解答
解説
2024年度 大学入学共通テスト 本試験「数学Ⅱ」の全設問について、正解と考え方を解説します。第１問〜第４問はすべて必答です（計100点）。第１問・第２問は「数学Ⅱ・数学B」と共通の問題です。各設問の見出しをタップすると解説が開きます。
第１問 〔１〕 対数関数（グラフと領域）
底 k を動かしたときの y ＝ logkx と y ＝ log2kx のグラフを比べ、後半では logxy を x を変数とみなすという視点の転換が求められます。「底の変換公式で書き直す」「指数の形に戻す」の２つが通しの武器になります。
ア：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
y ＝ log3x のグラフが点 (27, ア) を通ることから、log327 を求める設問です。
＜考え方＞
27 を 3 の累乗で表します。
27 ＝ 3³ log₃27 ＝ log₃3³ ＝ 3
ア＝③。
イ，ウ：正解 ①, ⓪（配点1）
＜問題要旨＞
y ＝ log2(x／5) のグラフが点 (イウ, 1) を通るときの x を求める設問です。
＜考え方＞
y ＝ 1 を代入して、対数の定義どおり指数の形に戻します。
log₂(x／5) ＝ 1 x／5 ＝ 2¹ ＝ 2 x ＝ 10
イウ＝10、すなわち イ＝①、ウ＝⓪。
エ，オ：正解 ①, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
y ＝ logkx のグラフが k の値によらず通る定点を求める設問です。
＜考え方＞
「k によらない」ということは、底が何であっても同じ値になるところを探すという意味です。対数の性質 logk1 ＝ 0 がそれにあたります。
どんな底 k についても k⁰ ＝ 1 なので log_k 1 ＝ 0 よって定点は (1, 0)
エ＝①、オ＝⓪。
カ：正解 ⓪（配点3）
＜問題要旨＞
k ＝ 2, 3, 4 のときの y ＝ logkx のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
２つの特徴で選択肢をふるいにかけます。（1）どれも定点 (1, 0) を通る、（2）x > 1 では底が小さいほど値が大きい。
底の変換公式より log_k x ＝ (log x) ／ (log k) x > 1 のとき log x > 0 で、log k は k が大きいほど大きい。 → 分母が大きいほど値は小さい → k ＝ 2 が最も上、k ＝ 4 が最も下
３本が (1, 0) で交わり、右側で k ＝ 2 が最上位にある図は⓪です。カ＝⓪。
キ：正解 ⑤（配点3）
＜問題要旨＞
同じ k ＝ 2, 3, 4 で、y ＝ log2kx のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
底はすべて 2 で固定されている点がカとの決定的な違いです。積の対数を分解します。
log₂(kx) ＝ log₂k ＋ log₂x つまり y ＝ log₂x を 上へ log₂k だけ平行移動したもの。 k ＝ 2 → ＋1 k ＝ 3 → ＋log₂3 ≒ ＋1.58 k ＝ 4 → ＋2
３本は平行に上下へずれるだけで、決して交わりません。k ＝ 4 が最上位、k ＝ 2 が最下位です。これは⑤。キ＝⑤。
※ カとキの違いは「底が動く／真数が動く」です。カは1点で交わり、キは交わらない。ここを取り違えると２問まとめて失点します。
ク：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
方程式 logxy ＝ 2 の表す図形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
対数の定義に戻して、指数の形に直すだけです。
log_x y ＝ 2 ⟺ y ＝ x² （x > 0, x ≠ 1, y > 0）
放物線 y ＝ x² の図は②です。ク＝②。
※ 条件 x ≠ 1 があるので、実際には (1, 1) だけが抜けた放物線です。
ケ：正解 ②（配点3）
＜問題要旨＞
不等式 0 < logxy < 1 の表す領域を選ぶ設問です。第１問前半の山場です。
＜考え方＞
底 x が 1 より大きいか小さいかで不等号の向きが変わるので、必ず場合分けします。
■ x > 1 のとき（log_x は増加）
log_x y > 0 ⟺ y > x⁰ ＝ 1
log_x y < 1 ⟺ y < x¹ ＝ x
→ 1 < y < x
■ 0 < x < 1 のとき（log_x は減少）
log_x y > 0 ⟺ y < 1
log_x y < 1 ⟺ y > x
→ x < y < 1
つまり、直線 y ＝ x と直線 y ＝ 1 にはさまれた部分が、x > 1 側と 0 < x < 1 側の両方に現れます。これは②です。ケ＝②。
※ 「x > 1 の側だけ」を選ぶと誤りです。0 < x < 1 の細い三角形の部分を落とさないでください。
第１問 〔２〕 整式の割り算（余りが定数になる条件）
２次式 S(x) で整式 P(x) を割ったときの余りが定数になる条件を、S(x) ＝ 0 の２解 α，β を使って言い換えていく設問です。P(x) ＝ S(x)T(x) ＋ U(x) に α，β を代入するという一手が、最後まで効き続けます。
コ，サ，シ：正解 −, ②, ③（配点2）
＜問題要旨＞
S(x) ＝ x² ＋ 4x ＋ 7 について、S(x) ＝ 0 の解を求める設問です。
＜考え方＞
解の公式を使います。判別式が負なので虚数解になります。
x ＝ (−4 ± √(16 − 28)) ／ 2
＝ (−4 ± √(−12)) ／ 2
＝ (−4 ± 2√3 i) ／ 2
＝ −2 ± √3 i
コサ＝−2、シ＝3、すなわち コ＝−、サ＝②、シ＝③。
ス，セ：正解 ②, ①（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ 2x³ ＋ 7x² ＋ 10x ＋ 5 を S(x) ＝ x² ＋ 4x ＋ 7 で割った商 T(x) を求める設問です。
＜考え方＞
素直に筆算で割ります。
2x − 1
┌────────────────────
x²+4x+7 │ 2x³ + 7x² + 10x + 5
│ 2x³ + 8x² + 14x
├────────────────────
│ − x² − 4x + 5
│ − x² − 4x − 7
├────────────────────
│ 12
商は T(x) ＝ 2x − 1。問題の形 ＜ス＞x − ＜セ＞ と比べて ス＝②、セ＝①。
ソ，タ：正解 ①, ②（配点1）
＜問題要旨＞
同じ割り算の余り U(x) を答える設問です。
＜考え方＞
スセの筆算の最後に残った数がそのまま答えです。
U(x) ＝ 12
ソタ＝12、すなわち ソ＝①、タ＝②。（この場合、余りは x を含まない定数になっています。）
チ：正解 ③（配点3）
＜問題要旨＞
「余りが定数 k である」という仮定から何が導かれるかを、論理の向きも含めて選ぶ設問です。
＜考え方＞
選択肢の違いは「何を根拠に何を導いたか」だけです。事実の正しさではなく、矢印の向きを見比べます。
余りが定数 k という仮定から
P(x) ＝ S(x)T(x) ＋ k … (あ)
また α, β は S(x) ＝ 0 の解だから
S(α) ＝ S(β) ＝ 0 … (い)
(あ) に x ＝ α, β を代入すると
P(α) ＝ 0 × T(α) ＋ k ＝ k
P(β) ＝ 0 × T(β) ＋ k ＝ k
つまり (あ) と (い) の両方を根拠にして P(α) ＝ P(β) ＝ k が導かれる、という順序です。これは③。チ＝③。
※ ②は「S(α)＝S(β)＝0 から P(x)＝S(x)T(x)＋k が導かれる」としていますが、この式は割り算の仮定から出るもので、解の性質から出るものではありません。ここが引っかけです。
ツ：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
余りが定数になるとき成り立つ関係式を選ぶ設問です。
＜考え方＞
チで導いた P(α) ＝ P(β) ＝ k から、k を消した形を読み取ります。
P(α) ＝ k かつ P(β) ＝ k → P(α) ＝ P(β)
ツ＝①。
テ，ト：正解 ①, ①（配点2）
＜問題要旨＞
今度は逆向き、「P(α) ＝ P(β) ならば余りは定数」を示す流れです。P(x) の表し方と、α，β を代入した結果を選びます。
＜考え方＞
S(x) が２次式なので、余りは１次以下、すなわち U(x) ＝ mx ＋ n とおけます。
P(x) ＝ S(x)T(x) ＋ mx ＋ n → テ ＝ ①
x ＝ α を代入（S(α) ＝ 0 より）
P(α) ＝ 0 × T(α) ＋ mα ＋ n ＝ mα ＋ n
x ＝ β を代入
P(β) ＝ mβ ＋ n → ト ＝ ①
テ＝①、ト＝①。
ナ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
P(α) ＝ P(β) と α ≠ β から、m と n について何が言えるかを選ぶ設問です。
＜考え方＞
テトで得た２式を等号で結び、整理します。
mα ＋ n ＝ mβ ＋ n mα ＝ mβ m(α − β) ＝ 0 α ≠ β より α − β ≠ 0 なので m ＝ 0
余りは U(x) ＝ n という定数になります。n については何も言えないので、条件は m ＝ 0 だけです。ナ＝③。
※ この設問には「解答記号テ，トが両方正解の場合のみ点を与える」という注がついています。テ・トを落とすとナも0点になるので、代入の一手は確実に押さえてください。
ニ，ヌ：正解 −, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
P(x) ＝ x¹⁰ − 2x⁹ − px² − 5x を S(x) ＝ x² − x − 2 で割った余りが定数になるときの p を求める設問です。
＜考え方＞
ここまでの結論「余りが定数 ⟺ P(α) ＝ P(β)」をそのまま使います。10次式を割る必要はまったくありません。
S(x) ＝ x² − x − 2 ＝ (x − 2)(x ＋ 1)
→ α ＝ 2, β ＝ −1
P(2) ＝ 2¹⁰ − 2·2⁹ − 4p − 10
＝ 1024 − 1024 − 4p − 10
＝ −4p − 10
P(−1) ＝ 1 − 2·(−1) − p − 5·(−1)
＝ 1 ＋ 2 − p ＋ 5
＝ 8 − p
P(2) ＝ P(−1) より
−4p − 10 ＝ 8 − p
−3p ＝ 18
p ＝ −6
ニヌ＝−6、すなわち ニ＝−、ヌ＝⑥。
※ 2¹⁰ と 2·2⁹ はどちらも 1024 で打ち消し合います。ここに気づけば計算はほぼ暗算で済みます。
ネ，ノ：正解 ①, ④（配点1）
＜問題要旨＞
そのときの余り（定数）を求める設問です。
＜考え方＞
余りは P(α) の値そのものです。p ＝ −6 を代入します。
余り ＝ P(2) ＝ −4p − 10
＝ −4×(−6) − 10
＝ 24 − 10 ＝ 14
検算： P(−1) ＝ 8 − p ＝ 8 − (−6) ＝ 14 ✓
ネノ＝14、すなわち ネ＝①、ノ＝④。
第２問 微分・積分（f(x) と S(x) ＝ ∫f のグラフの関係）
f(x) ＝ 3(x − 1)(x − m) と、その原始関数 S(x) ＝ ∫0xf(t)dt の関係を追う設問です。S′(x) ＝ f(x) という一本の関係だけで最後まで通せる構成になっています。後半は f のグラフの対称性を S の性質に翻訳する、やや抽象的な議論になります。
ア，イ：正解 ③, ②（配点2）
＜問題要旨＞
m ＝ 2 のとき、f′(x) ＝ 0 となる x を求める設問です。
＜考え方＞
f を展開して微分します。あるいは、下に凸の放物線の軸は２つの解の中点だと気づけば即答できます。
f(x) ＝ 3(x − 1)(x − 2) ＝ 3x² − 9x ＋ 6 f′(x) ＝ 6x − 9 ＝ 0 x ＝ 9／6 ＝ 3／2 （軸は 1 と 2 の中点 ＝ 3／2 でも同じ）
ア／イ＝3／2、すなわち ア＝③、イ＝②。
ウ，エ：正解 ⑨, ⑥（配点1）
＜問題要旨＞
S(x) の被積分関数を展開した形を答える設問です。
＜考え方＞
アイで展開済みです。
f(t) ＝ 3t² − 9t ＋ 6
ウ＝⑨、エ＝⑥。
オ，カ，キ：正解 ⑨, ②, ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
S(x) を実際に積分して求める設問です。
＜考え方＞
各項を積分し、0 から x まで代入します。定数項は 0 になります。
S(x) ＝ ∫₀ˣ (3t² − 9t ＋ 6) dt
＝ [ t³ − (9／2)t² ＋ 6t ]₀ˣ
＝ x³ − (9／2)x² ＋ 6x
オ／カ＝9／2、キ＝6、すなわち オ＝⑨、カ＝②、キ＝⑥。
ク：正解 ①（配点1）
＜問題要旨＞
S(x) が極大となる x を求める設問です。
＜考え方＞
S′(x) ＝ f(x) ＝ 3(x − 1)(x − 2) なので、増減表は f の符号だけで決まります。
x … 1 … 2 … S′(x) ＋ 0 − 0 ＋ S(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗
極大は x ＝ 1。ク＝①。
ケ，コ：正解 ⑤, ②（配点1）
＜問題要旨＞
その極大値を求める設問です。
＜考え方＞
S(1) を計算します。
S(1) ＝ 1 − 9／2 ＋ 6 ＝ 5／2
ケ／コ＝5／2、すなわち ケ＝⑤、コ＝②。
サ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
S(x) が極小となる x を求める設問です。
＜考え方＞
クの増減表をそのまま読みます。
極小となるのは x ＝ 2
サ＝②。
シ：正解 ②（配点1）
＜問題要旨＞
その極小値を求める設問です。
＜考え方＞
S(2) を計算します。
S(2) ＝ 8 − (9／2)×4 ＋ 12
＝ 8 − 18 ＋ 12 ＝ 2
シ＝②。
ス：正解 ③（配点3）
＜問題要旨＞
f(3) と一致するものを選ぶ設問です。
＜考え方＞
S′(x) ＝ f(x) という関係を、「接線の傾き」という言葉に翻訳できるかだけが問われています。
S′(x) ＝ f(x) なので f(3) ＝ S′(3) S′(3) は、y ＝ S(x) のグラフ上の 点 (3, S(3)) における接線の傾き
ス＝③。
※ ④「y ＝ f(x) 上の点 (3, f(3)) における接線の傾き」は f′(3) のことで別物です。S と f を取り違えないようにしてください。
セ，ソ：正解 ⓪, ⑤（配点2）
＜問題要旨＞
面積 S1（0 ≦ x ≦ 1）と S2（1 ≦ x ≦ m）を、積分の式で表す設問です。
＜考え方＞
面積を積分で書くときは、まずその区間で f が正か負かを確かめます。f(x) ＝ 3(x − 1)(x − m)、m > 1 です。
■ 0 ≦ x ≦ 1
(x − 1) ≦ 0, (x − m) < 0
→ f(x) ≧ 0（グラフは x 軸の上）
S₁ ＝ ∫₀¹ f(x)dx → ⓪
■ 1 ≦ x ≦ m
(x − 1) ≧ 0, (x − m) ≦ 0
→ f(x) ≦ 0（グラフは x 軸の下）
S₂ ＝ ∫₁^m {−f(x)}dx → ⑤
セ＝⓪、ソ＝⑤。
タ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
S1 ＝ S2 となる条件を、１本の積分が 0 になる形で表す設問です。
＜考え方＞
差 S1 − S2 を作ると、マイナスが打ち消えて１本の積分にまとまります。
S₁ − S₂ ＝ ∫₀¹ f dx − ∫₁^m (−f) dx
＝ ∫₀¹ f dx ＋ ∫₁^m f dx
＝ ∫₀^m f(x) dx
＝ S(m)
S₁ ＝ S₂ ⟺ ∫₀^m f(x)dx ＝ 0
タ＝①。この条件は S(m) ＝ 0、つまり「S の極小値がちょうど 0」ということです。
チ：正解 ①（配点4）
＜問題要旨＞
S1 ＝ S2 のときの y ＝ S(x) のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
S のグラフについてわかっていることを並べます。
・S(0) ＝ 0 （定義より）
・x ＝ 1 で極大
・x ＝ m で極小（m > 1）
・タより S(m) ＝ 0
→ 原点から立ち上がって山をつくり、
下がってきて x ＝ m で
ちょうど x 軸に接し、また上がる
極小点が x 軸に接している図は①です。チ＝①。
ツ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
S1 > S2 のときの y ＝ S(x) のグラフの概形を選ぶ設問です。
＜考え方＞
チと同じ枠組みで、極小値の符号だけが変わります。
S₁ − S₂ ＝ S(m) だったので S₁ > S₂ ⟺ S(m) > 0 → 極小値が x 軸より上にある → S は x ＝ 0 以外で x 軸と交わらない
極小点が x 軸の上にある図は②です。ツ＝②。
テ：正解 ③（配点1）
＜問題要旨＞
y ＝ f(x) のグラフの対称軸を答える設問です。
＜考え方＞
放物線の軸は、２つの解の中点です。
f(x) ＝ 3(x − 1)(x − m) の解は 1 と m 軸 ： x ＝ (1 ＋ m)／2
テ＝③。以下ではこれを M とおきます。
ト，ナ：正解 ④, ②（配点3）
＜問題要旨＞
対称性を使って、積分区間を反対側へ移す設問です。
＜考え方＞
軸 x ＝ M に関する対称移動は x → 2M − x です。区間の端点をそれぞれ折り返します。
2M ＝ 1 ＋ m なので
1 − p の折り返し先
2M − (1 − p) ＝ (1 ＋ m) − 1 ＋ p ＝ m ＋ p
1 の折り返し先
2M − 1 ＝ m
よって
∫_{1−p}^{1} f dx ＝ ∫_{m}^{m+p} f dx → ト ＝ ④
同様に M − q の折り返し先は M ＋ q なので
∫_{M−q}^{M} (−f) dx ＝ ∫_{M}^{M+q} (−f) dx → ナ ＝ ②
ト＝④、ナ＝②。
ニ，ヌ：正解 ⓪, ④（配点2）
＜問題要旨＞
①②の等式を、S を使った形に書き換える設問です。
＜考え方＞
∫αβf dx ＝ S(β) − S(α) をそのまま当てはめます。
■ ① について S(1) − S(1−p) ＝ S(m＋p) − S(m) 移項して S(1−p) ＋ S(m＋p) ＝ S(1) ＋ S(m) → ニ ＝ ⓪
■ ② について（−f の積分なので符号が反転）
左辺 ＝ −{S(M) − S(M−q)} ＝ S(M−q) − S(M)
右辺 ＝ −{S(M＋q) − S(M)} ＝ S(M) − S(M＋q)
S(M−q) − S(M) ＝ S(M) − S(M＋q)
2S(M) ＝ S(M−q) ＋ S(M＋q) → ヌ ＝ ④
ニ＝⓪、ヌ＝④。
ネ：正解 ②（配点2）
＜問題要旨＞
２点 (1−p, S(1−p)) と (m＋p, S(m＋p)) を結ぶ線分の中点について、正しい記述を選ぶ第２問の結論です。
＜考え方＞
中点の x 座標と y 座標を、それぞれ p の式で書いてみます。
■ x 座標
{ (1 − p) ＋ (m ＋ p) } ／ 2 ＝ (1 ＋ m)／2 ＝ M
p が消える → p によらず一定
■ y 座標
{ S(1−p) ＋ S(m＋p) } ／ 2
ニより分子は S(1) ＋ S(m) なので
＝ { S(1) ＋ S(m) } ／ 2
やはり p によらず一定
■ その点は S のグラフ上にあるか
ヌの 2S(M) ＝ S(M−q) ＋ S(M＋q) で
q ＝ M − 1 とおくと
M − q ＝ 1, M ＋ q ＝ 2M − 1 ＝ m
2S(M) ＝ S(1) ＋ S(m)
よって { S(1) ＋ S(m) }／2 ＝ S(M)
中点は (M, S(M)) → y ＝ S(x) のグラフ上
中点は p によらず一つに定まり、しかも y ＝ S(x) 上にあります。ネ＝②。
第３問 三角関数（cos の和を積に直す）
cos3x ＋ cos2x ＋ cos x ＝ 0 という方程式を、加法定理だけを使って因数分解する設問です。最後は n を含む一般形へ拡張されますが、両端の２つを足すと真ん中の cos が現れるという１つの型を最後まで使い回すだけです。
ア：正解 ③（配点2）
＜問題要旨＞
0 ≦ x < 2π で cos x ＝ 0 を満たす x のうち小さいほうを答える設問です。
＜考え方＞
単位円で、x 座標が 0 になる点を探します。
cos x ＝ 0 → x ＝ π／2, 3π／2 小さいほう ： π／2
ア＝③。
イ：正解 ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
同じく大きいほうを答える設問です。
＜考え方＞
アで求めたもう一方です。
大きいほう ： 3π／2
イ＝⑨。
ウ，エ：正解 ⑤, ④（配点3）
＜問題要旨＞
cos3x と cos x を、2x と x の加法定理で書き直す設問です。
＜考え方＞
cos(A ± B) ＝ cosA cosB ∓ sinA sinB を、A ＝ 2x、B ＝ x として使います。符号の違いだけが２つの答えの差です。
cos3x ＝ cos(2x ＋ x)
＝ cos2x cos x − sin2x sin x → ⑤
cos x ＝ cos(2x − x)
＝ cos2x cos x ＋ sin2x sin x → ④
ウ＝⑤、エ＝④。
オ：正解 ⑥（配点2）
＜問題要旨＞
ウエの結果を使って、cos3x ＋ cos2x ＋ cos x を因数分解する設問です。
＜考え方＞
ウとエを足すと、sin の項がきれいに消えます。
cos3x ＋ cos x
＝ (cos2x cos x − sin2x sin x)
＋ (cos2x cos x ＋ sin2x sin x)
＝ 2cos2x cos x
よって cos3x ＋ cos2x ＋ cos x ＝ 2cos x·cos2x ＋ cos2x ＝ (2cos x ＋ 1)cos2x
オ＝⑥（2cos x）。
カ：正解 ⑥（配点3）
＜問題要旨＞
0 ≦ x < 2π における①の解の個数を求める設問です。
＜考え方＞
(2cos x ＋ 1)cos2x ＝ 0 なので、２つの方程式に分けて解を数えます。
■ 2cos x ＋ 1 ＝ 0 → cos x ＝ −1／2
x ＝ 2π／3, 4π／3 … 2個
■ cos2x ＝ 0
0 ≦ x < 2π のとき 0 ≦ 2x < 4π
2x ＝ π／2, 3π／2, 5π／2, 7π／2
x ＝ π／4, 3π／4, 5π／4, 7π／4 … 4個
重複はないので合計 6 個。カ＝⑥。
※ cos2x ＝ 0 は、x の範囲を２倍した 0 ≦ 2x < 4π で考えることが大切です。ここを 0 ≦ 2x < 2π としてしまうと解が半分になります。
キ：正解 ④（配点2）
＜問題要旨＞
①の解のうち最も小さいものを求める設問です。
＜考え方＞
カで挙げた 6 個を小さい順に並べます。
π／4 ≒ 0.79 2π／3 ≒ 2.09 3π／4 ≒ 2.36 5π／4 ≒ 3.93 4π／3 ≒ 4.19 7π／4 ≒ 5.50 最小は π／4
x ＝ π／＜キ＞ の形なので キ＝④。
ク，ケ：正解 ②, ③（配点2）
＜問題要旨＞
２番目に小さい解を求める設問です。
＜考え方＞
キで並べた表の２番目を読みます。
2番目は 2π／3
ク／ケ＝2／3、すなわち ク＝②、ケ＝③。
※ π／4 の次を 3π／4 としてしまいがちですが、間に 2π／3 ≒ 2.09 が入ります。数値に直して並べると確実です。
コ：正解 ⑨（配点2）
＜問題要旨＞
n ≧ 3 として cos(n＋1)x ＋ cos nx ＋ cos(n−1)x ＝ 0 …③ の最小解を求める設問です。
＜考え方＞
(i) とまったく同じ形に因数分解できます。3x, 2x, x が (n＋1)x, nx, (n−1)x に置き換わっただけです。
cos(n＋1)x ＋ cos(n−1)x ＝ cos(nx ＋ x) ＋ cos(nx − x) ＝ 2cos nx·cos x よって ③ は (2cos x ＋ 1)cos nx ＝ 0
■ cos x ＝ −1／2 → x ＝ 2π／3, 4π／3
■ cos nx ＝ 0 → nx ＝ π／2 ＋ kπ
x ＝ (2k ＋ 1)π ／ (2n) (k ＝ 0, 1, 2, …)
k ＝ 0 → x ＝ π／(2n)
k ＝ 1 → x ＝ 3π／(2n)
n ≧ 3 なので π／(2n) ≦ π／6 ≒ 0.52 < 2π／3 → 最小解は π／(2n)
コ＝⑨。
サ：正解 ⓐ（配点2）
＜問題要旨＞
③の２番目に小さい解を求める、第３問の結論です。
＜考え方＞
コで並べた候補の次を確かめます。2π／3 より前に来るかどうかが判断の分かれ目です。
候補は小さい順に
π／(2n), 3π／(2n), 5π／(2n), …
および 2π／3, 4π／3
n ≧ 3 のとき
3π／(2n) ≦ 3π／6 ＝ π／2 ≒ 1.57
2π／3 ≒ 2.09
→ 3π／(2n) < 2π／3
よって2番目は 3π／(2n)
サ＝ⓐ。
※ n ＝ 3 のときがいちばんきわどく、3π／6 ＝ π／2 と 2π／3 の比較になります。それでも 3π／(2n) のほうが小さいので、すべての n ≧ 3 で成り立ちます。
第４問 図形と方程式（２つの円の共通接線）
２つの円に共通に接する直線を求める設問です。問題文が「C1 の接線のうち、C2 にも接するものを探す」という方針を明示してくれているので、その筋道どおりに、接点を (p, q) とおいて進めます。
ア，イ：正解 ④, ⓪（配点2）
＜問題要旨＞
C2：x² − 8x ＋ y² ＋ 15 ＝ 0 の中心を求める設問です。
＜考え方＞
x について平方完成します。
x² − 8x ＋ y² ＋ 15 ＝ 0 (x − 4)² − 16 ＋ y² ＋ 15 ＝ 0 (x − 4)² ＋ y² ＝ 1 中心 (4, 0)
ア＝④、イ＝⓪。
ウ：正解 ①（配点2）
＜問題要旨＞
C2 の半径を求める設問です。
＜考え方＞
アイの平方完成の右辺を見ます。
(x − 4)² ＋ y² ＝ 1 ＝ 1² 半径 ＝ 1
ウ＝①。（なお C1：x² ＋ y² ＝ 4 は中心 O、半径 2 です。）
エ：正解 ⑧（配点2）
＜問題要旨＞
原点 O と C1 上の点 P(p, q) を結ぶ直線 m の傾きを答える設問です。
＜考え方＞
２点 (0, 0)、(p, q) を通る直線の傾きです。
傾き ＝ (q − 0) ／ (p − 0) ＝ q／p
エ＝⑧。
オ：正解 ⓑ（配点2）
＜問題要旨＞
P における C1 の接線 ℓ の傾きを答える設問です。
＜考え方＞
円の接線は、中心と接点を結ぶ半径に垂直です。垂直な２直線の傾きの積は −1 になります。
m の傾き × ℓ の傾き ＝ −1 (q／p) × (ℓ の傾き) ＝ −1 ℓ の傾き ＝ −p／q
オ＝ⓑ。
カ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
接線 ℓ の方程式を選ぶ設問です。
＜考え方＞
点 P(p, q) を通り傾き −p／q の直線を立て、p² ＋ q² ＝ 4 を使って整理します。
y − q ＝ (−p／q)(x − p) 両辺に q を掛けて q(y − q) ＝ −p(x − p) qy − q² ＝ −px ＋ p² px ＋ qy ＝ p² ＋ q² p² ＋ q² ＝ 4 なので px ＋ qy ＝ 4
カ＝④。
※ これは「円 x² ＋ y² ＝ r² 上の点 (p, q) における接線は px ＋ qy ＝ r²」という公式そのものです。p ＝ 0 や q ＝ 0 のときも同じ式で正しく表せます。
キ：正解 ④（配点3）
＜問題要旨＞
ℓ が C2 に接する条件を選ぶ設問です。
＜考え方＞
直線が円に接するのは、円の中心から直線までの距離が、その円の半径に等しいときです。ここでの円は C2 なので、半径も C2 のものを使います。
（C₂ の中心と ℓ の距離）＝（C₂ の半径）
キ＝④。
※ ③は半径を C1 のものにすり替えた選択肢です。「どちらの円の話をしているか」を取り違えないでください。
ク，ケ，コ，サ，シ：正解 ①, ②, ①, ⑤, ②（配点3）
＜問題要旨＞
ℓ が C2 に接するときの接点 P(p, q) のうち、p が小さいほうを求める設問です。
＜考え方＞
キの条件を、与えられた点と直線の距離の公式で式にします。
ℓ ： px ＋ qy − 4 ＝ 0 C₂ の中心 (4, 0)、半径 1 距離 ＝ |4p ＋ 0 − 4| ／ √(p² ＋ q²) p² ＋ q² ＝ 4 より √(p² ＋ q²) ＝ 2 距離 ＝ |4p − 4| ／ 2 ＝ 2|p − 1|
2|p − 1| ＝ 1 |p − 1| ＝ 1／2 p ＝ 1／2 または p ＝ 3／2
小さいほう p ＝ 1／2 のとき q² ＝ 4 − (1／2)² ＝ 4 − 1／4 ＝ 15／4 q ＝ ± √15 ／ 2
ク／ケ＝1／2、√コサ／シ＝√15／2、すなわち ク＝①、ケ＝②、コ＝①、サ＝⑤、シ＝②。
ス，セ，ソ，タ：正解 ③, ②, ⑦, ②（配点3）
＜問題要旨＞
もう一方、p が大きいほうの接点を求める、第４問の結論です。
＜考え方＞
クケコサシで出たもう一つの解 p ＝ 3／2 を使います。
p ＝ 3／2 のとき q² ＝ 4 − (3／2)² ＝ 4 − 9／4 ＝ 7／4 q ＝ ± √7 ／ 2
ス／セ＝3／2、√ソ／タ＝√7／2、すなわち ス＝③、セ＝②、ソ＝⑦、タ＝②。
まとめ：共通接線は 4 本 (p, q) を px ＋ qy ＝ 4 に代入すると (1／2, ±√15／2) → x ± √15 y ＝ 8 (3／2, ± √7／2) → 3x ± √7 y ＝ 8
※ p ＝ 1／2 のほうは２円の間を通る内接線、p ＝ 3／2 のほうは２円の外側を通る外接線にあたります。
※ 本記事の解答・解説は当サイトが独立に作成したものです。公式の正解および配点は大学入試センターの発表をご確認ください。
