2021年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の解答と解説です。全設問の正解と考え方を一問ずつ解説し、公式の解答PDFもあわせて掲載しています。大学受験の森が独自に作成した、無料で読める解説です。
解答
解説
2021年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計４問・100点）。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。なお第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と共通の問題です。
第１問 〔１〕 三角関数（合成と、係数 p による場合分け）
y ＝ sinθ ＋ p cosθ の最大値を、p を具体的な数から一般の文字へと広げながら求める設問です。p ＞ 0 のときは合成が使えますが、p ＜ 0 になると合成した角 α が定義域の外に出てしまいます。誘導が sin の合成から cos の合成に切り替わるのも、そこに理由があります。
sin(π／ア)：正解 sin(π／3)（配点2）
＜問題要旨＞
sin(π/ア) ＝ √3/2 かつ cos(π/ア) ＝ 1/2 を満たす値を求めます。
＜考え方＞
sin と cos が同時に条件を満たす角は π/3 です。ここで作った角が、次の合成でそのまま使われます。
イ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ sinθ ＋ √3 cosθ を イ sin(θ ＋ π/3) の形に合成します。
＜考え方＞
合成の係数は √(1² ＋ (√3)²) ＝ 2 です。展開して元の式に戻ることを確かめておくと安心です。
2 sin(θ + π/3) = 2( sinθ cos(π/3) + cosθ sin(π/3) ) = 2( sinθ·(1/2) + cosθ·(√3/2) ) = sinθ + √3 cosθ ○
π／ウ，エ：正解 π／6，2（配点2）
＜問題要旨＞
問題A の最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
0 ≦ θ ≦ π/2 なので θ ＋ π/3 は π/3 以上 5π/6 以下を動きます。この中に π/2 が入っているので、sin は 1 まで到達できます。
θ + π/3 = π/2 → θ = π/6 このとき y = 2·1 = 2
π／オ，カ：正解 π／2，1（配点1）
＜問題要旨＞
問題B で p ＝ 0 のときの最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
y ＝ sinθ そのものです。0 ≦ θ ≦ π/2 では単調に増加するので、右端で最大になります。
θ = π/2 のとき y = sin(π/2) = 1
キ：正解 ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
p ＞ 0 のとき、y ＝ sinθ ＋ p cosθ を √キ cos(θ − α) の形に表します。
＜考え方＞
与えられた加法定理 cos(θ−α) ＝ cosθ cosα ＋ sinθ sinα と係数を比べます。sinθ の係数が 1、cosθ の係数が p になればよい、という２本の式が立ちます。
√K cos(θ − α) = (√K cosα) cosθ + (√K sinα) sinθ √K sinα = 1 √K cosα = p 両辺を2乗して足すと K(sin²α + cos²α) = 1 + p² → K = 1 + p²
ク：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
sinα の分子を求めます。
＜考え方＞
上の連立から √(1+p²)·sinα ＝ 1、つまり sinα ＝ 1/√(1+p²) です。分子は 1 になります。
ケ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
cosα の分子を求めます。
＜考え方＞
同じく √(1+p²)·cosα ＝ p なので cosα ＝ p/√(1+p²)。分子は p です。p ＞ 0 なので sinα も cosα も正、確かに 0 ＜ α ＜ π/2 に収まります。
コ，サ：正解 ①，⑨（配点2）
＜問題要旨＞
p ＞ 0 のときの最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
y ＝ √(1+p²) cos(θ−α) なので、θ − α ＝ 0、つまり θ ＝ α のとき cos が 1 になり最大です。0 ＜ α ＜ π/2 なので、この θ は定義域 0 ≦ θ ≦ π/2 の中にちゃんとあります。
θ = α のとき最大値 √(1 + p²)
シ，ス：正解 ②，①（配点2）
＜問題要旨＞
p ＜ 0 のときの最大値と、そのときの θ を求めます。
＜考え方＞
p ＜ 0 だと cosα ＝ p/√(1+p²) が負になり、α は 0 ＜ α ＜ π/2 の外に出てしまうので、上の議論は使えません。素直に、0 ≦ θ ≦ π/2 で sinθ と p cosθ のそれぞれがどこで最大になるかを見ます。
sinθ は θ = π/2 で最大（値 1）
p cosθ は p < 0 なので cosθ が最小のとき最大
cosθ の最小は θ = π/2（値 0）→ p cosθ = 0
両方が同時に θ = π/2 で最大 → y の最大値は 1
第１問 〔２〕 指数関数（2ˣ の和と差でつくる二つの関数）
f(x) ＝ (2ˣ ＋ 2⁻ˣ)/2、g(x) ＝ (2ˣ − 2⁻ˣ)/2 という、双曲線関数と呼ばれる関数を題材にした設問です。f が偶関数・g が奇関数で、f² − g² ＝ 1 が成り立つ——三角関数と似た性質が並ぶのが面白いところで、最後は「加法定理に似た式のうち、本当に成り立つのはどれか」を問われます。
セ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
f(0) を求めます。
＜考え方＞
2⁰ ＝ 1 を代入するだけです。f(0) ＝ (1＋1)/2 ＝ 1。
ソ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
g(0) を求めます。
＜考え方＞
同じく g(0) ＝ (1−1)/2 ＝ 0 です。三角関数でいう cos0 ＝ 1、sin0 ＝ 0 に対応しています。
タ：正解 0（配点1）
＜問題要旨＞
f(x) が最小になる x を求めます。
＜考え方＞
2ˣ ＞ 0、2⁻ˣ ＞ 0 なので相加平均・相乗平均の関係が使えます。等号は 2ˣ ＝ 2⁻ˣ のときで、これは x ＝ 0 のときです。
f(x) = (2ˣ + 2⁻ˣ)/2 ≧ √(2ˣ · 2⁻ˣ) = √1 = 1 等号成立は 2ˣ = 2⁻ˣ → x = −x → x = 0
チ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの最小値を求めます。
＜考え方＞
上の不等式から最小値は 1 です。f(0) ＝ 1 と一致しています。
log₂(√ツ−テ)：正解 log₂(√5−2)（配点2）
＜問題要旨＞
g(x) ＝ −2 となる x を求めます。
＜考え方＞
t ＝ 2ˣ とおくと t の分数方程式になり、整理すると t の 2 次方程式です。t ＞ 0 で絞ります。
(2ˣ − 2⁻ˣ)/2 = −2 → t − 1/t = −4 両辺 t 倍して t² + 4t − 1 = 0 t = (−4 ± √(16+4))/2 = −2 ± √5 t = 2ˣ > 0 より t = √5 − 2 x = log₂(√5 − 2)
ト：正解 ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
f(−x) を f(x), g(x) で表します。
＜考え方＞
x を −x に置きかえると 2ˣ と 2⁻ˣ が入れ替わりますが、f は和なので変わりません。f(−x) ＝ f(x)、すなわち偶関数です。
ナ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
g(−x) を f(x), g(x) で表します。
＜考え方＞
g は差なので、入れ替えると符号が反転します。g(−x) ＝ −g(x)、すなわち奇関数です。
ニ：正解 1（配点2）
＜問題要旨＞
{f(x)}² − {g(x)}² を求めます。
＜考え方＞
和の 2 乗と差の 2 乗の差なので、展開すると交差項だけが 4 倍で残ります。
{f}² − {g}² = [ (2ˣ + 2⁻ˣ)² − (2ˣ − 2⁻ˣ)² ] / 4
= [ 4 · 2ˣ · 2⁻ˣ ] / 4
= 2ˣ⁻ˣ = 1
（三角関数の cos²θ + sin²θ = 1 に対応する関係）
ヌ：正解 2（配点2）
＜問題要旨＞
g(2x) を f(x), g(x) で表します。
＜考え方＞
2 乗の差は和と差の積に分けられます。三角関数の 2 倍角 sin2θ ＝ 2 sinθ cosθ と同じ形になります。
g(2x) = (2²ˣ − 2⁻²ˣ)/2
= (2ˣ − 2⁻ˣ)(2ˣ + 2⁻ˣ) / 2
= 2 · (2ˣ − 2⁻ˣ)/2 · (2ˣ + 2⁻ˣ)/2
= 2 f(x) g(x)
ネ：正解 ①（配点3）
＜問題要旨＞
(A)〜(D) のうち、つねに成り立つ式を選びます。
＜考え方＞
花子さんの助言どおり、β に 0 を入れてみるのが最短です。f(0) ＝ 1, g(0) ＝ 0 なので、右辺がすっきり潰れて反例がすぐ見つかります。
β = 0 を代入して調べる（f(0)=1, g(0)=0） (A) f(α) = f(α)·0 + g(α)·1 = g(α) … α=0 で 1 = 0 となり不成立 (C) g(α) = f(α)·1 + g(α)·0 = f(α) … α=0 で 0 = 1 となり不成立 (D) g(α) = f(α)·0 − g(α)·1 = −g(α) … g(α) ≡ 0 となり不成立 (B) f(α) = f(α)·1 + g(α)·0 = f(α) … 反例が出ない
残った (B) は、実際に右辺を計算すると左辺に一致します。
f(α)f(β) + g(α)g(β) = [ (2^α+2^−α)(2^β+2^−β) + (2^α−2^−α)(2^β−2^−β) ] / 4 = [ 2·2^(α+β) + 2·2^−(α+β) ] / 4 = (2^(α+β) + 2^−(α+β)) / 2 = f(α + β) ○
第２問 (1) 微分・積分（２次関数の接線と、囲まれた面積）
「y 軸との交点における接線」は、y ＝ ax² ＋ bx ＋ c なら y ＝ bx ＋ c——つまり 1 次以下の項をそのまま残したもの、という一点に尽きます。これに気づくと (1) は暗算で終わり、後半の面積計算に時間を回せます。
ア：正解 3（配点1）
＜問題要旨＞
① y ＝ 3x² ＋ 2x ＋ 3 と ② y ＝ 2x² ＋ 2x ＋ 3 の、y 軸との交点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入すると、どちらも定数項の 3 が残ります。
イx＋ウ：正解 2x＋3（配点2）
＜問題要旨＞
その交点における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
微分して x ＝ 0 を代入すると、どちらも傾きは 1 次の係数 2 になります。接点が (0, 3) なので接線は y ＝ 2x ＋ 3 です。
① y′ = 6x + 2 → y′(0) = 2 ② y′ = 4x + 2 → y′(0) = 2 接線 : y = 2x + 3
エ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
選択肢のうち、y 軸との交点における接線が y ＝ 2x ＋ 3 になるものを選びます。
＜考え方＞
y ＝ ax² ＋ bx ＋ c の接線は y ＝ bx ＋ c なので、b ＝ 2 かつ c ＝ 3 であるものを探すだけです。x² の係数は何でも構いません。
⓪ b=−2, c=−3 × ① b= 2, c=−3 × ② b= 2, c=−3 × ③ b=−2, c= 3 × ④ b= 2, c= 3 ○ ⑤ b=−2, c= 3 ×
オ：正解 c（配点1）
＜問題要旨＞
曲線 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 上の、x ＝ 0 に対応する点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入して c です。
カx＋キ：正解 bx＋c（配点2）
＜問題要旨＞
その点における接線 ℓ の方程式を求めます。
＜考え方＞
y′ ＝ 2ax ＋ b なので x ＝ 0 での傾きは b。点 (0, c) を通るので y ＝ bx ＋ c です。「2 次の項を落としたものが接線になる」と覚えておくと速く済みます。
クケ／コ：正解 −c／b（配点1）
＜問題要旨＞
接線 ℓ と x 軸との交点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
bx ＋ c ＝ 0 を解くだけです。x ＝ −c/b。
ac^サ／(シ b^ス)：正解 ac³／(3b³)（配点4）
＜問題要旨＞
a, b, c が正の実数のとき、曲線と接線 ℓ、および直線 x ＝ −c/b で囲まれた図形の面積 S を求めます。
＜考え方＞
（曲線）−（接線）を作ると 2 次の項だけが残り、ax² というきわめて簡単な形になります。これを x ＝ −c/b から x ＝ 0 まで積分します。
(ax² + bx + c) − (bx + c) = ax² S = ∫[−c/b → 0] ax² dx = a [ x³/3 ]（−c/b から 0 まで） = a ( 0 − (−c/b)³/3 ) = a c³ / (3b³)
セ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
③ で a ＝ 1 とし、S を一定に保ちながら正の実数 b, c を変えるときの、b と c の関係を表すグラフを選びます。
＜考え方＞
S ＝ c³/(3b³) が一定ということは、c³/b³ が一定、つまり c/b が一定です。c は b の定数倍になるので、原点を通る右上がりの直線になります。
c³ / (3b³) = S（一定） (c/b)³ = 3S c/b = (3S)^(1/3)（正の定数） c = （正の定数）× b → 原点を通る直線
第２問 (2) 微分（３次関数と接線の差を調べる）
後半は 3 次関数です。同じく「y 軸との交点における接線は 1 次以下の項をそのまま残したもの」なので、f(x) − g(x) は ax³ ＋ bx² という 2 項だけになります。ここまで簡単になれば、共有点も最大値もすぐ求まります。
ソ：正解 5（配点1）
＜問題要旨＞
④⑤⑥ の 3 次関数のグラフの、y 軸との交点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入すると、３つとも定数項の 5 が残ります。
タx＋チ：正解 3x＋5（配点2）
＜問題要旨＞
その交点における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
微分して x ＝ 0 を代入すると、３つとも傾きは 1 次の係数 3 になります。
④ y′ = 12x² + 4x + 3 → y′(0) = 3 ⑤ y′ = −6x² + 14x + 3 → y′(0) = 3 ⑥ y′ = 15x² − 2x + 3 → y′(0) = 3 接線 : y = 3x + 5
ツ：正解 d（配点1）
＜問題要旨＞
曲線 y ＝ ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ d 上の、x ＝ 0 に対応する点の y 座標を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 を代入して d です。
テx＋ト：正解 cx＋d（配点2）
＜問題要旨＞
その点における接線の方程式を求めます。
＜考え方＞
y′ ＝ 3ax² ＋ 2bx ＋ c より x ＝ 0 での傾きは c。点 (0, d) を通るので y ＝ cx ＋ d です。2 次関数のときと同じく、2 次以上の項を落としたものが接線になります。
ナ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
h(x) ＝ f(x) − g(x) について、a, b, c, d が正の実数であるときの y ＝ h(x) のグラフの概形を選びます。
＜考え方＞
差を取ると cx と d が消えて、たった 2 項になります。因数分解すると x ＝ 0 が重解であることがすぐ見えます。
h(x) = (ax³ + bx² + cx + d) − (cx + d)
= ax³ + bx²
= x²(ax + b)
零点 : x = 0（重解・接する）, x = −b/a（< 0 で交わる）
h′(x) = 3ax² + 2bx = x(3ax + 2b)
極値をとるのは x = −2b/(3a)（極大）と x = 0（極小、値 0）
左から上がってきて x ＝ −b/a で x 軸を横切り、極大を作ったあと下がって原点で x 軸に接し、再び上がる形です。
ニヌ／ネ，ノ：正解 −b／a，0（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ f(x) と y ＝ g(x) のグラフの共有点の x 座標を求めます。
＜考え方＞
h(x) ＝ 0 を解くだけです。x²(ax ＋ b) ＝ 0 より x ＝ 0（重解）と x ＝ −b/a。
ハヒフ／ヘホ：正解 −2b／(3a)（配点3）
＜問題要旨＞
x が −b/a と 0 の間を動くとき、|f(x) − g(x)| が最大になる x を求めます。
＜考え方＞
この区間では h(x) ＞ 0 なので、|h| の最大は h の極大値そのものです。区間の両端では h ＝ 0 なので、内部の極大点が答えになります。
h′(x) = x(3ax + 2b) = 0 → x = 0, −2b/(3a) −b/a < −2b/(3a) < 0 なので、この点は区間の内部にある 両端は h = 0、内部で h > 0 だから、ここが最大 x = −2b/(3a)
第３問 図形と方程式（相似の中心と、円・直線の像）
点 M を中心に、点 P を a 倍に引き伸ばした点 Q を考える設問です。P の座標を Q の座標で表しておくのがかなめで、あとは P の満たす式に代入するだけで Q の軌跡が出てきます。(4) は中心と直線の距離が半径にぴたりと一致し、a によらず接することが分かる、という気持ちのよい結末です。
ア−イ：正解 a−1（配点2）
＜問題要旨＞
点 P が線分 MQ を 1 : (ア−イ) に内分することを答えます。
＜考え方＞
MQ ＝ a MP で、M, P, Q がこの順に並んでいるので、MP : PQ ＝ 1 : (a − 1) です。a ＞ 1 なので PQ の長さは正になります。
MP = 1 とすると MQ = a PQ = MQ − MP = a − 1 MP : PQ = 1 : (a − 1)
(x＋ウエ−オ)／カ：正解 (x＋2a−2)／a（配点3）
＜問題要旨＞
点 Q の座標を (x, y) として、P の x 座標 s を x と a で表します。
＜考え方＞
ベクトルで書くと Q − M ＝ a(P − M) なので、P − M ＝ (1/a)(Q − M) です。M(2, −1) を代入して整理します。
s − 2 = (x − 2)/a s = (x − 2)/a + 2 = (x − 2 + 2a)/a = (x + 2a − 2)/a
(y−キ＋ク)／ケ：正解 (y−a＋1)／a（配点3）
＜問題要旨＞
同じく P の y 座標 t を y と a で表します。
＜考え方＞
y 座標も同じ手順です。M の y 座標が −1 であることに注意します。
t − (−1) = (y − (−1))/a t + 1 = (y + 1)/a t = (y + 1)/a − 1 = (y + 1 − a)/a = (y − a + 1)/a
x＋コサ−シ：正解 x＋2a−2（配点1）
＜問題要旨＞
点 P が円 C：s² ＋ t² ＝ 1 上を動くときの、点 Q の軌跡の方程式を求めます（x について）。
＜考え方＞
いま求めた s, t をそのまま s² ＋ t² ＝ 1 に代入し、両辺に a² を掛けます。
( (x + 2a − 2)/a )² + ( (y − a + 1)/a )² = 1 両辺に a² を掛けて (x + 2a − 2)² + (y − a + 1)² = a²
y−ス＋セ：正解 y−a＋1（配点1）
＜問題要旨＞
同じ式の y の部分を答えます。
＜考え方＞
上の変形の第 2 項がそのまま (y − a + 1)² です。
ソ²：正解 a²（配点1）
＜問題要旨＞
その円の半径を答えます。
＜考え方＞
右辺が a² なので半径は a です。中心は (−2a ＋ 2, a − 1) になります。
中心 (−(2a) + 2, a − 1) = (2 − 2a, a − 1) 半径 a
√タ：正解 √2（配点2）
＜問題要旨＞
直線 ℓ：x ＋ y − k ＝ 0 が円 C：x² ＋ y² ＝ 1 と接するときの k を求めます。
＜考え方＞
原点から直線までの距離が半径 1 に等しくなればよいので、点と直線の距離の公式を使います。k は正の定数です。
|0 + 0 − k| / √(1² + 1²) = 1 k / √2 = 1 k = √2
チ−√ツ：正解 1−√2（配点2）
＜問題要旨＞
点 P が ℓ 上を動くときの、点 Q の軌跡の方程式を求めます。
＜考え方＞
s ＋ t − √2 ＝ 0 に、先ほどの s, t を代入して分母を払います。
(x + 2a − 2)/a + (y − a + 1)/a − √2 = 0 両辺に a を掛けて (x + 2a − 2) + (y − a + 1) − √2 a = 0 x + y + a − 1 − √2 a = 0 x + y + (1 − √2)a − 1 = 0
テ：正解 1（配点1）
＜問題要旨＞
同じ式の定数項を答えます。
＜考え方＞
上の整理から −1 が残るので テ ＝ 1 です。x ＋ y の係数がどちらも 1 のままなので、確かに ℓ と平行な直線になっています。
ト：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
円 C_a の中心と直線 ℓ_a の距離を求めます。
＜考え方＞
中心 (2 − 2a, a − 1) を直線 x ＋ y ＋ (1−√2)a − 1 ＝ 0 に当てはめます。a を含む項がきれいに打ち消し合うのが見どころです。
分子 = |(2 − 2a) + (a − 1) + (1 − √2)a − 1|
= |2 − 2a + a − 1 + a − √2 a − 1|
= |(2 − 1 − 1) + (−2a + a + a) − √2 a|
= |−√2 a| = √2 a （a > 1 より正）
距離 = √2 a / √2 = a
ナ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
C_a と ℓ_a の位置関係を答えます。
＜考え方＞
いま求めた距離 a が、円 C_a の半径 a とぴたりと一致しています。a ＞ 1 のどの値でもそうなるので、つねに接します。
（中心と直線の距離）= a = （半径） → a の値によらず、つねに接する
第４問 複素数と方程式（４次式がつねに x²−2x＋3 で割り切れる）
k を含む 4 次式 P(x) を、k ＝ 0、k ＝ 3 と具体的に調べたうえで、「k がどんな実数でも x² − 2x ＋ 3 で割り切れる」という予想を立てて確かめる、という流れの設問です。(3) は係数比較を 2 か所だけ見れば m と n が決まるように誘導されています。
ア：正解 6（配点2）
＜問題要旨＞
k ＝ 0 のとき P(x) を x でくくった残りの定数項を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 0 を代入すると x² の係数が −1、x の係数が 6、定数項が 0 になります。共通因数 x をくくり出します。
P(x) = x⁴ + (0−1)x² + (6−0)x + 0
= x⁴ − x² + 6x
= x(x³ − x + 6)
イ：正解 0（配点3）
＜問題要旨＞
P(−2) の値を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 0 のときの P(x) に x ＝ −2 を代入します。0 になるので、x ＋ 2 が因数であることが分かります。
P(−2) = (−2)⁴ − (−2)² + 6(−2)
= 16 − 4 − 12
= 0
ウ：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ x(x ＋ ウ)(x² − 2x ＋ 3) の形に因数分解します。
＜考え方＞
P(−2) ＝ 0 より x ＋ 2 が因数です。x³ − x ＋ 6 を x ＋ 2 で割ると x² − 2x ＋ 3 が出てきます。
x³ − x + 6 ÷ (x + 2) = x² − 2x + 3 （検算）(x + 2)(x² − 2x + 3) = x³ − 2x² + 3x + 2x² − 4x + 6 = x³ − x + 6 ○ P(x) = x(x + 2)(x² − 2x + 3)
エ±√オ i：正解 1±√2 i（配点3）
＜問題要旨＞
方程式 P(x) ＝ 0 の虚数解を求めます。
＜考え方＞
x ＝ 0 と x ＝ −2 は実数解なので、虚数解は x² − 2x ＋ 3 ＝ 0 から出ます。
x² − 2x + 3 = 0 x = (2 ± √(4 − 12))/2 = (2 ± √(−8))/2 = (2 ± 2√2 i)/2 = 1 ± √2 i
x²＋カx＋キ：正解 x²＋2x＋3（配点3）
＜問題要旨＞
k ＝ 3 のとき、P(x) を x² − 2x ＋ 3 で割った商を求めます。
＜考え方＞
k ＝ 3 を代入すると P(x) ＝ x⁴ ＋ 2x² ＋ 9。商を x² ＋ Cx ＋ D とおいて係数を比べます。
P(x) = x⁴ + (3−1)x² + (6−6)x + 9 = x⁴ + 2x² + 9 (x² + Cx + D)(x² − 2x + 3) = x⁴ + (C−2)x³ + (3 − 2C + D)x² + (3C − 2D)x + 3D x³ : C − 2 = 0 → C = 2 x⁰ : 3D = 9 → D = 3 x² : 3 − 4 + 3 = 2 ○ x¹ : 6 − 6 = 0 ○ P(x) = (x² + 2x + 3)(x² − 2x + 3)
ク：正解 2（配点3）
＜問題要旨＞
予想が正しいとして P(x) ＝ (x² ＋ mx ＋ n)(x² − 2x ＋ 3) と書いたときの m を求めます。
＜考え方＞
誘導どおり x³ の係数だけを見ます。P(x) には x³ の項がないので、係数は 0 です。
右辺の x³ の係数 = m − 2 P(x) の x³ の係数 = 0 m − 2 = 0 → m = 2 （定数項からは 3n = 3k、すなわち n = k）
ケ：正解 1（配点3）
＜問題要旨＞
方程式 P(x) ＝ 0 が実数解をもたないような k の範囲を求めます。
＜考え方＞
P(x) ＝ (x² ＋ 2x ＋ k)(x² − 2x ＋ 3) と分解できています。後半の因数はつねに虚数解しかもたないので、前半の因数だけを調べれば済みます。
x² − 2x + 3 の判別式 = 4 − 12 = −8 < 0（つねに実数解なし）
x² + 2x + k の判別式 = 4 − 4k < 0
4 < 4k
k > 1
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。