＜問題要旨＞
x² ＋ rx ＋ r² ＋ 1 ＝ 0 の判別式 D の符号と、その解の形・種類を答えます。
＜考え方＞
D を計算して符号を調べます。
D ＝ r² − 4(r² ＋ 1) ＝ −3r² − 4 すべての実数 r に対して D ＜ 0 x ＝ (−r ± √(−D) i)/2
D ＜ 0 なので２解は虚数で、互いに共役です。よって コ＝⓪（<）、サ＝⑥、シ＝②。
ス：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
S(x) ＝ 0 と T(x) ＝ 0 の共通の解が x ＝ 2 となるような r の個数を選びます。
＜考え方＞
T(2) ＝ 0 から q を決め、T(x) ＝ 0 の実数解を調べます。
T(2) ＝ 8 ＋ 2 ＋ q ＝ 0 → q ＝ −10 T(x) ＝ x³ ＋ x − 10 ＝ (x − 2)(x² ＋ 2x ＋ 5) x² ＋ 2x ＋ 5 ＝ 0 は D/4 ＝ 1 − 5 ＜ 0 で虚数解 実数解は x ＝ 2 のみ → r ＝ 2
よって ス＝①（ちょうど1個存在する）。
セ，ソ：正解 2，3（配点2）
＜問題要旨＞
共通の実数解をもつが x ＝ 2 が共通解ではないときの (p, r) を求めます。
＜考え方＞
T(x) ＝ 0 の実数解は r だけなので、S(x) ＝ 0 の 2 以外の実数解が r と一致する場合を探します。
S(x) ＝ 0 が 2 以外の実数解をもつのは (1)より p ＝ 2 のときだけで、その解は x ＝ 3 この 3 が T(x) ＝ 0 の実数解 r と一致すればよい r ＝ 3
よって (p, r) ＝ (2, 3)、すなわち セ＝2、ソ＝3。
タ，チツ：正解 0，−2（配点2）
＜問題要旨＞
共通の解が虚数のときの (p, r) の組のうち、p が小さくない方を求めます。
＜考え方＞
虚数解どうしを実部・虚部で突き合わせます。
S の虚数解： (p ＋ 1) ± (p − 2)i T の虚数解： −r/2 ± (√(3r² ＋ 4)/2)i 実部： p ＋ 1 ＝ −r/2 → r ＝ −2(p ＋ 1) 虚部： (p − 2)² ＝ (3r² ＋ 4)/4 4(p − 2)² ＝ 3・4(p ＋ 1)² ＋ 4 (p − 2)² ＝ 3(p ＋ 1)² ＋ 1 p² − 4p ＋ 4 ＝ 3p² ＋ 6p ＋ 4 2p² ＋ 10p ＝ 0 2p(p ＋ 5) ＝ 0 → p ＝ 0, −5 p ＝ 0 のとき r ＝ −2(0 ＋ 1) ＝ −2
よって (p, r) ＝ (0, −2)、すなわち タ＝0、チツ＝−2。
テト，ナ：正解 −5，8（配点2）
＜問題要旨＞
もう一方の組を求めます。
＜考え方＞
上で出たもう一つの解 p ＝ −5 を使います。
p ＝ −5 のとき r ＝ −2(−5 ＋ 1) ＝ −2(−4) ＝ 8
よって (p, r) ＝ (−5, 8)、すなわち テト＝−5、ナ＝8。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。